1、 概率統(tǒng)計(jì)教研室 2012第2章 隨機(jī)變量的分布及其數(shù)字特征隨機(jī)變量 分布函數(shù) 離散型隨機(jī)變量及其分布連續(xù)型隨機(jī)變量及其分布 正態(tài)分布 隨機(jī)變量函數(shù)的分布 隨機(jī)變量的數(shù)字特征 概率統(tǒng)計(jì)教研室 2012 2.1.1 隨機(jī)變量 (Random Variable) 為了更有效地研究隨機(jī)現(xiàn)象的規(guī)律，需要引入微積分作為工具，這就需要用變量的形式來(lái)表達(dá)隨機(jī)現(xiàn)象。先考察下列兩個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)的例子 例2.1 某人拋擲一枚骰子，觀察出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)。 試驗(yàn)結(jié)果的事件表達(dá)形式：出現(xiàn)1點(diǎn)；出現(xiàn)2點(diǎn)；出現(xiàn)3點(diǎn)； 出現(xiàn)4點(diǎn)；出現(xiàn)5點(diǎn)；出現(xiàn)6點(diǎn)。 如果令 表示出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)，則 的可能取值為 于是，試驗(yàn)結(jié)果的變量表示為： “出現(xiàn)1點(diǎn)”

2、 ； “出現(xiàn)2點(diǎn)” “出現(xiàn)3點(diǎn)” ； “出現(xiàn)4點(diǎn)” “出現(xiàn)5點(diǎn)” ； “出現(xiàn)6點(diǎn)” 2.1 隨機(jī)變量 分布函數(shù) 概率統(tǒng)計(jì)教研室 2012例2.2 某人擲硬幣試驗(yàn)，觀察落地以后出現(xiàn)在上面的面。 試驗(yàn)結(jié)果的事件表達(dá)形式： 國(guó)徽面在上面；有字面在上面 如果 表示國(guó)徽面在上面， 表示有字面在上面。 則試驗(yàn)結(jié)果的變量表示為： “國(guó)徽面在上面” “有字面在上面”特點(diǎn)： 試驗(yàn)結(jié)果數(shù)量化了，試驗(yàn)結(jié)果與實(shí)數(shù)建立了對(duì)應(yīng)關(guān)系，而且變量取值隨著試驗(yàn)結(jié)果的變化而變化。 概率統(tǒng)計(jì)教研室 2012定義1： 設(shè) 是一隨機(jī)試驗(yàn)，其樣本空間為 ，如果對(duì)于 中的每一個(gè)樣本點(diǎn)，都有一個(gè)實(shí)數(shù) 與之對(duì)應(yīng)，并且 滿足： （1） 是由 唯一

3、確定； （2）對(duì)任意給定的實(shí)數(shù) ，集合 都表示一個(gè)有概率的事件。 則稱 為一隨機(jī)變量(Random Variable)。 概率統(tǒng)計(jì)教研室 2012 隨機(jī)變量舉例與分類 例2.3 某人拋擲一枚骰子，觀察出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù) 的可能取值為 。 例2.4 某個(gè)燈泡的使用壽命 的可能取值為 。 例2.5 一部電話總機(jī)在一分鐘內(nèi)收到的呼叫次數(shù) 的可能取值為 。 例2.6 為在 區(qū)間上隨機(jī)移動(dòng)的點(diǎn)，該點(diǎn)的坐標(biāo) 的可能取值為 。 從隨機(jī)變量取值的有限無(wú)限個(gè)，及方式的可列不可列的角度來(lái)看，隨機(jī)變量可做如下分類： 概率統(tǒng)計(jì)教研室 2012隨機(jī)變量的分類離散型隨機(jī)變量非離散型隨機(jī)變量連續(xù)型非連續(xù)型有限或無(wú)窮可列取值無(wú)窮且不

4、可列取值 概率統(tǒng)計(jì)教研室 2012 （1）對(duì)于任意 ，有 （非負(fù)有界性）； （2） （規(guī)范性）； （3）對(duì)于任意 有 （非減性）； （4） 在每一點(diǎn)至少是右連續(xù)的（連續(xù)性）。 若已知隨機(jī)變量 的分布函數(shù) ，則對(duì)于任意 有分布函數(shù)的性質(zhì) 概率統(tǒng)計(jì)教研室 2012例2.7 已知隨機(jī)變量 的所有可能取值為 ，取各值的概 率分別為 ，試求隨機(jī)變量的分布函數(shù)并作其圖像。解：由題設(shè)隨機(jī)變量的概率分布為0.30.30.4210由分布函數(shù)的定義有 當(dāng) 時(shí)， ； 當(dāng) 時(shí)， 當(dāng) 時(shí)， ； 當(dāng) 時(shí)， 。 分布函數(shù)圖像如圖2.1所示圖2.1 概率統(tǒng)計(jì)教研室 2012 2.2 離散型隨機(jī)變量及其分布 2.2.1. 離散

5、型隨機(jī)變量 定義1：如果隨機(jī)變量所有可能取值為有限或無(wú)窮可列，則該隨機(jī)變 量稱為離散型隨機(jī)變量。 定義2：設(shè)離散型隨機(jī)變量 的所有可能取是 ，而取值 的概率為 ，即有則稱該式為隨機(jī)變量 的概率函數(shù)。其也可以用下表表達(dá)：并稱其為隨機(jī)變量 的概率分布列，簡(jiǎn)稱分布列。 還可以通過(guò)作圖直觀表示，稱為隨機(jī)變量的概率分布圖或概率函數(shù)圖 。 概率統(tǒng)計(jì)教研室 2012概率函數(shù)的兩個(gè)基本性質(zhì): （1） （非負(fù)性） （2） （歸一性）。 例2.8 設(shè)袋中有五個(gè)球，3個(gè)白球2個(gè)黑球。從中任取兩球，以表示取到的黑球數(shù)。求其概率函數(shù)及其概率分布函數(shù)。 解： 的可能取值為 分別表示事件“沒(méi)有取到黑球”、“取到一個(gè)黑球”、

