1、第二章自回歸移動平均模型些金融時間序列的變動往往呈現(xiàn)出一定的平穩(wěn)特征，由 模型Box和Jenkins創(chuàng)立的ARMA 就是借助時間序列的隨機性來描述平穩(wěn)序列的相關性信息，行建模和 并由此對時間序列的變化進 預測。第一節(jié)ARMA模型的基本原理ARMA模型由三種基本的模型構成：自回歸模型(AR, Auto-regressive Model)，移動平 均模型(MA， Moving Average Model)以及自回歸移動平均模型(ARMA，Auto-regressive Moving Average Model)。2.1.1自回歸模型的基本原理AR模型的基本形式AR模型的一般形式如下：辦乂1辦2辦上

2、%申；t TOC o 1-5 h z 其中，c為常數(shù)項，1, 2“ 模型的系數(shù)，；t為白噪聲序列。我們稱上述方程為p階自回歸模型，記為AR(P)。AR模型的平穩(wěn)性此處的平穩(wěn)性是指寬平穩(wěn)，即時間序列的均值，方差和自協(xié)方差均與時刻無關。即若時間序列%是平穩(wěn)的，即 E(*k Var (Yt2，Cov, y)=。為了描述的方便，對式(2.1 )的滯后項引入滯后算子。若yxj定義算子“ L”，r_k使得yt =Lxt二為4 L稱為滯后算子。由此可知，L A=Xto對于式子(2.1),可利用滯后算子改寫為：yt=c %2L2%plp%t移項整理，可得：(1-X- 2L2 - - pLp)yt 二 c ；t

3、AR(P)的平穩(wěn)性條件為方程1 - 1L - qL2 -中卜。的解均位于單位圓外。3. AR模型的統(tǒng)計性質(zhì)AR模型的均值。假設AR(P)模型是平穩(wěn)的，對AR(P)模型兩邊取期望可得：根據(jù)平穩(wěn)序列的定義知，E(yJ = - I ,由于隨即干擾項為白噪聲序列，所以E(； J = O,因此上式可化簡為：(1 - 1 -2-.-卜八 01 % -%-_pAR模型的方差。直接計算AR(P)模型的方差較困難，這里引入Green函數(shù)。AR(P )模型可以改寫成如下形式：設l-p為平穩(wěn)AR(P)模型的反特征根，則P:J(L) =1 X- 2L2 -川一PLp【(1-)oi =1進一步，ytPk-ti = 11

4、，ytPk-ti = 11，-iLimj=oj=Oimki訂tGj：；t_jj =0因為，均在單位圓內(nèi)，所 p其中，k為常數(shù)，GjA. k.j，P稱為因為，均在單位圓內(nèi)，所 p11 1 i =1以Green函數(shù)是呈負指數(shù)下降的。對上式兩邊取方差，可得:C3O var(y) =、qvar(；)j=0由于隨機干擾項為白噪聲序列，所以var(； J=匚2。因為Green函數(shù)是呈負指數(shù)下降，-2所以G.：:，這說明平穩(wěn)時間序列方差有界，且等于常數(shù)、Gj務2。j =0j=P自協(xié)方差函數(shù)。假設將原序列已經(jīng)中心化，貝VE(yt)=0,則對AR( P)模型等號兩邊同時乘以y上(-k _1)，兩邊取期望得： t

5、E(ytytjJ = 土卜少-)jEWfytjJ . pE(yt_pytjJ Eg)因為當期的隨機干擾項與過去的時間序列值無關，所以：E(； tyt上)=。因此，上式可以化為：G 二jr 2.其中秩表示k階自協(xié)方差。2.1.2移動平均模型的基本原理MA模型的基本形式MA模型的一般形式如下：辦=其二2 ； 2.乜2其中，U為常數(shù)項，RC2.Jp為模型的系數(shù)，；t為白噪聲序列。我們稱上述方程為q階移動平均模型，記為MA(q)。2、MA模型的可逆性對于一個MA( q)模型：yt 一 U ；t 7 2 2 2.Tq ； tT將其寫成滯后算子的形式：*比(1F2,qLq)；若方程1 . IL2TqLq=

6、0的根全部落在單位圓外，則稱MA模型是可逆的?？赡嫘钥梢员ＷCMA模型可以改寫成：(四 M 即MA模型可以轉(zhuǎn)化為AR模型，同時可以保證參數(shù)估計的唯一性。3、MA模型的數(shù)字特征均值當q ：:時，對于一般的MA (q)模型:A-t J A2 -t _2 L 入百寸 _q兩邊取期望，可得:E (E (yJ = E (u “；2 I ； t,* LVq ；餌二 U即一般的MA (q)模型的期望值即為模型中的常數(shù)項。方差對MA(q)模型，兩邊取方差:Var (yt)=Var (u t:勺口：*2 t2 .為戈衛(wèi))=(1 W協(xié)方差函數(shù)rk 二Elyy 上)=E (u .上 T tJ 二 t 2 .F ； t

