1、 專題13 概率歸類 目錄TOC o 1-3 h u 一、熱點(diǎn)題型歸納 HYPERLINK l _Toc14433 PAGEREF _Toc14433 1 HYPERLINK l _Toc25251 【題型一】 互斥與對(duì)立事件 PAGEREF _Toc25251 1 HYPERLINK l _Toc26814 【題型二】 獨(dú)立事件概率計(jì)算 PAGEREF _Toc26814 3 HYPERLINK l _Toc7734 【題型三】 獨(dú)立事件應(yīng)用：電路圖 PAGEREF _Toc7734 5 HYPERLINK l _Toc25384 【題型四】 古典概型：基礎(chǔ) PAGEREF _Toc2538

2、4 7 HYPERLINK l _Toc28211 【題型五】 古典概型綜合 PAGEREF _Toc28211 9 HYPERLINK l _Toc24986 【題型六】 概率模型1：取球模型 PAGEREF _Toc24986 10 HYPERLINK l _Toc9022 【題型七】 概率模型2：傳球模型 PAGEREF _Toc9022 12 HYPERLINK l _Toc15990 【題型八】 概率綜合 PAGEREF _Toc15990 13二、最新模考題組練 HYPERLINK l _Toc29010 PAGEREF _Toc29010 15【題型一】 互斥與對(duì)立事件 【例1】

3、對(duì)于一個(gè)古典概型的樣本空間和事件A，B，C，D，其中，則（）AA與B不互斥BA與D互斥但不對(duì)立CC與D互斥DA與C相互獨(dú)立【答案】D【分析】由已知條件結(jié)合事件的運(yùn)算判斷事件間的互斥、對(duì)立關(guān)系，根據(jù)的關(guān)系判斷事件是否獨(dú)立.【詳解】由，即，故A、B互斥，A錯(cuò)誤；由，A、D互斥且對(duì)立，B錯(cuò)誤；又，則，C與D不互斥，C錯(cuò)誤；由，所以，即A與C相互獨(dú)立，D正確.故選：D【例2】設(shè)A，B是兩個(gè)概率大于0的隨機(jī)事件，則下列論述正確的是（）A若A，B是對(duì)立事件，則事件A，B滿足P（A）P（B）1B事件A，B，C兩兩互斥，則P（A）P（B）P（C）1C若A和B互斥，則A和B一定相互獨(dú)立DP（AB）P（A）P（B

4、）【答案】A【分析】A.該選項(xiàng)正確；B. 事件A，B，C兩兩互斥，舉例說明該選項(xiàng)錯(cuò)誤；C. 若A和B互斥，則A和B一定不相互獨(dú)立，所以該選項(xiàng)錯(cuò)誤；D.只有當(dāng)A和B互斥時(shí)， P（AB）P（A）P（B），所以該選項(xiàng)錯(cuò)誤.【詳解】A. 若A，B是對(duì)立事件，則事件A，B滿足P（A）P（B）1，所以該選項(xiàng)正確；B. 事件A，B，C兩兩互斥，如 : 投擲一枚均勻的骰子，設(shè)向上的點(diǎn)數(shù)是1點(diǎn)，向上的點(diǎn)數(shù)是2點(diǎn)，向上的點(diǎn)數(shù)是3點(diǎn)，則A，B，C兩兩互斥，, P（A）P（B）P（C）1,所以該選項(xiàng)錯(cuò)誤；C. 若A和B互斥，則，則A和B一定不相互獨(dú)立，所以該選項(xiàng)錯(cuò)誤；D.只有當(dāng)A和B互斥時(shí)， P（AB）P（A）P（B

5、），所以該選項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：A【例3】甲乙兩個(gè)質(zhì)地均勻且完全一樣的正方體骰子，每個(gè)骰子的六個(gè)面上分別標(biāo)有數(shù)字1，2，3，4，5，6.同時(shí)拋擲這兩個(gè)骰子在水平桌面上，記事件為“兩個(gè)骰子朝上一面的數(shù)字之和為奇數(shù)”，事件為“甲骰子朝上一面的數(shù)字為奇數(shù)”，事件為“乙骰子朝上一面的數(shù)字為偶數(shù)”，則下列結(jié)論不正確的是（）ABCD【答案】D【分析】對(duì)于A：分別求出，即可判斷；對(duì)于B：直接判斷出，即可判斷；對(duì)于C：由，的值，即可求出，即可判斷；對(duì)于D：直接求出，即可判斷.【詳解】對(duì)于A：擲這兩個(gè)骰子，一共有種基本事件.事件A發(fā)生，則兩個(gè)骰子的點(diǎn)數(shù)為一奇一偶，有種，所以；因?yàn)閿S骰子正面向上為奇數(shù)和偶數(shù)的方法種數(shù)相