6、 “取到兩個(gè)黑球”，則其概率函數(shù) 當(dāng) 時(shí)，； 當(dāng) 時(shí)，當(dāng) 時(shí)， 概率統(tǒng)計(jì)教研室 2012 當(dāng) 時(shí)，所以， 的分布函數(shù)為 概率函數(shù)和分布函數(shù)用于描述隨機(jī)變量的變化規(guī)律，之間的關(guān)系為： 已知概率函數(shù)求分布函數(shù) 概率統(tǒng)計(jì)教研室 2012 2.2.2 常見(jiàn)的離散型隨機(jī)變量的概率分布 引入隨機(jī)變量的概念以后，客觀世界中的許多隨機(jī)現(xiàn)象，如果拋開(kāi)其所涉及的具體內(nèi)容，實(shí)質(zhì)上可以用同一個(gè)概率模型即概率分布來(lái)表達(dá)。1.等概分布設(shè) 為離散型隨機(jī)變量，若其分布列為： 則 稱服從等概分布。該分布滿足： (1) 非負(fù)性： (2) 規(guī)范性： 概率統(tǒng)計(jì)教研室 20122.兩點(diǎn)分布（0-1分布） 若隨機(jī)變量 的分布表為其中 ，

7、則稱 服從參數(shù)為 的兩點(diǎn)分布。記作 。 兩點(diǎn)分布所能刻畫的隨機(jī)現(xiàn)象： 凡是隨機(jī)試驗(yàn)只有兩個(gè)可能的結(jié)果，都可以兩點(diǎn)分布作為其概率模型。例如：擲硬幣觀察正反面，產(chǎn)品是否合格，人口性別統(tǒng)計(jì)，系統(tǒng)是否正常，電力消耗是否超負(fù)荷等等。 例如，投一枚均勻的骰子，觀察向上面的點(diǎn)數(shù)，用 表示向上面的點(diǎn)數(shù)，則 服從的等概分布。 概率統(tǒng)計(jì)教研室 2012 二項(xiàng)分布的概率函數(shù)就是二項(xiàng)式 展開(kāi)式中的通項(xiàng)（這里 ），所以稱之為二項(xiàng)分布。分布中，當(dāng) 時(shí)，就是兩點(diǎn)分布，其概率函數(shù)為 (1) 非負(fù)性： 則稱 服從參數(shù)為 的二項(xiàng)分布（Binomial distribution），記為若離散型隨機(jī)變量 的概率函數(shù)為： 3.二項(xiàng)分布

8、 顯然，二項(xiàng)分布的概率函數(shù)滿足：(2) 規(guī)范性： 概率統(tǒng)計(jì)教研室 2012例2.10 設(shè)某學(xué)生在期末考試中，共有5門課程要考，已知該學(xué)生每門課程及格的概率為0.8。試求該學(xué)生恰好有3門課及格的概率和至少有3門課及格的概率。 解: 設(shè) 表示該學(xué)生恰好有3門課及格； 表示該學(xué)生至少有3門課及格。顯然，這是一個(gè)5重貝努里概型，從而有 凡是 重貝努里概型中隨機(jī)事件 發(fā)生次數(shù)的概率分布規(guī)律都可用二項(xiàng)分布來(lái)刻畫。 概率統(tǒng)計(jì)教研室 2012例2.11 某保險(xiǎn)公司以往資料顯示，索賠要求中有8%是因?yàn)楸槐I而提出來(lái)的?，F(xiàn)已知該公司某個(gè)月共收到10個(gè)索賠要求，試求其中包含4個(gè)以上被盜索賠要求的概率。 解: 設(shè) 表示

9、10個(gè)索賠要求中被盜索賠要求的個(gè)數(shù)，則 于是，所求概率為 即10各索賠要求中有4個(gè)以上被盜索賠要求的概率為0.00059通過(guò)該例題的求解，可以看出：二項(xiàng)分布當(dāng)參數(shù) 很大，而 很小時(shí)，有關(guān)概率的計(jì)算是相當(dāng)麻煩的。甚至有時(shí)借助于計(jì)算工具也難實(shí)現(xiàn)。為了解決這種情況下的二項(xiàng)分布有關(guān)概率計(jì)算問(wèn)題，1837年法國(guó)數(shù)學(xué)家S. D. Poisson 提出了以下定理。 概率統(tǒng)計(jì)教研室 2012Poisson定理 設(shè)隨機(jī)變量 ， 若 時(shí)，有 ，則有 證明：令 ，于是有 對(duì)于固定的 有 所以 概率統(tǒng)計(jì)教研室 2012 4泊松（Poisson）分布 若隨機(jī)變量 的概率函數(shù)為則稱 服從參數(shù)為 的泊松分布，記為 。 若中