7、)(uy T 2 上 V舄化簡可得:匚 2 (1 V2川v：),k =0k 二FT 1 川啟山),0 你0,k q2.1.3自回歸移動平均模型的基本原理1、ARMA模型的基本形式ARMA模型的一般形式如下：Vt 二 C 2 丫 2 ； t 二 1 ； 2 二 2 2 一二 p ； tT顯然ARMA (p,q)模型可看成是AR (p)模型和MA (q)模型相結合的混合形式。2、ARMA模型的平穩(wěn)性和可逆性對于一個ARMA ( p, q)模型，Vt=C1丫 22 人；t 二 1 ； t J 二 2 2 f p將其寫為滯后算子的形式：(1 一上一 L -1 一 L ) V - c (1 JL ALL

8、 L )十2 p p t2 jq q t兩邊同時除以(1 - L - ； L2-L-Lp)yt 一 (l) ； t 其中：叫)二由此可以看出，ARMA模型的平穩(wěn)性完全取決于AR(p)模型的參數(shù)，與MA (q)模型的參數(shù)無 關。類似地，ARMA模型的可逆性完全取決于MA( q)模型的參數(shù)，與AR ( p)模型的參數(shù) 無關。3、ARMA模型的數(shù)字特征期望對于一個一般的ARMA(p,q)模型兩邊同時取期望，化簡得：E (yJ =自協(xié)方差函數(shù)島E (yt y 十)=E(藝 G J)(無 Gjflt*Jq時，自相關函數(shù)為 0,也就是說MA (q)模型的自相關函數(shù)在 根據(jù)ARMA模型的自協(xié)方差函數(shù)，不難得

9、到ARMA模型的自相關函數(shù)：q步以后是QO./ 為 GjGi*4 =二k :.、Gi2i =0由此可以看出，ARMA模型的自相關函數(shù)不具有截尾性。事實上，ARMA模型若滿足可逆性，其形式相當于一個無窮階的AR模型，因此自相關函數(shù)與AR模型一樣具有拖尾性。偏自相關函數(shù)(PACF1、偏自相關函數(shù)的定義自相關函數(shù)卜；不能純粹地表示霜與之間的相關性，兩者的相關性還會受到：遼-；加護-的間接影響，為了單純地表示.與：之間的相關性，這里引入偏自相關函數(shù)。偏自相關函數(shù)表示在固定沁I的情況下豁與聘出之間的相關性。下面介紹偏自相關函數(shù)Lhj的計算方法。設序列yt可由下回歸方程估計:Vt=偏自相關函數(shù)Lhj的計算

10、方法。設序列yt可由下回歸方程估計:Vt=時 Vt i* 人紈2 . IH . kVt上 1.Vt 士“ a根據(jù)回歸方程的性質(zhì)，式中估計系數(shù)翠慝即為偏自相關函數(shù)。為了估計回歸系數(shù)，采用OLS方法，即L = E( yt - klytl - k2 yL = E( yt - klytl - k2 yt _2對L關于各回歸系數(shù)求偏導，可得到以下方程組:,2HIkk 譏:2 = klil : %k2i0H 1 kkik2kp后等于0,即AR(p)模型的偏自相關函數(shù)具有截尾性。事實上，AR模型偏相關函數(shù)的截尾性也可直接從該模型的表達式看出。AR( p)模型實質(zhì)上假設序列至多只與滯后p階的值相關，因此偏自相

11、關函數(shù)至多在p階處非0。3、MA (q)和ARMA ( p, q)的偏自相關函數(shù)由于MA (q )和ARMA ( p, q)相當于無窮階的AR模型，因此這兩個模型的偏自相 關函數(shù)均不具有截尾性，而是拖尾性。221.3 ARMA模型自相關系數(shù)與偏自相關系數(shù)的估計與檢驗根據(jù)以上分析，不同ARMA模型自相關系數(shù)與偏自相關系數(shù)的表現(xiàn)存在明顯的差異。表2.1給出了三類模型ACF與PACF的特征。表2.1 ARMA類模型ACF與PACF的特征模型自相關系數(shù)偏自相關函數(shù)AR（P）拖尾P階截尾MA ( q)q階截尾拖尾ARMA ( p，q)拖尾拖尾因此，我們可以通過觀察偏自相關函數(shù)來識別并確定AR模型的滯后階

12、數(shù)，通過自相關函數(shù)來識別并確定MA模型的滯后階數(shù)條那么對于給定的樣本數(shù)據(jù)，如何估計樣本ACF與PACF并從統(tǒng)計角度檢驗兩者是否為0呢？下面分別介紹ACF與PACF的估計與檢驗。1、樣本ACF與PACF的估計與實現(xiàn)對于給定樣本，只需估計樣本的自協(xié)方差與方差，將兩者相除即可得到樣本ACF具體而言，樣本自協(xié)方差表示為：1 T_k%二百僑一0如+廠刃j=i其中表示樣本均值。那么 SACF=.。對于PACF主要是利用Yule- Wolker方程求解。 當滯后階數(shù)較大時，Y-W方程直接計算較 難，目前多采用遞推算法來求解。2、樣本ACF與PACF的顯著性檢驗常用的檢驗方法主要包括兩類：正態(tài)檢驗法和Port

