1、彈性桿件橫截面上的正應力分析第4章彈性桿件橫截面上的第4章 1、與應力分析相關的截面圖形幾何性質 2、平面彎曲時梁橫截面上的正應力 3、斜彎曲時梁橫截面上的正應力4、彎矩與軸力同時作用時桿件橫截面上的正應力第4章 彈性桿件橫截面上的正應力分析 5、基于最大正應力的強度計算 1、與應力分析相關的截面圖形幾何性質 2、平面彎曲時梁橫截 與應力分析相關的截面圖形幾何性質1、橫截面面積 常見的橫截面有： 矩形 A = hb ; 圓形 A = R ;bhR2、靜矩、形心 截面面積對軸的矩稱為靜矩： 圖形幾何形狀的中心稱形心： 與應力分析相關的截面圖形幾何性質1、橫截面面積bhR2、靜3、慣性矩、極慣性矩

2、、慣性半徑 慣性矩- 慣性半徑- 極慣性矩- 與應力分析相關的截面圖形幾何性質3、慣性矩、極慣性矩、慣性半徑 與應力分析相關的截面圖形幾何4、常見形體的慣性矩、極慣性矩 a、矩形截面的慣性矩 b、圓形截面的慣性矩 C、圓環(huán)截面的慣性矩 與應力分析相關的截面圖形幾何性質bhdyzyzdyzDd4、常見形體的慣性矩、極慣性矩 與應力分析相關的截面圖形幾何d、圓形截面的極慣性矩 e、圓環(huán)截面的極慣性矩 4、形心主慣性矩 圖形對形心主軸的慣性矩稱形心主慣性矩， 與應力分析相關的截面圖形幾何性質d、圓形截面的極慣性矩 與應力分析相關的截面圖形幾何性質例4-1、求圖中剖面線部分的慣性矩慣性矩 Iy ;Iz

3、 ; 解：由負面積法, Iz=H b / 12 h b / 12 = b( H - h) / 12; Iy = b H / 12 b h / 12 = b( H - h) /12; 與應力分析相關的截面圖形幾何性質bhzyH例4-1、求圖中剖面線部分的慣性矩慣性矩 Iy ;Iz ; 小鳥 與應力分析相關的截面圖形幾何性質 與應力分析相關的截面圖形幾何性質 與應力分析相關的截面圖形幾何性質 與應力分析相關的截面圖形幾何性質 1、平面彎曲的概念 梁的對稱面：梁的橫截面具有 對稱軸，所有相 同的對稱軸組成 的平面。 形心主軸平面：所有相同的形 心主軸組成的平 面。 平面彎曲：所有外力都作用在梁 的同

4、一主軸平面內， 梁的軸線在該平面中 彎曲成曲線。 平面彎曲時梁橫截面上的正應力 1、平面彎曲的概念 平面彎曲時梁橫截面上的正應力純彎曲：梁的橫截面上只有彎矩作用的情況，如梁的BC段。截面上只有正應力。橫向彎曲：梁的橫截面上既有剪力也有彎矩，如梁的AB段。因而其上既有正應力也有切應力。 平面彎曲時梁橫截面上的正應力CBl/5FAl/5MFFFl/5FD3l/5FQFAyFDy+-xx純彎曲：梁的橫截面上只有彎矩作用的情況，如梁的BC段。截面上 2、純彎曲時梁的正應力分析 純彎曲梁的正應力分析需要三個步驟： 平面彎曲時梁橫截面上的正應力應力分布應力公式變 形應變分布平面假定物性關系靜力方程 2、純

5、彎曲時梁的正應力分析 平面彎曲時梁橫截面上的正應力應 平面彎曲時梁橫截面上的正應力MM 中性軸a、應用平面假設確定應變分布 1） 彎曲梁變形后，梁表面的縱向線彎曲，截面上面縮短、下面伸長、中間長度未變化。根據(jù)外表面線條可以確定橫截面上面受到壓應力；下面受到拉應力；而中間沒有應力。我們把中間未伸長的一層稱為中性層，中性層與橫截面的交線稱為中性軸。 平面彎曲時梁橫截面上的正應力MM 2）梁彎曲時的平面假設 梁變形后周邊表面的橫向線仍然是直線，且垂直于縱向線。我們假定梁的橫截面在變形前后仍然保持為平面，只是相對轉過一個角度 d 。 3）沿梁橫截面高度方向正應力表達式： 平面彎曲時梁橫截面上的正應力

