1、高等數(shù)學(xué)無窮級(jí)數(shù)課件第1頁，共53頁，2022年，5月20日，21點(diǎn)27分，星期四一、常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)及其斂散性 1常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的概念定義1 設(shè)給定一個(gè)數(shù)列 則表達(dá)式 （111） 稱為常數(shù)項(xiàng)無窮級(jí)數(shù)，簡(jiǎn)稱數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)，記作 即 其中第n 項(xiàng) 稱為一般項(xiàng)或通項(xiàng)第一節(jié) 常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)及其斂散性第2頁，共53頁，2022年，5月20日，21點(diǎn)27分，星期四例如，級(jí)數(shù) 的一般項(xiàng)為又如級(jí)數(shù)的一般項(xiàng)為 簡(jiǎn)言之，數(shù)列的和式稱為級(jí)數(shù).定義2 設(shè)級(jí)數(shù)的前項(xiàng)之和為 稱Sn為級(jí)數(shù)的前項(xiàng)部分和當(dāng)依次取1，2，3，時(shí)， 第3頁，共53頁，2022年，5月20日，21點(diǎn)27分，星期四新的數(shù)列 ， ，數(shù)列 稱為級(jí)數(shù) 的部分和數(shù)列若此數(shù)列的

2、極限存在，即 (常數(shù)),則S 稱為 的和，記作此時(shí)稱級(jí)數(shù) 收斂如果數(shù)列 沒有極限，則稱級(jí)數(shù) 發(fā)散，這時(shí)級(jí)數(shù)沒有和 第4頁，共53頁，2022年，5月20日，21點(diǎn)27分，星期四當(dāng)級(jí)數(shù)收斂時(shí)，其部分和 是級(jí)數(shù)和S的近似值，稱 為級(jí)數(shù)的余項(xiàng)，記作 ，即 例1 判定級(jí)數(shù) 的斂散性.解 已知級(jí)數(shù)的前n項(xiàng)和是：第5頁，共53頁，2022年，5月20日，21點(diǎn)27分，星期四因?yàn)?,所以這個(gè)級(jí)數(shù)收斂,其和為1.第6頁，共53頁，2022年，5月20日，21點(diǎn)27分，星期四例3 討論等比級(jí)數(shù)（也稱幾何級(jí)數(shù)）的斂散性. 第7頁，共53頁，2022年，5月20日，21點(diǎn)27分，星期四解 (1) 前n項(xiàng)和當(dāng) 時(shí)，

3、，所以級(jí)數(shù) 收斂，其和當(dāng) 時(shí)， 所以級(jí)數(shù) 發(fā)散.(2) 當(dāng) 時(shí)， 于是 第8頁，共53頁，2022年，5月20日，21點(diǎn)27分，星期四所以級(jí)數(shù) 發(fā)散. 當(dāng) 時(shí)， ，其前n項(xiàng)和顯然，當(dāng)n時(shí)，Sn沒有極限.所以，級(jí)數(shù) 發(fā)散.綜上所述，等比級(jí)數(shù) ，當(dāng) 時(shí)收斂, 當(dāng)時(shí)發(fā)散.結(jié)論記住 第9頁，共53頁，2022年，5月20日，21點(diǎn)27分，星期四注意 幾何級(jí)數(shù) 的斂散性非常重要.無論是用比較判別法判別級(jí)數(shù)的斂散性，還是用間接法將函數(shù)展開為冪級(jí)數(shù)，都經(jīng)常以幾何級(jí)數(shù)斂散性為基礎(chǔ).第10頁，共53頁，2022年，5月20日，21點(diǎn)27分，星期四2數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的基本性質(zhì) 性質(zhì)1 如果級(jí)數(shù) 收斂，其和為s, k為常數(shù)

