1、簡諧振動知識點精解簡諧振動的特征簡諧振動的定義在跟對平衡位置的位移成正比而方向相反的回復(fù)力作用下的振動，叫簡諧振動。做簡諧振動的回復(fù)力是由物體所受的合外力或某個力的分力提供。簡諧振動物體回復(fù)力的表達式為：F=-kx簡諧振動的動力學特征F=-kx式中的k為回復(fù)力與位移的比例常數(shù)(未必是彈簧的勁度系數(shù))，x是相對平衡位置的位移，負號 表示回復(fù)力的方向始終與位移方向相反。(3 )簡諧振動的運動學特征振動的位移隨時間接正弦或余弦規(guī)律變化。彈簧振子的振動過程具體情況見下表：振動物體位置位移x回復(fù)力F加速度&速度v振動勢 能振動動 能氐方向大小方向太小方向大小方向太小平衡位 go零零零vm零跖最大位格處M

2、指向MA指向KA指向KA m毒土m零Qf M指向M零f指向零fKA指向A KA m指向M零零f零MO指向M零指向零指向KA m 7指向零f零零f km單擺的周期公式單擺做簡諧振動在物理學里，單擺是實際擺的理想化，是指在一根不能伸長，又沒有質(zhì)量的線的下端系一質(zhì) 點所形成的裝置。單擺做簡諧振動的條件：振動過程中的最大編角不超過5。單擺做簡諧振動的回復(fù)力是重力mg沿圓弧切線的分力F=mgsina提供（不要誤認為是擺球所受的合外力）。當a很小時（5以下），圓弧可以近似地看成直 線，分力F可以近似地看作沿這條直線作用，OP就是擺錘偏離平衡位置的位移。如圖7-3所示。設(shè) 擺長是1，因為sinqrQr：,所

3、以：F =-號x式中負號表示力F跟位移x的方向相反。由于m、g、1都有一定的數(shù)值，mg/1可以用一個常數(shù) k來代替，所以上式可以寫成F=-kx可見，在擺角很小情況下，單擺振動時回復(fù)力跟位移成正比而方向相 反，是簡諧振動。（2）單擺的周期公式單擺周期的表達式T=27i/n在擺角很小情況下，單擺的周期跟擺長的平方根成正比，跟重力加 速度的平方根成反比，而跟擺錘的質(zhì)量和振幅無關(guān)。單擺周期的表達式T=27i/n上式只適于小擺角（5 ）的情況。根據(jù)周期公式算出的T值與實際測定值間的誤差，隨擺角 增大而增大。擺角為7時，誤差為0.1%； 15時，0.5%； 23時，1%。單擺的最大擺角應(yīng)小于 5。單擺的周

4、期在振幅較小時，與單擺的振幅無關(guān)，單擺的這種性質(zhì)叫單擺的等時性，是伽利略 首先發(fā)現(xiàn)的。式中的l應(yīng)理解為等效長度。即從懸點到擺球質(zhì)心的距離。式中g(shù) 一般為當?shù)氐闹亓铀俣?。若單擺所處的物理環(huán)境發(fā)生了變化（如放在加速的車上，或 將單擺放到其他場中等），單擺的周期仍可用丁 = 2兀?1計算，這時只要將融成視重加速度即可.擺的視重加速度等于擺錘相對懸點靜止時，懸繩的拉力與擺錘質(zhì)量的比值。簡諧振動的圖象（1）表示振動物體的位移隨時間變化規(guī)律，它形象地反映出振動的各物理量隨時間的關(guān)系，是掌 握振動的有力工具。(2)簡諧振動的位移一一時間圖象是按正弦(或余弦)規(guī)律變化的。簡諧振動圖象的意義直接從圖象上讀出振

5、幅(注意單位)。直接從圖象上讀出振動周期。確定任意時刻物體相對平衡位置的位移。判斷任一時刻物體的振動速度方向(總是指向下一時刻的位置)和加速度方向。判定某一段時間內(nèi)振動物體的速度、加速度、動能及勢能大小的變化情況。受迫振動、共振物體在周期性外力(叫驅(qū)動力)作用下的振動叫做受迫振動。物體做受迫振動的頻率等于驅(qū)動力的頻率，而跟物體的固有頻率沒有關(guān)系。共振受迫振動的頻率雖然與物體的固有頻率沒有關(guān)系，但受迫振動振幅與物體的固有頻率有關(guān)， 圖7-4中反映出受迫振動的振幅隨驅(qū)動力頻率的變化關(guān)系。圖7-4圖7-4A受迫振動的振幅共振是受迫振動的特例。當驅(qū)動力的頻率跟物體的固有頻率相等時，受迫振動的振幅最大，