10、獎(jiǎng)的的概率為1%，連續(xù)購(gòu)買400次，則該人至少中獎(jiǎng)一次的概率為 。這表明隨著實(shí)驗(yàn)次數(shù)的增多，小概率事件是會(huì)發(fā)生的！顯然，泊松分布的概率函數(shù) 滿足： (1) 非負(fù)性：； (2) 規(guī)范性： 概率統(tǒng)計(jì)教研室 2012泊松分布所能刻畫隨機(jī)現(xiàn)象： 服務(wù)臺(tái)在某時(shí)間段內(nèi)接待的服務(wù)次數(shù)； 交換臺(tái)在某時(shí)間段內(nèi)接到呼叫的次數(shù)； 礦井在某段時(shí)間發(fā)生事故的次數(shù)； 顯微鏡下相同大小的方格內(nèi)微生物的數(shù)目； 單位體積空氣中含有某種微粒的數(shù)目； 單位時(shí)間內(nèi)市級(jí)醫(yī)院急診病人數(shù)； 一本書中每頁(yè)印刷錯(cuò)誤的個(gè)數(shù)。 特別注意: 體積相對(duì)較小的物質(zhì)，在較大的空間內(nèi)的稀疏分布，都可以看作泊松分布，其參數(shù) 可以由觀測(cè)值的平均值求出。 概率統(tǒng)

11、計(jì)教研室 2012（設(shè) 時(shí)) (1) 非負(fù)性： 都是正整數(shù)，且為參數(shù)，則稱 服從參數(shù)為 的超幾何分布，記作 。 顯然，它的概率函數(shù)式滿足：設(shè)離散型隨機(jī)變量 的概率函數(shù)為： 5超幾何分布 (2) 規(guī)范性： 概率統(tǒng)計(jì)教研室 2012思考：幾個(gè)常見(jiàn)的離散型隨機(jī)變量分布的關(guān)系？ 概率統(tǒng)計(jì)教研室 2012作業(yè)：P75 習(xí)題二： 1. 2. 3. 概率統(tǒng)計(jì)教研室 2012成立，則稱 為連續(xù)型隨機(jī)變量。 為連續(xù)型隨機(jī)變量 的概率密度函數(shù)，簡(jiǎn)稱密度函數(shù)。 Def 設(shè)隨機(jī)變量 的分布函數(shù)為 ，如果存在非負(fù)的可積函數(shù) ，使得對(duì)任意的 ，有2.3 連續(xù)型隨機(jī)變量及其分布 2.3.1 連續(xù)型隨機(jī)變量 可以證明，連續(xù)型

12、隨機(jī)變量的分布函數(shù)是連續(xù)函數(shù)。隨機(jī)變量的概率密度函數(shù)具有如下兩條基本性質(zhì)：(1)(2) 概率統(tǒng)計(jì)教研室 2012(3) 對(duì)任意給定的 ， ；(4) 在 的連續(xù)點(diǎn)處，總有 ；(5) 連續(xù)型隨機(jī)變量 取任一點(diǎn) 的概率始終為零，即 證明：對(duì)任意的 ，令 ，則 由 ，有 由于 是連續(xù)型隨機(jī)變量，其分布函數(shù) 是連續(xù)函數(shù)，當(dāng) 時(shí)，有 所以 。 概率統(tǒng)計(jì)教研室 2012 該性質(zhì)表明連續(xù)型隨機(jī)變量的概率分布不能用逐點(diǎn)取值的概率表達(dá)，而只能用概率密度來(lái)表達(dá)。 由此，對(duì)于連續(xù)型隨機(jī)變量 ，有如下的結(jié)果：設(shè)任意的實(shí)數(shù) ，有 概率統(tǒng)計(jì)教研室 2012求系數(shù) 的值； 在區(qū)間內(nèi) 取值的概率； 的分布函數(shù)。 例2.14 設(shè)

13、隨機(jī)變量 的概率密度函數(shù)為:解：由概率密度函數(shù)性質(zhì)（2）知 所以 概率統(tǒng)計(jì)教研室 2012當(dāng) 時(shí)， ； 當(dāng) 時(shí)， 當(dāng) 時(shí)， 由式 知從而得 概率統(tǒng)計(jì)教研室 2012 例2.15 設(shè)隨機(jī)變量 的分布函數(shù)為 求系數(shù) ； 在區(qū)間 內(nèi)取值的概率； 的密度函數(shù)。解：由 ， ，有 概率統(tǒng)計(jì)教研室 2012 解得 ， 。 注意：如果隨機(jī)變量 具有以上形式的密度函數(shù) ，則 稱服從柯西分布(Cauchy distribution)。 概率統(tǒng)計(jì)教研室 2012Def 若隨機(jī)變量 的概率密度函數(shù)為則稱隨機(jī)變量 服從區(qū)間 上的均勻分布，記為 均勻分布所能刻畫隨機(jī)現(xiàn)象： “等可能”地取區(qū)間 中的值。這里的“等可能”理解

14、為： 落在區(qū)間 中任意等長(zhǎng)度的子區(qū)間內(nèi)的可能性是相同的；或者說(shuō)它落在子區(qū)間內(nèi)的概率只依賴于子區(qū)間的長(zhǎng)度而與子區(qū)間的位置無(wú)關(guān)。這正是幾何概型的情形。 2.3.2 幾個(gè)常見(jiàn)的連續(xù)型隨機(jī)變量的概率分布 1. 均勻分布（Uniform Distribution） 概率統(tǒng)計(jì)教研室 2012即 ，則對(duì)任意滿足 的 ，總有 這表明， 落在 的子區(qū)間 上的概率，只與子區(qū)間的長(zhǎng)度 有關(guān)（成正比），而與子區(qū)間在區(qū)間 中的具體位置無(wú)關(guān)。 均勻分布無(wú)論在理論上還是應(yīng)用上都非常有價(jià)值。例2.16 某市規(guī)定公共汽車每隔10分鐘發(fā)一趟班車，即每隔10分鐘就要有一輛公共汽車經(jīng)過(guò)公共汽車站。一位乘客隨機(jī)地來(lái)到一個(gè)公共汽車站，問(wèn)

