1、第七章定積分第一節(jié) 定積分概念第二節(jié) 定積分的性質(zhì)第三節(jié) 微積分基本公式第四節(jié) 定積分的分部積分公式第五節(jié) 定積分的換元積分法第六節(jié) 廣義積分第七章定積分第一節(jié) 定積分概念第二節(jié) 定積分的性質(zhì)第第七章定積分 本章中將討論積分學(xué)的另一個基本問題定積分問題我們先從幾何問題與力學(xué)問題出發(fā)引進(jìn)定積分的定義，然后討論它的性質(zhì)與計算方法關(guān)于定積分的應(yīng)用，將在第八章討論第一節(jié)定積分概念 本節(jié)通過兩個實(shí)例的分析，給出定積分的定義，指出定積分的幾何意義一、兩個實(shí)例引例曲邊梯形的面積 ABabOxy圖7.1第七章定積分 本章中將討論積分學(xué)的另機(jī)械類高等數(shù)學(xué)電子教案07第七章定積分-課件 根據(jù)以上分析，曲邊梯形面積

2、可按如下四個步驟求得：圖7.2Oxy動畫演示 根據(jù)以上分析，曲邊梯形面積可按如下四個步驟求它們的長度依次為它們的長度依次為可見，曲邊梯形的面積是一個和式的極限 引例變速直線運(yùn)動的路程.可見，曲邊梯形的面積是一個和式的極限 引例變速直線運(yùn)動我們知道，對于等速直線運(yùn)動，有公式： 路程=速度時間具體計算步驟如下：我們知道，對于等速直線運(yùn)動，有公式： 路程=速度時間具體計各個小段時間的長記為相應(yīng)地，在各段時間內(nèi)物體經(jīng)過的路程為各個小段時間的長記為相應(yīng)地，在各段時間內(nèi)物體經(jīng)過的路程為可見，變速直線運(yùn)動的路程也是一個和式的極限 二、定積分的定義可見，變速直線運(yùn)動的路程也是一個和式的極限 二、定積分的定機(jī)械

3、類高等數(shù)學(xué)電子教案07第七章定積分-課件 根據(jù)定積分的定義，前面兩個例子可以分別寫成定積分的形式如下： 根據(jù)定積分的定義，前面兩個例子可以分別寫成定積分的形機(jī)械類高等數(shù)學(xué)電子教案07第七章定積分-課件三、定積分的幾何意義 三、定積分的幾何意義 或 圖7.3 Oxyab圖7.4 Oxyab或 圖7.3 Oxyab圖7.4 OxyabOxy圖7.5總之，定積分的幾何意義是其值是曲邊梯形面積的代數(shù)和 例7.1用定積分表示圖中陰影部分的面積圖7.5OxyOxy圖7.5總之，定積分的幾何意義是其值是曲邊梯形面積的代OxyoxyOxyoxy思考題7.1練習(xí)題7.11利用定積分的幾何意義說明下列各式成立.1

4、 2 2利用定積分的幾何意義，判斷下列定積分的值是正還是負(fù)（不必計算）. 1 2 思考題7.1練習(xí)題7.11利用定積分的幾何意義說明下列各式第二節(jié) 定積分的性質(zhì) 這一節(jié)我們討論定積分的性質(zhì)和如何利用定積分的幾何意義來計算函數(shù)的定積分一、定積分的性質(zhì) 下列各性質(zhì)中積分上、下限的大小，如不特別指明，均不加限制；其中所涉及的函數(shù)在討論的區(qū)間上都是可積. 性質(zhì)1函數(shù)的和(差)的定積分等于它們的定積分的和（差），即 證 第二節(jié) 定積分的性質(zhì) 這一節(jié)我們討論定積分的注：這個性質(zhì)可以推廣到有限多個函數(shù)的情形 性質(zhì)2 被積表達(dá)式中的常數(shù)因子可以提到積分號前面，即注：這個性質(zhì)可以推廣到有限多個函數(shù)的情形 性質(zhì)2

5、 被再由性質(zhì)，便得要證的不等式 注：這個性質(zhì)說明，若比較兩個定積分的大小，只要比較被積函數(shù)的大小即可再由性質(zhì)，便得要證的不等式 注：這個性質(zhì)證因為所以由推論和性質(zhì)可得即證因為所以由推論和性質(zhì)可得即這個公式叫做積分中值公式.圖7.6oxy動畫演示這個公式叫做積分中值公式.圖7.6oxy動畫演示機(jī)械類高等數(shù)學(xué)電子教案07第七章定積分-課件二、利用定積分的幾何意義計算定積分圖7.7 oxy11二、利用定積分的幾何意義計算定積分圖7.7 oxy11思考題7.23圖7.8 Oxy-11思考題7.23圖7.8 Oxy-111.利用定積分性質(zhì),確定下列積分的符號:(1) (2) 2.利用定積分的幾何意義求下