6、 這種現(xiàn)象叫共振。發(fā)生共振時，一個周期內(nèi)，外界提供的能量等于振動系統(tǒng)克服阻尼而耗散的能量?！纠?】 一質(zhì)點作簡諧振動，先后以相同的動量依次通過A、B兩點，歷時1秒，質(zhì)點通過B 點后再經(jīng)過1秒鐘又第2次通過B點，在這兩秒內(nèi)，質(zhì)點通過的總路程為12厘米，則質(zhì)點的振動周 期和振幅為A. 3秒，6厘米；B. 4秒，6厘米；C. 4秒，9厘米；D. 2秒，8厘米。【分析思路】 質(zhì)點作簡諧振動可以看成圖7-5所示的情形。質(zhì)點作簡諧振動時，關(guān)于平衡位 置的O點物理量具有對稱性。質(zhì)點在A點B點的動量相同，說明A、B兩點關(guān)于O點對稱。當再次經(jīng) B點時時間與B到A的時間相等，則質(zhì)點是經(jīng)最右端后直接到達B點的。從B

7、點到C點和從C到B點 具有等時性，且DA與BC在O兩側(cè)也具有對稱性。即BC與DA距離相等。?!?匚圖7-5【解題方法】充分利用簡諧振動過程中的對稱性。即利用速度、動量、加速度的關(guān)系找出位置、位移、時間和能量的對稱，反之亦可以?！窘忸}】由于A、B兩點動量相同，所以B、A兩點關(guān)于O點對稱，即SAO=SOB，tAO=tOB。質(zhì)點從B再回到B的時間關(guān)于C點對稱即tEC =tCEo所以質(zhì)點從0點到C點所用時間為 =臨+虹=1秒，故T = 4秒質(zhì)點從A到B經(jīng)C后再到B點，由于對稱就等效于質(zhì)點從D點過O后到C點，即2A=SAC+SCB=12 厘米，所以A=6厘米。所以答案選B?！纠?】 甲、乙兩只相同的擺鐘

8、同時計時，當甲鐘指示45分鐘時，乙鐘已指示1小時，則甲、 乙兩鐘的擺長之比為L甲：L乙=?！痉治鏊悸贰坑蓴[鐘的計時原理知道，擺鐘只所以能夠計時，是利用擺振動過程中所用的時間與表盤面上所顯示的時間相等。即擺每振動一次所用的時間（即擺的周期）與表指針指示數(shù)據(jù)相同， 這就是標準鐘的設(shè)計。設(shè)計好的表由于機械結(jié)構(gòu)已定，當由于外界因素的影響（如溫度的變化，影響 l的變化；或由于地理位置變化而影響g的大?。瑢е聰[的振動周期變化時，在一定時間內(nèi)，擺的 振動次數(shù)與設(shè)計的振動次數(shù)就不再相符，但機械結(jié)構(gòu)已定的鐘不論擺的周期有多大，它總是按設(shè)計好 的每振一次的時間進行顯示。即每振一次所顯示的時間都是標準鐘的周期。這

9、樣相同時間內(nèi)振動次數(shù) 多的（與標準鐘比較）顯示的時間也多，表快（此鐘的周期小于標準鐘的周期）。相反，相同時間內(nèi)振動 次數(shù)少的顯示的時間也少，表慢了。本題兩鐘所用時間相同，但顯示的時間各不相同，無法判斷那只表準確，也可能都不準確。但 表是相同的，即設(shè)計是一樣的，擺每振動一次所顯示的時間是一樣的。表所顯示的時間就是擺的振動 次數(shù)與標準鐘的周期的乘積?！窘忸}方法】由單擺的周期公式計算出每只擺的周期。因甲、乙及標準鐘所用的時間相同，根據(jù)鐘的設(shè)計原理表達出甲、乙鐘所顯示的時間，從而計算擺長關(guān)系。解此題時，不少學生誤將顯示的時間當成擺的周期（或周期的倍數(shù)），要引起注意?！窘忸}】設(shè)甲、乙鐘經(jīng)過的時間為t，周