15、等車時(shí)間在5分鐘之內(nèi)的概率是多少？ 概率統(tǒng)計(jì)教研室 2012解： 設(shè)公共汽車均勻地來(lái)到車站，乘客的等車時(shí)間可以看作是區(qū)間 上的均勻分布。則有 若用分布函數(shù)計(jì)算有 概率統(tǒng)計(jì)教研室 2012 均勻分布的概率密度函數(shù)滿足(1) 非負(fù)性： (2) 規(guī)范性： 其圖像為圖2.1 概率統(tǒng)計(jì)教研室 2012均勻分布的分布函數(shù)為求解過(guò)程黑板演示。 概率統(tǒng)計(jì)教研室 2012 2. 指數(shù)分布（Exponential Distribution） Def 若隨機(jī)變量 的概率密度函數(shù)為則稱隨機(jī)變量 服從參數(shù)為 的指數(shù)分布，記為 例2.17 設(shè) 在 上服從均勻分布，求方程有實(shí)根的概率。 解: 方程有實(shí)數(shù)根等價(jià)于 ，即 ；

16、所求概率為 。 概率統(tǒng)計(jì)教研室 2012 指數(shù)分布的概率密度函數(shù)滿足 （1）非負(fù)性： ； （2）歸一性： 其圖像為： 概率統(tǒng)計(jì)教研室 2012 指數(shù)分布的分布函數(shù)為： 求解過(guò)程與均勻分布類似，省略。 指數(shù)分布所能刻畫隨機(jī)現(xiàn)象： 隨機(jī)服務(wù)系統(tǒng)中的服務(wù)時(shí)間； 電話的通話時(shí)間； 無(wú)線電元件的壽命；動(dòng)植物的壽命。 概率統(tǒng)計(jì)教研室 2012 例2.18 設(shè) 服從參數(shù)為3的指數(shù)分布，試寫出它的密度函數(shù)并求 。 解: 的概率密度為 例2.19 多年統(tǒng)計(jì)經(jīng)驗(yàn)表明，某廠生產(chǎn)的電視機(jī)壽命 （單位：萬(wàn)小時(shí)）。某人購(gòu)買了一臺(tái)該廠生產(chǎn)的電視機(jī)，問(wèn)其壽 命超過(guò)4萬(wàn)小時(shí)的概率是多少？ 解：所求的概率為 概率統(tǒng)計(jì)教研室 20

17、12其中 ， ， 為參數(shù)，分別為形狀、尺度和位置參數(shù)。則稱 服從威布爾分布（Weibull distribution），記作 。 若連續(xù)型隨機(jī)變量 具有密度函數(shù) 3威布爾分布 概率統(tǒng)計(jì)教研室 2012 當(dāng)參數(shù) ， 時(shí)， 變?yōu)闉榍懊娼榻B過(guò)的指數(shù)分布 ，這里參數(shù) 。 對(duì)于參數(shù)取不同的值，可以得出不同的曲線，其多樣性使威布爾分布的適應(yīng)性比較廣泛，在很多方面都有應(yīng)用，比如在農(nóng)林科學(xué)中可以用以描述樹(shù)高和胸徑的近似分布。 概率統(tǒng)計(jì)教研室 2012 其中參數(shù) 滿足 ，則稱隨機(jī)變量 服從參數(shù)為 的正態(tài)分布，記為 。 2.4 正態(tài)分布（Normal Distribution）2.4.1正態(tài)分布 Def 若隨機(jī)變

18、量 的概率密度函數(shù)為 概率統(tǒng)計(jì)教研室 2012正態(tài)分布概率密度函數(shù)的圖像特點(diǎn)： 圖像呈單峰狀； 圖像關(guān)于直線 對(duì)稱； 圖像在點(diǎn) 處有拐點(diǎn)； 圖像以 軸為水平漸近線。Gauss參數(shù) 對(duì)密度曲線的影響 相同 不同密度曲線情況位置參數(shù)變化 概率統(tǒng)計(jì)教研室 2012 相同 不同密度曲線情況形狀參數(shù)變化 正態(tài)分布的密度函數(shù)滿足：（1）非負(fù)性 （2）歸一性 概率統(tǒng)計(jì)教研室 2012 正態(tài)分布的分布函數(shù)為 其圖像是一條S型曲線，如下 概率統(tǒng)計(jì)教研室 2012正態(tài)分布所能刻畫隨機(jī)現(xiàn)象： 若隨機(jī)變量 受到眾多相互獨(dú)立的隨機(jī)因素的影響，每一個(gè)別因素的影響都是微小的，而且這些影響具有加性特征則 服從正態(tài)分布。例如：

19、 各種測(cè)量的誤差；人的生理特征指標(biāo)； 工廠產(chǎn)品的尺寸；農(nóng)作物的收獲量； 海洋波浪的高度；金屬線的抗拉強(qiáng)度； 熱噪聲電流強(qiáng)度；學(xué)生們的考試成績(jī)等等。正態(tài)分布是概率論中最重要的分布，體現(xiàn)在以下方面： 正態(tài)分布是自然界及工程技術(shù)中最常見(jiàn)的分布之一，大量的 隨機(jī)現(xiàn)象都是服從或近似服從正態(tài)分布的。事實(shí)上如果一個(gè)隨機(jī)指標(biāo)受到諸多因素的影響，但其中任何一個(gè)因素都不起決定性作用，則該隨機(jī)指標(biāo)一定服從或近似服從正態(tài)分布。 正態(tài)分布可以作為許多分布的近似分布。 正態(tài)分布有許多其它分布所不具備的良好的性質(zhì)。 概率統(tǒng)計(jì)教研室 20122.4.2 標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布 定義：在正態(tài)分布的概率密度函數(shù)中，如果 時(shí)，即若隨機(jī)變量