4、，則級(jí)數(shù) 也收斂，其和為ks；如果級(jí)數(shù) 發(fā)散，當(dāng)k0時(shí)，級(jí)數(shù) 也發(fā)散.由此可知，級(jí)數(shù)的每一項(xiàng)同乘以不為零的常數(shù)后，其斂散性不變. . 第11頁，共53頁，2022年，5月20日，21點(diǎn)27分，星期四性質(zhì)2 若級(jí)數(shù) 與 分別收斂于與 ，則級(jí)數(shù) ，收斂于性質(zhì)3 添加、去掉或改變級(jí)數(shù)的有限項(xiàng)，級(jí)數(shù)的斂散性不變.性質(zhì)4 若級(jí)數(shù) 收斂，則對(duì)其各項(xiàng)間任意加括號(hào)后所得的級(jí)數(shù)仍收斂，且其和不變.應(yīng)當(dāng)注意，性質(zhì)4的結(jié)論反過來并不成立.即如果加括號(hào)后級(jí)數(shù)收斂，原級(jí)數(shù)未必收斂. . 第12頁，共53頁，2022年，5月20日，21點(diǎn)27分，星期四例如級(jí)數(shù) （1-1）+（1-1）+（1-1）+顯然收斂于零，但級(jí)數(shù)1+

5、1-1+1-1+卻是發(fā)散的. 第13頁，共53頁，2022年，5月20日，21點(diǎn)27分，星期四性質(zhì)5（級(jí)數(shù)收斂的必要條件） 若級(jí)數(shù) 收斂，則 例5判別級(jí)數(shù) 的斂散性解 因?yàn)樗约?jí)數(shù) 發(fā)散. 例6判別級(jí)數(shù) 的斂散性. 第14頁，共53頁，2022年，5月20日，21點(diǎn)27分，星期四解 級(jí)數(shù) 與級(jí)數(shù) 都收斂，故由性質(zhì)2知，級(jí)數(shù) 收斂.注意 性質(zhì)5可以用來判定級(jí)數(shù)發(fā)散：如果級(jí)數(shù)一般項(xiàng)不趨于零，則該級(jí)數(shù)必定發(fā)散.應(yīng)當(dāng)看到，性質(zhì)5只是級(jí)數(shù)收斂的必要條件，并不是級(jí)數(shù)收斂的充分條件，也就是說，即使 ，也不能由此判定級(jí)數(shù) 收斂.下面的例正說明了這一點(diǎn)： ，但級(jí)數(shù) 發(fā)散. 第15頁，共53頁，2022年，5月2

6、0日，21點(diǎn)27分，星期四例7 證明調(diào)和級(jí)數(shù) 是發(fā)散級(jí)數(shù).證 調(diào)和級(jí)數(shù)部分和 如圖，考察曲線 第16頁，共53頁，2022年，5月20日，21點(diǎn)27分，星期四 ，所圍成的曲邊梯形的面 積S與陰影表示的階梯形面積An之間的關(guān)系. 所以，陰影部分的總面積為它顯然大于曲邊梯形的面積S，即有第17頁，共53頁，2022年，5月20日，21點(diǎn)27分，星期四而 ，表明A的極限不存在，所以該級(jí)數(shù)發(fā)散.第18頁，共53頁，2022年，5月20日，21點(diǎn)27分，星期四二、正項(xiàng)級(jí)數(shù)及其斂散性如果 0（n=1,2,3），則稱級(jí)數(shù) 為正項(xiàng)級(jí)數(shù) 定理1 正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂的充分必要條件是它的部分和數(shù)列有界.例1 證明正項(xiàng)級(jí)數(shù)

7、 是收斂的證 因?yàn)橛谑菍?duì)任意的有 第19頁，共53頁，2022年，5月20日，21點(diǎn)27分，星期四即正項(xiàng)級(jí)數(shù)的部分和數(shù)列有界，故級(jí)數(shù) 收斂.定理2（比較判別法） 設(shè) 和 是兩個(gè)正項(xiàng)級(jí)數(shù)，且 (1)若級(jí)數(shù) 收斂，則級(jí)數(shù) 也收斂； (2)若級(jí)數(shù) 發(fā)散，則級(jí)數(shù) 也發(fā)散. 第20頁，共53頁，2022年，5月20日，21點(diǎn)27分，星期四例2 討論 級(jí)數(shù) （ ）的斂散性 （證明了解，結(jié)論）解 當(dāng) 時(shí)， ，因?yàn)?發(fā)散，所以由比較判別法知，當(dāng) 時(shí)，發(fā)散.當(dāng) 時(shí)，順次把 級(jí)數(shù)的第1項(xiàng)，第2項(xiàng)到第3項(xiàng)，4到7項(xiàng)，8到15項(xiàng)，加括號(hào)后得它的各項(xiàng)顯然小于級(jí)數(shù) 第21頁，共53頁，2022年，5月20日，21點(diǎn)27分

