1、 隨機型決策分析方法 Random Decision Analysis王照良數(shù)學與信息科學學院主要內(nèi)容隨機型決策問題 風險型決策方法 非確定型決策方法 www.hpu.河南理工大學數(shù)學與信息科學學院第一節(jié) 隨機型決策問題決策的基本概念隨機型決策問題www.hpu.河南理工大學數(shù)學與信息科學學院 一般來說，凡是根據(jù)預定的目標做出的任何行動決定，都可以稱之為決策。 幾個關于決策的概念:決策問題 在實際生產(chǎn)或生活問題中，對于一個需要處理的事件，面臨幾種客觀條件，又有幾種可供選擇的方案，這就構成了一個決策問題。 一、決策的基本概念www.hpu.河南理工大學數(shù)學與信息科學學院行動方案 在決策問題中，那

2、些可供選擇的方案就稱之為行動方案，簡稱方案或策略，有時也稱為方案變量或決策變量。 狀態(tài)概率 指在決策問題中，每一種自然狀態(tài)出現(xiàn)的概率。 自然狀態(tài) 在決策問題中，決策者所面臨的每一種客觀條件就稱之為一個自然狀態(tài)，簡稱狀態(tài)或條件，有時也稱為狀態(tài)變量。 www.hpu.河南理工大學數(shù)學與信息科學學院益損值 指每一種行動方案在各種自然狀態(tài)下所獲得的報酬或者需要付出的損失（成本、代價）。最佳決策方案 就是依照某種決策準則，使決策目標取最優(yōu)值（譬如，收益最大值或者成本最小值）的那個（些）行動方案。www.hpu.河南理工大學數(shù)學與信息科學學院例1:根據(jù)自然條件，某農(nóng)場可以選擇種植的農(nóng)作物有4種：水稻、小麥

3、、大豆、燕麥。該農(nóng)場所在地區(qū)每一年可能發(fā)生的天氣類型有5種：極旱年、旱年、平年、濕潤年、極濕年。表1給出了每一種天氣類型發(fā)生的概率，以及在每一種天氣類型條件下種植各種農(nóng)作物所獲得的收益。該農(nóng)場究竟應該種植哪一種農(nóng)作物？www.hpu.河南理工大學數(shù)學與信息科學學院表1 每一種天氣類型發(fā)生的概率及 種植各種農(nóng)作物的收益 www.hpu.河南理工大學數(shù)學與信息科學學院 該例所描述的就是一個決策問題。在這一個決策問題中，各種天氣類型就是自然狀態(tài)，共有5種狀態(tài)，即“極旱年”、“旱年”、“平年”、“濕潤年”、“極濕年”，各狀態(tài)發(fā)生的概率，即狀態(tài)概率分別為0.1,0.2,0.4,0.2,0.1；各農(nóng)作物種

4、類就是行動方案，共有4種方案，即“水稻”、“小麥”、“大豆”、“燕麥”；在每一種狀態(tài)下，各方案的益損值就是在每一種天氣類型下各種農(nóng)作物的收益值。 www.hpu.河南理工大學數(shù)學與信息科學學院 二、 隨機型決策問題(一)決策問題的基本類型 根據(jù)人們對決策問題的自然狀態(tài)的認識程度，可以把決策問題劃分為兩種基本類型，即確定型決策問題和隨機型決策問題。www.hpu.河南理工大學數(shù)學與信息科學學院確定型決策問題 指決策者已經(jīng)完全確切地知道將發(fā)生什么樣的自然狀態(tài)，從而可以在既定的狀態(tài)下選擇最佳行動方案。 也就是說，對于確定型決策問題而言，只存在一個唯一確定的自然狀態(tài)。 對于確定型決策問題，在實際工作中

5、，決策者所面臨的方案數(shù)目可能是很大的，最佳決策方案的選擇往往需要采用各種規(guī)劃方法（如線性規(guī)劃、目標規(guī)劃等）才能實現(xiàn)。www.hpu.河南理工大學數(shù)學與信息科學學院例：某人得到一小筆獎金200 元，他可以用這些錢買一份禮物送給父母，以示孝心；或者可以給兒子買他向往已久的玩具汽車；或者可以一家三口出去吃一頓；或者還可以為自己買些資料；他作出一個決策，采用了以上的其中一條。比如買禮物送給父母，那么結果就是表示了孝心，這就是一個確定型決策。 www.hpu.河南理工大學數(shù)學與信息科學學院隨機型決策問題 指決策者所面臨的各種自然狀態(tài)將是隨機出現(xiàn)的。 隨機型決策問題，必須具備以下幾個條件：存在著決策者希望