20、的概率密度為 則稱 服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布（Standard Normal istrution），記作 其分布函數(shù)為 概率統(tǒng)計(jì)教研室 2012標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的密度函數(shù)圖為：由圖可以看出，該曲線為以 軸為對(duì)稱軸的單峰曲線。 概率統(tǒng)計(jì)教研室 2012 標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的計(jì)算 可以由分布函數(shù)與其密度函數(shù)的關(guān)系解決： 因?yàn)?，所以 直接查標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的分布函數(shù)表 即可解決概率計(jì)算。 思考：一般正態(tài)分布的概率計(jì)算也可以制表解決么？為什么？ 概率統(tǒng)計(jì)教研室 2012利用查表法計(jì)算標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的分布函數(shù)值 例2.20 設(shè)隨機(jī)變量 ，試求 解: 查表知 所以有 概率統(tǒng)計(jì)教研室 2012 一般正態(tài)分布的概率計(jì)算（標(biāo)準(zhǔn)化變換

21、） 分布函數(shù) 在求解一般正態(tài)分布的概率計(jì)算問(wèn)題時(shí)，先將其轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布問(wèn)題，然后利用查表法可計(jì)算標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的分布函數(shù)值，從而解決概率計(jì)算問(wèn)題。 概率統(tǒng)計(jì)教研室 2012定理2.4.1 設(shè) ，令 ，則 也是一個(gè)隨機(jī)變量，且 。 證明：設(shè)隨機(jī)變量 的分布函數(shù)為 ，概率密度函數(shù)為 。由分布函數(shù)的定義知 概率統(tǒng)計(jì)教研室 2012 由此，易知隨機(jī)變量 的概率密度函數(shù)為 這恰好是標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的概率密度函數(shù)，所以 。 這里稱變換 為標(biāo)準(zhǔn)化變換。 若 ，則 的分布函數(shù)為 概率統(tǒng)計(jì)教研室 2012從而有 也就是說(shuō)，借助標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的分布函數(shù)表即可解決一般正態(tài)分布隨機(jī)變量的概率計(jì)算問(wèn)題。 概率統(tǒng)計(jì)教研室 2

22、012例2.21 設(shè) ，計(jì)算 的值。解： 概率統(tǒng)計(jì)教研室 2012例2.22 若 ，求 的值，此處 為常數(shù)。解： 概率統(tǒng)計(jì)教研室 2012由上例題可以得到，常用來(lái)作為質(zhì)量控制依據(jù)的“ ”準(zhǔn)則。即 據(jù)此認(rèn)為 隨機(jī)變量 落在 之外幾乎不可能，因?yàn)槠涓怕蕛H為0.26%。 概率統(tǒng)計(jì)教研室 2012 2.4.3 標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的分位數(shù) 雙側(cè)分位數(shù) Def 設(shè)隨機(jī)變量 ，對(duì)于給定的 ，如果實(shí)數(shù) 滿足 ，則稱 為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布關(guān)于 的雙側(cè)分位數(shù)。 標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布雙側(cè)分位數(shù)的意義如下圖所示。 標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布雙側(cè)分位數(shù)的計(jì)算：由定義可知 直接查附表即可。 概率統(tǒng)計(jì)教研室 2012統(tǒng)計(jì)中常用的標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的雙側(cè)分位數(shù)有

23、概率統(tǒng)計(jì)教研室 2012單側(cè)分位數(shù) 設(shè) ，若有 滿足 ，則稱 為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的 上側(cè)分位數(shù)。 設(shè) 若有 滿足 ，則稱 為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的 下側(cè)分位數(shù)。 上下側(cè)分位數(shù)的意義如下圖所示。 概率統(tǒng)計(jì)教研室 2012上側(cè)分位數(shù)下側(cè)分位數(shù) 概率統(tǒng)計(jì)教研室 2012上側(cè)分位數(shù)的計(jì)算： 由定義知 ，查標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù)值表即可得 ?；蛘呖捎呻p側(cè)分位數(shù)與上側(cè)分位數(shù)之間的關(guān)系求得： 即關(guān)于 的上側(cè)分位數(shù)就等于關(guān)于 的雙側(cè)分位數(shù)。下側(cè)分位數(shù)的計(jì)算： 下側(cè)分位數(shù)就等于上側(cè)分位數(shù)的相反數(shù)。 例如： 概率統(tǒng)計(jì)教研室 2012一般正態(tài)分布的分位數(shù)計(jì)算： 對(duì)一般正態(tài)分布的隨機(jī)變量 ，要求 的 。 先由 查標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表可得 再

24、由 求得分位數(shù) 概率統(tǒng)計(jì)教研室 2012例2.23 某省高考采用標(biāo)準(zhǔn)化計(jì)分方法，并認(rèn)為考生成績(jī) 服從正態(tài)分布 。如果某一科的錄取率為30.9%，問(wèn)錄取分?jǐn)?shù)線應(yīng)劃定在多少分以上？ 解：假設(shè)錄取分?jǐn)?shù)線應(yīng)劃定在 分以上，由來(lái)確定 由于 查正態(tài)分布表得 故 概率統(tǒng)計(jì)教研室 2012作業(yè)：P75 習(xí)題二： 5. 6. 8. 9. 10. 概率統(tǒng)計(jì)教研室 2012 例2.24 已知 的分布如下。求 及 的概率分布。 在實(shí)際問(wèn)題中，不僅要研究隨機(jī)變量，往往還要研究隨機(jī)變量函數(shù)的分布。本節(jié)將討論如何由已知的隨機(jī)變量 的分布，求 的函數(shù) 的分布。在這里， 是一個(gè)已知的連續(xù)函數(shù)。 2.5 隨機(jī)變量函數(shù)的分布 2.

