1、第三章 應(yīng)力張量 應(yīng)變張量參考教材第五章 在給定載荷作用下，物體內(nèi)的任意斜截面上應(yīng)力（應(yīng)變）的大小和方向是確定的，即一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)是確定的。不隨所取坐標(biāo)系的不同而變化。 一點(diǎn)的應(yīng)力（應(yīng)變）狀態(tài)是用6個(gè)應(yīng)力（應(yīng)變）分量來(lái)定義，而應(yīng)力（應(yīng)變）分量是在一定的坐標(biāo)系下確定的，且隨坐標(biāo)系的不同的變化。 本章重點(diǎn)是討論坐標(biāo)變換時(shí)應(yīng)力分量和應(yīng)變分量的變化規(guī)律。5-1 應(yīng)力分量的坐標(biāo)變換 應(yīng)力張量坐標(biāo)變換包括平移、旋轉(zhuǎn)和反射。 對(duì)右手坐標(biāo)系，平移和旋轉(zhuǎn)變換后仍保持右手系，反射變換則變成左手系。 對(duì)平移變換，一點(diǎn)的應(yīng)力分量保持不變。本節(jié)主要討論坐標(biāo)旋轉(zhuǎn)變換是應(yīng)力分量的變化規(guī)律考察物體內(nèi)任一點(diǎn)o，設(shè)oxyz為舊坐

2、標(biāo)系，其單位矢量為e1、e2、e3，相應(yīng)的應(yīng)力分量為xyze1e2e3zxye1e2e3設(shè)oxyz為新坐標(biāo)，其單位矢量為e1、e2 、e3 。相應(yīng)的應(yīng)力分量為新舊坐標(biāo)系下坐標(biāo)軸間的方向余弦為xyzxl1=a11m1=a12n1=a13yl2=a21m2=a22n2=a23zl3=a31m3=a32n3=a33作斜面abc垂直于x軸，該斜面上的應(yīng)力矢量為T(mén)。T在舊坐標(biāo)系下的三個(gè)分量為T(mén)1， T2 和T3 ，則xyzzxyTT1T2T3由斜面應(yīng)力(Cauchy)公式在新坐標(biāo)系下，T在新坐標(biāo)軸上的三個(gè)分量即為新系下該斜面上的三個(gè)應(yīng)力分量 。因?yàn)?簡(jiǎn)寫(xiě)同理統(tǒng)一的變換式可見(jiàn)：應(yīng)力分量在經(jīng)坐標(biāo)變換后，仍保

3、持其對(duì)稱性統(tǒng)一的變換式數(shù)學(xué)上將滿足上式的一組量稱為二階張量，即決定一點(diǎn)應(yīng)力狀態(tài)的9個(gè)應(yīng)力分量 是一個(gè)二階張量，稱為應(yīng)力張量5-2 主應(yīng)力與應(yīng)力張量不變量已知一點(diǎn)的應(yīng)力分量 ，則任意斜截面上的應(yīng)力矢量斜截面上的應(yīng)力矢量T不僅與該點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài) 有關(guān)，且與斜面的方向 有關(guān)。問(wèn)：是否存在一特定的斜截面，其上應(yīng)力矢量T與截面法線同向。即T為該截面上的正應(yīng)力 ，而剪應(yīng)力為零。設(shè)斜截面法線方向余弦為：應(yīng)力矢量T在坐標(biāo)軸上的投影為：由斜面應(yīng)力(Cauchy)公式故或?qū)⑸鲜秸归_(kāi)當(dāng)斜面法線方向滿足上述方程時(shí)，該斜面上只有正應(yīng)力，沒(méi)有剪應(yīng)力，稱該平面為主平面；主平面上的正應(yīng)力稱為主應(yīng)力；主應(yīng)力方向（即主平面法線方向