13、manteau檢驗法。若序列滿足獨立性，則由統(tǒng)計漸進分布的有關定理可知，當樣本個數(shù)充分大時，ACF和PACF均滿足均值為0，方差1/T的正態(tài)分布，即因此若匾I：;匚，1軌： 1.筠匚，則可認為樣本數(shù)據(jù)是獨立的，即自相關系數(shù)和偏自相關系數(shù)均不顯著異于 0。該檢驗法即為正態(tài)檢驗法。Portmanteau檢驗法是聯(lián)合檢驗法，即檢驗直到k階的自相關系數(shù)是否同時為0。該檢驗法使用Q統(tǒng)計量進行檢驗。Q統(tǒng)計量具體形式為：去Q=T(T + 2)j=其中T為樣本容量，k為設定的滯后階數(shù)。Q統(tǒng)計量服從詵；分布。當Q統(tǒng)計量超過設定的 臨界值時，就拒絕原假設，即序列至少存在k階以內(nèi)的自相關性。2.2.2時間序列平穩(wěn)性

14、檢驗建立ARMA的前提是序列是平穩(wěn)的。檢驗平穩(wěn)性常用的方法主要有三種：經(jīng)驗法、自/偏自相關系數(shù)法、單位根檢驗法。1經(jīng)驗法經(jīng)驗法是通過觀察圖形的方式來初步判斷時間序列是否平穩(wěn)的。首先畫出時間序列的 圖形，如果該圖形圍繞某一直線上下以較小的幅度波動，則該序列一般是平穩(wěn)的，否則是不平穩(wěn)的。2、自/偏自相關系數(shù)法由于ARMA模型的自/偏自相關系數(shù)要么是截尾的，要么是拖尾的，因此可以觀察時間序列的自/偏自相關圖，如果時間序列的自/偏自相關系數(shù)從某個滯后期開始均與0無差異，可以認 為該時間序列是平穩(wěn)的；若自/偏自相關系數(shù)衰減很慢，且與0存在明顯的差異，貝u時間序列是非 平穩(wěn)的。3、單位檢驗法常用的單位根檢

15、驗法主要包括 DF檢驗法和ADF檢驗法。(1) DF檢驗法DF檢驗包括三種形式：% 二九；tl 八 ytvc ； t% 二 LYt4C tt其中，C為常數(shù)項，t表示線性趨勢，隨機干擾項獨立同分布，且服從N (0,二)。根據(jù)平穩(wěn)性的 概念，若序列yt是不平穩(wěn)的，則回歸系數(shù)防邊。一般乍：i較易識別。因此判斷序列yt是否平穩(wěn)， 主要是判斷是否為1。如果=1,則說明序列存在單位根，是不平穩(wěn)的，否則是平穩(wěn)的。yi = ynLyt =匕C 令.：y 一 y 二 c 工 Et t = t,t其中，因此可以將DF檢驗的原假設和備擇假設分別為：H。：已：、:：0相應的統(tǒng)計量為：PDF=A- std (p)DF的

16、形式與t統(tǒng)計量相似，但是該統(tǒng)計量并不服從t分布，Dickey和Fuller ( 1979)給出了利用蒙特卡羅模擬方法模擬的臨界值，因此該檢驗稱為DF檢驗。DF檢驗是左側檢驗，且不同形式的方程臨界值是不同的。注意DF檢驗只有當時間序列為AR ( 1)過程時才有效。如果存在高階滯后相關，那么將違背隨機干擾項獨立同分布的假設。因此，Dickey-Fuller提出來ADF檢驗來彌補DF檢驗的不足。(2) ADF檢驗假設時間序列存在p階自相關，那么用p階自回歸方程來判斷單位根，形式為：yWL申上式兩邊同時減去yt，通過整理可得： p悶二訕上、：外*其中，P i T， S- ji=j=t-H上述檢驗形式是

17、在DF檢驗方程中加入了力的高階滯后項，因此可以看成是DF檢驗的增廣形式，簡稱ADF檢驗。與DF檢驗類似，ADF檢驗也存在三種形式，P_Lyt二訕 1 -二:.匯寸 . 士 iY 二c f、： i 3t 墅”士 i一， Pl ,紹2、： t Ty上一-j.-yt ti .1不難看出，當p=1時，ADF檢驗就是DF檢驗，因此DF檢驗是ADF檢驗的特例。檢驗的原假設和備擇假設為：Ho : 40H匚：0即原假設為序列至少存在一個單位根，備擇假設為序列不存在單位根。使用ADF檢驗時，應該注意如下幾個問題：首先，要確定合理的滯后階數(shù)。其次，因為檢驗統(tǒng)計量的臨界值依賴于方程的形式，因此選擇檢驗的方程形式很重

18、要。再者，如果檢驗的結果是拒絕原假設，那么原序列就不存在單位根，即原序列是平穩(wěn)的；如 果接受原假設，則序列是不平穩(wěn)的，需要進行若干次差分，直到拒絕原假設，從而確定序列單整的階數(shù)。例2.1以2003年2月到2010年4月上證國債(交易代碼000012 )月末收盤指數(shù)為原始數(shù) 據(jù)進行分析。首先對指數(shù)序列取對數(shù)，然后對這個收益率序列進行單位根檢驗，結果如下：表2.2上證綜指收益率單位根檢驗表Null Hypothesis: LSP has a unit root Exogenous: Constant, Linear Trend Lag Length: 0 (Automatic based on S