8、，星期四對(duì)應(yīng)的各項(xiàng)，而所得級(jí)數(shù)是等比級(jí)數(shù)，其公比為 ，故收斂，于是當(dāng) 時(shí)，級(jí)數(shù) 收斂.綜上所述， 級(jí)數(shù) 當(dāng) 時(shí)發(fā)散，當(dāng) 時(shí)收斂.注意 級(jí)數(shù)在判斷正項(xiàng)級(jí)數(shù)的斂散性方面經(jīng)常用到，因此有關(guān) 級(jí)數(shù)斂散性的結(jié)論必須牢記. 第22頁，共53頁，2022年，5月20日，21點(diǎn)27分，星期四 例3判定級(jí)數(shù) 的斂散性. 解 因?yàn)榧?jí)數(shù)的一般項(xiàng) 滿足而級(jí)數(shù)是p2的 級(jí)數(shù)，它是收斂的，所以原級(jí)數(shù)也是收斂的.第23頁，共53頁，2022年，5月20日，21點(diǎn)27分，星期四重要參照級(jí)數(shù):等比級(jí)數(shù), p-級(jí)數(shù)。定理3 比較判別法的極限形式:注:須有參照級(jí)數(shù). 比較審斂法的不方便第24頁，共53頁，2022年，5月20日，2

9、1點(diǎn)27分，星期四解發(fā)散.故原級(jí)數(shù)收斂.第25頁，共53頁，2022年，5月20日，21點(diǎn)27分，星期四定理4（達(dá)朗貝爾比值判別法） 設(shè) 是一個(gè)正項(xiàng)級(jí)數(shù)，并且 ，則 (1)當(dāng) 時(shí)，級(jí)數(shù)收斂； (2)當(dāng) 時(shí)，級(jí)數(shù)發(fā)散； (3)當(dāng) 時(shí)，級(jí)數(shù)可能收斂，也可能發(fā)散.例6 判別下列級(jí)數(shù)的斂散性 (1) ； (2) 第26頁，共53頁，2022年，5月20日，21點(diǎn)27分，星期四 解 (1) 所以級(jí)數(shù) 發(fā)散； (2)所以級(jí)數(shù) 收斂. 第27頁，共53頁，2022年，5月20日，21點(diǎn)27分，星期四解解第28頁，共53頁，2022年，5月20日，21點(diǎn)27分，星期四定理6(根值判別法，柯西判別法)設(shè) 為正項(xiàng)

10、級(jí)數(shù)，且（1）當(dāng) 時(shí)，級(jí)數(shù)收斂；（2）當(dāng) 時(shí)，級(jí)數(shù)發(fā)散；（3）當(dāng) 時(shí)級(jí)數(shù)可能收斂也可能 發(fā)散第29頁，共53頁，2022年，5月20日，21點(diǎn)27分，星期四注意:第30頁，共53頁，2022年，5月20日，21點(diǎn)27分，星期四解解比值審斂法失效.根值審斂法也一定失效.改用比較審斂法第31頁，共53頁，2022年，5月20日，21點(diǎn)27分，星期四要判別一個(gè)正項(xiàng)級(jí)數(shù)是否收斂，通常按下列步驟進(jìn)行：(1)用級(jí)數(shù)收斂的必要條件如果 ，則級(jí)數(shù)發(fā)散，否則需進(jìn)一步判斷. (2)用比值判別法 如果 ，即比值判別法失效，則改用比較判別法.(3)用比較判別法用比較判別法必須掌握一些斂散性已知的級(jí)數(shù)，以便與要判定的級(jí)