25、5.1離散型隨機(jī)變量函數(shù)的分布 -1 0 1 2 0.2 0.3 0.1 0.4解 ， 的分布如表2.7與表2.8所示。 概率統(tǒng)計(jì)教研室 2012 -2 0 2 40.2 0.3 0.1 0.4 0 1 4 0.1 0.7 0.2 概率統(tǒng)計(jì)教研室 2012這個(gè)例子給出了計(jì)算離散型隨機(jī)變量函數(shù)分布的一般方法，歸納起來(lái)如下： 設(shè) 是離散型隨機(jī)變量，概率分布如下表, 是連續(xù)函數(shù)，則 也是離散型隨機(jī)變量。求 的概率分布步驟如下：（1）計(jì)算 的函數(shù)值（2）計(jì)算相應(yīng)取值的概率，分兩種情況： 概率統(tǒng)計(jì)教研室 2012（1）用隨機(jī)變量 的概率密度函數(shù)表示 的分布函數(shù)；（2）對(duì) 的分布函數(shù)關(guān)于 求導(dǎo)，得 的概率

26、密度函數(shù)。 2.5.2 連續(xù)型隨機(jī)變量函數(shù)的分布 連續(xù)型隨機(jī)變量函數(shù)的概率密度 的一般計(jì)算方法，即所謂的分布函數(shù)法：若 兩兩互不相同，則 的概率分布為 若 中有相同的取值，則將這些相同的值合并，把相應(yīng)的概率函數(shù)的 取值相加，就得出 的概率分布。 概率統(tǒng)計(jì)教研室 2012 例2.25 設(shè)隨機(jī)變量 ，令 ，求 的概率密度函數(shù)。解：設(shè) 分別為隨機(jī)變量 的分布函數(shù)與概率密度函數(shù)，則當(dāng) 時(shí)，有 當(dāng) 時(shí)，有 又由 得的概率密度函數(shù)為 概率統(tǒng)計(jì)教研室 2012通常稱上式中的 服從對(duì)數(shù)正態(tài)分布（Logarithms Normal Distribution），它是研究壽命問(wèn)題常用的概率分布。 概率統(tǒng)計(jì)教研室 2

27、012 例2.26 已知連續(xù)型隨機(jī)變量 的密度函數(shù)是 ，求 的概率密度函數(shù)。解：令 的分布函數(shù)為 ，而 是 的分布函數(shù)， 是 的密度函數(shù)。由分布函數(shù)的定義有當(dāng) 時(shí)， 不可能成立，故 ， 當(dāng) 時(shí)，從而有 概率統(tǒng)計(jì)教研室 2012所以， 的概率密度函數(shù)為 例2.27 設(shè) 為連續(xù)型隨機(jī)變量，令 （ 為任意實(shí)數(shù)），求 的概率分布。 概率統(tǒng)計(jì)教研室 2012當(dāng) 時(shí)，解：設(shè) 的分布函數(shù)與密度函數(shù)分別為 ， ，則當(dāng) 時(shí) 概率統(tǒng)計(jì)教研室 2012所以， 的密度函數(shù)為 例2.28 設(shè) ，即概率密度函數(shù)為求 的概率分布。（2.5.1） 概率統(tǒng)計(jì)教研室 2012解：令 的密度函數(shù)為 ，由上例的結(jié)果有 顯然， 服從正

28、態(tài)分布 。這一結(jié)果表明：服從正態(tài)分布的隨機(jī)變量的線性函數(shù)仍為正態(tài)分布， 概率統(tǒng)計(jì)教研室 2012求連續(xù)型隨機(jī)變量函數(shù)分布的方法還有公式法： 定理2.5.1 設(shè) 的密度函數(shù)為 ，令 。如果 是嚴(yán)格單調(diào)函數(shù)，且處處可導(dǎo)。則 是連續(xù)型隨機(jī)變量，其密度函數(shù)為其中 為 的反函數(shù)。 證明略。 概率統(tǒng)計(jì)教研室 2012 例2.29 設(shè)隨機(jī)變量 ，令 。求 的概率密度函數(shù)。 解：設(shè) 的密度函數(shù)為 。由于是嚴(yán)格的單調(diào)上升的可導(dǎo)增函數(shù)，其反函數(shù) 也是嚴(yán)格單調(diào)上升的可導(dǎo)函數(shù)。從而，由上述定理知的 概率密度函數(shù)為： 概率統(tǒng)計(jì)教研室 20122.6隨機(jī)變量的數(shù)字特征 在前面的課程中，我們討論了隨機(jī)變量及其分布，如果知道

