1、13 十月 20221高等數(shù)學(xué)多媒體課件牛頓（Newton）萊布尼茲（Leibniz）10 十月 20221高等數(shù)學(xué)多媒體課件牛頓（Newton）13 十月 20222第一節(jié) 導(dǎo)數(shù)概念 第二章 三、導(dǎo)數(shù)的幾何意義二、導(dǎo)數(shù)的定義一、引 例四、函數(shù)的可導(dǎo)性與連續(xù)性的關(guān)系五、小結(jié)與思考題（The Concept of Derivative）10 十月 20222第一節(jié) 導(dǎo)數(shù)概念 第二章 三、導(dǎo)數(shù)13 十月 20223一、引 例（Introduction）1. 變速直線運動的速度設(shè)描述質(zhì)點運動位置的函數(shù)為則 到 的平均速度為而在 時刻的瞬時速度為自由落體運動10 十月 20223一、引 例（Intro

2、duction）13 十月 20224曲線在 M 點處的切線割線 M N 的極限位置 M T(當(dāng) 時)2. 曲線的切線斜率割線 M N 的斜率切線 MT 的斜率10 十月 20224曲線在 M 點處的切線割線 M N 的13 十月 20225瞬時速度切線斜率兩個問題的共性:所求量為函數(shù)增量與自變量增量之比的極限 .類似問題還有:加速度角速度線密度電流強度是速度增量與時間增量之比的極限是轉(zhuǎn)角增量與時間增量之比的極限是質(zhì)量增量與長度增量之比的極限是電量增量與時間增量之比的極限變化率問題10 十月 20225瞬時速度切線斜率兩個問題的共性:所求量13 十月 20226二、導(dǎo)數(shù)的定義（Definiti

3、on of Derivatives）1. 函數(shù)在一點的導(dǎo)數(shù)與導(dǎo)函數(shù). 定義1 設(shè)函數(shù)在點存在,并稱此極限為記作:則稱函數(shù)若的某鄰域內(nèi)有定義 , 在點處可導(dǎo), 在點的導(dǎo)數(shù). 即10 十月 20226二、導(dǎo)數(shù)的定義（Definition 13 十月 20227若上述極限不存在 ,在點 不可導(dǎo). 若也稱在若函數(shù)在開區(qū)間 I 內(nèi)每點都可導(dǎo),此時導(dǎo)數(shù)值構(gòu)成的新函數(shù)稱為導(dǎo)函數(shù).記作:注意:就說函數(shù)就稱函數(shù)在 I 內(nèi)可導(dǎo). 的導(dǎo)數(shù)為無窮大 .10 十月 20227若上述極限不存在 ,在點 不可13 十月 20228由此可見，運動質(zhì)點的位置函數(shù)在 時刻的瞬時速度曲線在 M 點處的切線斜率10 十月 20228

4、由此可見，運動質(zhì)點的位置函數(shù)在 13 十月 20229(C 為常數(shù)) 的導(dǎo)數(shù). 解:即例2 求函數(shù)解:例1 求函數(shù)2. 求導(dǎo)數(shù)舉例. 10 十月 20229(C 為常數(shù)) 的導(dǎo)數(shù). 解:即例2 13 十月 202210對一般冪函數(shù)( 為常數(shù)) 例如，（以后將證明）說明：10 十月 202210對一般冪函數(shù)( 為常數(shù)) 13 十月 202211類似可證得:例3解:即10 十月 202211類似可證得:例3解:即13 十月 202212例4解:即第1章第9節(jié)例6特別的，10 十月 202212例4解:即第1章第9節(jié)例6特別的，13 十月 202213例5解：即10 十月 202213例5解：即13