6、同，所以，.故A正確；對(duì)于B：事件BC，事件AC，事件AB均表示甲為奇數(shù)，乙為偶數(shù)，所以.故B正確；對(duì)于C：因?yàn)?，所以，故C正確；對(duì)于D：事件ABC表示甲朝上一面為奇數(shù)，乙朝上一面為偶數(shù)，故，故D錯(cuò)誤.故選：D【例4】口袋中裝有編號(hào)為、的2個(gè)紅球和編號(hào)為、的5個(gè)黑球，小球除顏色、編號(hào)外形狀大小完全相同，現(xiàn)從中取出1個(gè)小球，記事件為“取到的小球的編號(hào)為”，事件為“取到的小球是黑球”，則下列說法正確的是（）A與互斥B與對(duì)立CD【答案】C【分析】利用互斥事件、對(duì)立事件的意義判斷A，B；利用古典概率求出判斷C，D作答.【詳解】依題意，取到的小球?yàn)楹谇蚯揖幪?hào)為，事件與同時(shí)發(fā)生，則與不互斥，也不對(duì)立，A，

7、B都不正確；由古典概率得：，于是得，C正確，D不正確.故選：C【題型二】 獨(dú)立事件概率計(jì)算【例1】甲、乙兩人各有一個(gè)袋子，且每人袋中均裝有除顏色外其他完全相同的2個(gè)紅球和2個(gè)白球，每人從各自袋中隨機(jī)取出一個(gè)球，若2個(gè)球同色，則甲勝，且將取出的2個(gè)球全部放入甲的袋子中；若2個(gè)球異色，則乙勝，且將取出的2個(gè)球全部放入乙的袋子中.則兩次取球后，甲的袋子中恰有6個(gè)球的概率是（）ABCD【答案】A【分析】先根據(jù)取球規(guī)則分析得到兩次取球后甲的袋子中有6個(gè)球時(shí)，兩次取球均為同色，然后分第一次取球甲、乙都取到紅球和白球兩種情況求解即可.【詳解】由題，若兩次取球后，甲的袋子中恰有6個(gè)球，則兩次取球均為甲勝，即兩

8、次取球均為同色. 若第一次取球甲、乙都取到紅球，概率為，則第一次取球后甲的袋子中有3個(gè)紅球和2個(gè)白球，乙的袋子中有1個(gè)紅球和2個(gè)白球，第二次取同色球分為取到紅球或取到白球，概率為，故第一次取球甲乙都取到紅球且兩次取球后，甲的袋子中有6個(gè)球的概率為.同理，第一次取球甲、乙都取到白球且兩次取球后，甲的袋子中有6個(gè)球的概率為.故所求概率為.故選：A.【例2】甲、乙兩人獨(dú)立地破譯一份密碼，已知兩人能破譯的概率分別是，則（）A兩人都成功破譯的概率為B兩人都成功破譯的概率為C密碼被成功破譯的概率為D密碼被成功破譯的概率為【答案】D【分析】應(yīng)用獨(dú)立事件乘方公式求兩人都成功破譯的概率，結(jié)合對(duì)立事件、互斥事件的

9、概率求密碼被成功破譯的概率.【詳解】?jī)扇硕汲晒ζ谱g的概率為，A、B錯(cuò)誤；密碼被成功破譯的概率為，C錯(cuò)誤，D正確.故選：D.【例3】我們通常所說的ABO血型系統(tǒng)是由A，B，O三個(gè)等位基因決定的，每個(gè)人的基因型由這三個(gè)等位基因中的任意兩個(gè)組合在一起構(gòu)成，且兩個(gè)等位基因分別來自父親和母親，其中AA，AO為A型血，BB，BO為B型血，AB為AB型血，OO為O型血.比如：父親和母親的基因型分別為AO，AB，則孩子的基因型等可能的出現(xiàn)AA，AB，AO，BO四種結(jié)果，已知小明的爺爺、奶奶和母親的血型均為AB型，不考慮基因突變，則小明是A型血的概率為（）ABCD【答案】C【分析】根據(jù)給定條件求出父親所有可能血

10、型的概率，再分情況求解小明是A型血的概率作答.【詳解】因小明的爺爺、奶奶的血型均為AB型，則小明父親的血型可能是AA，AB，BB，它們對(duì)應(yīng)的概率分別為，當(dāng)小明父親的血型是AA時(shí)，因其母親的血型為AB，則小明的血型可能是AA，AB，它們的概率均為，此時(shí)小明是A型血的概率為，當(dāng)小明父親的血型是AB時(shí)，因其母親的血型為AB，則小明的血型是AA的概率為，此時(shí)小明是A型血的概率為，當(dāng)小明父親的血型是BB時(shí)，因其母親的血型為AB，則小明的血型不可能是AA，所以小明是A型血的概率為，即C正確.故選：C【例4】2021年神舟十二號(hào)、十三號(hào)載人飛船發(fā)射任務(wù)都取得圓滿成功，這意味著我國(guó)的科學(xué)技術(shù)和航天事業(yè)取得重大

