1、第一章 行列式 1.1 二、三階行列式 1.2 n 階行列式的定義 1.3 行列式的性質(zhì) 1.4 行列式的計算 1.5 Cramer法則1.2 n 階行列式的定義 二、 n 階行列式的定義一、 排列的逆序數(shù)與奇偶性三、小結(jié)一、排列的逆序數(shù)與奇偶性 自然數(shù)1, 2, 3, , n 按一定次序排成一排, 稱為一個 n 元排列, 記為 p1 p2 pn . 12 n 稱為自然排列.n 元排列有n! 個. 定義1.3 在一個 n 元排列 p1p2 pn 中, 如果一個大的數(shù)排在一個小的數(shù)的前面, 則稱這兩個數(shù)構(gòu)成一個逆序.排列 p1p2 pn 逆序個數(shù)的總和稱為這個排列的逆序數(shù), 記為 p1p2pn

2、. . 若排列的逆序數(shù)為奇數(shù)(偶數(shù)), 則稱此排列為奇(偶)排列. 在排列 p1p2 pn 中 如果 pk 的前面有 tk 個大于 pk的數(shù) 就說元素 pk 的逆序數(shù)是 tk 逆序數(shù)的計算方法 排列的逆序數(shù)為 方法1方法2 分別計算出排在1, 2, , n1, n 前面比它大的數(shù)碼之和, 即算出1, 2, , n1, n 這 n 個元素的逆序數(shù), 這 n 個元素的逆序數(shù)的總和即為所求排列的逆序數(shù).t t2 t3 tn 例1.2 求下列排列的逆序數(shù)并判斷排列的奇(偶)性： (1) 32541; (2) n (n1) 2 1.定義1.4 互換排列中某兩個數(shù)的位置, 其余的數(shù)不動, 則得到一個新排列

3、, 這個過程稱為一個對換.相鄰兩個數(shù)的對換稱為鄰換.在排列 21354 中 對換1與 4 得到的排列是 24351, (21354 ) = 2 經(jīng)過對換 排列的奇偶性發(fā)生了變化 (24351) = 5 在排列 21354 中 對換5與 4 得到的排列是 21345, (21345) = 1 推論1 奇排列調(diào)成自然排列的對換次數(shù)為奇數(shù), 偶排列調(diào)成自然排列的對換次數(shù)為偶數(shù).推論2 全體 n (n 2) 元排列的集合中, 奇排列和偶排列各占一半.定理1.1 一次對換改變排列的奇偶性 (1) 三階行列式右邊任一項除正負號外可以寫成其中 p1 p2 p3 是1、2、3 的某個排列(2) 各項的正負號可

4、以表示為 (1) 其中 為列標排列的逆序數(shù) 每項是不同行不同列元素的乘積右端共有 3! = 6 項二、n 階行列式的定義列標排列的逆序數(shù) 對 p1 p2 p3 的所有排列求和, 共有 6! 項 不同行不同列元素的乘積 定義1.5 把 n2 個數(shù) aij (i, j 1, 2, , n) 排成 n 行 n 列,按下式計算得到的一個數(shù), 稱為 n 階行列式.行列式的等價定義形式簡記為 . determinant 說明 1. 行列式是一種特定的算式, 它是根據(jù)求解一次方程組 ( 方程個數(shù)和未知量個數(shù)相同 ) 的需要而定義的;2. n 階行列式是 n! 項的代數(shù)和; 3. n 階行列式的每項都是位于不同行、不同列 n 個元素的乘積;5. 一階行列式 a a 不要與絕對值記號相混淆. 4. a1p1a2p2 anpn 的符號為(1)t , 其中 t p1 p2 pn ; 例1.3 試判斷a14a23a31a42a56a65和 a32a43a14a51a25a66 是否都是六階行列式中的項. 例1.4 計算上三角行列式例如下三角行列式對角行列式例1.5 已知三、小結(jié)1. n