5、 十月 202214在點的某個右 鄰域內(nèi)若極限則稱此極限值為在 處的右 導(dǎo)數(shù),記作(左)(左)定義2 設(shè)函數(shù)有定義,存在,3. 單側(cè)導(dǎo)數(shù). 在點可導(dǎo)的充分必要條件注1： 函數(shù)且是注2：若函數(shù)與在開區(qū)間 內(nèi)可導(dǎo),且都存在 ,則稱在閉區(qū)間 上可導(dǎo).10 十月 202214在點的某個右 鄰域內(nèi)若13 十月 202215在 x = 0 不可導(dǎo). 例6 證明函數(shù)證:因此，函數(shù)在 x = 0 不可導(dǎo). 10 十月 202215在 x = 0 不可導(dǎo). 例6 13 十月 202216三、導(dǎo)數(shù)的幾何意義（Geometric Interpretation）曲線在點的切線斜率為若曲線過上升;若曲線過下降;若切線與

6、 x 軸平行,稱為駐點;若切線與 x 軸垂直 .曲線在點處的切線方程:法線方程:10 十月 202216三、導(dǎo)數(shù)的幾何意義（Geometri13 十月 202217哪一點有垂直切線 ? 哪一點處的切線與直線平行 ? 寫出其切線方程.（由本本例8改編）解:故在原點 (0 , 0) 有垂直切線例7 問曲線令得對應(yīng)則在點(1,1) , (1,1) 處與直線平行的切線方程分別為即10 十月 202217哪一點有垂直切線 ? 哪一點處的切線13 十月 202218四、函數(shù)的可導(dǎo)性與連續(xù)性的關(guān)系定理證: 設(shè)在點 x 處可導(dǎo),存在 ,故即所以函數(shù)在點 x 連續(xù) .注意: 函數(shù)在點 x 連續(xù)未必可導(dǎo).反例:在

7、 x = 0 處連續(xù) , 但不可導(dǎo).10 十月 202218四、函數(shù)的可導(dǎo)性與連續(xù)性的關(guān)系定理證13 十月 202219例8解：在 處的討論函數(shù)是有界函數(shù),在 處連續(xù)性.但在處有當(dāng)時，在1和1之間振蕩而極限不存在.在 處不可導(dǎo).連續(xù)性與可導(dǎo)性.10 十月 202219例8解：在 處13 十月 202220內(nèi)容小結(jié)1. 本節(jié)通過兩個引例抽象出導(dǎo)數(shù)的定義：10 十月 202220內(nèi)容小結(jié)1. 本節(jié)通過兩個引例抽象13 十月 2022212. 利用導(dǎo)數(shù)的定義得出以下導(dǎo)數(shù)公式：3. 判斷可導(dǎo)性不連續(xù), 一定不可導(dǎo).直接用導(dǎo)數(shù)定義;看左右導(dǎo)數(shù)是否存在且相等.4. 導(dǎo)數(shù)的幾何意義:切線的斜率;5. 函數(shù)的

8、可導(dǎo)性與連續(xù)性的關(guān)系：可導(dǎo)必連續(xù), 但連續(xù)不一定可導(dǎo)。10 十月 2022212. 利用導(dǎo)數(shù)的定義得出以下導(dǎo)數(shù)公式13 十月 202222課后練習(xí)習(xí) 題 2-1 1；4；5（偶數(shù)題）；10（2）；11思考與練習(xí)1. 函數(shù) 在某點 處的導(dǎo)數(shù)有什么區(qū)別與聯(lián)系 ?與導(dǎo)函數(shù)區(qū)別:是函數(shù) ,是數(shù)值;聯(lián)系:注意:？10 十月 202222課后練習(xí)習(xí) 題 2-1 113 十月 2022233. 已知則存在 , 則2. 設(shè)4. 設(shè)存在, 求極限解: 原式10 十月 2022233. 已知則存在 , 則2. 設(shè)4.13 十月 202224, 問 a 取何值時,在都存在 , 并求出解:故時此時在都存在, 顯然該函

9、數(shù)在 x = 0 連續(xù) .5. 設(shè)10 十月 202224, 問 a 取何值時,在都存在 , 13 十月 202225解: 因為存在, 且求所以6. 設(shè)10 十月 202225解: 因為存在, 且求所以6. 設(shè)13 十月 202226在 處連續(xù), 且存在，證明:在處可導(dǎo).證：因為存在，則有又在處連續(xù),所以即在處可導(dǎo).故7. 設(shè)10 十月 202226在 處連續(xù), 且存在，證明:在處可導(dǎo)13 十月 202227第二節(jié) 函數(shù)的求導(dǎo)法則 第二章 三、反函數(shù)的求導(dǎo)法則二、函數(shù)的和、差、積、商的求導(dǎo)法則一、問題的提出四、復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則五、小結(jié)與思考題（The Rule of Derivation）1