11、進(jìn)步現(xiàn)有航天員甲、乙、丙三個(gè)人，進(jìn)入太空空間站后需要派出一人走出太空站外完成某項(xiàng)試驗(yàn)任務(wù)，工作時(shí)間不超過10分鐘，如果10分鐘內(nèi)完成任務(wù)則試驗(yàn)成功結(jié)束任務(wù)，10分鐘內(nèi)不能完成任務(wù)則撤回再派下一個(gè)人，每個(gè)人只派出一次已知甲、乙、丙10分鐘內(nèi)試驗(yàn)成功的概率分別為，每個(gè)人能否完成任務(wù)相互獨(dú)立，該項(xiàng)試驗(yàn)任務(wù)按照甲、乙、丙順序派出，則試驗(yàn)任務(wù)成功的概率為（）ABCD【答案】D【分析】把試驗(yàn)任務(wù)成功的事件拆成三個(gè)互斥事件的和，再求出每個(gè)事件的概率，然后用互斥事件的概率加法公式計(jì)算作答.【詳解】試驗(yàn)任務(wù)成功的事件是甲成功的事件，甲不成功乙成功的事件，甲乙都不成功丙成立的事件的和，事件，互斥，所以試驗(yàn)任務(wù)成功

12、的概率.故選：D【題型三】 獨(dú)立事件應(yīng)用：電路圖【例1】一個(gè)電路如圖所示，A，B，C，D，E，F(xiàn)為6個(gè)開關(guān)，其閉合的概率為，且是相互獨(dú)立的，則燈亮的概率是()ABCD【答案】B【詳解】設(shè)與中至少有一個(gè)不閉合的事件為與至少有一個(gè)不閉合的事件為，則，所以燈亮的概率為 ， 故選B.【例2】如圖所示，用、三類不同的元件連接成一個(gè)系統(tǒng).當(dāng)正常工作且、至少有一個(gè)正常工作時(shí)，系統(tǒng)正常工作.已知、正常工作的概率依次為、，則系統(tǒng)正常工作的概率為（）ABCD【答案】C【分析】先求出、至少有一個(gè)正常工作的概率，再利用概率乘法公式即可求解.【詳解】由題意知、正常工作的概率分別為、，、相互獨(dú)立，、至少有一個(gè)正常工作的概

13、率為：，系統(tǒng)正常工作的概率為，故選：C.【例3】如圖，某系統(tǒng)由A，B，C，D四個(gè)零件組成，若每個(gè)零件是否正常工作互不影響，且零件A，B，C，D正常工作的概率都為，則該系統(tǒng)正常工作的概率為（）ABCD【答案】C【分析】要使系統(tǒng)正常工作，則A、B要都正常或者C正常，D必須正常，然后利用獨(dú)立事件，對(duì)立事件概率公式計(jì)算.【詳解】記零件或系統(tǒng)能正常工作的概率為，該系統(tǒng)正常工作的概率為: ,故選：C.【例4】一個(gè)系統(tǒng)如圖所示，為6個(gè)部件，其正常工作的概率都是，且是否正常工作是相互獨(dú)立的，當(dāng)，都正常工作或正常工作，或正常工作，或，都正常工作時(shí)，系統(tǒng)就能正常工作，則系統(tǒng)正常工作的概率是（）ABCD【答案】A【

14、分析】并聯(lián)而成的四個(gè)支路，至少有一個(gè)支路正常工作系統(tǒng)就正常工作，求出四個(gè)支路都不能正常工作的概率，再利用對(duì)立事件的概率公式即可得解.【詳解】設(shè)“正常工作”為事件，“正常工作”為事件，則 “與中至少有一個(gè)不正常工作”為事件，“與中至少有一個(gè)不正常工作”為事件，則，于是得系統(tǒng)不正常工作的事件為，而，相互獨(dú)立，所以系統(tǒng)正常工作的概率故選：A【題型四】 古典概型：基礎(chǔ)【例1】盒中裝有形狀、大小完全相同的個(gè)球，其中紅色球個(gè)，黃色球個(gè).若從中隨機(jī)取出個(gè)球，則所取出的個(gè)球顏色相同的概率等于（）ABCD【答案】C【分析】將個(gè)球進(jìn)行編號(hào)，列舉出所有的基本事件，并確定所求事件所包含的基本事件，利用古典概型的概率公

15、式可求得所求事件的概率.【詳解】記個(gè)紅色球分別為、，記個(gè)黃色球分別為、，從這個(gè)球中隨機(jī)抽取個(gè)，所有的基本事件有：、，共個(gè)，其中，事件“所取出的個(gè)球顏色相同”包含的基本事件有：、，共4個(gè).故所求概率為.故選：C.【例2】投擲兩枚骰子，分別得到點(diǎn)數(shù)a，b，向量與向量的夾角為銳角的概率為（）ABCD【答案】C【分析】由向量夾角公式可得，向量與向量的夾角為銳角得到，利用列舉法和古典概型即可得到所求概率.【詳解】設(shè)向量與向量的夾角為，則，又因?yàn)橄蛄颗c向量的夾角為銳角，則；可知，投擲兩枚骰子，分別得到點(diǎn)數(shù)，共有種等可能情況；當(dāng)時(shí)，即有：時(shí)，有種情況；時(shí)，有種情況；時(shí)，有種情況；時(shí)，有種情況；時(shí)，有種情況；

