1、優(yōu)選文檔高一年段培優(yōu)數(shù)學(xué)教材（1）高一數(shù)學(xué)備課組第一講函數(shù)的性質(zhì)一、基本性質(zhì)：函數(shù)圖像的對(duì)稱(chēng)性（1）奇函數(shù)與偶函數(shù)：奇函數(shù)圖像關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，關(guān)于任意xD，都有f(x)f(x)成立；偶函數(shù)的圖像關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，關(guān)于任意xD，都有f(x)f(x)成立。（2）原函數(shù)與其反函數(shù)：原函數(shù)與其反函數(shù)的圖像關(guān)于直線(xiàn)yx對(duì)稱(chēng)。若某一函數(shù)與其反函數(shù)表示同一函數(shù)時(shí)，那么此函數(shù)的圖像就關(guān)于直線(xiàn)yx對(duì)稱(chēng)。（3）若函數(shù)滿(mǎn)足f(x)f(2ax)，則f(x)的圖像就關(guān)于直線(xiàn)xa對(duì)稱(chēng)；若函數(shù)滿(mǎn)足f(x)f(2ax)，則f(x)的圖像就關(guān)于點(diǎn)(a,0)對(duì)稱(chēng)。（4）互對(duì)稱(chēng)知識(shí)：函數(shù)yf(xa)與yf(ax)的圖像關(guān)于直線(xiàn)xa對(duì)

2、稱(chēng)。2函數(shù)的單調(diào)性函數(shù)的單調(diào)性是針對(duì)其定義域的某個(gè)子區(qū)間而言的。判斷一個(gè)函數(shù)的單調(diào)性一般采用定義法、導(dǎo)數(shù)法或借助其他函數(shù)結(jié)合單調(diào)性的性質(zhì)（如復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性）特別提示：函數(shù)yxa(a0)的圖像和單調(diào)區(qū)間。x3函數(shù)的周期性關(guān)于函數(shù)yf(x)，若存在一個(gè)非零常數(shù)T，使適合x(chóng)為定義域中的每一個(gè)值時(shí)，都有f(xT)f(x)成立，則稱(chēng)yf(x)是周期函數(shù)，T稱(chēng)為該函數(shù)的一個(gè)周期。若在所有的周期中存在一個(gè)最小的正數(shù)，就稱(chēng)其為最小正周期。（1）若T是yf(x)的周期，那么nT(nZ)也是它的周期。（2）若yf(x)是周期為T(mén)的函數(shù)，則yf(axb)(a0)是周期為T(mén)的周期函數(shù)。a（3）若函數(shù)yf(x)的圖像

3、關(guān)于直線(xiàn)xa和xb對(duì)稱(chēng)，則yf(x)是周期為2(ab)的函數(shù)。（4）若函數(shù)yf(x)滿(mǎn)足f(xa)f(x)(a0)，則yf(x)是周期為2a的函數(shù)。4高斯函數(shù)關(guān)于任意實(shí)數(shù)x，我們記不高出x的最大整數(shù)為x，平時(shí)稱(chēng)函數(shù)yx為取整函數(shù)。又稱(chēng)高斯函數(shù)。又記xxx，則函數(shù)yx稱(chēng)為小數(shù)部分函數(shù)，它表示的是x的小數(shù)部分。高斯函數(shù)的常用性質(zhì)：（1）對(duì)任意xR,均有x1xxx1（2）對(duì)任意xR，函數(shù)yx的值域?yàn)?,1)（3）高斯函數(shù)是一個(gè)不減函數(shù)，即關(guān)于任意x1,x2R,若x1x2,則x1x2（4）若nZ,xR,則有xnnx,nxx，后一個(gè)式子表示yx是周期為1的函數(shù)。（5）若x,yR,則xyxyxy1（6）若

4、nN*,xR,則nxnx二、綜合應(yīng)用例1：設(shè)f(x)是R上的奇函數(shù)，f(x2)f(x),當(dāng)0 x1時(shí)，f(x)x,求f(7.5)的值。例2：設(shè)f(x),g(x)都是定義在R上的奇函數(shù)，F(xiàn)(x)af(x)bg(x)2在區(qū)間(0,)上的最大值為5，求F(x)在(,0)上的最小值。.優(yōu)選文檔例3：已知x,yx3sinx2a0_,aR,且4y31sin2y,則cos(x2y)44a02例4：設(shè)a1,a,均為實(shí)數(shù)，試求當(dāng)變化時(shí)，函數(shù)y(asin)(4sin)的最小值。1sin例5：解方程：（1）xlog2(2x31)5（2）(x220 x38)34x2152x384x例6：已知定義在R上的函數(shù)f(x)滿(mǎn)