10、0 十月 202227第二節(jié) 函數(shù)的求導(dǎo)法則 第13 十月 202228一、問題的提出（Introduction）1. 導(dǎo)數(shù)的定義10 十月 202228一、問題的提出（Introducti13 十月 2022292. 利用導(dǎo)數(shù)的定義得出以下導(dǎo)數(shù)公式：10 十月 2022292. 利用導(dǎo)數(shù)的定義得出以下導(dǎo)數(shù)公式13 十月 202230但是，對于比較復(fù)雜的函數(shù)，直接根據(jù)定義求它們的導(dǎo)數(shù)往往很困難. 例如，求下列函數(shù)的極限：為此，我們有必要研究一下函數(shù)的求導(dǎo)法則！10 十月 202230但是，對于比較復(fù)雜的函數(shù)，直接根據(jù)定13 十月 202231二、函數(shù)的和、差、積、商的求導(dǎo)法則定理1 的和、差、

11、積、商 (除分母為 0的點外) 都在點 x 可導(dǎo),且下面分三部分加以證明,并同時給出相應(yīng)的推論和例題 .10 十月 202231二、函數(shù)的和、差、積、商的求導(dǎo)法則定13 十月 202232此法則可推廣到任意有限項的情形.設(shè), 則故結(jié)論成立.例如,證: （1）10 十月 202232此法則可推廣到任意有限項的情形.設(shè),13 十月 202233證: 設(shè)則有故結(jié)論成立.推論:( C為常數(shù) )（2）10 十月 202233證: 設(shè)則有故結(jié)論成立.推論:( 13 十月 202234證: 設(shè)則有故結(jié)論成立.推論:( C為常數(shù) )（3）10 十月 202234證: 設(shè)則有故結(jié)論成立.推論:( 13 十月 2

12、02235的導(dǎo)數(shù). 例1 求函數(shù)答案：和例2 求函數(shù)的導(dǎo)數(shù). 答案：和例3 求函數(shù)的導(dǎo)數(shù). 答案：10 十月 202235的導(dǎo)數(shù). 例1 求函數(shù)答案：和例13 十月 202236三、反函數(shù)的求導(dǎo)法則定理2 y 的某鄰域內(nèi)單調(diào)可導(dǎo), 證:在 x 處給增量由反函數(shù)的單調(diào)性知且由反函數(shù)的連續(xù)性知 因此10 十月 202236三、反函數(shù)的求導(dǎo)法則定理2 y 的某13 十月 202237例4 求反三角函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。解: 設(shè)則類似可求得利用, 則10 十月 202237例4 求反三角函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。解: 13 十月 202238四、復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則在點 x 可導(dǎo),定理3 在點可導(dǎo)復(fù)合函數(shù)且在點 x 可導(dǎo),證:

13、在點 u 可導(dǎo),故（當(dāng) 時 )故有10 十月 202238四、復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則在點 x 可導(dǎo)13 十月 202239 說 明：10 十月 202239 說 明：13 十月 202240例如,關(guān)鍵: 搞清復(fù)合函數(shù)結(jié)構(gòu), 由外向內(nèi)逐層求導(dǎo).（3） 此法則可推廣到多個中間變量的情形.10 十月 202240例如,關(guān)鍵: 搞清復(fù)合函數(shù)結(jié)構(gòu),13 十月 202241的導(dǎo)數(shù). 例5 求函數(shù)答案：例6 設(shè)提示：分情況討論。答案：由此可見，即答案：10 十月 202241的導(dǎo)數(shù). 例5 求函數(shù)答案：例613 十月 202242求解:思考: 若存在 , 如何求的導(dǎo)數(shù)?這兩個記號含義不同例8 設(shè)練習(xí)（習(xí)題22

