1、y pyq y pyq y f(稱p1q 是Px 無關(guān)的常數(shù)，二階常系數(shù)線性否則稱為系數(shù)線性方 程一般地， n階線性微分方程y( p (x) y(n1) p (x) y f(1ny p(x) yq(x) y 二階齊次y p(x) yq(x) y 二階齊次y1，y2 y pxyqxy 0的解定理C1y1 C2 y2 也是它其中C1，C2 為任C1y1 C2 y2 O一定是通解注(1)例因?yàn)镃1，C2 可能O獨(dú)y1 sin2x Py2 sin xcosx 均是齊次(5)的特解則C1y1 C2 C1sin2xC2 sinxcos(C 1)sin2122y 0y pxyqxy 0的解，稱為二階齊次線性

2、方程解的結(jié)構(gòu)定對區(qū)間I P的y1x),y2( x)，其中之一是另定對區(qū)間I P的y1x),y2( x)，其中之一是另一y1(y2(x)k， y1(x) y2(即或常數(shù)倍P線性相關(guān)，則稱 y1x)1y2x) 在區(qū)間否則稱它們線性無關(guān) (或線性獨(dú)立y1 sinxy2 cosx，y1 Py2 線性無關(guān)tan例O是常數(shù)注線性無關(guān)的兩個函數(shù)都O為零線性無關(guān)，兩個任意常數(shù)O會合并在一y1，y2 y pxyqxy 0的兩個線性無關(guān)的特解C1 y1 C2 是齊次方程的通解，其中C1，C2 為任意常y 4y5y 求方程的通解例(y y 4y5y 求方程的通解例(y y)5(y y 4y5解即 y y)5(y y

3、0yy0，特解y1 ey 4y5y(y 5y)(y5y) 又即 y5y)y5y 0， e5e e6由1y1Py2線性O(shè)是常數(shù)e5 因l通解y C1ex C2e5x線性相關(guān)P無關(guān)的概念推廣到n 個函數(shù)的情形y線性相關(guān)P無關(guān)的概念推廣到n 個函數(shù)的情形y1，y2，yn 定義在區(qū)間 I P，若存在O0n 個數(shù)C1，C2，CnC1y1C2y2Cnyn 0，則否則稱為線性無關(guān)在區(qū)間IP線性相關(guān) 構(gòu)如果函數(shù)y1x), y2x, ynx是方y(tǒng)(n)p(x)y(n1) p (x)y 1n的 n 個線性無關(guān)的特解，則y(x) C1y1(x)C2 y2(x)Cn yn(xC是該方程的通解且包含了方程的所有解為任意

4、常數(shù)二階非齊次線性方程y p(x) yq二階非齊次線性方程y p(x) yq(x) y f(6) 的一個解則f(分析y1 y1p(x)y1q(x)y1 則若是 方程的一個解，y2p(x)y2 q(x)y2 y1 y2 滿足(y1 y2) p(x)(y1 y2)q(x)(f(從 y2y1 y2 y pxyqxy 0如果函數(shù)y1x) 和 y2如果函數(shù)y1x) 和 y2 x) 是非齊次方程(6的任意兩個,則 y1x) y2 (x) 是非齊次方程(6) 所對應(yīng)齊次方程 (5的解定理(非齊次方程解的結(jié)構(gòu)理)若yc x) 是齊次方程 (5的通yp x) 是非齊次方程 (6yc xyp x) 是非齊次方程(

5、6的通解一個特解，1xe2e3e3xx1)2已y1255 1xe2是1xe2e3e3xx1)2已y1255 1xe2是方程 y y 6y e2x 的O個特解寫出方程通解y35y y6y 解易知對應(yīng)齊次方程的兩個特解1xe2x) 2e3(e3y x1)e242151e251xe25e31xe25y e3 e3513所求通解為1e2x)51xe25(e3 e3 y12y y6y e2x sin x其y y6y e2x sin x其解的情況如何？考慮若方程y1 y y6y e2x的一個解則設(shè)yy6 e2111y2 是方程y y6ysinx的一個解，則y2y26y2 sin設(shè)y1 y2 滿(y1 y2) (y1 y2)6(y2) e2x siny y6ye2x的一個特解Py y6ysin的一個特解之和是P述方程的特