19、IC, MAXLAG=11)t-StatisticProb.*Augmented Dickey-Fuller test statistic-2.0279890.5777Test critical values:1% level-4.0682905% level-3.46291210% level-3.157836從檢驗結果來看，應該接受原假設，即認為該序列存在單位根。第三節(jié)季節(jié)性ARMA模型2.3.1時間序列的季節(jié)性在現(xiàn)實中，存在一些經(jīng)濟時間序列具有明顯的季節(jié)性，比如GDP、消費支出等。它們具有共同的特點：有規(guī)律，每年重復出現(xiàn)，表現(xiàn)為逐年同時期有相同的變化方向和大致相同 的變動幅度。一般我們認

20、為季節(jié)性是一種對數(shù)據(jù)的干擾，在數(shù)據(jù)分析中通常將其過濾。那么該如何識別時間序列的季節(jié)性。常用的分析方法是自相關圖分析法。觀察時間序列的自相關圖，如果是月度數(shù)據(jù)，可以觀察滯后期為12、24、36的自相關系數(shù)；如果是季度數(shù)據(jù)，可以觀察滯后期為4、8、12的自相關系數(shù)。如果自相關系數(shù)與0無差異，那么同月或者同季度之間不相關，即不存在季節(jié)性，否則該時間序列具有季節(jié)性。值得注意的是，若時間序列的趨勢性較強時，這種趨勢性會掩蓋季節(jié)性，因此分析季節(jié)性時，應該先消除時間序列的趨勢性。由于季節(jié)性是對數(shù)據(jù)的一種干擾，因此在數(shù)據(jù)分析中常常消除季節(jié)性。常用的處理季節(jié)性的方 法主要包括三種：（1）移動平均法；（2）用X-

21、11方法去掉時間序列的季節(jié)性；（3 ）采用逐期差分和季節(jié)差分，建立SARMA模型。下面先簡單介紹一下移動平均法和X-11方法，再重點介紹SARMA模型。1、移動平均法移動平均法是將原時間序列的兩個或多個時期的數(shù)據(jù)進行平均，用平均值代替原序列值，以此來平滑周期性。假設周期長度為s,則在時點t上的移動平均值可以表示為：s %MAt =2、X-11方法X-11方法最初是由美國人口普查局在1965年研究開發(fā)出來的方法。它的基本原理是滑動平均 法法。這種方法能適應各經(jīng)濟指標的性質(zhì)，并根據(jù)季節(jié)調(diào)整的目的進行相應的調(diào)整及進行算法的選 擇。X-11方法包括兩種模型：加法模型和乘法模型。加法模型的基本形式為:y

22、t 二人 s h U乘法模型的基本形式為：yt=TtStLDt其中Tt為趨勢循環(huán)要素，St為季節(jié)要素，It為不規(guī)則變動要素，Dt為周工作日變動要素。常用 的是乘法模型，但注意乘法模型僅適用于時間序列數(shù)據(jù)為正的情況。例2.2以江蘇省2001年1月到2009年12月的每月的社會消費品零售總額為原始數(shù)據(jù)，進行季節(jié)性分析。數(shù)據(jù)來源于中經(jīng)網(wǎng)統(tǒng)計數(shù)據(jù)庫。數(shù)據(jù)的時間序列圖如下。60012001000800從圖中可以看出，該序列存在一定的周期性季節(jié)性變動。采用60012001000800從圖中可以看出，該序列存在一定的周期性季節(jié)性變動。采用X-11方法進行季節(jié)性調(diào)整，結果如下:SERIES0SA11001,0

23、00600400 -30Q整，結果如下:SERIES0SA11001,000600400 -30Q從圖中可以看出，經(jīng)過調(diào)整，季節(jié)性因素與不規(guī)則因素得到了一定程度的消除。2.3.2季節(jié)性ARMA模型SARMA模型是在回歸項中加入季節(jié)自回歸項(SAR和季節(jié)移動平均項(SMA)來考慮季節(jié)性的。假設季節(jié)長度為 S,則SMA( q)( m)s的一般形式為：y-u = (1 nL pl2 - v L)( i L L L )t tVq qPs s rs 2S - rs ms t其中q為一般移動平均項的滯后階數(shù)，m為季節(jié)性滯后階數(shù)。SAR ( p)( k)中勺一般形式為：(1 -X- L-1|1 L ) (1

24、 . Ls 2J_2s -1|1 ) y _2 2p p!S2SkS ks t ISARMA的一般形式只需將SAR和SMA合并即可，簡記為：SARMA(p,q)(k,m)。為了進一步理解季節(jié)模型的特點，以滯后兩階的AR模型為例，無季節(jié)性的AR (2)模型如下：yt=c 嘰 2%n ； t用滯后算子表示：(1 - - 2L2)y = c .2t, t對于帶有季節(jié)性的季度數(shù)據(jù)，若 k=1，則模型就會變成下式：(1 -L 2L)(1 - - L,以二 c ；它等價于：yt=c辦2%-勺心yt6 ； t因此該季節(jié)性AR模型實質(zhì)上具有稀疏系數(shù)的更高階AR模型。SARMA模型的自相關系數(shù)與偏自相關系數(shù)與普