14、10 ）10 十月 202242求解:思考: 若存在 , 如何求的13 十月 202243五、基本求導(dǎo)法則與導(dǎo)數(shù)公式1. 常數(shù)和基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)10 十月 202243五、基本求導(dǎo)法則與導(dǎo)數(shù)公式1. 常數(shù)13 十月 2022442. 函數(shù)的和、差、積、商的求導(dǎo)法則( C為常數(shù) )3. 反函數(shù)的求導(dǎo)法則單調(diào)可導(dǎo), 則4. 復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則5. 初等函數(shù)在定義區(qū)間內(nèi)可導(dǎo),且導(dǎo)數(shù)仍為初等函數(shù)10 十月 2022442. 函數(shù)的和、差、積、商的求導(dǎo)法則13 十月 202245例9 設(shè)解:答案：10 十月 202245例9 設(shè)解:答案：13 十月 202246內(nèi)容小結(jié)1. 掌握函數(shù)求導(dǎo)的法則四則運算的

15、求導(dǎo)法則反函數(shù)的求導(dǎo)法則復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則注意: 1)2) 搞清復(fù)合函數(shù)結(jié)構(gòu) , 由外向內(nèi)逐層求導(dǎo) .2. 記住一些基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式課后練習(xí)習(xí) 題 2-2 1（偶數(shù)題）；5；610 十月 202246內(nèi)容小結(jié)1. 掌握函數(shù)求導(dǎo)的法則四13 十月 202247思考與練習(xí)1.對嗎?2. 求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)答案：10 十月 202247思考與練習(xí)1.對嗎?2. 求下列函數(shù)13 十月 202248其中在因故正確解法:時, 下列做法是否正確?在求處連續(xù),3. 設(shè)10 十月 202248其中在因故正確解法:時, 下列做法是13 十月 202249求解: 方法1 利用導(dǎo)數(shù)定義.方法2 利用求導(dǎo)公式.4.

16、 設(shè)10 十月 202249求解: 方法1 利用導(dǎo)數(shù)定義.13 十月 202250考研真題（1990 III）設(shè)答案：10 十月 202250考研真題（1990 III）設(shè)答案：13 十月 202251第三節(jié) 高階導(dǎo)數(shù) 第二章 三、一些常見函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)公式二、高階導(dǎo)數(shù)的定義一、基本求導(dǎo)法則與導(dǎo)數(shù)公式復(fù)習(xí)四、高階導(dǎo)數(shù)的運算法則（ Derivative of Higher Order ）五、本章小結(jié)與思考題10 十月 202251第三節(jié) 高階導(dǎo)數(shù) 第二章 三、一13 十月 202252一、基本求導(dǎo)法則與導(dǎo)數(shù)公式復(fù)習(xí)1. 常數(shù)和基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)10 十月 202252一、基本求導(dǎo)法則與導(dǎo)數(shù)公式復(fù)

17、習(xí)1. 13 十月 2022532. 函數(shù)的和、差、積、商的求導(dǎo)法則( C為常數(shù) )3. 反函數(shù)的求導(dǎo)法則單調(diào)可導(dǎo), 則4. 復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則5. 初等函數(shù)在定義區(qū)間內(nèi)可導(dǎo),且導(dǎo)數(shù)仍為初等函數(shù)10 十月 2022532. 函數(shù)的和、差、積、商的求導(dǎo)法則13 十月 202254求解:例1（習(xí)題22 7（9）例2設(shè)求（補充題）（解答見下頁）10 十月 202254求解:例1（習(xí)題22 7（9）13 十月 202255求解:例2 設(shè)10 十月 202255求解:例2 設(shè)13 十月 202256求解:關(guān)鍵: 搞清復(fù)合函數(shù)結(jié)構(gòu) 由外向內(nèi)逐層求導(dǎo)例310 十月 202256求解:關(guān)鍵: 搞清復(fù)合函數(shù)結(jié)構(gòu)