5、足f(x)f(y)f(xy)，當(dāng)x0時(shí)f(x)0，f(1)2；（1）求證：f(x)為奇函數(shù)；（2）求f(x)在3,3上的最值；（3）當(dāng)t2時(shí),不等式f(klog2t)f(log2tlog22t2)0恒成立，求實(shí)數(shù)k的取值范圍。例7：證明：關(guān)于所有大于1的自然數(shù)n，恒有(11)(11)(11)2n1352n12例8：設(shè)f(x)是定義在Z上的一個(gè)實(shí)值函數(shù)，f(x)滿(mǎn)足f(xy)f(xy)2f(x)f(y)，求證：f(1)0f(x)是周期為4的周期函數(shù)。例9：給定實(shí)數(shù)x，定義x為不大于x的最大整數(shù)，則以下結(jié)論中不正確的序號(hào)是（）xx0 xx1f(x)xx是周期函數(shù)f(x)xx是偶函數(shù)2xlgx20的

6、實(shí)根個(gè)數(shù)。例10：求方程lg三、增強(qiáng)訓(xùn)練：1.已知f(x)asinxb3x4（a、b為實(shí)數(shù)），且f(lglog310)5，求f(lglg3)的值。2.若方程x22asin(cosx)a20有唯一解，求a的所有取值。3.已知函數(shù)f(x)定義在非負(fù)整數(shù)集上，且對(duì)任意正整數(shù)x，都有f(x)f(x1)f(x1)。若f(0)1992，求f(1992)的值。4.函數(shù)f(x)定義在實(shí)數(shù)集R上，且對(duì)一的確數(shù)x滿(mǎn)足等式f(x2)f(2x),f(x7)f(7x).設(shè)f(x)0的一個(gè)根是x0，記f(x)0在區(qū)間1000,1000中的根的個(gè)數(shù)是N，求N的最小值。5.若函數(shù)yf(x)的圖像關(guān)于直線(xiàn)x6.求數(shù)列an的最小

7、項(xiàng)，其中an2n2a對(duì)稱(chēng)，且關(guān)于點(diǎn)M(b,c)對(duì)稱(chēng)，求證f(x)是周期函數(shù)。24n69a(n1,2,)22)2(3n37.已知f(cosx)0的解集為0,，解不等式f(sinx)0.28.設(shè)f(x)是定義在(0,)上的增函數(shù)，對(duì)任意x,y(0,)，滿(mǎn)足f(xy)f(x)f(y)。（1）求證：當(dāng)xx(1,)時(shí)，f()0f()f()f(y)xyx（2）若f(5)1，解不等式f(x1)f(2x)2.9.已知f(x)ax0,a24x5)f(2x23x1)的x的值。(a1)，求滿(mǎn)足f(3x102410.求和：log2NN1.優(yōu)選文檔參照答案：例1：周期為4，f(7.5)0.5例2：記G(x)af(x)b

8、g(x)，則G(x)為奇函數(shù)。F(x)在(,0)上的最小值為-1.例3：f(t)t3sint在4,上為增函數(shù)，cos(x2y)14例4：y(1sin)3(a1)a2，換元后研究函數(shù)f(x)x3(a1)a2的單調(diào)性1sinx當(dāng)1a7時(shí)ymin23(a1)a2(x3(a1)；當(dāng)a7時(shí)ymin5(a1)(x2)332例5：（1）構(gòu)造f(x)xlog2(2x31)，利用單調(diào)性得：x5（2）構(gòu)造遞加函數(shù)f(x)x34x，利用f(x220 x38)f(x)解得：2x9例6：（2）f(x)max6;f(x)min6（3）k221(11)(11)(11)1例7：構(gòu)造f(n)352n1，證明f(n)是遞加數(shù)列，故f(n)f(2)122n例8：令y1得f(x1)f(x1)0f(x)f(x2)T4例9：例10：22lgxlgx1lgx2（1）當(dāng)1lgx0時(shí)lgx1，代入原方程解得110（2）當(dāng)0lgx1時(shí)lgx0lgx2（矛盾）（3）當(dāng)1lgx2時(shí)lgx1lgx3x103（）當(dāng)lgx2時(shí)lgx2x10004