11、數(shù)進(jìn)行比較，經(jīng)常用來作為比較的級(jí)數(shù)有等比級(jí)數(shù)， 級(jí)數(shù)等. 第32頁，共53頁，2022年，5月20日，21點(diǎn)27分，星期四三、交錯(cuò)級(jí)數(shù)及其斂散性級(jí)數(shù) 稱為交錯(cuò)級(jí)數(shù).定理4（萊布尼茲判別法） 如果交錯(cuò)級(jí)數(shù) 滿足萊布尼茲(Leibniz)條件: (1) (2) 則級(jí)數(shù) 收斂，其和 S ，其余項(xiàng) 第33頁，共53頁，2022年，5月20日，21點(diǎn)27分，星期四例6 判定交錯(cuò)級(jí)數(shù) 的斂散性.解 此交錯(cuò)級(jí)數(shù) ，滿足： (1) ； (2) 由萊布尼茲判別法知級(jí)數(shù)收斂.四、絕對(duì)收斂與條件收斂 定義3 對(duì)于任意項(xiàng)級(jí)數(shù) ,若 收斂，則稱 是絕對(duì)收斂的；若 收斂，而 發(fā)散，則稱 是條件收斂的.第34頁，共53頁，

12、2022年，5月20日，21點(diǎn)27分，星期四定理5 絕對(duì)收斂的級(jí)數(shù)必是收斂的.例7 判定級(jí)數(shù) 的斂散性.解 因?yàn)?， 而級(jí)數(shù) 收斂，故由比較判別法可知級(jí)數(shù) 收斂，從而原級(jí)數(shù) 絕對(duì)收斂.第35頁，共53頁，2022年，5月20日，21點(diǎn)27分，星期四例8 判別級(jí)數(shù) 的斂散性，說明是否絕對(duì)收斂. 解 因?yàn)?故由比值判別法可知級(jí)數(shù) 收斂，所以原級(jí)數(shù) 絕對(duì)收斂.第36頁，共53頁，2022年，5月20日，21點(diǎn)27分，星期四例9 判別級(jí)數(shù) 是否絕對(duì)收斂. 解 因?yàn)?故由比值判別法可知級(jí)數(shù) 發(fā)散，從而原級(jí)數(shù) 不是絕對(duì)收斂. 第37頁，共53頁，2022年，5月20日，21點(diǎn)27分，星期四例10 證明級(jí)數(shù)

13、 條件收斂. 證 由萊布尼茲判別法知級(jí)數(shù) 收斂，而 為調(diào)和級(jí)數(shù)，它是發(fā)散的，故所給級(jí)數(shù)條件收斂.第38頁，共53頁，2022年，5月20日，21點(diǎn)27分，星期四 第二節(jié) 冪級(jí)數(shù) 一、冪級(jí)數(shù)的概念1.函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)如果級(jí)數(shù) 的各項(xiàng)都是定義在某個(gè)區(qū)間I上的函數(shù)，則稱該級(jí)數(shù)為函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)，un(x)稱為一般項(xiàng)或通項(xiàng).當(dāng)x在I中取某個(gè)特定值 時(shí)，函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)就是一個(gè)常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù).如果這個(gè)級(jí)數(shù)收斂，則稱點(diǎn) 為這個(gè)級(jí)數(shù)的一個(gè)收斂點(diǎn)。若發(fā)散，則稱點(diǎn) 為這個(gè)級(jí)數(shù)的發(fā)散點(diǎn).一個(gè)函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的收斂點(diǎn)的全體稱為它的收斂域. 對(duì)于收斂域內(nèi)的任意一個(gè)數(shù)x，函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)成為一個(gè)收斂的常數(shù)項(xiàng)級(jí) 數(shù)，因此有一個(gè)確定的和 S，在收斂域內(nèi)，函

14、數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的和是 x 的函數(shù) 第39頁，共53頁，2022年，5月20日，21點(diǎn)27分，星期四S(x)，通常稱S(x)為函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的和函數(shù)，即 其中 x 是收斂域內(nèi)的任一點(diǎn).將函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的前項(xiàng)和記作 ，則在收斂域上有 2.冪級(jí)數(shù)的概念 形如 第40頁，共53頁，2022年，5月20日，21點(diǎn)27分，星期四的函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)，稱為 的冪級(jí)數(shù)，其中常數(shù) 稱為冪級(jí)數(shù)的系數(shù). 當(dāng) 0時(shí)，冪級(jí)數(shù)變?yōu)榉Q為 x 的冪級(jí)數(shù). (1)怎么求冪級(jí)數(shù)的收斂半徑 x 的冪級(jí)數(shù)各項(xiàng)取絕對(duì)值，則得到正項(xiàng)級(jí)數(shù)第41頁，共53頁，2022年，5月20日，21點(diǎn)27分，星期四由比值判斂法其中 當(dāng) 時(shí)，若 ，即 ，則級(jí)數(shù)收斂，若 即 ，