18、13 十月 202257二、高階導(dǎo)數(shù)的定義（Definition of Higher Derivatives）速度即加速度即引例：變速直線運動10 十月 202257二、高階導(dǎo)數(shù)的定義（Definiti13 十月 202258若函數(shù)的導(dǎo)數(shù)可導(dǎo),或即或類似地 , 二階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)稱為三階導(dǎo)數(shù) ,階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)稱為 n 階導(dǎo)數(shù) ,或的二階導(dǎo)數(shù) ,記作的導(dǎo)數(shù)為依次類推 ,分別記作則稱定義 10 十月 202258若函數(shù)的導(dǎo)數(shù)可導(dǎo),或即或類似地 , 13 十月 202259三、一些常見函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)的求法例1 設(shè) 求 解：1. 直接法求高階導(dǎo)數(shù)就是多次接連地求導(dǎo)數(shù).例2 求 的n 階導(dǎo)數(shù). 解：10 十月

19、 202259三、一些常見函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)的求法例113 十月 202260解2. 數(shù)學(xué)歸納法證明高階導(dǎo)數(shù)例3 設(shè) 求10 十月 202260解2. 數(shù)學(xué)歸納法證明高階導(dǎo)數(shù)例3 13 十月 202261求解: 一般地 ,類似可證:例4 設(shè)10 十月 202261求解: 一般地 ,類似可證:例4 13 十月 202262例5 設(shè) 求 解若 為自然數(shù) ，則 10 十月 202262例5 設(shè) 13 十月 202263解:例6 設(shè)（補充題）10 十月 202263解:例6 設(shè)（補充題）13 十月 202264都有 n 階導(dǎo)數(shù) , 則(C為常數(shù))及設(shè)函數(shù)四、高階導(dǎo)數(shù)的運算法則萊布尼茲(Leibniz) 公

20、式10 十月 202264都有 n 階導(dǎo)數(shù) , 則(C為常數(shù))13 十月 202265用數(shù)學(xué)歸納法可證萊布尼茲公式成立 .10 十月 202265用數(shù)學(xué)歸納法可證萊布尼茲公式成立 .13 十月 202266求解: 設(shè)則代入萊布尼茲公式 , 得例710 十月 202266求解: 設(shè)則代入萊布尼茲公式 , 13 十月 202267內(nèi)容小結(jié)1. 復(fù)習(xí)基本求導(dǎo)法則與導(dǎo)數(shù)公式(1) 逐階求導(dǎo)法(2) 利用歸納法(3) 間接法 利用已知的高階導(dǎo)數(shù)公式2. 高階導(dǎo)數(shù)的求法如,(4) 利用萊布尼茲公式10 十月 202267內(nèi)容小結(jié)1. 復(fù)習(xí)基本求導(dǎo)法則與導(dǎo)13 十月 202268課后練習(xí)習(xí) 題 2-3 1（

21、2）（6）；3；6（4）思考與練習(xí)1. 如何求下列函數(shù)的 n 階導(dǎo)數(shù)?解: 10 十月 202268課后練習(xí)習(xí) 題 2-3 113 十月 202269（2）提示:解: 10 十月 202269（2）提示:解: 13 十月 202270求使存在的最高分析: 但是不存在 .2又階數(shù)2. 設(shè)10 十月 202270求使存在的最高分析: 但是不存在 .13 十月 202271則提示:各項均含因子 ( x 2 )(2) 已知任意階可導(dǎo), 且時提示:則當(dāng)3. （填空題）（1） 設(shè)10 十月 202271則提示:各項均含因子 ( x 213 十月 202272導(dǎo)出解：同樣可求4. 試從（習(xí)題23 4）10

22、十月 202272導(dǎo)出解：同樣可求4. 試從（習(xí)題213 十月 202273考研真題（2000. II）求函數(shù)在x0處的n階導(dǎo)數(shù)提示：利用萊布尼茲公式10 十月 202273考研真題（2000. II）求函數(shù)在13 十月 202274第四節(jié) 隱函數(shù)及由參數(shù)方程 所確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 第二章 三、相關(guān)變化率二、由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)一、隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)四、小結(jié)與思考題10 十月 202274第四節(jié) 隱函數(shù)及由參數(shù)方程 13 十月 202275一、隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)（Derivative of Implicit Function）若由方程可確定 y 是 x 的函數(shù) ,由表示的函數(shù) , 稱為顯函數(shù) .例如