25、通的ARMA模型類似，只是ACF和PACF的計算需要計算滯后期分別為 S 2SmS處的大小，性質(zhì)與ARMA模型相同，即季節(jié)自回 歸模型的季節(jié)偏相關函數(shù)按季節(jié)周期的增加而截尾；季節(jié)移動平均模型的季節(jié)自相關函數(shù)按季節(jié)周期增加而截尾；混合的季節(jié)自回歸移動平均模型的季節(jié)自相關函數(shù)和偏相關函數(shù)均按指數(shù)衰 減。例2.3引用例22的數(shù)據(jù)進行季節(jié)性分析。為了便于分析，首先將數(shù)據(jù)取自然對數(shù)，然后進行差分去除趨勢性。下圖是新序列的自相關圖，結果如下:匚111匚111匚匚1 了1J1匚111匚111匚匚1 了1J1JIII111111 1匚11II1II 11II1匚匚匚1 匚11111IIII1111IIIIil

26、111111二 ZI111111(11II10.079 0.079 0 6831 0 409-0.211 的.213 5 613S 0 060O.OOS 0.043 5 6211 0.1320.141 0.094 7 8586 0.097-0.106 -0.1 27 9.1639 0 103e -0.602 -0.575 50.960 0.0007 -0119 -0.T29 52.619 0.0000101 -0.159 53.813 0.0009 -0.027 -0.078 53.900 0.000-0.233 -0.294 60.41 9 0 0000,122 -0.027 62.237

27、0 0000.760 0.563 133.OS 00001 30 171 0 284 1 36.71 0,000-0.207 -0.042 1 42.00 0.0000.019 -0.042 142.13 0.0000.165 -0.098 1 45.63 0.000-0d41 -0.132 148 22 0 000-0.527 -0.027 1S4.5B 0 0001ff;-0J42 0.047 1S7.22 0.0000.134 0.143 189.64 0.000-0.075 0 038 190.40 0,000-0 221 0.01 5 1 97.1 3 0.0000 123 -0.0

28、71 199.23 0.0000 628 -n i 1 5 254.72 0 DOO0.205 A0.007 2B0 67 07000-0.162 0.095 264.46 0 000AC PAC Q-Stat ProbAC PAC Q-Stat Prob從圖中可以看出，該序列在滯后 0,因此可認為該序列存在一個周期為6期、從圖中可以看出，該序列在滯后 0,因此可認為該序列存在一個周期為6的季節(jié)性變動。建立ARMA模型時，可在模型中加入周期為6的sar或sma項。第四節(jié)ARMA模型的構建與Eviews實現(xiàn)2.4.1 ARMA模型的具體構建步驟ARMA模型的具體運用主要包括以下幾個步驟：1、判斷

29、序列的平穩(wěn)性由于ARMA模型只適用于平穩(wěn)時間序列，因此在建立ARMA模型前首先要檢驗序列的平穩(wěn)性。若序列是平穩(wěn)的，則可以直接建立ARMA模型，特別當存在季節(jié)性時，應建立SARMA模 型。若序列是非平穩(wěn)的，則應做差分使得序列變成平穩(wěn)序列后才能建立ARMA模型。2、ARMA模型滯后階數(shù)的選擇一般根據(jù)自相關圖和偏自相關圖初步確定ARMA模型的滯后階數(shù)可能取值，再根據(jù)各可能滯后階數(shù)估計ARMA模型的AIC或SC信息準則做進一步判斷。3、ARMA模型的參數(shù)估計與檢驗ARMA模型參數(shù)主要是利用極大似然法進行估計。該模型的檢驗主要是對殘差是否是白噪聲進行檢驗。4、模型的預測模型的預測包括動態(tài)預測和靜態(tài)預測，

30、其中動態(tài)預測是在給定樣本值時往前多步預測，其中樣本區(qū)間長度不變，靜態(tài)預測是給定部分樣本值時往前一步預測，其中樣本區(qū)間會發(fā)生調(diào)整。2.3.2 ARMA模型在Eviews中的窗口實現(xiàn)1判斷序列的平穩(wěn)性根據(jù)前文的介紹，平穩(wěn)性的判斷主要包括三種方法：經(jīng)驗法、自相關圖法和單位根檢驗。經(jīng)驗法主要是觀察時間序列圖形。以例2.1的數(shù)據(jù)為例，計算上證綜指收益率序列，單擊工具欄中的View/Graph，顯示圖形如下：SERIES01SERIES01從圖可以看出，該序列基本在0上下發(fā)生小幅度波動，因此從圖形上可以初步判斷該序列是平穩(wěn)的。自相關圖檢驗法是在序列顯示窗口中單擊view/correlogram，出現(xiàn)如下窗

31、口 ：( r-l* I ofL*vel1st difFercnc*CanceltoCancelho選擇最大滯后階數(shù)，即可該序列的 ACF、PACF置信區(qū)間以及Q統(tǒng)計量。具體顯示結構可見下節(jié)的例表2.4。單位根檢驗主要是利用DF檢驗法或者ADF檢驗法。在序列顯示窗口中單擊view/unitroot test，即出現(xiàn)單位根檢驗窗口:Test type忡 Lignwrir 部Did 虐 yFuIler iL日門IrPi門For unit rot in leveldrf2nd difference： Automatic selectionrSdwarz InFo CriterionlaximuFiIn

32、clude in test equation * Interceptar I1 J phter cftptNoneLker specified:Cancel左上方test type是選擇單位根檢驗的方法，默認的選項是ADF方法，此外還包括phillips- perron、Dickey-Fuller GLS等，主要是用來處理序列的異方差和自相關的。下方Test for unit root in是選擇檢驗的對象，其中l(wèi)evel表示原序列， 1st differenee表示差分序列，2nd differenee表示二階差分序列。In elude in test equation是選擇檢驗的形式，其中