6、2）梁彎曲時的平面假設 平面彎曲時梁橫截面上的正應力b、應用虎克定理確定橫截面上正應力分布 由虎克定律 將上述應變公式帶人得： = E 即：正應力與高度坐標成線性關系 = -E y / 其中 表示該點的曲率半徑，它如何表達呢？ 平面彎曲時梁橫截面上的正應力b、應用虎克定理確定橫截面上正應力分布 平面彎曲時梁橫截面上 c、應用靜力方程確定正應力公式 由 由 平面彎曲時梁橫截面上的正應力yxzAzyxMz c、應用靜力方程確定正應力公式 平面彎曲時梁橫截面上的正應 將 帶人公式 得正應力公式： 正應力與截面上彎矩、中性軸距離成正比； 與截面的慣性矩成反比。應力分布如圖： 平面彎曲時梁橫截面上的正應

7、力yxzAzyxMz 將 帶人公式 平面彎曲時梁橫截面上的正應力y d、中性軸在橫截面上的位置 中性軸通過橫截面的形心，并且垂直于形心主軸。 e、最大正應力公式與彎曲截面模量 對于橫截面上正應力最大值 其中 Wz = Iz / ymax 稱為彎曲截面系數(shù)； 平面彎曲時梁橫截面上的正應力maxmax d、中性軸在橫截面上的位置 平面彎曲時梁橫截面上的正應力 彎曲截面系數(shù): Wz = Iz /ymax ;*矩形截面的彎曲截面系數(shù): Wz = b h / 6 ;*圓形截面的彎曲截面系數(shù): Wz = d / 32 ;*圓環(huán)截面的彎曲截面系數(shù) 平面彎曲時梁橫截面上的正應力 彎曲截面系數(shù): Wz = Iz

8、 /ymax ; 平面彎曲 f、梁平面彎曲后軸線曲率的計算公式 公式表明梁的軸線彎曲后的曲率與彎矩成正比，與彎曲剛度成反比。3、彎曲正應力公式的應用與推廣 a、梁上最大正應力位置的判定 需要考慮彎矩分布；橫截面形狀等因素； b、純彎曲正應力公式可以推廣到橫向彎曲 純彎曲正應力公式在橫向彎曲也是近似適用的。 平面彎曲時梁橫截面上的正應力 f、梁平面彎曲后軸線曲率的計算公式 平面彎曲時梁橫截面上的 平面彎曲時梁橫截面上的正應力例題4-2 受均布荷載簡支梁如圖,已知梁的截面為矩形b=20mm;h=30mm;q=10kN/m;l=450mm.試求最大彎矩截面B上1、2兩點的正應力。CBqAl/2l/2

9、hbh/4zy21 平面彎曲時梁橫截面上的正應力例題4-2 受均布荷載簡支梁 平面彎曲時梁橫截面上的正應力解：1、作梁的內力圖，確定最大彎矩及位置 MZB = q l / 8; 2、計算正應力 1點的正應力： 為拉伸應力 2點的正應力： 為壓縮正應力CBqAFqMhbh/4zy21l/2l/2xx+- 平面彎曲時梁橫截面上的正應力解：1、作梁的內力圖，確定最大 平面彎曲時梁橫截面上的正應力CBFPA20015096.4zy50150例題4-3 丁字截面簡支梁受力如圖,已知梁的參數(shù)： 試求最大彎矩截面上的最大拉應力和最大壓應力。l/2l/2 平面彎曲時梁橫截面上的正應力CBFPA20015096