23、,可確定顯函數(shù)可確定 y 是 x 的函數(shù) ,但此隱函數(shù)不能顯化 .函數(shù)為隱函數(shù) .則稱此隱函數(shù)求導(dǎo)方法: 兩邊對 x 求導(dǎo)(含導(dǎo)數(shù) 的方程)10 十月 202275一、隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)（Derivativ13 十月 202276在 x = 0 處的導(dǎo)數(shù)解: 方程兩邊對 x 求導(dǎo)得因 x = 0 時 y = 0 , 故確定的隱函數(shù)例1 求由方程10 十月 202276在 x = 0 處的導(dǎo)數(shù)解: 方程13 十月 202277在點處的切線方程.解: 橢圓方程兩邊對 x 求導(dǎo)故切線方程為即例2 求橢圓10 十月 202277在點處的切線方程.解: 橢圓方程兩13 十月 202278的導(dǎo)數(shù) . 解: 兩邊

24、取對數(shù) , 化為隱式兩邊對 x 求導(dǎo)例3 求10 十月 202278的導(dǎo)數(shù) . 解: 兩邊取對數(shù) , 13 十月 202279 1) 對冪指函數(shù)可用對數(shù)求導(dǎo)法求導(dǎo) :按指數(shù)函數(shù)求導(dǎo)公式按冪函數(shù)求導(dǎo)公式注意:說明:10 十月 202279 1) 對冪指函數(shù)可用對數(shù)求導(dǎo)法求導(dǎo)13 十月 202280例如,兩邊取對數(shù)兩邊對 x 求導(dǎo)2) 有些顯函數(shù)用對數(shù)求導(dǎo)法求導(dǎo)很方便 .10 十月 202280例如,兩邊取對數(shù)兩邊對 x 求導(dǎo)2)13 十月 202281對 x 求導(dǎo)兩邊取對數(shù)又如,10 十月 202281對 x 求導(dǎo)兩邊取對數(shù)又如,13 十月 202282二、由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)（Deri

25、vative of Function Determined by Parametric Equation）若參數(shù)方程可確定一個 y 與 x 之間的函數(shù)可導(dǎo), 且則時, 有關(guān)系,時, 有(此時看成 x 是 y 的函數(shù) )10 十月 202282二、由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)（D13 十月 202283二階可導(dǎo),且則由它確定的函數(shù)可求二階導(dǎo)數(shù) .利用新的參數(shù)方程,可得若上述參數(shù)方程中10 十月 202283二階可導(dǎo),且則由它確定的函數(shù)可求二階13 十月 202284點擊圖中任意點動畫開始或暫停10 十月 202284點擊圖中任意點動畫開始或暫停13 十月 202285解：10 十月 202285

26、解：13 十月 202286而所以，于是所求切線方程為即10 十月 202286而所以，于是所求切線方程為即13 十月 202287解：10 十月 202287解：13 十月 202288確定函數(shù)求解: 方程組兩邊對 t 求導(dǎo) , 得故例6 設(shè)由方程10 十月 202288確定函數(shù)求解: 方程組兩邊對 t 13 十月 202289三、相關(guān)變化率（Related Rates of Change）為兩可導(dǎo)函數(shù)之間有聯(lián)系之間也有聯(lián)系稱為相關(guān)變化率相關(guān)變化率問題解法:找出相關(guān)變量的關(guān)系式對 t 求導(dǎo)得相關(guān)變化率之間的關(guān)系式求出未知的相關(guān)變化率10 十月 202289三、相關(guān)變化率（Related Ra