6、達到的明確目標；存在著不依決策者的主觀意志為轉移的兩個以上的自然狀態(tài)；存在著兩個以上的可供選擇的行動方案；不同行動方案在不同自然狀態(tài)下的益損值可以計算出來。www.hpu.河南理工大學數(shù)學與信息科學學院 隨機型決策問題可進一步分為風險型決策問題和非確定型決策問題。 風險型決策問題：每一種自然狀態(tài)發(fā)生的概率是已知的或者可以預先估計的。 非確定型決策問題：各種自然狀態(tài)發(fā)生的概率也是未知的和無法預先估計的。www.hpu.河南理工大學數(shù)學與信息科學學院例：一家人要做出周末去公園游玩還是呆在家里看電視的決策，但對此決策有重要影響的客觀條件天氣，卻是不受決策者控制的，這就是一個非確定型決策。 www.h

7、pu.河南理工大學數(shù)學與信息科學學院(二)決策問題的分類及特點圖9.1.1 www.hpu.河南理工大學數(shù)學與信息科學學院第2節(jié) 風險型決策方法最大可能法期望值決策法及其矩陣運算樹型決策法靈敏度分析法效用分析法www.hpu.河南理工大學數(shù)學與信息科學學院 對于風險型決策問題，其常用的決策方法主要有最大可能法、期望值法、靈敏度分析法、效用分析法等。 在對實際問題進行決策時，可以采用各種不同方法分別進行計算、比較，然后通過綜合分析，選擇最佳的決策方案，這樣，往往能夠減少決策的風險性。www.hpu.河南理工大學數(shù)學與信息科學學院一、最大可能法 一、最大可能法 在解決風險型決策問題時，選擇一個概率

8、最大的自然狀態(tài)，把它看成是將要發(fā)生的唯一確定的狀態(tài)，而把其他概率較小的自然狀態(tài)忽略，這樣就可以通過比較各行動方案在那個最大概率的自然狀態(tài)下的益損值進行決策。這種決策方法就是最大可能法。 www.hpu.河南理工大學數(shù)學與信息科學學院應用條件 在一組自然狀態(tài)中，某一自然狀態(tài)出現(xiàn)的概率比其他自然狀態(tài)出現(xiàn)的概率大很多，而且各行動方案在各自然狀態(tài)下的益損值差別不是很大。實質(zhì) 在將大概率事件看成必然事件，小概率事件看成不可能事件的假設條件下，將風險型決策問題轉化成確定型決策問題的一種決策方法。www.hpu.河南理工大學數(shù)學與信息科學學院例：用最大可能法對例1所描述的風險型決策問題求解表1 每一種天氣類

9、型發(fā)生的概率及種植各種農(nóng)作物的收益 www.hpu.河南理工大學數(shù)學與信息科學學院二、期望值決策法及其矩陣運算期望值決策法 對于一個離散型的隨機變量X，它的數(shù)學期望為 式中:xi(n=1，2，n)為隨機變量x的各個取值；Pi為x=xi的概率，即Pi = P(xi)。 隨機變量x的期望值代表了它在概率意義下的平均值。 期望值決策法，就是計算各方案的期望益損值，并以它為依據(jù)，選擇平均收益最大或者平均損失最小的方案作為最佳決策方案。 www.hpu.河南理工大學數(shù)學與信息科學學院期望值決策法的計算、分析過程 把每一個行動方案看成是一個隨機變量，而它在不同自然狀態(tài)下的益損值就是該隨機變量的取值； 把每

10、一個行動方案在不同的自然狀態(tài)下的益損值與其對應的狀態(tài)概率相乘，再相加，計算該行動方案在概率意義下的平均益損值； 選擇平均收益最大或平均損失最小的行動方案作為最佳決策方案。 www.hpu.河南理工大學數(shù)學與信息科學學院例：試用期望值決策法求解例1表1 每一種天氣類型發(fā)生的概率及種植各種農(nóng)作物的收益 解：(1) E(B4)11.80.1+13.00.2+17.00.4+ 19.00.2+21.00.1=16.48(千元/hm2)同理 E(B1)=16.92(千元/hm2)E(B2)=16.7(千元/hm2)E(B3)=18.3(千元/hm2)www.hpu.河南理工大學數(shù)學與信息科學學院表1 風