10、.4 平面彎曲時梁橫截面上的正應力CBFPAl/2FqM20015096.4zy50150解：1、作梁的內力圖，確定最大彎矩及位置。 MzB=Fp l / 4 =16 kNm; 2、計算最大彎矩截面上最大正應力 最大拉伸正應力： 位置在梁的下邊緣處 最大壓縮正應力： 位置在梁的上邊緣處。思考：對于脆性材料，極限拉伸應力小于極限壓縮應力，設置上下非對稱的橫截面并且如此放置，是否最大限 度地發(fā)揮了材料的強度潛力？xMZmax +max Fpl/4l/2+-xx 平面彎曲時梁橫截面上的正應力CBFPAl/2FqM2001 斜彎曲時梁橫截面上的正應力1、產(chǎn)生斜彎曲的加載條件 當梁的外力平面與梁的軸線變

11、形平面不共面時，這種彎曲稱斜彎曲。如圖： FP2FP1變形平面合力作用平面yz 斜彎曲時梁橫截面上的正應力1、產(chǎn)生斜彎曲的加載條件FP2F 斜彎曲時梁橫截面上的正應力2、疊加法確定斜彎曲時橫截面上的正應力 當梁的受到外力作用在豎直平面和水平面同時彎曲，梁橫截面上的正應力可以應用疊加法確定。如圖：其最大正應力： 公式對于非圓形截面梁都是適用的（圓形截面除外）。 yzCyzCmax +max 斜彎曲時梁橫截面上的正應力2、疊加法確定斜彎曲時橫截面上的 斜彎曲時梁橫截面上的正應力圓形截面斜彎曲梁的最大正應力： 例4-4 圖示矩形截面梁已知：b=90mm;h=180mm; Fp1=800N; Fp2=

12、1650N; l=1m;試求梁內最大彎曲正應力及作用位置。 斜彎曲時梁橫截面上的正應力圓形截面斜彎曲梁的最大正應力：解：1、確定梁截面上的內力分量，梁的內力如圖：最大彎矩在固定端處。 Mymax = -Fp1l ; Mzmax = -Fp2l ; 2、確定梁根部截面上最大正應力作用點：如圖 ,A 點處是兩拉應力相加；B 點處是兩壓應力相加。 3、計算最大正應力: 斜彎曲時梁橫截面上的正應力FP1FA1MAyFQMyFP2FA2MAzFQMzxxxxxxzz2FP!lFP2lMyMzAABByy-max +max 解：1、確定梁截面上的內力分量，梁的內力如圖：最大彎矩在固定 縱向載荷作用線平行于

13、桿件的軸線，但不重合，這種載荷稱為偏心載荷。 將載荷向截面形心簡化得到兩個內力分量：FNx 0 ; Mz0;其中軸力和彎矩將使梁橫截面產(chǎn)生正應力：彎矩和軸力同時作用時桿件橫截面上的正應力FPFPFPFPMzMz 縱向載荷作用線平行于桿件的軸線，但不重合，彎矩和軸力同時作用時桿件橫截面上的正應力例4-5 圖示開口鏈環(huán)由直徑d=12mm的園鋼制作而成。試求：1）、鏈環(huán)直段部分橫截面上最大拉應力和最大壓應力；2）、當鏈環(huán)焊接成閉口狀態(tài)應力如何？800N800N800N800N21mm彎矩和軸力同時作用時桿件橫截面上的正應力例4-5 圖示開口鏈彎矩和軸力同時作用時桿件橫截面上的正應力解：1、計算開口鏈

14、環(huán)直段部分橫截面上最大應力，受力如圖；橫截面上彎矩：橫截面上正應力（如圖所示） 800N800N800N800NMzcmax+ max 彎矩和軸力同時作用時桿件橫截面上的正應力解：1、計算開口鏈環(huán) 彎矩和軸力同時作用時桿件橫截面上的正應力課外練習：4-1；4-5；4-9；4-142、計算閉口鏈環(huán)直段部分橫截面上最大應力，受力如圖：橫截面上只有拉應力。比較兩種形式鏈環(huán)的正應力大小相差近22倍。400N800N800N800N400Nc 彎矩和軸力同時作用時桿件橫截面上的正應力課外練習：4-1； 課堂練習4-1 圖示矩形截面柱，已知：外加載荷FP以及橫截面尺寸。 試求 ABED 截面上四個角點上的

