整設(shè)word整設(shè)§8

最二估教分教科書通過思考交流引入了最小二乘法一提出了線性回歸方程探用多種方法確定線性回歸直線的過程中學(xué)展示創(chuàng)造性思維的過程助生理解最小二乘法的思想通過氣溫與飲料銷售量的子及隨后的思考同們了解利用線性回歸方程解決實際問題的全過程線回歸方程作出的預(yù)測結(jié)果的隨機性和并且可能犯的錯誤步，教師可以利用計算機模擬和多媒體技術(shù)，直觀形象地展示預(yù)測結(jié)果的隨機性和規(guī)律性．三目經(jīng)歷用不同估算方法描述兩個變量線性相關(guān)的過程解小二乘法的思想根據(jù)給出的線性回歸方程的系數(shù)公式建立線性回歸方程．重難教學(xué)重點：求線性回歸方程，以及線性回歸分析．教學(xué)難點：確定線性回歸系數(shù)．課安1課教過導(dǎo)新思路1.客觀事物是相互聯(lián)系的過去研究的大多數(shù)是因果關(guān)系，但實際上更多存在的是一種非因果關(guān)系比說：某同學(xué)的數(shù)學(xué)成績與物理成績，彼此是互相聯(lián)系的，但不能認(rèn)為數(shù)學(xué)是“因〞是果反來說上成績和物理成績都是“果〞，而真正的“因〞是學(xué)生的理科學(xué)習(xí)能力和努力程度以數(shù)關(guān)系存在著一種確定性關(guān)系但存在著另一種非確定性關(guān)系——相關(guān)關(guān)系表示這種相關(guān)關(guān)系我們接著學(xué)習(xí)兩個變量的線性相關(guān)——回歸直線及其方程．思路2.某小賣部為了了解熱茶售量與氣溫之間的關(guān)系，隨機統(tǒng)計并制作了某6天賣出熱茶的杯數(shù)與當(dāng)天氣溫的對照表：氣溫/℃26181310－1杯數(shù)202434385064如果某天的氣溫是－℃你根據(jù)這些數(shù)據(jù)預(yù)測這天小賣部賣出熱茶的杯數(shù)嗎？為解決這個問題，我們接著學(xué)習(xí)兩個變量的線性相關(guān)——回歸直線及其方程．推新新探提問1．畫散點圖的步驟是什么？2．正、負(fù)相關(guān)的概念是什么？3．什么是線性相關(guān)？4．觀察下面人體的脂肪含量百比和年齡的散點圖，當(dāng)人的年齡增加時，體內(nèi)脂肪含量到底是以什么方式增加的呢？圖15．什么叫作回歸直線？1/

word6．如何求回歸直線的方程？什是最小二乘法？7．利用計算機如何求線性回歸程？活動：學(xué)生回顧，再思考或討論，教師及時提示指導(dǎo)．討論結(jié)果：1．建立相應(yīng)的平面直角坐標(biāo)系將各數(shù)據(jù)在平面直角坐標(biāo)系中的對應(yīng)點畫出來，得到表示兩個變量的一組數(shù)據(jù)的圖形，這樣的圖形叫作散點圖．2．如果散點圖中的點散布在從下角到右上角的區(qū)域內(nèi)，稱為正相關(guān)．如果散點圖中的點散布在從左上角到右下角的區(qū)域內(nèi)，稱為負(fù)相關(guān)．3．如果所有的樣本點都落在某直線附近，變量之間就有線性相關(guān)的關(guān)系．4．大體上來看，隨著年齡的增，人體中脂肪含量的百分比也在增加，呈正相關(guān)的趨勢，我們可以從散點圖上來進(jìn)一步分析．5．從散點圖上可以看出，這些大致分布在通過散點圖中心的一條直線附近．如果散點圖中點的分布從整體上看大致在一條直線附近稱這兩個變量之間具有線性相關(guān)關(guān)系這直線叫作回歸直線如能夠求出這條回歸直線的方(簡稱回歸方程)那我們就可以比較清楚地了解年齡與體內(nèi)脂肪含量的相關(guān)性平均數(shù)可以作為一個變量的數(shù)據(jù)的代表一樣，這條直線可以作為兩個變量具有線性相關(guān)關(guān)系的代表．6．從散點圖上可以發(fā)現(xiàn)，人體脂肪含量百分比和年齡的對應(yīng)點，大致分布在通過散點圖中心的一條直線附近．那么，我們應(yīng)當(dāng)如何具體求出這個回歸方程呢？有的同學(xué)可能會想可采用測量的方法畫出一條直線量出各點與它的距離，然后移動直線到一個使距離和最小的位置量出此時直線的斜率和截距就可得到回歸方程了．但是，這樣做可靠嗎？有的同學(xué)可能還會想圖選這樣的兩點畫直線得直線兩側(cè)的點的個數(shù)基本相同．同樣地，這樣做能保證各點與此直線在整體上是最接近的嗎？還有的同學(xué)會想在散點圖中多幾組點確定出幾條直線的方程再分別求出各條直線的斜率、截距的平均數(shù)，將這兩個平均數(shù)當(dāng)成回歸方程的斜率和截距．同學(xué)們不妨去實踐一下，看看這些方法是不是真的可行？(學(xué)生討論選擇能反映直線化的兩個.2.在圖中放上一根細(xì)繩得面和下面點的個數(shù)相同或基本相同3.多幾組點對，確定幾條直線方程．再分別算出各個直線方程斜率距算術(shù)平均值為求直線的斜率距教別析各方法的可靠性圖2、圖3、圖4：圖2圖2/