29、了隨機(jī)變量 的概率分布，那么， 的全部概率特征也就知道了. 然而，在實(shí)際問(wèn)題中，概率分布一般是較難確定的.而在一些實(shí)際應(yīng)用中，人們并不需要知道隨機(jī)變量的一切概率性質(zhì)，只要知道它的某些數(shù)字特征就夠了. 因此，在對(duì)隨機(jī)變量的研究中，確定某些數(shù)字特征是重要的 . 概率統(tǒng)計(jì)教研室 2012 2.6.1 數(shù)學(xué)期望 以頻率為權(quán)重的加權(quán)平均 ，反映了這7位同學(xué)高數(shù)成績(jī)的平均狀態(tài)。 1 引例 用7名學(xué)生的高數(shù)成績(jī)來(lái)考察高數(shù)的成績(jī)狀況。設(shè)某7學(xué)生的高數(shù)成績(jī)?yōu)?0，85，85，80，80，75，60，則他們的平均成績(jī)?yōu)?概率統(tǒng)計(jì)教研室 2012分析： 如果選擇另外的7名學(xué)生做同樣的考查，則會(huì)得到一組不同的頻率，由

30、此可知頻率具有觀測(cè)的隨機(jī)波動(dòng)性，用概率代替頻率，則可消除隨機(jī)波動(dòng)對(duì)頻率的影響。由此得到的平均值為理論上真正的平均值，且其為確定的數(shù)值，我們稱其為隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望。 概率統(tǒng)計(jì)教研室 2012數(shù)學(xué)期望的定義 定義2.6.1 （離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望） 設(shè)離散型隨機(jī)變量 的概率函數(shù)為 若級(jí)數(shù) 絕對(duì)收斂，則稱 的值為離散型隨 機(jī)變量 的數(shù)學(xué)期望，簡(jiǎn)稱期望或均值，記作 。即若級(jí)數(shù) ，則稱 的數(shù)學(xué)期望不存在。 概率統(tǒng)計(jì)教研室 2012定義2.6.2 （連續(xù)型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望） 設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量 的概率密度函數(shù)為 ，若積分 絕對(duì)收斂，則稱 的值為連續(xù)型隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望，簡(jiǎn)稱期望或均值，記作 。即

31、若 ，則稱X的數(shù)學(xué)期望不存在 概率統(tǒng)計(jì)教研室 2012 隨機(jī)變量數(shù)學(xué)期望的意義 隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望反映了隨機(jī)變量所有可能取值的平均值，是隨機(jī)變量取值的最好代表。 例2.30 已知隨機(jī)變量 的概率分布率為 求 解：由離散型隨機(jī)變量數(shù)學(xué)期望定義得 4561/41/21/4 概率統(tǒng)計(jì)教研室 2012例2.31 設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量 的概率密度函數(shù)為求 解：由定義可得或利用奇函數(shù)的性質(zhì) 概率統(tǒng)計(jì)教研室 2012常用隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望 （1）兩點(diǎn)分布 若隨機(jī)變量 服從兩點(diǎn)分布，即其分布列為 其中則 （2）二項(xiàng)分布 若 ，則其概率函數(shù)為 概率統(tǒng)計(jì)教研室 2012 其中故 所以 ，則 概率統(tǒng)計(jì)教研室 2012用

32、 表示一天中調(diào)整設(shè)備的次數(shù)，則 ，其中 ，所求期望 例2.32 某種產(chǎn)品的次品率為0.1，檢驗(yàn)員每天檢驗(yàn)4次，每次隨機(jī)抽取10件產(chǎn)品進(jìn)行檢驗(yàn)，如果發(fā)現(xiàn)其中次品數(shù)大于1，則應(yīng)調(diào)整設(shè)備。設(shè)各種產(chǎn)品是否為次品是相互獨(dú)立的，求一天中調(diào)整設(shè)備次數(shù)的期望。 解：用 表示10件產(chǎn)品中次品數(shù)，則 ，從而每次檢驗(yàn)后需要調(diào)整設(shè)備的概率 概率統(tǒng)計(jì)教研室 2012（3）泊松分布 若 ，則其概率函數(shù)為其中 于是所以若 ，則 概率統(tǒng)計(jì)教研室 2012（4）超幾何分布 若 ，則其概率函數(shù)為故 概率統(tǒng)計(jì)教研室 2012所以若 ，則（5）均勻分布 若 ，則其概率密度函數(shù)為于是 概率統(tǒng)計(jì)教研室 2012（6）指數(shù)分布 若 ，則其

33、概率密度函數(shù)為 其中 故 概率統(tǒng)計(jì)教研室 2012（7）正態(tài)分布 若 ，則其概率密度函數(shù)為 于是 概率統(tǒng)計(jì)教研室 2012說(shuō)明： （1）計(jì)算過(guò)程中，用到兩點(diǎn)，一是 因?yàn)楸环e函數(shù)是奇函數(shù)，且為關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱區(qū)間上的積分；二是 （2）結(jié)果說(shuō)明正態(tài)分布的數(shù)學(xué)期望正是它的第一個(gè)參數(shù)，即 是正態(tài)隨機(jī)變量取值的中心。 概率統(tǒng)計(jì)教研室 2012 一元隨機(jī)變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望是隨機(jī)變量 的函數(shù)（1）離散型（2）連續(xù)型 概率統(tǒng)計(jì)教研室 2012該公式的重要性在于: 當(dāng)我們求Eg(X)時(shí), 不必知道g(X)的分布，而只需知道X的分布就可以了. 這給求隨機(jī)變量函數(shù)的期望帶來(lái)很大方便.解：因?yàn)?概率統(tǒng)計(jì)教研室 2012