10、期分別為T1、T2,標準鐘的周期為T0，則兩鐘顯示的時間為：.如=&由 T = 2/77L 甲：L己=t* ： t； = 16 ： 9【例3】 如圖7-6所示，質(zhì)量為m的木塊放在豎直的彈簧上，m在豎直方向做簡 諧振動，當振幅為A時，物體對彈簧的壓力最小值為物體自重的0.5倍，則物體對彈簧壓 力的最大值為 ，欲使物體在振動中不離開彈簧，其振幅不能超過 。【分析思路】物體m放在彈簧上讓其緩慢下落，當重力mg與彈力kx相等時，物體處于平衡。在此位置對物體施加向下的壓力，使物體下移位移A時，撤去外力F，物體m將在豎直方向做簡諧振 動。在振動過程中物體受重力和彈力作用，當壓縮最小時，物體和彈簧的相互作用

11、力最小，應(yīng)在平衡 位置上方；當壓縮量最大時，物體和彈簧的相互作用力最大，此位置應(yīng)在平衡位置下方，且最小作用 力和最大作用力的位置關(guān)于O點對稱，離開平衡位置的距離均為A。若要m在振動過程中不脫離，則物體m與彈簧的相互作用力達最小，即N=0。所以最大振幅即為 物體m平衡時的壓縮量?！窘忸}方法】應(yīng)用平衡求物體的壓縮量。物體m在振動過程中的最高點和最低點合外力可表示為kA，均由重力及彈力提供，即應(yīng)用kA=F合求解。【解題】如圖7-7所示，物體m在最高點時彈力為N1(壓力的反作用力)，最低點時彈力大小為N2，由回復(fù)力的來源得： TOC o 1-5 h z kA = mg - N!(1)kA = N2 -

12、mg聯(lián)立(1)(2)得 N2=2mg-N=1.5mg由牛頓第三定律知最低點時物體m對彈簧的壓力，即最大壓力為1.5mg。設(shè)m能達到的最大振幅為A，則& =mg(3)由(1)(3)聯(lián)立得A =2A?！纠?】 如圖7-8所示，一塊涂有碳黑的玻璃板，質(zhì)量為2千克，在拉力F的作用下由靜止 開始豎直向上作勻變速運動，一個裝有指針的振動頻率為5赫的電動音叉在玻璃板上畫出如圖所示的 曲線，量得OA=1厘米，OB=4厘米，OC=9厘米，則外力F的大小為多少牛？【分析思路】電動音叉所做的振動為簡諧振動，若玻璃板不動，則振針在在平衡位置附近振動，軌跡重合，為了能將振動位移隨時間形象的表達出來就要建立時間軸。描述時

13、間軸的辦法是讓板 勻速運動。由于時間均勻流失，所以利用S=vt，就可以用S軸來代替時間軸，這樣形成的x-S圖象 就是我們看到的x-t的振動圖象，圖象為正(余)弦曲線。若板的運動是勻加速的，則S軸就不能代表 時間軸，它只能反映在振針振動過程中，在某時間內(nèi)的位移。它巧妙的應(yīng)用了振動的等時性，記下了 半個周期內(nèi)板的位移?！窘忸}方法】振針在振動過程，每次經(jīng)過平衡位置的時間為振動的半個周期。由于物體做初速度為零的勻加速度運動，所以在相同時間內(nèi)位移之比為1 ： 3 ： 5 ：，或 S=aT2，由牛頓第二定 律可求出玻璃加速時需要的外力。驪題振動的振針每經(jīng)過t = ? = * = o. 1秒一次平衡位置，由