33、intereept是指檢驗方程中只包括截距項，trend and intereept是指同時包括趨勢項和截距項,none是既不包括截距項也不包括趨勢項。檢驗形式的選擇往往是根據(jù)該序列的圖形特征來確定，若該序列在圖形上無明顯的趨勢且明顯異于0時，應選擇intereept ;若該序列既無趨勢也與0無差異時，應選擇none ;若序列呈現(xiàn)出一定的趨勢性，則選擇trend and intereept。右下方lag length是選擇滯后階數(shù)。User speeified是用戶自己定義滯后階數(shù)，automatieseleetion是在maximum lags （最大滯后階數(shù)）范圍內(nèi)根據(jù)信息準則選擇最優(yōu)的滯

34、后階數(shù)，中信息準則選項包括 Akaike Info Criterion （AIC，默認）、Sehwarz info eriterion（SQ、Hannan-Quinn eriterion等，前兩種最為常見。選擇各選項后，點擊確定即出現(xiàn)單位根檢驗結果，可見示例2.1中表2.2。在表中給出了檢驗統(tǒng)計量t的值和相應的p值，t值下方是1%、5%和10%顯著性水平下的臨界值。t值小于臨界值，則應拒絕原假設，即原序列是平穩(wěn)的，否則存在單位根。因此可以通過觀察樣本自相關函數(shù)和偏自相關函數(shù)的截尾特征來確定常用的信息準則主要是因此可以通過觀察樣本自相關函數(shù)和偏自相關函數(shù)的截尾特征來確定常用的信息準則主要是2、A

35、RMA模型滯后階數(shù)的選擇與模型的估計由于AR(p濮型的偏自相關函數(shù)在p階處截尾，MA(q)模型的自相關函數(shù)在q階處截尾，p和q的范圍，從而選擇不同p和q的各種可能，再根據(jù)信息準則來篩選最優(yōu)的滯后階數(shù)。2kAKSpecificationtionsEqpia.ti on speci icationSpecificationtionsEqpia.ti on speci ication其中此表示殘差，表示樣本容量，k表示滯后階數(shù)。AIC和SC定義分別為：從AIC和SC的定義可以看出，殘差方差增加或者滯后階數(shù)增加都會使得AIC和SC增加。而增加滯后階數(shù)往往會使得殘差方差減少，因此最優(yōu)滯后階數(shù)的選擇應使在

36、減少方差和減少自由度之間進行權衡，使得AIC和SC達到最小。值得注意的是，AIC和SC的基本形式類似，但是SC對于自由度損失的懲罰要大于AIC。選擇一組p和q后，對ARMA模型進行估計。點擊主菜單中的Quick/Estimate Equation，彈出如下對話框：ls y c ar(1) .ar(p)ls y c ar(1) .ar(p)Dependent variable followed by list of regressors and PEL terms, OR an explicitcn likeMethod： LS - Le&st Squares (HLS ani ARMA)確定取

37、消若估計AR(p)模型，在對話框中輸入y c ar(1).ar(p);若估計MA(q)模型，在對話框中輸入y c ma(1) ma(q);若估計ARMA模型，在 對話框 中輸入y c ar(1) .ar(p)ma(1).ma(q)。再單擊OK即可。也可以直接在命令行中輸入ma(1) . ma(q)。以例2.1的數(shù)據(jù)為例，輸入ls r c ar(1),估計結果如下:CoefficientStd. Errort-StatisticProb.C0.0003260.0003500.9317050.3516AR(1)0.0124080.0200870.6177000.5368R-squared0.000

38、154Mean dependent var0.000326Adjusted R-squared-0.000250S.D.dependent var0.017221S.E. of regression0.017223Akaike info criterion-5.284357Sum squared resid0.735038Schwarz criterion-5.279667Log likelihood6554.603Hannan-Quinn criter.-5.282653F-statistic0.381552Durbin-Watson stat1.997891Prob(F-statistic

39、)0.536831Inverted AR Roots.01估計結果的最后一行是 AR部分和MA部分滯后多項式的反特征根，若所有的根的模均 小于1,則ARMA模型滿足平穩(wěn)性和可逆性。在輸出結果的第二部分是相關的統(tǒng)計量，其中 主要利用AIC和SC來判斷模型的優(yōu)劣。將各種可能的p和q進行組合后估計模型的AIC和SC再進行比較選擇最優(yōu)的 p和q。3、ARMA模型的檢驗在估計方程的窗口中點擊 view/residual tests，出現(xiàn)五個選項：Correlogram- Q statistics :顯示殘差的自相關圖。只有當殘差的ACF和PACF均落在置信 區(qū)間內(nèi)， 即與0無差異時才表示殘差中無相關性。

40、Correlogram squared residuals :顯示殘差平方的自相關圖。只有當殘差平方不具有相關 性時殘差具有同方差性。Histogram- normality test :顯示殘差的直方圖，進行殘差的正態(tài)性檢驗。Serial correlation LM test :利用LM檢驗法檢驗殘差的自相關性。Heteroskedasticity tests :對殘差進行 ARCH 效應檢驗。4、模型的預測在模型估計窗口中，點擊proc/Forecast，出現(xiàn)預測窗口:iQr Blast orEquation: UNTITLEDSeries; RMethodForecast name:

