1、山東煙臺(tái)2020-2021學(xué)年度第一學(xué)期期末學(xué)業(yè)水平診斷高三數(shù)學(xué)注意事項(xiàng)：1.本試題滿分150分，考試時(shí)間為120分鐘.2.答卷前，務(wù)必將姓名和準(zhǔn)考證號(hào)填涂在答題卡上.3.使用答題紙時(shí)，必須使用0.5毫米的黑色簽字筆書寫，要字跡工整，筆跡清晰；超出答題區(qū)書寫的答案無效；在草稿紙、試題卷上答題無效.一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合題目要求.1.已知集合，則（）A. B.C.D.2.已知命題，則為（）A.，B.，C.，D.，3.已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，則（）A.4B.5C.6 D.74.水晶是一種石英結(jié)晶體礦物，因其硬度、色澤、光學(xué)性質(zhì)

2、、稀缺性等，常被人們制作成飾品.如圖所示，現(xiàn)有棱長為2cm的正方體水晶一塊，將其裁去八個(gè)相同的四面體，打磨成某飾品，則該飾品的表面積為（單位：cm2）A.B.C.D.5.若，則（）A.B.C.D.6.右圖是某主題公園的部分景觀平面示意圖，圓形池塘以為圓心，以為半徑，為公園入口，道路為東西方向，道路經(jīng)過點(diǎn)且向正北方向延伸，現(xiàn)計(jì)劃從處起修一條新路與道路相連，且新路在池塘的外圍，假設(shè)路寬忽略不計(jì)，則新路的最小長度為（單位：m）（）A.B.C.D.7如圖所示，平面向量，的夾角為60，點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)，點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)，則為（）A.B.C.4 D.無法確定8.已知函數(shù)，若方程有個(gè)不同的實(shí)根，從小到大

3、依次為，則下列說法錯(cuò)誤的是（）A. B.當(dāng)時(shí)，C.當(dāng)且時(shí)， D.當(dāng)時(shí)，二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得3分，有選錯(cuò)的得0分.9將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位長度得到函數(shù)圖象，則（）A.是函數(shù)的一個(gè)解析式B.直線是函數(shù)圖象的一條對(duì)稱軸C.函數(shù)是周期為的奇函數(shù)D.函數(shù)的遞減區(qū)間為10.已知拋物線的焦點(diǎn)為，過且斜率為的直線交拋物線于、兩點(diǎn)，其中在第一象限，若，則（）A. B.C.以為直徑的圓與軸相切D.11.已知，下列命題中正確的是（）A.若，則B.若，則C.若，則D.若，則12已知函數(shù)，則（）A.函數(shù)在上無極值

4、點(diǎn)B.函數(shù)在上存在唯一極值點(diǎn)C.若對(duì)任意，不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的最大值為D.若，則的最大值為三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.已知，為雙曲線的左、右焦點(diǎn)，過作軸的垂線交于、兩點(diǎn)，若，則的離心率為.14已知數(shù)列滿足，用表示不超過的最大整數(shù)，則數(shù)列的前10項(xiàng)和為.15.測量珠穆朗瑪峰的高度一直受到世界關(guān)注，2020年12月8日，中國和尼泊爾共同宣布珠穆朗瑪峰的最新高度為8848.86米某課外興趣小組研究發(fā)現(xiàn)，人們?cè)萌菧y量法對(duì)珠峰高度進(jìn)行測量，其方法為：首先在同一水平面上選定兩個(gè)點(diǎn)并測量兩點(diǎn)間的距離，然后分別測量其中一個(gè)點(diǎn)相對(duì)另一點(diǎn)以及珠峰頂點(diǎn)的張角，再在其中一點(diǎn)處測量珠峰頂

5、點(diǎn)的仰角，最后計(jì)算得到珠峰高度.該興趣小組運(yùn)用這一方法測量某建筑物高度，如圖所示，已知該建筑物垂直于水平面，水平面上兩點(diǎn)，的距離為200m，則該建筑物的高度為（單位：m）.16.一個(gè)球被平面截下的一部分叫做球缺，截面叫做球缺的底面，垂直于截面的直徑被截下的線段長叫做球缺的高，球缺的體積公式，其中為球的半徑，為球缺的高若一球與一棱長為的正四面體的各棱均相切，則該球的半徑為，該球被此正四面體的一個(gè)側(cè)面所截得的球缺（小于半球）的體積為.（本題第一空2分，第二空3分）四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.（10分）在，這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面問題中，