34、例2.34 已知 的分布表如下，試求 及 的數(shù)學(xué)期望。 解： 概率統(tǒng)計(jì)教研室 2012利用X的分布可求出 的分布是自由度為1的卡方分布 即若 ，則 ， 且 。 例2.35 已知隨機(jī)變量 ，求 的數(shù)學(xué)期望。解：由定義計(jì)算 概率統(tǒng)計(jì)教研室 2012 隨機(jī)變量數(shù)學(xué)期望的性質(zhì) 1. 設(shè)C是常數(shù)，則E(C)=C； 2. 若k是常數(shù)，如果隨機(jī)變量 的數(shù)學(xué)期望存在，則 的數(shù)學(xué)期望也存在，即E(kX)=kE(X)； 3. 如果隨機(jī)變量 的數(shù)學(xué)期望存在，則 的數(shù)學(xué)期望也存在，即 概率統(tǒng)計(jì)教研室 2012例2.36 獨(dú)立地操作兩臺(tái)儀器，他們發(fā)生故障的概率分別為p1和p2.證明：產(chǎn)生故障的儀器數(shù)目的數(shù)學(xué)期望為 p1

35、 + p2設(shè)產(chǎn)生故障的儀器數(shù)目為X則X的所有可能取值為0,1,2所以，產(chǎn)生故障的儀器數(shù)目的數(shù)學(xué)期望 概率統(tǒng)計(jì)教研室 2012數(shù)學(xué)期望在醫(yī)學(xué)上的一個(gè)應(yīng)用An application of Expected Value in Medicine 考慮用驗(yàn)血的方法在人群中普查某種疾病。集體做法是每10個(gè)人一組，把這10個(gè)人的血液樣本混合起來(lái)進(jìn)行化驗(yàn)。如果結(jié)果為陰性，則10個(gè)人只需化驗(yàn)1次；若結(jié)果為陽(yáng)性，則需對(duì)10個(gè)人再逐個(gè)化驗(yàn)，總計(jì)化驗(yàn)11次。假定人群中這種病的患病率是10%，且每人患病與否是相互獨(dú)立的。試問(wèn)：這種分組化驗(yàn)的方法與通常的逐一化驗(yàn)方法相比，是否能減少化驗(yàn)次數(shù)？分析：設(shè)隨機(jī)抽取的10人組所

36、需的化驗(yàn)次數(shù)為X，需要計(jì)算X的數(shù)學(xué)期望，然后與10比較 概率統(tǒng)計(jì)教研室 2012 化驗(yàn)次數(shù)X的可能取值為1，11先求出化驗(yàn)次數(shù)X的分布律X=1=“10人都是陰性”X=11=“至少1人陽(yáng)性”結(jié)論：分組化驗(yàn)法的次數(shù)少于逐一化驗(yàn)法的次數(shù)。注意求 X期望值的步驟！問(wèn)題的進(jìn)一步討論 1.概率p對(duì)是否分組的影響？2.概率p對(duì)每組人數(shù)n的影響? 概率統(tǒng)計(jì)教研室 2012 數(shù)學(xué)期望在使用過(guò)程中也有不便之處，主要是由于對(duì)于比較復(fù)雜的分布,計(jì)算上比較繁瑣；對(duì)于有的分布，數(shù)學(xué)期望不存在；用試驗(yàn)觀測(cè)數(shù)據(jù)計(jì)算數(shù)學(xué)期望時(shí)，若試驗(yàn)觀測(cè)數(shù)據(jù)中有一些離群的數(shù)據(jù)（通常是指極大、極小的極端值），而又沒(méi)有充分根據(jù)剔除它們的時(shí)候，用數(shù)

37、學(xué)期望來(lái)代表全體數(shù)據(jù)取值的平均水平不是很理想。為此，概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)中，引入如下定義表達(dá)“平均值”的數(shù)字特征。 概率統(tǒng)計(jì)教研室 2012 中位數(shù) 定義2.6.3 設(shè) 是隨機(jī)變量 的分布函數(shù)，如果存在實(shí)數(shù) ，使得 ，則稱實(shí)數(shù) 為隨機(jī)變量 的中位數(shù)，記作： 說(shuō)明： 直觀上， 的中位數(shù) 反映“ 取值比 小及比 大的可能性相等”這種意義下的“平均值”。 例2.37 設(shè) ，試求其中位數(shù) 解：因?yàn)?，故 ，于是 正態(tài)分布的中位數(shù)與數(shù)學(xué)期望一致。 概率統(tǒng)計(jì)教研室 2012例2.38 設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量 的分布函數(shù)為求 ； 。 解： 首先求出密度函數(shù)由于所以 不存在。 概率統(tǒng)計(jì)教研室 2012因?yàn)橐?，即須

38、，所以 是其中位數(shù)，即 概率統(tǒng)計(jì)教研室 2012作業(yè)：P75 習(xí)題二： 1113. 17. 20. 21. 23. 概率統(tǒng)計(jì)教研室 2012 2.6.2 方差 Variance 定義：設(shè) 是一隨機(jī)變量，如果 存在，則稱為 的方差，記作 或 方差的計(jì)算公式 與 有相同的量綱均方差（標(biāo)準(zhǔn)差） 即 概率統(tǒng)計(jì)教研室 2012引理： 概率統(tǒng)計(jì)教研室 2012離散型設(shè)離散型隨機(jī)變量X的概率分布為連續(xù)型設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量X的分布密度為 f (x)方差的統(tǒng)計(jì)意義 隨機(jī)變量的方差反映了隨機(jī)變量所有可能取值偏離其均值 的平均偏差程度。 常見(jiàn)隨機(jī)變量的方差 概率統(tǒng)計(jì)教研室 20121二點(diǎn)分布 由前面知識(shí)可知 ，而所以 2二項(xiàng)分布 設(shè)