41、Iff5,EForecast name: Iff5,Et (DptOHdl)：Forect sample1 2431O 5taric forecastL| Structural （ignore ARMA）5 Coef uncertainty in 5,E. cilcOutput0 Forecast gr牛h“ Forecast evaluation- W |Cancel jSeries names需要輸入預測序列保存的名稱；Forecast sample表示預測的樣本區(qū)間；Method 主要包括 dynamic forecast （動態(tài)預測）和 static forecast （靜態(tài)預測）；O

42、utput表示輸出顯示形式，可以顯示預測圖形和預測結果。2.3.3 ARMA模型在Eviews中常用的命令與程序下面ARMA模型在Eviews中的常用命令與程序。1單位根檢驗seriesJ name.uroot （opti ons）其中option包括選擇檢驗的方法、形式和滯后階數(shù)。檢驗形式包括c”（存在截距項，默認）、“ t”（存在趨勢項）、“ n ”（不包括截距項和趨勢項）。檢驗方法包括adf （默認）、 dfgls、pp、kpss、ers、np。滯后階數(shù)可以用lag=p直接指定，也可以用lag=a自動選擇。若滯后階數(shù)是 自動選擇，則以info來選擇判斷的信息準則，info=sic表示以S

43、C作為選擇滯后階數(shù)標準，info=aic表示以 AIC作為選擇滯后階數(shù)標準。例如：a.uroot （adf,t,info=aic）表示對序列a用ADF方法選擇存在趨勢項進行單位根檢驗，其中滯 后階數(shù)以AIC信息準則進行自動選擇。2、自相關-偏自相關圖 object J name.correl ( n, opti ons)其中n表示最大滯后階數(shù)，options主要包括graph (顯示自相關圖)、bylag (按滯后階數(shù)顯示自相關表格)。例如a.correl(12)表示顯示1到12階滯后階數(shù)的自相關圖。3、ARMA模型的估計Is series name ar ma ARMA模型用最小二乘回歸，與

44、一般線性回歸的表示相同。例如Is y c ar(1) ma(1)，表示對y建立ARMA(1,1)模型。4、模型殘差的調(diào)用(option)生成殘差： equation_name.makeresids(option)例如：equation eq1.Is y c ar(1) ma(1)eq1.makeresids e1表示對y建立ARMA(1,1)模型，并將模型殘差保存在序列e1中。殘差自相關圖：eq_name.correI(n， options)例如：eq1.correI(12)表示計算方程eq1的殘差的自相關圖。5、模型的預測 eq_name.forecast(options) yhat y_s

45、e例如eq1.forecast yf表示將預測序列保存在yf序列中。6、常用估計系數(shù)和統(tǒng)計量的調(diào)用 r2表示估計方程的r2 rbar2表示估計方程的調(diào)整r2 aic表示估計方程的AIC schwarz表示估計方程的SC coefs(i)表示第i個估計系數(shù) stderrs(i)表示第i個估計系數(shù)的標準差 tstats(i)表示第i個估計系數(shù)的t統(tǒng)計量的值第五節(jié)ARMA模型的應用舉例2.5.1案例分析的目的本案例擬選取1996年1月到2010年9月我國貨幣供應量M1的數(shù)據(jù)來構建ARMA模型，并利用該 模型進行外推預測分析。2.5.2實驗數(shù)據(jù)數(shù)據(jù)來源于中經(jīng)網(wǎng)統(tǒng)計數(shù)據(jù)庫。具體數(shù)據(jù)見表2.3。表2.3

46、M1月度數(shù)據(jù)單位：億元日期M1日期M1日期M1日期M11996-01251951999-10422652003-0776152.82007-04127677.81996-0225255.61999-11433702003-08770332007-05130275.81996-03239091999-1245837.242003-0979163.92007-06135847.41996-04241452000-01465702003-1080267.12007-07136237.41996-05244632000-0244679.22003-1180814.92007-08140993.2199

47、6-06246002000-0345158.42003-1284118.62007-09142591.61996-07250782000-04463192004-0183805.92007-10144649.31996-0825729.452000-0546490.22004-0283556.42007-11148009.81996-09262302000-0648024.42004-0385815.62007-12152519.21996-1026798.22000-0747803.12004-0485603.62008-01154872.61996-11274222000-08488852

4842008-02150177.91996-12285152000-0950616.92004-0688627.12008-03150867.51997-01305732000-10499532004-0787982.22008-04151681.41997-02291032000-1150787.52004-0889125.32008-05153344.81997-03290582000-1253147.22004-0990439.12008-06154820.21997-04299912001-0154406.22004-1090782.52008-07154992.

49、41997-05302752001-0251997.72004-1192387.12008-08156889.91997-06310742001-0353033.42004-1295969.72008-091557491997-07311002001-0453261.32005-01970792008-10157194.41997-0831594.992001-05525432005-02928152008-11157826.61997-09322452001-0655187.42005-0394743.22008-12166217.11997-10324222001-0753502.8200

50、5-0494593.72009-01165214.31997-11329092001-0855808.92005-05958022009-02166149.61997-1234826.272001-09568242005-0698601.32009-03176541.11998-0135585.62001-1056114.92005-0797674.12009-04178213.61998-02333952001-1156579.62005-0899377.72009-05182025.61998-03331102001-1259871.62005-091009642009-06193138.