15、正應力。彎矩和軸力同時作用時桿件橫截面上的正應力 偏心壓縮：壓力沿軸線方向但與軸線不重合。 課堂練習4-1 圖示矩形截面柱，已知：外加載荷FP以及橫截解：1、確定截面上的內力分量，在ABDE橫截面將柱截開由力的平移定理將力平移到橫截面的形心處，內力如圖：彎矩和軸力同時作用時桿件橫截面上的正應力解：1、確定截面上的內力分量，在ABDE橫截面將柱截開由力的 2、判斷最大應力作用位置：在內力作用下A、E 分別是最大壓應力和拉應力作用點 3、計算ABDE各點的應力，作圖：彎矩和軸力同時作用時桿件橫截面上的正應力 2、判斷最大應力作用位置：彎矩和軸力同時作用時桿件橫截面上基于最大正應力的強度計算1、基于

16、最大正應力的強度條件: max 2、強度計算的主要步驟：a、計算桿件的約束力；b、作桿件的內力圖；c、根據(jù)內力、橫截面、材料等因素確定可能的危險點；d、應用強度條件進行強度計算： 對于塑性材料：max ; 對于脆性材料：max + +; max ；基于最大正應力的強度計算1、基于最大正應力的強度條件: m基于最大正應力的強度計算例4-6 圖示圓軸AB段是空心的，已知 D = 60mm; d=40mm，尺寸和外力， =120MPa ；試分析圓軸強度是否安全。3kN5kN2.93kN5.07kNACBD3001000400基于最大正應力的強度計算例4-6 圖示圓軸AB段是空心的，已基于最大正應力的

17、強度計算解：1、作內力圖 2、判斷可能的危險截面是C、B橫截面； 3、計算危險截面上的最大正應力： 4、對軸進行強度校核： 軸的強度是安全的。2.93kN5kN5.07kN3kN2.93kN3kN-2.07kNFQ-0.9kNm1.17kNmMACBD+-+基于最大正應力的強度計算解：1、作內力圖2.93kN5kN5基于最大正應力的強度計算2FpFp6001400ACB例4-7 由鑄鐵制作的懸臂梁尺寸如圖，F(xiàn)P=20kN,材料的許用應力試校核梁的強度。20015096.4zy50150c基于最大正應力的強度計算2FpFp6001400ACB例4-基于最大正應力的強度計算解：1、作內力圖 2、判

18、斷可能的危險截面是A、B橫截面； 3、計算危險截面上的最大正應力： 4、對梁進行強度校核： 梁的強度是安全的。-20kN40kN20kN20kN-20kNFq-12kNm16kNmMACB16kNmxMZxMZB截面應力分布A截面應力分布+-+-maxmaxmaxmax基于最大正應力的強度計算解：1、作內力圖-20kN40kN2基于最大正應力的強度計算例4-8 圖示行車梁由32a熱軋工字鋼制成，已知起吊時重物與 y 軸之間的夾角 =5; = 160MPa ，試校核梁的強度。80kN80kN40kN40kNACBz40004000y基于最大正應力的強度計算例4-8 圖示行車梁由32a熱軋工字基于最大正應力的強度計算解：1、將重物的力在z、y軸投影： 2、作內力圖3、查表得32a熱軋工字鋼的抗彎截面模量 4、計算橫截面最大正應力 Fpy0.5Fpy0.5FpyFpy79.69kNmFpz0.5FpzFpz6.97kNm+基于最大正應力的強度計算解：1、將重物的力在z、y軸投影：F基于最大正應力的強度計算 5、最大應力在梁的中間截面的兩點如圖：可見 max = 217.8MPa= 160MPa ；梁不安全。 討論：1、兩個方向外力作用，正應力如何相加需要作圖多練習。2、當重物的力垂直時，梁是安全的。課外練習：4-10；4-11；F