16、所以，共有種等可能情況，則向量與向量的夾角為銳角的概率.故選：C.【例3】我國(guó)古代為了進(jìn)行復(fù)雜的計(jì)算，曾經(jīng)使用“算籌”表示數(shù)，后漸漸發(fā)展為算盤.算籌有縱式和橫式兩種排列方式，各個(gè)數(shù)字及其算籌表示的對(duì)應(yīng)關(guān)系如下表：排列數(shù)字時(shí)，個(gè)位采用縱式，十位采用橫式，百位采用縱式，千位采用橫式縱式和橫式依次交替出現(xiàn).如“”表示21，“”表示609，在“”、“”、“”、“”、“”按照一定順序排列成的無重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)中任取一個(gè)，取到奇數(shù)的概率是（）0123456789縱式橫式ABCD【答案】B【分析】利用列舉法，結(jié)合古典概型概率計(jì)算公式，計(jì)算出所求概率.【詳解】所有情況列舉如下：百位十位個(gè)位備注百位十位個(gè)位備注

17、134偶數(shù)431奇數(shù)130偶數(shù)430偶數(shù)184偶數(shù)481奇數(shù)180偶數(shù)480偶數(shù)104偶數(shù)401奇數(shù)所以取到奇數(shù)的概率是.故選：B.【例4】先后拋擲兩枚質(zhì)地均勻的股子，骰子朝上面的點(diǎn)數(shù)分別為，構(gòu)成一個(gè)基本事件記“這些基本事件中，滿足”為事件，則發(fā)生的概率是（）ABCD【答案】A【分析】求出基本事件的總數(shù)以及事件包含的基本事件的個(gè)數(shù)，由古典概率公式即可求解.【詳解】先后拋擲兩枚質(zhì)地均勻的股子，骰子朝上面的點(diǎn)數(shù)分別為，構(gòu)成一個(gè)基本事件，基本事件總數(shù)，記“這些基本事件中，滿足”為事件，則事件包含的基本事件有：，共個(gè)，則事件發(fā)生的概率是.故選：A.【題型五】 古典概型綜合【例1】已知數(shù)據(jù)1，2，3，4

18、，的平均數(shù)與中位數(shù)相等，從這5個(gè)數(shù)中任取2個(gè)，則這2個(gè)數(shù)字之積大于5的概率為ABCD【答案】B【詳解】分析：由題意首先求得實(shí)數(shù)x的值，然后列出所有可能的結(jié)果，從中挑選滿足題意的結(jié)果結(jié)合古典概型計(jì)算公式即可求得最終結(jié)果.詳解：由數(shù)據(jù)1，2，3，4，x（0 x5）的平均數(shù)，可得2+=x，所以x=，從這5個(gè)數(shù)中任取2個(gè)，結(jié)果有：共10種，這2個(gè)數(shù)字之積大于5的結(jié)果有：，共5種，所以所求概率為.本題選擇B選項(xiàng).【例2】齊王與田忌賽馬，田忌的上等馬優(yōu)于齊王的中等馬，劣于齊王的上等馬，田忌的中等馬優(yōu)于齊王的下等馬，劣于齊王的中等馬，田忌的下等馬劣于齊王的下等馬，現(xiàn)雙方各出上、中、下等馬各一匹分組分別進(jìn)行一

19、場(chǎng)比賽，勝兩場(chǎng)及以上者獲勝，若雙方均不知道對(duì)方馬的出場(chǎng)順序，則田忌獲勝的概率為（）ABCD【答案】D【分析】將齊王與田忌的上、中、下等馬編號(hào)，列出雙方各出上、中、下等馬各一匹分組分別進(jìn)行一場(chǎng)比賽的基本事件即可利用古典概率計(jì)算作答.【詳解】齊王的上等馬、中等馬、下等馬分別記為A，B，C，田忌的上等馬、中等馬、下等馬分別記為a，b，c，雙方各出上、中、下等馬各一匹分組分別進(jìn)行一場(chǎng)比賽，勝兩場(chǎng)及以上者獲勝，依題意，共賽3場(chǎng)，所有基本事件為：，共6個(gè)基本事件，它們等可能，田忌獲勝包含的基本事件為：，僅只1個(gè)，所以田忌獲勝的概率.故選：D【例3】甲、乙二人玩猜數(shù)字游戲，先由甲任想一數(shù)字，記為a，再由乙猜