51、21998-04333602002-0160576.12005-101017522009-07195889.31998-05335532002-0258702.92005-11104125.82009-08200394.81998-06337762002-0359474.82005-12107278.72009-09201708.11998-07343562002-0460461.32006-01107250.72009-10207545.71998-08350502002-0561284.92006-02104357.12009-11212493.21998-09365012002-0663

52、1442006-03106737.12009-12220001.51998-1036786.72002-0763487.82006-04106389.12010-012295891998-11374142002-0864868.82006-05109219.22010-022242871998-1238953.682002-09667972006-06112342.42010-03229397.91999-01390112002-1067100.32006-071126532010-04233909.81999-02387492002-1167992.82006-08114845.72010-

53、05236497.91999-03380542002-1270882.12006-09116814.12010-062405801999-04380532003-0172405.72006-101183602010-07240664.11999-05380042003-0269756.62006-111216452010-08244340.61999-06388222003-0371438.82006-12126035.12010-09243802.41999-07389912003-0471321.22007-01128484.11999-08400952003-0572777.82007-

54、02126258.11999-09419142003-0675923.22007-031278 ARMA模型的構建1判斷序列的平穩(wěn)性首先繪制出M1的折線圖，結果如下圖:25000020000015000010000050000I 1 I 1 | Ir I II V | I I | | I H I | I I I|r I I |r in-19961998 2QQ0 2QQ2 2004200620082010M1圖2.1貨幣供給量M1曲線圖從圖中可以看出，M1序列具有較強的非線性趨勢性，因此從圖形可以初步判斷該序列是非平穩(wěn)的。此外M1在每年同時期出現(xiàn)相同的變動方式，表明M1還存在季節(jié)性特征。下面對

55、M1的平穩(wěn)性和季節(jié)性進行進一步檢驗。2、單位根檢驗為了減少M1的變動趨勢及異方差性，先對M1進行對數(shù)處理，記為LM1,其曲線圖見圖 2.2。LM1圖2.2 LM1曲線圖對數(shù)后的貨幣供給量趨勢性也較強。下面觀察LM1的自相關圖，選擇滯后期為24，見表 2.4。表2.4LM1的自相關圖Autocorrelati onPartial Correlati onACPACQ-StatProbl*ll*l10.9630.963166.920.000l*l.|. l20.926-0.017322.180.000l*l.|. l30.889-0.019466.140.000l*l.|. l40.853-0.0

56、10599.380.000l* l.|. l50.817-0.014722.390.000l* l.|. l60.7830.008836.110.000l* l.|. l70.7510.002941.270.000l* l.|. l80.720-0.0001038.50.000l* l.|. l90.6910.0101128.60.000l* l.|. l100.6640.0091212.30.000l* l.|. l110.6390.0081290.20.000l* l.|. l120.6150.0111362.90.000l* l.|. l130.592-0.0051430.70.000l

57、* l.|. l140.569-0.0201493.60.000l* l.|. l150.546-0.0051551.80.000l* l.|. l160.523-0.0041605.70.000l* l.|. l170.501-0.0121655.30.000l* l.|. l180.4800.0091701.20.000l* l.|. l190.459-0.0041743.50.000|* |. | 200.4400.0091782.60.000|* |. | 210.4230.0071818.90.000|* |. | 220.405-0.0111852.40.000|* |.|23 0

58、.388-0.0031883.40.000|* |.|24 0.3730.0131912.10.000從上表可以看出，LM1的PACF只在滯后一期時是顯著的，ACF隨著滯后階數(shù)增加慢慢衰減至0,因此從偏/自相關系數(shù)可以看出該序列表現(xiàn)一定的平穩(wěn)性。進一步進行單位根檢驗，打開LM1, 單擊view/unit root test :，選擇存在趨勢項的形式，并根據(jù)AIC自動選擇滯后階數(shù)，單位根檢驗見過見 表2.5。表2.5 LM1的單位根檢驗結果Null Hypothesis: LM1 has a unit rootExoge no us: Con sta nt, Lin ear TrendLag L

59、ength: 13 (Automatic based on SIC, MAXLAG=13)t-StatisticProb.*Augme nted Dickey-Fuller test statistic-4.5101880.0020Test critical values:1% level-4.0153415% level-3.43762910% level-3.143037*MacK innon (1996) on e-sided p-values.T統(tǒng)計量的值小于臨界值，且相伴概率為0.0020，因此該序列不存在單位根，即該序列是平穩(wěn)序列。3、季節(jié)性分析趨勢性往往會掩蓋季節(jié)性特征，從LM1

60、的圖形可以看出，該序列具有較強的趨勢性。為了分析季節(jié)性，可以對LM1進行差分處理來觀察季節(jié)性：genr dLM1=lm1-lm1(-1)觀察dLM1的自相關圖：表2.6 dLM 1的自相關圖Autocorrelati onPartial Correlati onACPACQ-StatProb*|. |*|. |1-0.085-0.0851.28080.258*|. |*|. |2-0.203-0.2128.73240.013.|* |.|* |30.1660.13413.7060.003*|. |*|. |4-0.093-0.11815.2710.004.|. |.|. |5-0.0270.0