6、并給出解答.問題：已知內(nèi)角，的對(duì)邊分別是，求的最大值.注：如果選擇多個(gè)條件分解答，按第一個(gè)解答計(jì)分.18.（12分）已知數(shù)列是各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列，其前項(xiàng)和為，.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）令，求數(shù)列的前項(xiàng)和.19.（12分）如圖，在四棱錐中，底面為正方形，底面，為線段的中點(diǎn)，為線段上的動(dòng)點(diǎn).（1）證明：平面平面；（2）當(dāng)點(diǎn)在線段的何位置時(shí)，平面與平面所成銳二面角的大小為30？指出點(diǎn)的位置，并說明理由.20.（12分）在研制飛機(jī)的自動(dòng)著陸系統(tǒng)時(shí)，需要研究飛機(jī)的降落曲線.如圖，一架水平飛行的飛機(jī)的著陸點(diǎn)為原點(diǎn)，飛機(jī)降落曲線大致為，其中（單位：m）表示飛機(jī)距離著陸點(diǎn)的水平距離，（單位：m）表示

7、飛機(jī)距離著陸點(diǎn)的豎直高度.假設(shè)飛機(jī)開始降落時(shí)的豎直高度為4500m，距離著陸點(diǎn)的水平距離為，飛機(jī)在整個(gè)降落過程中始終在同一個(gè)豎直平面內(nèi)飛行，且飛機(jī)開始降落時(shí)的降落曲緋與平方向的有線相切.（1）用分別表示和：（2）若飛機(jī)開始降落時(shí)的水平速度150m/s，且在整個(gè)降落過程中水平速度保持不變，另外，基于安全考慮，飛機(jī)在降落過程中的豎直加速度（即關(guān)于降落時(shí)間（單位：s）的導(dǎo)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)）的絕對(duì)值不超過1m/s2，求飛機(jī)開始降落時(shí)距離著陸點(diǎn)的水平距離的最小值.21.（12分）已知橢圓的離心率為，為橢圓的左，右焦點(diǎn)，過斜率不為零的直線交橢圓于，兩點(diǎn)，的周長為8.（1）求橢圓的方程（2）設(shè)為橢圓的右頂點(diǎn)，直線

8、，分別交直線于，兩點(diǎn)，試判斷以為直徑的圓是否恒過橢圓長軸上一個(gè)定點(diǎn)，并說明理由.22.（12分）已知函數(shù)（，為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）（1）若在定義域內(nèi)有唯一零點(diǎn)，求的取值范圍；（2）若在上恒成立，求的取值范圍.2020-2021學(xué)年度第一學(xué)期期末學(xué)業(yè)水平診斷高三數(shù)學(xué)參考答案及評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)一、單項(xiàng)選擇題B B C A D A B D 二、多項(xiàng)選擇題9.BD 10.BCD 11.ACD 12.AD三、填空題13.14.29 15. 16.，四、解答題17.解：若選：由已知得，即.化簡得，因?yàn)椋裕?又，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，故，即的最大值為4.若選：由已知得，化簡得，即，因?yàn)?，所?由，可得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)

9、取等號(hào)，故，即的最大值為.若選：由已知，即，又，所以.所以，因?yàn)椋?由，得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，故，即的最大值為4.18.解：（1）設(shè)數(shù)列的公比為，于是，解得或，因?yàn)椋?，所?（2）由（1）可得，兩式相減可得，所以.19.解：（1）因?yàn)榈酌?，面，所以，又，所以平面，又平面，所以，因?yàn)樵谥?，為的中點(diǎn)，所以，又，所以平面，又平面，所以平面平面；（2）設(shè)，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以，方向?yàn)?，軸的正方向，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則，.設(shè)為平面的一個(gè)法向量，則有，即，令，可得，設(shè)為平面的一個(gè)法向量，則有，即，令，可得；，因?yàn)槠矫媾c平面夾角為，所以，.即，解得，故為線段的中點(diǎn).20.解：（1）設(shè).則，由題意可知，即解得，.（2）由（1）可知，設(shè)飛機(jī)降落時(shí)間為，則，則，當(dāng)或時(shí)，取最大值，故，可得.所以飛機(jī)開始下降時(shí)距離著陸點(diǎn)水平距離的最小值為米.21.解：由題意，因?yàn)?，所以，而，所以，故橢圓的方程為：，（2）由（1）知，設(shè)的方程為：，代入得：，設(shè)，則，因?yàn)?，所以，所以直線的方程為：，令，得，所以，同理可得，若以為直徑的圓過長軸上定點(diǎn)，則，設(shè)，則，于是對(duì)任意實(shí)數(shù)恒成立，所以，而所以，解得或，因?yàn)?，所?22.解：（1），當(dāng)，在上單調(diào)遞增，又，由零點(diǎn)存在定理知，函數(shù)在上有