14、于板作勻加速直線運動，所以：玻璃板在拉力F作用下運動，由牛頓第二定律得：F - mg = ma(2)ASF=tng+tn-ASF=tng+tn-2X IQ-2 土 =小10 + 2乂（S 淀=24（牛）【例5】 密度為p，邊長為a的均勻木塊，靜止浮于水面上，木塊的一半露在水面外.現(xiàn)將木塊向下按距離然后釋放,使木塊在水面上振動。設(shè)水的密度為p (p 0p )，水的阻力不計，試證明木塊的振動是簡諧振動?！痉治鏊悸贰?木塊放在水中，由于木塊密度小于水的密度，木塊浮于水面上而處于平衡，即 重力與浮力相等。木塊下按任意位移釋放x時，仍受重力和浮力，浮力要大于重力，合力指向平衡位 置與位移方向相反。只要求

15、出合力的大小與x成正比，則可以說明木塊的振動為簡諧振動?！窘忸}方法】物體做簡諧振動的充要條件是回復(fù)力F=-kx，根據(jù)物體的平衡及下移x時的受力求木塊的回復(fù)力的表達式?！窘忸}】木塊靜止在水面時，受到向上的浮力耳=|p招/和向下的重力G=p ga3作用，根據(jù)共點力的平衡條件有 TOC o 1-5 h z P ga3 - | P 0ga3 = 0將木塊下按至偏離靜止位置(即平衡位置)的位移為或eV 時，其 回復(fù)力F由木塊所受浮力F2= P0ga2(p + x)和重力G= Pg的合力提 供。設(shè)向下為正方向，則有F= P ga3 - P 0ga2(|a+x)由(1)(2)得 F=-p 0ga2x由木塊和

16、水組成的振動系統(tǒng)來說，上式中p 0ga2為恒量，設(shè)k=p 0ga2，則F=-kx上式表明維持木塊振動的回復(fù)力滿足作簡諧振動的條件，由此證明木塊的 振動是簡諧振動?！纠?】 如圖7-9所示，AB為半徑R=7.50米的光滑圓弧形導軌，BC忤V/為長S=0.900米的光滑水平導軌，在B點與圓弧導軌相切。BC離地面高度h=1.80o百米。一質(zhì)量m=0.100千克的小球1置于C點，另一質(zhì)量m2=0.200千克的小球2 E置于B點：現(xiàn)給小球1 一個瞬時沖量使它獲得大小為0.900米/秒的水平速度， 叫當小球1運動到B時與小球2發(fā)生正碰。如果碰撞過程中沒有機械能損失，求圖T-9(1)兩球落地的時間差 t。(

17、2)兩球落地點之間的距離S。【分析思路】 小球1獲得一定速度后沿光滑水平面向B點的球2運動，在B點與球2發(fā)生正 碰。由碰撞過程中滿足動量和機械能守恒，碰后1球返回速度為V1，2球以速度V2沿圓弧向上 滑動。小球2在圓弧上運動過程中受力如圖7-10所示(b)，與單擺的受力情況(圖中7-10(a)相比，兩者是相似的，只要能求出小球2在圓弧上運動到最高點時所對應(yīng)的圓心角。W5，則可以把小球 2在圓弧上的運動過程看作是相當于一個擺長為R的單擺的簡諧振動。小球2滑上弧面后再滑回B點 （在圓弧上的時間只能用簡諧振動求）時速度大小與碰后相等。BC段1球、2球均為勻速運動，從C點 滑下后均為平拋運動，速度分別

18、為V1和V2，下落高度相同?！窘忸}方法】 小球1與小球2發(fā)生碰撞時，滿足動量守恒和機械能守恒，球1到c點時間為t】=號;球2沿弧面向上完成!的簡諧振動振動（需要證明），時間為t2，回到B點又以V2通過BC，時間為t2，由于平拋下落時間 相同，所以落地時間差為 t=t2 +t1/ -t10兩球落地時的位移差為兩球以速度V 1和V 2的水平射程之差:BPAS=|V/ |-|V/ | K【解題】 （1）以小球1原來的運動方向為矢量的正方向。由系統(tǒng)的動量守恒和機械能守恒可 列出：聯(lián)立（1）（2）得:V/（m】-mQ0.1- 0.2V/研=X 0.900mi + m20.1 + 0.2= -0.300（米/秒）2X0.1業(yè).+跖=和節(jié)=0.600（米/秒）m1 + m2 0.1 + 0.2小球1由E點返回C點的時間允=鬲小球2沿圓弧上升時由于小球2的機械能守恒可得:壬=nigR(l