20、甲剛才想的數(shù)字，把乙猜出的數(shù)字記為b，且，若，則稱甲乙“心有靈犀”現(xiàn)任意找兩個(gè)人玩這個(gè)游戲，則他們“心有靈犀”的概率為（）ABCD【答案】B【分析】利用列舉法根據(jù)古典概型公式計(jì)算即可.【詳解】B兩人分別從1，2，3，4四個(gè)數(shù)中任取一個(gè)，共有16個(gè)樣本點(diǎn)，為：(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)， (2，1)，(2，2)，(2，3) ，(2，4)，(3，1)，(3，2)，(3，3)，(3，4)，(4，1)，(4，2) (4，3)，(4，4)，這16個(gè)樣本點(diǎn)發(fā)生的可能性是相等的其中滿足的樣本點(diǎn)有(1，1)，(1，2)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(3，2)，(3，3)，(3，4)

21、，(4，3)，(4，4)，共10個(gè)，故他們“心有靈犀”的概率為故選：B【例4】列子中歧路亡羊的內(nèi)容為：楊子之鄰?fù)鲅?亡：丟失)，既率其黨，又請(qǐng)楊子之豎(豎：書童)追之.楊子曰：“嘻!亡一羊，何追者之眾？”鄰人曰：“多歧路(歧路：岔路口).”既反，問：“獲羊乎？”曰：“亡之矣”曰：“奚亡之？”曰：“歧路之中又有歧焉，吾不知所之，所以反也.”這是一篇古人楊子的鄰居尋羊的故事，寓意深刻，假定所有分岔口都有兩條新的歧路，且歧路等距離出現(xiàn)，丟失的這只羊在每個(gè)分岔口走兩條新歧路的可能性是相等的，當(dāng)羊走過5個(gè)岔路口后，楊子的鄰人動(dòng)員了7個(gè)人去找羊，則找到羊的可能性為（）ABCD【答案】A【分析】由題可得規(guī)律

22、為：第n個(gè)分岔口時(shí)，共有條歧路，當(dāng)羊走過n個(gè)分岔口后，找到羊的概率為，然后根據(jù)題中數(shù)據(jù)進(jìn)行計(jì)算即可得解.【詳解】當(dāng)?shù)降趎個(gè)分岔口時(shí)，共有條歧路，當(dāng)羊走過n個(gè)分岔口后，找到羊的概率為，當(dāng)時(shí)，每個(gè)人找到羊的概率為，故派出7個(gè)人去找羊，找到羊的概率為.故選：A.【題型六】 概率模型1：取球模型 【例1】 甲、乙兩個(gè)袋中各有3只白球，2只黑球，從甲袋中任取一球放入乙袋中，則再?gòu)囊掖腥〕鲆磺驗(yàn)榘浊虻母怕适牵ǎ〢BCD【答案】B【分析】把求概率的事件分拆成兩個(gè)互斥事件的和，再求出每個(gè)事件的概率即可計(jì)算作答.【詳解】從乙袋中取出一球?yàn)榘浊虻氖录嗀是甲袋中取出一白球，再在乙袋中取出白球的事件B及甲袋中取出一

23、黑球，再在乙袋中取出白球的事件C的和，B，C互斥，則，所以再?gòu)囊掖腥〕鲆磺驗(yàn)榘浊虻母怕适?故選：B【例2】袋中共裝有8個(gè)小球，其中有1個(gè)白球，3個(gè)紅球，和4個(gè)黑球從袋中任取一球，確定顏色后放回袋中，再?gòu)拇腥∫磺?，確定顏色后放回袋中，則兩次取球顏色為一白一紅的概率等于（）ABCD【答案】B求出基本事件空間中事件的個(gè)數(shù)，再列舉出兩次取球顏色為一白一紅的基本事件，得基本事件的個(gè)數(shù)后計(jì)算出概率【詳解】基本事件空間中基本事件數(shù)為.兩次取球顏色為一白一紅的基本事件有：，共六個(gè)，故所求概率為.故選：B【例3】從裝有3個(gè)紅球、2個(gè)白球的袋中任取3個(gè)球,則所取的3個(gè)球中至少有1個(gè)白球的概率是()ABCD【答

24、案】D【詳解】試題分析：從裝有個(gè)紅球，個(gè)白球的袋中任取個(gè)球，共有基本事件種，則全取紅球的基本事件只有一種，所以所取個(gè)球中至少有個(gè)白球的概率為，故選D.【例4】一個(gè)不透明的袋子中裝有4個(gè)完全相同的小球，球上分別標(biāo)有數(shù)字為0，1，2，3.現(xiàn)甲從中摸出1個(gè)球后放回，乙再?gòu)闹忻?個(gè)球，誰摸出的球上的數(shù)字大誰獲勝，則甲、乙各摸一次球后，甲獲勝且乙摸出的球上數(shù)字為偶數(shù)的概率為（）ABCD【答案】A先求得甲、乙各摸一次球所包含的基本事件，在列舉出甲、乙各摸一次球后，甲獲勝且乙摸出的球上數(shù)字為偶數(shù)所包含的基本事件的個(gè)數(shù)，結(jié)合古典概型的概率計(jì)算公式，即可求解.【詳解】由題意，甲、乙各摸一次球，所有可能的結(jié)果有