6、列定積分: (1) (2) (3) 練習(xí)題7.21.利用定積分性質(zhì),確定下列積分的符號:(1) (2) 2.第三節(jié)微積分基本公式 應(yīng)用定積分的定義去計算定積分，盡管被積函數(shù)很簡單，也是一件比較困難的事所以，需要尋找簡便而有效的方法這就是牛頓萊布尼茨公式.一、變上限定積分第三節(jié)微積分基本公式 應(yīng)用定積分的定義去計算變上限定積分有下面重要性質(zhì)：變上限定積分有下面重要性質(zhì)：機(jī)械類高等數(shù)學(xué)電子教案07第七章定積分-課件機(jī)械類高等數(shù)學(xué)電子教案07第七章定積分-課件二、牛頓(Newton)萊布尼茨(Leibniz)公式引例變速直線運(yùn)動中位置函數(shù)與速度函數(shù)之間的聯(lián)系二、牛頓(Newton)萊布尼茨(Leib

7、niz)公式引例下面我們給出定積分的計算公式：牛頓萊布尼茨公式.下面我們給出定積分的計算公式：牛頓萊布尼茨公式.即 即 解 解 解 思考題7.3解 思考題7.3練習(xí)題7.33.計算下列定積分：練習(xí)題7.33.計算下列定積分：第四節(jié) 定積分的分部積分公式 我們在學(xué)習(xí)了微積分基本公式的基礎(chǔ)上，本節(jié)討論定積分的分部積分法和分段函數(shù)的定積分的解法一、定積分的分部積分公式由上一章知道，不定積分的分部積分公式是于是簡記為 或 這就是定積分的分部積分公式第四節(jié) 定積分的分部積分公式 我們在學(xué)習(xí)了微積分 注：定積分的分部積分公式的應(yīng)用原則和所適用的積分類型類似于不定積分解 解解 注：定積分的分部積分公式的應(yīng)用

8、原則和所適用的二、分段函數(shù)的定積分 我們在定積分的計算中，有時會遇到分段函數(shù)的定積分，對于這類定積分的計算，關(guān)鍵是根據(jù)被積函數(shù)在積分區(qū)間上的不同表達(dá)式和定積分的迭加性質(zhì)把定積分分成兩個或更多個積分和的形式，然后進(jìn)行計算解 二、分段函數(shù)的定積分 我們在定積分的計算中，有時解 解 解 思考題7.4解 思考題7.4練習(xí)題7.41求下列各定積分：求下列各定積分：練習(xí)題7.41求下列各定積分：求下列各定積分：第五節(jié) 定積分的換元積分法一、定積分的換元積分法第五節(jié) 定積分的換元積分法一、定積分的換元積分法其次應(yīng)用牛頓萊布尼茨公式得 顯然，這樣的計算過程太麻煩，如果能把兩個過程合在一起就簡便多了為此，我們給

9、出下面的定理其次應(yīng)用牛頓萊布尼茨公式得 顯然，這樣的計算過程于是于是于是于是于是二、奇（偶）函數(shù)定積分 于是二、奇（偶）函數(shù)定積分 從而從而請讀者仿照偶函數(shù)的證明方法自己證明注：這兩個結(jié)論可以當(dāng)作公式使用圖7.9給出了奇偶函數(shù)在對稱區(qū)間上定積分的幾何意義. 圖7.9OxyOxy請讀者仿照偶函數(shù)的證明方法自己證明注：這兩個結(jié)論可以當(dāng)作公機(jī)械類高等數(shù)學(xué)電子教案07第七章定積分-課件機(jī)械類高等數(shù)學(xué)電子教案07第七章定積分-課件思考題7.51用換元積分法求定積分時應(yīng)注意什么？練習(xí)題7.51求下列各定積分：2利用函數(shù)的奇偶性，計算下列積分：思考題7.51用換元積分法求定積分時應(yīng)注意什么？練習(xí)題7.第六節(jié)廣義積分 一、積分區(qū)間為無窮區(qū)間的廣義積分圖7.10Oxy第六節(jié)廣義積分 一、積分區(qū)間為無窮區(qū)間的廣義機(jī)械類高等數(shù)學(xué)電子教案07第七章定積分-課件機(jī)械類高等數(shù)學(xué)電子教案07第七章定積分-課件機(jī)械類高等數(shù)學(xué)電子教案07第七章定積分-課件即即機(jī)械類高等數(shù)學(xué)電子教案07第七章定積分-課件二、無界函數(shù)的廣義積分二、無界函數(shù)的廣義積分存在，則定義都收斂,則定義存在，則定義都