11、險型決策問題的期望值計算 (2)選擇最佳決策方案。 因為E(B3)maxE(Bi)18.3（千元/hm2） 所以，種植大豆為最佳決策方案。www.hpu.河南理工大學數(shù)學與信息科學學院決策準則E-V準則E-V準則：用期望與方差（度量風險）共同判決一個方案的優(yōu)劣。帕累托優(yōu)：若不存在方案al，使得方案ak的期望與風險均劣于al，稱ak為有效方案或帕累托優(yōu)。評價函數(shù)：fi(E,V)=E(ai)+i2。反映了決策人的風險態(tài)度，0風險厭惡； =0風險中立（對應于貝葉斯準則）； EV1, EV2 EV3，所以，剪掉狀態(tài)結點V1和V3所對應的方案分枝，保留狀態(tài)結點V2所對應的方案分枝。即該問題的最優(yōu)決策方案

12、應該是從國外引進生產(chǎn)線。www.hpu.河南理工大學數(shù)學與信息科學學院例4:某企業(yè)，由于生產(chǎn)工藝較落后，產(chǎn)品成本高，在價格保持中等水平的情況下無利可圖，在價格低落時就要虧損，只有在價格較高時才能盈利。鑒于這種情況，企業(yè)管理者有意改進其生產(chǎn)工藝，即用新的工藝代替原來舊的生產(chǎn)工藝。 現(xiàn)在，取得新的生產(chǎn)工藝有兩種途徑：一是自行研制，但其成功的概率是0.6；二是購買專利，估計談判成功的概率是0.8。www.hpu.河南理工大學數(shù)學與信息科學學院 如果自行研制成功或者談判成功，生產(chǎn)規(guī)模都將考慮兩種方案：一是產(chǎn)量不變；二是增加產(chǎn)量。 如果自行研制或談判都失敗，則仍采用原工藝進行生產(chǎn)，并保持原生產(chǎn)規(guī)模不變。

13、 據(jù)市場預測，該企業(yè)的產(chǎn)品今后跌價的概率是0.1，價格保持中等水平的概率是0.5，漲價的概率是0.4。 表3給出了各方案在不同價格狀態(tài)下的效益值。 試問，對于這一問題，該企業(yè)應該如何決策？ www.hpu.河南理工大學數(shù)學與信息科學學院解：這個問題是一個典型的多級（二級）風險型決策問題，下面仍然用樹型決策法解決該問題。 (1)畫出決策樹（圖3）。表3 某企業(yè)各種生產(chǎn)方案下的效益值(單位：萬元) 方案效益價格狀態(tài)（概率）www.hpu.河南理工大學數(shù)學與信息科學學院www.hpu.河南理工大學數(shù)學與信息科學學院 (2) 計算期望效益值，并進行剪枝： 狀態(tài)結點V7的期望效益值為 EV7(-200)

14、0.1+500.5+1500.465（萬元）； 狀態(tài)結點V8的期望效益值為 EV8(-300)0.1+500.5+2500.495（萬元）。 由于EV8EV7，所以，剪掉狀態(tài)結點V7對應的方案分枝，并將EV8的數(shù)據(jù)填入決策點V4，即令EV4EV895（萬元）。www.hpu.河南理工大學數(shù)學與信息科學學院 狀態(tài)結點V3的期望效益值為 EV3(-100)0.1+00.5+1000.430（萬元）。 所以，狀態(tài)結點V1的期望效益值為 EV1=300.2+950.8=82(萬元)。www.hpu.河南理工大學數(shù)學與信息科學學院 狀態(tài)結點V9的期望效益值為 EV9(-200)0.1+00.5+2000

15、.460（萬元）； 狀態(tài)結點V10的期望效益值為EV10(-300)0.1+(-250)0.5+6000.485（萬元）。 由于EV10EV9，所以，剪掉狀態(tài)結點V9對應的方案分枝，將EV10的數(shù)據(jù)填入決策點V5。 即令EV5EV1085（萬元）。www.hpu.河南理工大學數(shù)學與信息科學學院狀態(tài)結點V6的期望效益值為 EV6(-100)0.1+00.5+1000.430（萬元）， 所以，狀態(tài)結點V2期望效益值為 EV2=300.4+850.6=63(萬元)。www.hpu.河南理工大學數(shù)學與信息科學學院 由于EV1EV2, 所以，剪掉狀態(tài)結點V2對應的方案分枝將EV1的數(shù)據(jù)填入決策點EV，即