25、（種），甲摸的數(shù)字在前，乙摸的數(shù)字在后，則甲獲勝的情況有，共6種，其中甲、乙各摸一次球后，甲獲勝且乙摸出的球上數(shù)字為偶數(shù)有，共有4種，所求概率為.故選：A.【題型七】 概率模型2：傳球模型【例1】為提高學(xué)生的身體素質(zhì)，加強(qiáng)體育鍛煉，高三（1）班A，B，C三位同學(xué)進(jìn)行足球傳球訓(xùn)練，約定：球在某同學(xué)腳下必須傳出，傳給另外兩同學(xué)的概率均為，不考慮失球，球剛開始在A同學(xué)腳下，經(jīng)過5次傳球后，球回到A同學(xué)腳下的概率為（）ABCD【答案】B【分析】由題可知傳球共有32種可能，其中開始在A同學(xué)腳下，經(jīng)過5次傳球后，球回到A同學(xué)腳下的有10種，即求.【詳解】由題可知，開始在A同學(xué)腳下，5次傳球共有32種可能，

26、其中開始在A同學(xué)腳下，經(jīng)過5次傳球后，球回到A同學(xué)腳下的有10種，球回到A同學(xué)腳下的概率為.故選：B.【例2】A，B，C三人站成三角形相互傳球，由A開始傳球，每次可傳給另外兩人中的任何一人，按此規(guī)則繼續(xù)往下傳，傳球4次后，球又回到A手中的傳球方式有_種【答案】6【分析】列舉出所有可能的傳球方式即可.【詳解】經(jīng)次傳球又回到手中的基本事件有：，共種本題正確結(jié)果：【例3】甲、乙、丙三人互相傳球,由甲開始發(fā)球,并作為第一次傳球,經(jīng)過4次傳球后,球仍回到甲手中的概率為_.【答案】【詳解】本題可用樹形圖去求基本事件空間及滿足條件的基本事件的個(gè)數(shù).從圖中可以得到:基本事件總數(shù)為16,回到甲手中的基本事件為6

27、個(gè),所以滿足條件的概率為P=.故答案為【例4】甲、乙、丙三人進(jìn)行傳球練習(xí)，共傳球三次，球首先從甲手中傳出，則第3次球恰好傳回給甲的概率是_【答案】【詳解】用甲乙丙甲表示一種傳球方法所有傳球方法共有：甲乙甲乙；甲乙甲丙；甲乙丙甲；甲乙丙乙；甲丙甲乙；甲丙甲丙；甲丙乙甲；甲丙乙丙；則共有8種傳球方法記求第3次球恰好傳回給甲的事件為A，可知共有兩種情況，而總的事件數(shù)是8，P(A)=.故答案為【題型八】 概率綜合【例1】已知集合，且，則函數(shù)有零點(diǎn)的概率是（）ABCD【答案】A【分析】運(yùn)用列舉法列出所有基本事件，再分和兩種分別求出事件，由古典概率公式可得選項(xiàng).【詳解】由題意可得總的基本事件數(shù)為9，記這個(gè)

28、基本事件為，其基本事件是：，.當(dāng)時(shí)函數(shù)有零點(diǎn)，符合條件的基本事件有，共3個(gè)；當(dāng)時(shí)，有零點(diǎn)，則，即，從而符合條件的基本事件有，其4個(gè)故所求概率故選：A.【例2】已知正六邊形的邊長(zhǎng)為1，在這6個(gè)頂點(diǎn)中任意取2個(gè)不同的頂點(diǎn)，得到線段，則的概率為（）ABCD【答案】C【分析】先分析，然后列舉基本事件，根據(jù)古典概型的概率公式直接求得.【詳解】由已知得，在這6個(gè)頂點(diǎn)中任意取2個(gè)不同的頂點(diǎn)，得到以下15條線段：，其中滿足的有以下6條線段：，根據(jù)古典概型的計(jì)算公式得，的概率為.故選C.【例3】素?cái)?shù)分布是數(shù)論研究的核心領(lǐng)域之一，含有眾多著名的猜想.世紀(jì)中葉，法國(guó)數(shù)學(xué)家波利尼亞克提出了“廣義孿生素?cái)?shù)猜想”：對(duì)所有

29、自然數(shù)，存在無窮多個(gè)素?cái)?shù)對(duì).其中當(dāng)時(shí)，稱為“孿生素?cái)?shù)”，時(shí)，稱為“表兄弟素?cái)?shù)”.在不超過的素?cái)?shù)中，任選兩個(gè)不同的素?cái)?shù)()，令事件為孿生素?cái)?shù)，為表兄弟素?cái)?shù)，記事件發(fā)生的概率分別為，則下列關(guān)系式成立的是（）ABCD【答案】D根據(jù)素?cái)?shù)的定義，一一列舉出不超過的所有素?cái)?shù)，共10個(gè)，根據(jù)組合運(yùn)算，得出隨機(jī)選取兩個(gè)不同的素?cái)?shù)、()，有(種)選法，從而可列舉出事件、的所有基本事件，最后根據(jù)古典概率分別求出和，從而可得出結(jié)果.【詳解】解：不超過的素?cái)?shù)有、，共10個(gè)，隨機(jī)選取兩個(gè)不同的素?cái)?shù)、()，有(種)選法，事件發(fā)生的樣本點(diǎn)為、共4個(gè)，事件發(fā)生的樣本點(diǎn)為、共4個(gè)，事件發(fā)生的樣本點(diǎn)為、，共個(gè)，故.故選：D.【例

