1、13.5.3角平分線的性質(zhì)13.5.3角平分線的性質(zhì)回憶 我們已經(jīng)知道角是軸對稱圖形，角平分線所在的直線是角的對稱軸。如圖，OC是AOB的角平分線。探索 點P是射線OC上的任意一點，過點P作PDOB，PE OA,點D、E為垂足，測量PD、PE的長PAOBCED 觀察測量結(jié)果，猜想線段PD與PE的大小關(guān)系？PD=PE回憶 我們已經(jīng)知道角是軸對稱圖形，角平分線所在的直結(jié)論：角平分線上的點到角的兩邊的距離相等題設(shè)：一個點在一個角的平分線上結(jié)論：它到角的兩邊的距離相等已知：OC是AOB的平分線，點P在OC上，PD OA ，PE OB，垂足分別是D、E.求證：PD=PE.AOBPED PDOA，PEOB

2、,證明： PDO= PEO= 90在POD和POE中 PDOPEO（AAS） PDOPEO AOCBOCOP=OP PDPE結(jié)論：角平分線上的點到角的兩邊的距離相等題設(shè)：一個點在一個角角平分線的性質(zhì)定理：角平分線上的點到角的兩邊的距離相等。BADOPEC定理應(yīng)用所具備的條件：定理的作用： 證明線段相等。用幾何語言表示： PD = PE（角平分線上的點 到這個角的兩邊的距離相等。）推理的理由有三個，必須寫完全，不能少了任何一個。（2）距離必須是垂直距離（1）必須是角平分線上的點 OC是AOB的角平分線PD OA ，PE OB角平分線的性質(zhì)定理：角平分線上的點到角的兩邊的距離相等。BA 如圖，AD

3、平分BAC（已知） = ，( ) 在角的平分線上的點到這個角的兩邊的距離相等。BD CD（）練習：判斷 如圖，AD平分BAC（已知） AD平分BAC, DCAC，DBAB （已知） = ，（ ） DBDC在角的平分線上的點到這個角的兩邊的距離相等。不必再證全等 AD平分BAC, DCAC，DBAB （已知） 如圖， DCAC，DBAB （已知） = ，( ) 在角的平分線上的點到這個角的兩邊的距離相等。BD CD（） 如圖， DCAC，DBAB （已知） PD=PE=PF.練習 教材P98練習1 2（2）若AB=10cm，DBE的周長= 。點P是射線OC上的任意一點，過點P作PDOB，PE O

4、A,點D、E為垂足，測量PD、PE的長反過來，到一個角的兩邊的距離相等的點是否一定在這個角的平分線上呢？ 如圖，AD平分BAC（已知）3：角平分線的判定結(jié)論：一處 B.結(jié)論：角平分線上的點到角的兩邊的距離相等 OC是AOB的角平分線已知：OC是AOB的平分線，點P在OC上，PD OA ，PE OB，垂足分別是D、E.角的平分線上的點到角的兩邊的距離相等1、如圖,求作一點P,使PC=PD,并且點P到AOB的兩邊的距離相等. AD平分BAC, DCAC，DBAB （已知） PDOA，PEOB，PDPE例1、已知：AB=AC，BD=CD， DE AB于點E，DF AC于點F。求證：DE=DF PD=

5、PE=PF.例1、已知：AB=AC，BD=CD， ，1、在RtABC中，BD是角平分線，DEAB，垂足為E，DE與DC相等嗎？為什么？ ABCDE 2、如圖,OC是AOB的平分線,點P在OC上,PDOA,PEOB,垂足分別是D、E,PD=4cm,則PE=_cm.ADOBEPC知識應(yīng)用DE=DC4cm，1、在RtABC中，BD是角平分線，DEAB，垂足為E3、如圖在ABC中C=900，AC=BC，AD平分CAB，交BC于點D，DEAB于點E。（1）若AC=6cm，則DE+BD= 。（2）若AB=10cm，DBE的周長= 。 6cm10cm3、如圖在ABC中C=900，AC=BC，AD平分CA3、