16、令 EVEV182（萬元）。 綜合以上期望效益值計算與剪枝過程可知，該問題的決策方案應該是：首先采用購買專利方案進行工藝改造，當購買專利改造工藝成功后，再采用擴大生產(chǎn)規(guī)模（即增加產(chǎn)量）方案進行生產(chǎn)。www.hpu.河南理工大學數(shù)學與信息科學學院四、靈敏度分析法 對于風險型決策問題，其各個方案的期望益損值是在對狀態(tài)概率預測的基礎上求得的。由于狀態(tài)概率的預測會受到許多不可控因素的影響，因而基于狀態(tài)概率預測結果的期望益損值也不可能同實際完全一致，會產(chǎn)生一定的誤差。 這樣，就必須對可能產(chǎn)生的數(shù)據(jù)變動是否會影響最佳決策方案的選擇進行分析，這就是靈敏度分析。 靈敏度分析www.hpu.河南理工大學數(shù)學與信

17、息科學學院例5：某企業(yè)擬擴大產(chǎn)品產(chǎn)量，現(xiàn)有兩種方案可供選擇：一是新建生產(chǎn)線；二是改造生產(chǎn)線。該企業(yè)管理者經(jīng)過研究，運用期望值決策法編制出決策分析表（表4）。由于市場情況極其復雜，它受許多不可控因素的影響，因而銷售狀態(tài)的概率可能會發(fā)生變化。試針對這種情況，進行靈敏度分析。 表4 某企業(yè)擴大產(chǎn)品產(chǎn)量決策分析表 www.hpu.河南理工大學數(shù)學與信息科學學院解:(1)以最大期望效益值為準則確定最佳方案。 E(A1)maxE(A1),E(A2)=290萬元，所以，新建生產(chǎn)線（B1）為最佳方案。 (2)靈敏度分析。當考慮市場銷售狀態(tài)中適銷的概率由0.7變?yōu)?.3時，則兩個方案的期望效益值的變化為 E(B

18、1)10萬元， E(B2)20萬元。 www.hpu.河南理工大學數(shù)學與信息科學學院 所以，在0.7與0.3之間一定存在一點P，當適銷狀態(tài)的概率等于P時，新建生產(chǎn)線方案與改造原生產(chǎn)線方案的期望效益值相等。P稱為轉移概率500P+(1-P)(-200)=300P+(1-P)(-100) P0.33 所以，當P0.33時，新建生產(chǎn)線（B1）為最佳方案； 當P0，(AkAl)=0(kl)；j(Aj)=S。稱Aj是樣本空間的一個劃分。則對任一事件B，有：www.hpu.河南理工大學數(shù)學與信息科學學院貝葉斯定理：已知(B|Aj)、(Aj)(先驗概率) (j=1,n)，求當事件B發(fā)生(隨機試驗的結果或觀察

19、值)時Ak發(fā)生的概率(后驗概率)。貝葉斯定理在決策分析中的意義：在實際決策中，我們需要準確估計的隨機變量是未來的自然狀態(tài)，而通過隨機試驗所觀察到的往往是與之相關的另一個隨機變量。例如，疾病診斷往往是通過觀察癥狀如發(fā)燒、咳嗽等來判斷其疾病如感冒、甲流。貝葉斯定理可以幫助我們判斷當出現(xiàn)發(fā)燒時患甲流的概率。貝葉斯決策分析貝葉斯定理www.hpu.河南理工大學數(shù)學與信息科學學院例：經(jīng)臨床觀察，患甲流的病人約70%發(fā)燒超過38度，患感冒的病人約40%發(fā)燒超過38度，而肺炎病人中有60%發(fā)燒超過38度。統(tǒng)計表明當前甲流發(fā)病率約15，感冒7 ，肺炎1 ?，F(xiàn)有一病人發(fā)燒超過38度，請診斷該病人最可能患上哪種疾