30、4】數(shù)學(xué)與文學(xué)有許多奇妙的聯(lián)系，如詩中有回文詩：“垂簾畫閣畫簾垂，誰系懷思懷系誰？”既可以順讀也可以逆讀，數(shù)學(xué)中有回文數(shù)，如343、12521等，兩位數(shù)的回文數(shù)有11、22、33、99共9個(gè)，則三位數(shù)的回文數(shù)中為偶數(shù)的概率是（）ABCD【答案】D【分析】利用列舉法列舉出所有的三位回文數(shù)的個(gè)數(shù)，再列舉出其中所有的偶數(shù)的個(gè)數(shù)，由此能求出結(jié)果【詳解】解：三位數(shù)的回文數(shù)為，共有1到9共9種可能，即、共有0到9共10種可能，即、共有個(gè)，其中偶數(shù)為是偶數(shù)，共4種可能，即，共有0到9共10種可能，即、其有個(gè)，三位數(shù)的回文數(shù)中，偶數(shù)的概率；故選：1，假定生男孩和女孩是等可能的，現(xiàn)考慮有2個(gè)小孩的家庭，隨機(jī)選擇

31、一個(gè)家庭，則下列說法正確的是（）A事件“該家庭2個(gè)小孩中至少有1個(gè)女孩”和事件“該家庭2個(gè)小孩中至少有1個(gè)男孩”是互斥事件；B事件“該家庭2個(gè)小孩全是女孩”和事件“該家庭2個(gè)小孩全是男孩”是對(duì)立事件；C該家庭2個(gè)小孩中只有1個(gè)女孩的概率為D該家庭2個(gè)小孩中有2個(gè)男孩的概率為；【答案】D【分析】A.利用互斥事件的定義判斷；B.利用對(duì)立事件的定義判斷；CD.利用古典概型的概率求解判斷.【詳解】A.事件“該家庭2個(gè)小孩中至少有1個(gè)女孩”是一個(gè)女孩一個(gè)男孩或2個(gè)女孩，事件“該家庭2個(gè)小孩中至少有1個(gè)男孩”是一個(gè)男孩和一個(gè)女孩或2個(gè)男孩，故不是互斥事件，故錯(cuò)誤；B. 事件“該家庭2個(gè)小孩全是女孩”和事件

32、“該家庭2個(gè)小孩全是男孩”是互斥事件，但不對(duì)立，故錯(cuò)誤；C.該家庭2個(gè)小孩有男男，男女，女男，女女4種情況，只有1個(gè)女孩有男女，女男2種情況，所以該家庭2個(gè)小孩中只有1個(gè)女孩的概率為，故錯(cuò)誤；D.由C知：該家庭2個(gè)小孩中有2個(gè)男孩的概率為，故正確；故選：D2.袋中有紅黃兩種顏色的球各一個(gè)，這兩個(gè)球除顏色外完全相同，從中任取一個(gè)，有放回地抽取3次，記事件表示“3次抽到的球全是紅球”，事件表示“次抽到的球顏色全相同”，事件表示“3次抽到的球顏色不全相同”，則（）A事件與事件互斥B事件與事件不對(duì)立CD【答案】C【分析】根據(jù)題意，結(jié)合互斥事件，對(duì)立事件概念以及概率公式依次討論各選項(xiàng)即可得答案.【詳解】

33、解：對(duì)于A，因?yàn)?次抽到的球全是紅球?yàn)?次抽到的球顏色全相同的一種情況，所以事件與事件不互斥，故錯(cuò)誤；對(duì)于B，事件與事件不可能同時(shí)發(fā)生，但一定有一個(gè)會(huì)發(fā)生，所以事件與事件互為對(duì)立事件，故錯(cuò)誤；對(duì)于C，因?yàn)椋?，故正確；對(duì)于D，因?yàn)槭录c事件C互斥，所以，所以，故D錯(cuò)誤.故選：C3.某地為方便群眾接種新冠疫苗，開設(shè)了，四個(gè)接種點(diǎn)，每位接種者可去任一個(gè)接種點(diǎn)接種若甲，乙兩人去接種新冠疫苗，則兩人不在同一接種點(diǎn)接種疫苗的概率為（）ABCD【答案】C【分析】根據(jù)題意列出甲，乙兩人去，四個(gè)接種點(diǎn)接種新冠疫苗的所有選擇，然后再求出甲，乙兩人不在同一個(gè)接種點(diǎn)接種的情況有多少種，從而可求出概率.【詳解】甲，