4、）稱為主方向。上述方程為 的齊次線性方程組， 且常數(shù)項(xiàng)都為零。因?yàn)椋?，故 不能同時(shí)為零，所以方程組的系數(shù)行列式應(yīng)為零，即 將行列式展開(kāi)，得到求解主應(yīng)力 的三次方程，稱為應(yīng)力張量 的特征方程。式中設(shè)特征方程的三個(gè)根為 ，則展開(kāi)后有比較上兩式，有對(duì)一個(gè)給定的應(yīng)力狀態(tài)，其主應(yīng)力的大小和方向是確定的，不隨坐標(biāo)系的變換而變化。故 是不隨坐標(biāo)系的變換而變化的量，稱為應(yīng)力張量不變量。（特征方程） 分別稱為應(yīng)力張量的第一、第二、第三不變量。 主應(yīng)力的重要性質(zhì)1. 主應(yīng)力為實(shí)數(shù)；2. 三個(gè)主應(yīng)力相互垂直； 即物體內(nèi)任意一點(diǎn)，一定存在三個(gè)互相垂直的應(yīng)力主平面，及對(duì)應(yīng)的三個(gè)主應(yīng)力。 （1）當(dāng) ，有3個(gè)相互垂直的主

5、應(yīng)力； （2）當(dāng) ，與 垂直的平面上的任意方向都為主應(yīng)力方向，即該平面上任意方向都是主方向，且應(yīng)力值相同。 （3）當(dāng) ，空間任意方向都是主方向，且應(yīng)力值相同。3. 主應(yīng)力的極值性； （1）最大（或最小）的主應(yīng)力是相應(yīng)點(diǎn)處任意截面上正應(yīng)力的最大（或最?。┲?；設(shè)： ，則（2）絕對(duì)值最大（或最?。┑闹鲬?yīng)力是相應(yīng)點(diǎn)處任意截面上全應(yīng)力T的最大（或最小）值。5-3 最大剪應(yīng)力將三個(gè)坐標(biāo)軸取在三個(gè)相互垂直的主應(yīng)力方向上，稱為應(yīng)力主軸。則應(yīng)力分量為：由斜面應(yīng)力公式，斜面上應(yīng)力矢量T的分量斜面上的正應(yīng)力：斜面上的剪應(yīng)力：教材93頁(yè)公式（3）有誤由 是m，n的函數(shù)， 取極值（ 也取極值）的條件是即上式第一式除 ，

6、第二式除 ， 得（1）當(dāng)對(duì)應(yīng)主平面，其剪應(yīng)力為零。第二組解：第一組解：對(duì)應(yīng)于經(jīng)過(guò)主軸之一，而平分其他兩主軸夾角（與主平面成45）的平面，設(shè)，最大剪應(yīng)力為：（2）兩主應(yīng)力相等，設(shè)由第二式，得方程的解為 表示通過(guò)oz軸的平面，該組平面上，剪應(yīng)力為零。 表示任一個(gè)與圓錐面相切的微分面。在該組面上剪應(yīng)力取最大值。 （3）三個(gè)主應(yīng)力相等 空間任一方向都為主方向，即任一平面都是主平面，剪應(yīng)力均為零。 該應(yīng)力狀態(tài)稱為均勻受力狀態(tài)，也稱為靜水應(yīng)力狀態(tài)。5-4 應(yīng)力張量的分解描述一點(diǎn)應(yīng)力狀態(tài)的9個(gè)應(yīng)力分量構(gòu)成一個(gè)對(duì)稱應(yīng)力張量其中 稱為應(yīng)力張量的分量。引入平均應(yīng)力則應(yīng)力張量可分解為兩個(gè)張量之和簡(jiǎn)寫(xiě)為式中稱 為應(yīng)力偏量， 為應(yīng)力球形張量， 為單位張量。球形張量是代表各向均勻拉伸或壓縮的應(yīng)力狀態(tài)。 球形張量應(yīng)力（靜水應(yīng)力）作用下，物體只產(chǎn)生各向相同的線應(yīng)變而無(wú)剪應(yīng)變。對(duì)應(yīng)物體的體積改變，而形狀不變。應(yīng)力偏量代表各面正應(yīng)力中偏離靜水應(yīng)力的量，是正應(yīng)力之和為零的應(yīng)力狀態(tài)。該應(yīng)力狀態(tài)下，物體的體積不改變而形狀改變。靜水壓力實(shí)驗(yàn)研究