20、病。解：記發(fā)燒超過38度的事件為X；患甲流、感冒、肺炎分別記為A、B、C。先驗概率分別為(A)=0.015, (B)=0.007, (C)=0.001。條件概率分別為(X|A)=0.7；(X|B)=0.4；(X|C)=0.6。則(X)=0.70.015+0.40.007+0.60.001=0.0139(A|X)=0.70.015/0.0139=75.54%(B|X)=0.40.007/0.0139=20.14%(C|X)=0.60.001/0.0139=4.32%貝葉斯決策分析貝葉斯定理www.hpu.河南理工大學數(shù)學與信息科學學院貝葉斯風險：當決策人通過隨機試驗得到觀察值x后，需要根據(jù)觀察值

21、和某種決策準則選擇行動a，即a=(x)。對于自然狀態(tài)及其先驗概率()，采取策略時損失函數(shù)l(,(x)對隨機試驗結果x和自然狀態(tài)的期望值稱為貝葉斯風險，記為r()。r()=E(Ex(l(,(x)=xl(,(x)p(x|)()貝葉斯規(guī)則(正規(guī)型)：若策略空間存在某個策略*，使得對于任意其他策略，均有r(*) r()，則稱*為貝葉斯規(guī)則或貝葉斯策略。即r(*)=minr()貝葉斯決策分析貝葉斯定理www.hpu.河南理工大學數(shù)學與信息科學學院貝葉斯規(guī)則(擴展型)：在實際應用中，當行動集、狀態(tài)集、觀察值集中的元素較多時，策略集很大，獲得r()的最小值很困難，因此可對r()的計算公式進行變換：r()=x

22、l(,(x)p(x|)()=x l(,(x)p(x|)()若使 l(,(x)p(x|)()達到極小，r()必然達到最小又(x)0，所以可使 l(,(x)p(x|)()/(x)達到極小后驗概率(|x)=p(x|)()/(x)，因此r()的極小化問題轉變?yōu)榍?l(,(x)(|x)的極小化問題。貝葉斯決策分析貝葉斯定理www.hpu.河南理工大學數(shù)學與信息科學學院擴展型貝葉斯分析過程原始信息： 先驗分布()追加樣本信息： 觀察值x貝葉斯定理： 后驗概率(|x)求*： 計算r()，找出使后驗期望損失最小的貝葉斯決策分析貝葉斯定理www.hpu.河南理工大學數(shù)學與信息科學學院信息的價值：隨機試驗獲得觀察

23、值x是需要成本的，而觀察值x也可以幫助我們減少決策損失。那么隨機試驗觀察到的信息有多大價值呢？假設我們未進行任何觀察，那么根據(jù)貝葉斯準則，最小決策損失期望為：min E(li(,ai)若試驗獲得了觀察值x，則最小貝葉斯風險即為最小決策損失：min r()觀察信息的期望價值為： min E(li(,ai) - min r()j123E(ai)(j)a17344.1a26.5413.6a36503.7貝葉斯決策分析貝葉斯定理www.hpu.河南理工大學數(shù)學與信息科學學院例: (油井鉆探問題)某公司擁有一塊可能有油的土地，公司或自己開采，或以以下兩種模式出租：無條件出租，租金45萬

24、元；有條件出租，產(chǎn)量在20萬桶或以上時，每桶提成5元；產(chǎn)量不足20萬桶不提成。設鉆井費用為75萬元，采油設備費25萬元（有油時），油價為15元/桶。假設油產(chǎn)量的可能狀態(tài)及其先驗概率分布如表。若決策人風險中立，決策人該選擇什么行動？產(chǎn)油量50萬桶20萬桶5萬桶無油j1234(j)50.5貝葉斯決策分析貝葉斯定理www.hpu.河南理工大學數(shù)學與信息科學學院解：公司可采取的行動有3種：a1-自己開采；a2-無條件出租；a3-有條件出租。決策表如下(單位:萬元)：根據(jù)貝葉斯準則，方案a1效用最大，故應自己鉆井。產(chǎn)油量50萬桶20萬桶5萬桶無油期望效用j1234(j)50.5a1650200-25-7551.25a24545454545a32501000040貝葉斯決策分析貝葉斯定理www.hpu.河南理工大學數(shù)學與信息科學學院如果通過地質(zhì)勘探可以進一步了解該地區(qū)的產(chǎn)油情況，那么我們又如何決策？假設勘探成本是12萬元，統(tǒng)計表明，產(chǎn)油量與地質(zhì)構造（共四種類型,用xk表示）間的關系p(xk|j)如下表。產(chǎn)油量50萬桶20萬桶5萬桶無油j1234p(x1|j)7/129/1611/243/16p(x2|j)1/33/161/611/48p(x3|j)1/1