34、乙兩人去，四個(gè)接種點(diǎn)接種新冠疫苗的所有選擇共有16種，分別為：，；其中兩人不在同一個(gè)接種點(diǎn)接種的情況有12種，從而有.故選：C4.某大街在甲、乙、丙三處設(shè)有紅綠燈，汽車在這三處遇到綠燈的概率分別是，則汽車在這三處共遇到兩次綠燈的概率為（）ABCD【答案】D【分析】把汽車在三處遇兩次綠燈的事件M分拆成三個(gè)互斥事件的和，再利用互斥事件、對(duì)立事件、相互獨(dú)立事件的概率公式計(jì)算得解.【詳解】汽車在甲、乙、丙三處遇綠燈的事件分別記為A，B，C，則，汽車在三處遇兩次綠燈的事件M，則，且，互斥，而事件A，B，C相互獨(dú)立，則，所以汽車在這三處共遇到兩次綠燈的概率為.故選：D5.先后拋擲兩枚骰子，甲表示事件“第一

35、次擲出正面向上的點(diǎn)數(shù)是1”，乙表示事件“第二次擲出正面向上的點(diǎn)數(shù)是2”，丙表示事件“兩次擲出的點(diǎn)數(shù)之和是7”，丁表示事件“兩次擲出的點(diǎn)數(shù)之和是8”，則（）A甲與丙相互獨(dú)立B甲與丁相互獨(dú)立C乙與丁相互獨(dú)立D丙與丁相互獨(dú)立【答案】A【分析】根據(jù)事件獨(dú)立性的定義：判斷各選項(xiàng)的正誤.【詳解】丙事件的第一次,第二次點(diǎn)數(shù)組合為，則丙；丁事件的第一次,第二次點(diǎn)數(shù)組合為，則??；甲乙；1、甲丙甲丙，故甲與丙相互獨(dú)立.2、甲丁甲丁，故甲與丙不相互獨(dú)立.3、乙丁乙丁，故乙與丁不相互獨(dú)立；4、顯然，丙與丁為互斥事件，丙丁丙丁，故不相互獨(dú)立.故選：A6.高一年級(jí)某同學(xué)為了豐富自己的課外活動(dòng)，參加了學(xué)?！拔膶W(xué)社”“詠春社

36、”“音樂社”三個(gè)社團(tuán)的選拔，該同學(xué)能否成功進(jìn)入這三個(gè)社團(tuán)是相互獨(dú)立.假設(shè)該同學(xué)能夠進(jìn)入“文學(xué)社”“詠春社”“音樂社”三個(gè)社團(tuán)的概率分別為、，該同學(xué)可以進(jìn)入兩個(gè)社團(tuán)的概率為，且三個(gè)社團(tuán)都進(jìn)不了的概率為，則（）ABCD【答案】B【分析】利用相互獨(dú)立事件的概率乘法公式，列出關(guān)于，的方程，聯(lián)立求解即得.【詳解】依題意，該同學(xué)可以進(jìn)入兩個(gè)社團(tuán)的概率為，則，整理得，又三個(gè)社團(tuán)都進(jìn)不了的概率為，則，整理得，聯(lián)立與，解得，所以.故選：B7.現(xiàn)有6個(gè)相同的球，分別標(biāo)有數(shù)字1，2，3，4，5，6，從中有放回的隨機(jī)取兩次，每次取1個(gè)球事件“第一次取出的球的數(shù)字是3”，事件“第二次取出的球的數(shù)字是2”，事件“兩次取出

37、的球的數(shù)字之和是7”，事件“兩次取出的球的數(shù)字之和是6”，則（）A與相互獨(dú)立B與相互獨(dú)立C與相互獨(dú)立D與相互獨(dú)立【答案】A【分析】根據(jù)互斥事件和對(duì)立事件的定義判斷【詳解】解：根據(jù)題意得，所以，所以與相互獨(dú)立.故選：A8.某居民小區(qū)有兩個(gè)相互獨(dú)立的安全防范系統(tǒng)和，系統(tǒng)和系統(tǒng)在任意時(shí)刻發(fā)生故障的概率分別為和，若在任意時(shí)刻恰有一個(gè)系統(tǒng)發(fā)生故障的概率為，則（）ABCD【答案】A【分析】設(shè)“系統(tǒng)發(fā)生故障”為時(shí)間A, “系統(tǒng)發(fā)生故障”為時(shí)間, “任意時(shí)刻恰有一個(gè)系統(tǒng)發(fā)生故障”為事件,則，結(jié)合條件可得答案.【詳解】設(shè)“系統(tǒng)發(fā)生故障”為時(shí)間A, “系統(tǒng)發(fā)生故障”為時(shí)間, “任意時(shí)刻恰有一個(gè)系統(tǒng)發(fā)生故障”為事件 則 解得 故選：A9.已知一個(gè)古典概型的樣本空間和事件和，其中，那么下列事件概率錯(cuò)誤的是（）ABCD【答案】D【分析】運(yùn)用古典概型概率計(jì)算公式分別計(jì)算出相應(yīng)事件的概率即可作出判斷.【詳解】對(duì)