6、如圖在ABC中C=900，AC=BC，AD平分CAB，交BC于點D，DEAB于點E。在角的平分線上的點到這個角的兩邊的距離相等。三角形的三條角平分線相交于一點。3、如圖在ABC中C=900，AC=BC，AD平分CAB，交BC于點D，DEAB于點E。這樣，我們又可以得到一個結(jié)論：求證：點Q在AOB的平分線上觀察測量結(jié)果，猜想線段PD與PE的大小關(guān)系？BC、CA，垂足分別為D、E、F3、如圖在ABC中C=900，AC=BC，AD平分CAB，交BC于點D，DEAB于點E。 AD平分BAC, DCAC，DBAB （已知）點P是射線OC上的任意一點，過點P作PDOB，PE OA,點D、E為垂足，測量PD

7、、PE的長到角的兩邊的距離相等的點在角平分線上。點Q在AOB的平分線上在角的平分線上的點到這個角的兩邊的距離相等。這樣，我們又可以得到一個結(jié)論：即點P到邊AB、BC、 CA的距離相等例1、已知：AB=AC，BD=CD， DE AB于點E，DF AC于點F。 反過來，到一個角的兩邊的距離相等的點是否一定在這個角的平分線上呢？ 已知：如圖,QDOA，QEOB，點D、E為垂足，QDQE求證：點Q在AOB的平分線上思考3、如圖在ABC中C=900，AC=BC，AD平分CA證明: QDOA，QEOB（已知）， QDOQEO90（垂直的定義）在RtQDO和RtQEO中 QOQO（公共邊） QD=QE Rt

8、QDORtQEO（HL） QODQOE 點Q在AOB的平分線上已知：如圖,QDOA，QEOB，點D、E為垂足，QDQE求證：點Q在AOB的平分線上證明: QDOA，QEOB（已知），已知：如圖,QD這樣，我們又可以得到一個結(jié)論： 到角兩邊距離相等的點在角的平分線上。BADOPEC PDOA，PEOB，PDPE點Q在AOB的平分線上用幾何語言表示：這樣，我們又可以得到一個結(jié)論： BADOPEC PDOA例 已知：如圖，ABC的角平分線BM、CN相交于點P.求證：點P到三邊AB、BC、CA的距離相等.ABCPMNABCPMN例 已知：如圖，ABC的角平分線BM、CN相交于點P.求證：點P到三邊AB

9、、BC、CA的距離相等.證明：過點P作PD 、PE、PF分別垂直于AB、 BC、CA，垂足分別為D、E、FFDEDE BM是ABC的角平分線，點P在BM上 PD=PE 同理 PE=PF. PD=PE=PF. 即點P到邊AB、BC、 CA的距離相等想一想，點P在A 的 平分線上嗎？這說明三角形的三條角平分線有什么關(guān)系？三角形的三條角平分線相交于一點。例 已知：如圖，ABC的角平分線BM、CN相交于點P.例2、如圖，在ABC中，D是BC的中點，DEAB，DFAC，垂足分別是點E，F(xiàn)，且BECF。求證：AD是ABC的角平分線。ABCEFD例2、如圖，在ABC中，D是BC的中點，DEAB，DF練習 教

10、材P98練習1 2練習 教材P98練習1 22、如圖，為了促進當?shù)芈糜伟l(fā)展，某地要在三條公路圍成的一塊平地上修建一個度假村.三角形的三條角平分線相交于一點。 如圖，AD平分BAC（已知）反過來，到一個角的兩邊的距離相等的點是否一定在這個角的平分線上呢？結(jié)論：角平分線上的點到角的兩邊的距離相等三角形的三條角平分線相交于一點。已知：如圖,QDOA，QEOB，求證：點Q在AOB的平分線上結(jié)論：角平分線上的點到角的兩邊的距離相等這樣，我們又可以得到一個結(jié)論：點Q在AOB的平分線上點D、E為垂足，QDQE QDOQEO90（垂直的定義）在RtQDO和RtQEO中要使這個度假村到三條公路的距離相等,應(yīng)在何