15、則級(jí)數(shù)發(fā)散.這個(gè)結(jié)果表明，只要 就會(huì)有一個(gè)對(duì)稱開區(qū)間（-，），在這個(gè)區(qū)間內(nèi)冪級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂，在這個(gè)區(qū)間外冪 第42頁，共53頁，2022年，5月20日，21點(diǎn)27分，星期四級(jí)數(shù)發(fā)散，當(dāng) x =R 時(shí)，級(jí)數(shù)可能收斂也可能發(fā)散.稱 為冪級(jí)數(shù)的收斂半徑.當(dāng) 時(shí)， ，則級(jí)數(shù)對(duì)一切實(shí)數(shù) x都絕對(duì)收斂，這時(shí)收斂半徑 . 如果冪級(jí)數(shù)僅在 x0一點(diǎn)處收斂，則收斂半徑R0. 定理1 如果x的冪級(jí)數(shù)的系數(shù)滿足 則 (1)當(dāng) 時(shí)， 第43頁，共53頁，2022年，5月20日，21點(diǎn)27分，星期四 (2)當(dāng) 時(shí)， (3)當(dāng) 時(shí)， (2)冪級(jí)數(shù)的收斂區(qū)間 若冪級(jí)數(shù)的收斂半徑為 R，則（-R，R）稱為該級(jí)數(shù)的收斂區(qū)間，冪級(jí)

16、數(shù)在收斂區(qū)間內(nèi)絕對(duì)收斂，把收斂區(qū)間的端點(diǎn)xR 代入級(jí)數(shù)中，判定數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的斂散性后，就可得到冪級(jí)數(shù)的收斂域.第44頁，共53頁，2022年，5月20日，21點(diǎn)27分，星期四例1求下列冪級(jí)數(shù)的收斂半徑及收斂域 (1) (2) (3)解 (1) 因?yàn)?所以冪級(jí)數(shù)的收斂半徑 .所以該級(jí)數(shù)的收斂域?yàn)椋?，+）；第45頁，共53頁，2022年，5月20日，21點(diǎn)27分，星期四 (2)因?yàn)?所以所給冪級(jí)數(shù)的收斂半徑R=1.因此該級(jí)數(shù)的收斂區(qū)間為（-1，1）當(dāng)x1時(shí)，級(jí)數(shù)為調(diào)和級(jí)數(shù)，發(fā)散 ；當(dāng)x=-1時(shí)，級(jí)數(shù)為交錯(cuò)級(jí)數(shù)，收斂 故該級(jí)數(shù)的收斂域?yàn)?-1,1) . 第46頁，共53頁，2022年，5月20日，21

17、點(diǎn)27分，星期四(3) 因?yàn)樗运o冪級(jí)數(shù)的收斂半徑 .因此沒有收斂區(qū)間，收斂域?yàn)?，即只在 處收斂.第47頁，共53頁，2022年，5月20日，21點(diǎn)27分，星期四例2 求冪級(jí)數(shù) 的收斂半徑解 所給級(jí)數(shù)缺少偶次方項(xiàng)，根據(jù)比值法求收斂半徑 當(dāng) ，即 時(shí)，所給級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂；當(dāng)，即 時(shí)，所給級(jí)數(shù)發(fā)散. 因此，所給級(jí)數(shù)的收斂半徑 .第48頁，共53頁，2022年，5月20日，21點(diǎn)27分，星期四二、冪級(jí)數(shù)的性質(zhì)性質(zhì)2 設(shè) 記 ，則在（-R,R）內(nèi)有如下運(yùn)算法則： (1)加（減）法運(yùn)算 第49頁，共53頁，2022年，5月20日，21點(diǎn)27分，星期四性質(zhì)3（微分運(yùn)算） 設(shè) ，收斂半徑為 R ，則在 （-R