1、第一章緒論1.1由黑體輻射公式導(dǎo)出維思位移定律，能量密度極大值所對應(yīng)的波長入w與溫 度T成反比，即、=b （常數(shù)），并近似計算b的數(shù)值，準(zhǔn)確到二位有 效值。解：由黑體輻射公式，頻率在v與v + dv之間的輻射能量密度為p dvv TOC o 1-5 h z 8兀hv 31,p dvvdv HYPERLINK l bookmark4 o Current Document C3hvekT 1由此可以求出波長在人與人+ d人之間的能量密度P由于ldvl=+ 血由于p (X )dX = 8：阮1d人A5-hc因而有：ekfk 1hc x =kTX所以有：.1所以有：.1p (X) = Axsex 一

2、148 兀 k 5f 5A =h 4C 4常數(shù))嶺=0dX有修=AdX1修=AdX1ex 1xsex(ex 1)2dx= 0 dXx(1 - )ex = 1于是，得：5該方程的根為x = 4.965X T =竺=0.2014 竺 因此，可以給出，m xkk即XmT = b（常數(shù)）其中hc b = 0.2014其中hc b = 0.2014蘭 k6.62559 x 10-34 x 2.997925 x 108=0.2014 x1.380546 x 10-23=2.898 x 10-3 m - k注8k/zV3 1PV 根據(jù)C3。建-1可求能量密度最大值的頻率:hvX kTp =膈_v er -1

3、.8兀婦丁3p =膈_v er -1A =。3力2 )dp d.1 n dx 八=Ax3=0dv dx ex _ dvex = l因而可得此方程的解x = 2.821Vmax hv =bTmax= TV -i = bmax時= 2.82止= 2.82180546x10-23其中h6.62559x10-34其中=5.878 xlOM st這里求得max與前面求得的、ax換算成的L 的表示不一致。1.2在附近，鈉的價電子能量約為3電子伏，求其德布羅意波長。人一解德布羅意公式為 PE上因為價電子能量很小，故可用非相對論公式2h代入德布羅意公式得這里利用了電子能量E = eV 這里利用了電子能量E =

4、 eV o將普朗克常數(shù)”，電子質(zhì)量和電子電量電。的數(shù)值代入后可得h12.25 0取u=3,上式給出x = 7.08A3”1.3氮原子的動能=2（ k為玻耳茲曼常數(shù)），求T =1k時，氮原子的德布羅意波長。解當(dāng)T = 1k時，氮原子的動能E = 2k氦原子是由兩個質(zhì)子、兩個中子以及兩個電子組成，其質(zhì)量目=2 m + 2 m + 2 m=2(m + m + m ) 2(m + m )=2 - (1.67252 +1.67482) x 10-27 kg=6.6947 x 10-27 kg所以氦原子在T =1k時的德布羅意波長6.62559 x 10-342x 6.6947 x 10-27 x 3x

5、1.38054x 10-23；2=1.258 x 10-9(m) = 12.58 A1.4.利用玻爾一一索末菲的量子化條件求：（1）一維諧振子的能量；（2）在均勻磁場中作圓周運動的電子軌道的可能半徑。解（1）方法一：量子化條件 pdq = nh，一維諧振子的能量為P 21E = + - UW2q22日2f 匕）+ 土 =12可化為M岬2 J上式表明，在相平面中，其軌跡為一橢圓。兩半軸分別為b _ i 2 Ea = 2pE 呻 2這個橢圓的面積為.:2 E 2冗 E E pdq =冗ab =兀 2 pE ，= = nh岬2 v故E = nhv，該式表明，一維諧振子的能量是量子化的。方法二：一維諧

6、振子的方程為q + w 2q = 0其解為q = A sin(t + 5)dq = A cos( t + 5 )dt而p = pq = Ap cos( t + 5)pdq = pA2W2cos2(w t + 5)dt = A2W2T = A2W2 = nh022vp 21A2W 2 p 2 COS2(Wt +5) 12pE =+ pw2q2 =+ pw2A2 Sin2(w t + 52p而 2p 22p2=1 pw 2 A 2 = nhv2（2）設(shè)磁場方向垂直于電子運動方向，電子受到的洛侖茲力作為它作圓周 運動的向心力，于是有eu 2-Hu = p c RpcueH這時因為沒有考慮量子化，因此

7、R是連續(xù)的。應(yīng)用玻耳一索末菲量子化條件/ pdq/ pdq= nh把電子作圓周運動的半徑轉(zhuǎn)過的角度中作為廣義坐標(biāo)，則對應(yīng)的廣義動量為角動P中2 P中2 PR 2(P 22冗eH _一J P里 _ J 2兀 pRud里 _ 2兀puR _R 2 _ nh其中方其中方_k2兀，可見電子軌道的可能半徑是不連續(xù)的。討論：由本題的結(jié)果看出，玻爾一索末菲軌道量子化條件和普朗克能量量子化 的要求是一致的。求解本題的（1）時，利用方法（一）在計算上比方法（二）簡單，但 方法（一）只在比較簡單的情況，例如能直接看出相空間等能面的形狀 時才能應(yīng)用。而方法（二）雖然比較麻煩，但更有一般性。r 1 本題所得的諧振子能

8、量，與由量子力學(xué)得出的能量一T 2J 相比較，我們發(fā)現(xiàn)由玻爾一索末菲量子化條件不能得出零點能E0_ 2所。但 能級間的間隔則完全相同。前一事實說明玻爾理論的不徹底性，它是經(jīng) 典力學(xué)加上量子化，它所得出的結(jié)果與由微觀世界所遵從的規(guī)律一一量 子力學(xué)得出的結(jié)果有偏離就不足為奇了，這也說明舊量子論必須由量子 力學(xué)來代替。(dQ V nheBI dt I dt )2mheBA氣廣扁=Mb B根據(jù)統(tǒng)計物理學(xué)中的能均分定理，考慮到電子限制在平面內(nèi)運動，自由度為 2,所以電子在溫度T _ 4k。和T _ 100k。條件下的熱運動能分別為:E1= kT _ 4k _ 4 x 1.38054 x 10-23 _ 5.522 x 10-23 joulE2 = 100 = 1.38054 x 10-21joul又將 B = 10 特拉斯Mb= 9x 10-24joul/特拉斯代入（4）式E動=10 x 9 x 10-24 = 9 x 10-23joul比較以上的計算結(jié)果可知：按經(jīng)典統(tǒng)計理論計算較底溫度下電子的能量與按 舊量子理論計算的結(jié)果在數(shù)量級上非常接近，但在OK附近或較高溫度下，經(jīng)典 統(tǒng)計理論計算的結(jié)果與舊量子理論計算的結(jié)果相差甚遠(yuǎn)。1.5兩個光子在一定條件下可以轉(zhuǎn)化為正負(fù)電子對。如果兩光子的能量相等。 問要實現(xiàn)這種轉(zhuǎn)化，光子的波長最大是多少？解由能量