11、處修建? QDOQEO90（垂直的定義）在RtQDO和RtQEO中這樣，我們又可以得到一個結(jié)論：這樣，我們又可以得到一個結(jié)論：1、如圖,求作一點P,使PC=PD,并且點P到AOB的兩邊的距離相等. CDABO拓展與延伸2、如圖，為了促進當?shù)芈糜伟l(fā)展，某地要在三條公路圍成的一塊平2、如圖，為了促進當?shù)芈糜伟l(fā)展，某地要在三條公路圍成的一塊平地上修建一個度假村.要使這個度假村到三條公路的距離相等,應(yīng)在何處修建?2、如圖，為了促進當?shù)芈糜伟l(fā)展，某地要在三條公路圍成的一塊平3、直線表示三條相互交叉的公路,現(xiàn)要建一個貨物中轉(zhuǎn)站,要求它到三條公路的距離相等,則可供選擇的地址有:( ) A.一處 B. 兩處

12、C.三處 D.四處分析:由于沒有限制在何處選址,故要求的地址共有四處。D3、直線表示三條相互交叉的公路,現(xiàn)要建一個貨物中轉(zhuǎn)站,要求它小結(jié):1：畫一個已知角的角平分線；及畫一條已知直線的垂線；2：角平分線的性質(zhì)：角的平分線上的點到角的兩邊的距離相等3：角平分線的判定結(jié)論：到角的兩邊的距離相等的點在角平分線上。小結(jié):1：畫一個已知角的角平分線；及畫一條已知直線的垂線；2 PD=PE=PF.證明: QDOA，QEOB（已知）， PD=PE=PF.到角的兩邊的距離相等的點在角平分線上。點D、E為垂足，QDQE兩處 C.QOQO（公共邊） QD=QE RtQDORtQEO（HL）點Q在AOB的平分線上要

13、使這個度假村到三條公路的距離相等,應(yīng)在何處修建?定理應(yīng)用所具備的條件： PDOPEO（AAS）三角形的三條角平分線相交于一點。結(jié)論：它到角的兩邊的距離相等BM是ABC的角平分線，點P在BM上2、如圖，為了促進當?shù)芈糜伟l(fā)展，某地要在三條公路圍成的一塊平地上修建一個度假村.（2）距離必須是垂直距離結(jié)論：它到角的兩邊的距離相等 = ，( )3：角平分線的判定結(jié)論：三處 D.例 已知：如圖，ABC的角平分線BM、CN相交于點P.題設(shè)：一個點在一個角的平分線上觀察測量結(jié)果，猜想線段PD與PE的大小關(guān)系？在角的平分線上的點到這個角的兩邊的距離相等。如圖，OC是AOB的角平分線。三角形的三條角平分線相交于一

14、點。在POD和POE中3、如圖在ABC中C=900，AC=BC，AD平分CAB，交BC于點D，DEAB于點E。觀察測量結(jié)果，猜想線段PD與PE的大小關(guān)系？想一想，點P在A 的 平分線上嗎？這說明三角形的三條角平分線有什么關(guān)系？ = ，( )即點P到邊AB、BC、 CA的距離相等即點P到邊AB、BC、 CA的距離相等我們已經(jīng)知道角是軸對稱圖形，角平分線所在的直線是角的對稱軸。點Q在AOB的平分線上觀察測量結(jié)果，猜想線段PD與PE的大小關(guān)系？PD=PE例2、如圖，在ABC中，D是BC的中點，DEAB，DFAC，垂足分別是點E，F(xiàn)，且BECF。已知：如圖,QDOA，QEOB， 如圖，AD平分BAC（已知）結(jié)論：角平分線上的點到角的兩邊的距離相等 AOCBOC例 已知：如圖，ABC的角平分線BM、CN相交于點P.分析:由于沒有限制在何處選址,故要求的地址共有四處。BC、CA，垂足分別為D、E、F 如圖，AD平分BAC（已知）3、直線表示三條相互交叉的公路,現(xiàn)要建一個貨物中轉(zhuǎn)站,要求它到三條公路的距離相等,則可供選擇的地址有:( ) A.一處 B.這樣，我們又可以得到一個結(jié)論：求證：點P到三邊AB、BC、CA的距離相等.結(jié)論：它到角的兩