27、13 十月 202290解：10 十月 202290解：13 十月 20229110 十月 20229113 十月 202292由(2)可得10 十月 202292由(2)可得13 十月 202293其速率為當(dāng)氣球高度為 500 m 時, 觀察員視線的仰角增加率是多少? 解: 設(shè)氣球上升 t 分后其高度為h , 仰角為 ,則兩邊對 t 求導(dǎo)已知 h = 500m 時,例8 一氣球從離開觀察員500 m 處離地面鉛直上升,10 十月 202293其速率為當(dāng)氣球高度為 500 m 時13 十月 202294內(nèi)容小結(jié)1. 隱函數(shù)求導(dǎo)法則直接對方程兩邊求導(dǎo)2. 對數(shù)求導(dǎo)法 :適用于冪指函數(shù)及某些用連乘

28、,連除表示的函數(shù)3. 參數(shù)方程求導(dǎo)法4. 相關(guān)變化率問題列出依賴于 t 的相關(guān)變量關(guān)系式對 t 求導(dǎo)相關(guān)變化率之間的關(guān)系式求高階導(dǎo)數(shù)時,從低到高每次都用參數(shù)方程求導(dǎo)公式10 十月 202294內(nèi)容小結(jié)1. 隱函數(shù)求導(dǎo)法則直接對方13 十月 202295課后練習(xí)習(xí)題2-4 1（2）（4）；3；5（2）（4）； 6（2）；7；10思考與練習(xí)求1. 設(shè)答案:10 十月 202295課后練習(xí)習(xí)題2-4 113 十月 202296由方程確定 , 解:方程兩邊對 x 求導(dǎo),得再求導(dǎo), 得當(dāng)時,故由 得再代入 得 求2. 設(shè)10 十月 202296由方程確定 , 解:方程兩邊對 x 13 十月 202297

29、試求當(dāng)容器內(nèi)水 自頂部向容器內(nèi)注水 ,位等于錐高的一半時水面上升的速度.解: 設(shè)時刻 t 容器內(nèi)水面高度為 x ,水的兩邊對 t 求導(dǎo)而故體積為 V , 則3. 有一底半徑為 R cm , 高為 h cm 的圓錐容器 ,現(xiàn)以10 十月 202297試求當(dāng)容器內(nèi)水 13 十月 202298考研真題10 十月 202298考研真題13 十月 20229910 十月 20229913 十月 2022100第五節(jié) 函數(shù)的微分 第二章 三、基本初等函數(shù)的微分公式與微分運算法則二、微分的幾何意義一、微分的定義 四、微分在近似計算中的應(yīng)用（ Functions Differential ）五、本章小結(jié)與思考

30、題10 十月 2022100第五節(jié) 函數(shù)的微分 第二章 13 十月 2022101一、微分的定義引例: 一塊正方形金屬薄片受溫度變化的影響,問此薄片面積改變了多少? 設(shè)薄片邊長為 x , 面積為 A , 則面積的增量為關(guān)于x 的線性主部高階無窮小時為故稱為函數(shù)在 的微分當(dāng) x 在取得增量時,變到邊長由其（Definition of Differentials）10 十月 2022101一、微分的定義引例: 一塊正方形13 十月 2022102的微分,在點 的增量可表示為( A 為不依賴于x 的常數(shù))則稱函數(shù)而 稱為記作即定理 函數(shù)在點 可微的充要條件是即在點可微,定義 若函數(shù)10 十月 202

31、2102的微分,在點 的增量可表13 十月 2022103證: “必要性” 已知在點 可微 ,則故在點 的可導(dǎo),且在點 可微的充要條件是在點 處可導(dǎo),且即定理 函數(shù)10 十月 2022103證: “必要性” 已知在點 13 十月 2022104在點 可微的充要條件是在點 處可導(dǎo),且即“充分性”已知即在點 的可導(dǎo),則定理 函數(shù)10 十月 2022104在點 可微的充要條件是在點13 十月 2022105時 ,所以時很小時, 有近似公式與是等價無窮小,當(dāng)故當(dāng)說明:10 十月 2022105時 ,所以時很小時, 有近似公式13 十月 2022106二、微分的幾何意義切線縱坐標(biāo)的增量當(dāng) 很小時,則有從而