1、PAGE 第3頁 共3頁2002級本科離散數(shù)學I試題（A）參考答案及評分標準吉林大學計算機科學與技術學院簡答題運算表如下：其中單位元為a，b與c互為逆元abcaabcbbcaccab1個(1 2)(1 3)(1 4)I, (2 3),(1 2),(1 3 2),(1 3),(1 2 3) I, (1 3 4),(1 4 3)；1的逆元是1，2與4互為逆元，3與5互為逆元，6的逆元是6；4；;（3），（7）是；a0，a3，a6，a9,a，a4，a7，a10,a2，a5，a8，a11。是，同態(tài)核是6Z。不同構不一定，無不一定4（或1）商式：3x2+2x+6; 余式：4不是不可約特征是2，子域有：G

2、F(2),GF(4),GF(8) 是，不一定不是，是a,b,d,fb的余元素是g；c無余元素。證明：若f(x)在R0上可約，則f(x)在R2上可約。因此，只需證明f(x)在R2上不可約，則可知在R0上不可約。在R2上，f2(x)=x5+x3+1。證明f2(x) 在R2上無一次因式。因為R2=0,1，而f(0)=f(1)=1,故無一次因式證明f2(x)在R2上無二次因式。在R2上二次因式只有：x2，x2+1，x2+x，x2+x+1，其中只有x2+x+1是質式。但x5+x3+1=(x3+x2+x)(x2+x+1)+x+1，因此f2(x) 在R2上無二次因式。綜上，因為f2(x)的最高次是5，而f2

3、(x) 在R2上既無1次因式，也無2次因式，因此也無3次因式和4次因式，所以f2(x)在R2上不可約，從而f(x)在R0上不可約證明：因為(R，)是循環(huán)群，則必存在生成元a，則R中任意元素可表示為na,nZ。設R中任意兩個元素x=ma，y=na，則xy=mana=mnaa=nama=yx因此，R中乘法滿足交換律，故R是交換環(huán)，結論成立解：由于16=24，所以，p=2,m=4，（1）首先求pm-1()，即15()。由x15-1=15531，x5-1=51，3= x2+x+1，得15（）=，（2）求15（）在R2中的4次質因式（）。用待定系數(shù)法可設：15（）=（x4+ax3+bx2+cx+1）（x

4、4+dx3+ex2+fx+1），進而求出15（）=（x4+x3+1）（x4+x+1），?。ǎ? x4+x3+1,（或者x4+x+1），則R2x/(（）)=都是元數(shù)是16的有限域。則R2x/(（）)=，（3）取=，則（）=，即是（）在中的一個根。因此，GF(16)=a0 +a1+a22+a33|a0，a1，a2，a3R2=0，1，+1，2，2+1，2+，2+1，3，3+1，3+，3+1，3+2，3+2+1，3+2+，3+2+1，。證明：（1）G非空；顯然有1(x)=x,則1（2）運算封閉性； 對于任意的1，2G，設1=a1x+b1，2=a2x+b2，則12=1(2(x)= a1(a2x+b2)+b1=(a1a2)x+(a1b2+b1) a1a20且a1a2、a1b2+b（3）運算滿足結合律。因為映射的乘法運算滿足結合律，已證。（4）G中存在左壹。設e(x)=x，對于任意的(x) =ax+bG，有 e=e(x) =ax+b= (x) 所以e是左壹。（5）G中任意元素存在左逆。 對任意的G，(x) =ax+b，存在-1G，設-1=-1 (x) =e，所以，對于任意元素存在左逆。F與E不同構證明：反證法。若F與E同構，設f是此同構映射，則f(1)=1, f(0)=0, f(2)=f(1+1)=f(1)+f(1)=