word圖4上面這些方法雖然有一定的道理，但總讓人感到可靠性不強．實際上回方程的關(guān)鍵是如用數(shù)學(xué)的方法來刻畫“從整體上看點此直線的距離最小〞們過長期的實與研究經(jīng)得出了計算回歸方程的斜率與截距的一般公x＋y＋＋y－b＝，x＋＋－x2式x＋x＋＋＋＋a＝y(tǒng)x.其中，x＝，＝.n

①這樣得到的直線方程＋稱線性回歸方程，，是性回歸方程的系數(shù)．推導(dǎo)以上公式的計算比較復(fù)雜里不作推導(dǎo)是們以解釋一下得出它的原理．假設(shè)我們已經(jīng)得到兩個具有線性相關(guān)關(guān)系的變量的一組數(shù)())，y)且所求回歸方程是y＝＋，其中ab是待參數(shù)．當(dāng)變量取x(＝1,2…，)時可以得到y(tǒng)＝＋(i＝1,2，，)，它與實際收集到的y之的偏差是y－＝i＋)(i＝1,2，…)圖5這樣，用這個差的和來刻畫“各點與此直線的整體偏差〞是比較合適的．由－)可可負(fù)，為了避免相互抵消，可以考慮用－y來代，但由于它含有絕對值，運算不太方便，所以改用Q＝(－－)＋(y－a)＋＋(－－)②n來刻畫n個與回歸直線在整體上的偏差．這樣，問題就歸結(jié)為：當(dāng)，取什么值時Q最，即總體偏差最?。?jīng)過數(shù)學(xué)上求最小值的運算a，的由公式①給出．通過求②式的最小值而得出回歸直線的方法求回歸直線得本數(shù)據(jù)的點到它的距離的平方和最小，這一方法叫作最小二乘(methodofleastsquare)．7．見課本本節(jié)信息技術(shù)應(yīng)用中用計算機求線性回歸方程的具體操作步驟．應(yīng)示思路1在上一節(jié)練習(xí)中散圖可以出小賣部天賣出熱茶的杯數(shù)y)與當(dāng)天氣溫)之間是線性相關(guān)的．?dāng)?shù)據(jù)如下表：氣溫()/℃261813104－1杯數(shù)(杯202434385064(1)試用最小二乘法求出線性回方程；(2)如果某天的氣溫是－3℃請預(yù)測這天可能會賣出熱茶多少杯．解(1)作出上述數(shù)據(jù)的散點圖，如圖6.散點圖中可以看出，表中的兩個變量是線性相關(guān)的．3/

word圖635115先列表求出＝，y＝，他數(shù)據(jù)如下表：33i123456合計

x261813104－170

y202434385064230

x6763241691001611286

xy520432442380200－641910351151910－6××33進(jìn)而，可以求得b＝35351×33

≈－1.648，a≈57.557.于是，線性回歸方程為.(2)由上面的最小二乘法估計得的線性回歸方程知，當(dāng)某天的氣溫是－3℃，賣出熱茶的杯數(shù)估計為57.557－1.648×(－3)＝62.501≈63.變訓(xùn)下表為某地近幾年機動車輛數(shù)與交通事故數(shù)的統(tǒng)計資料．機動車輛數(shù)x千臺95110112120129135150180交通事故數(shù)y千件

13(1)請判斷機動車輛數(shù)與交通事數(shù)之間是否有線性相關(guān)關(guān)系，如果不具有線性相關(guān)關(guān)系，請說明理由；(2)如果具有線性相關(guān)關(guān)系，求線性回歸方程．解(1)在直角坐標(biāo)系中畫出數(shù)據(jù)散點圖，如圖7.圖7直觀判斷散點在一條直線附近，故具有線性相關(guān)關(guān)系．(2)計算得b≈0.0774＝－1.024，4/

word故所求線性回歸方程為y＝－1.0241＋0.0774.思路2下表給出的是一組施化肥量對水稻產(chǎn)量影響的試驗數(shù)據(jù)：施化肥量x1520253035水稻產(chǎn)量y330345365405445(1)畫出上表的散點圖；(2)求出回歸直線的方程．解(1)畫出的散點圖如圖8.

40450

45455圖8(2)計算得b，≈257.從而得所求回歸直線方程是yx.變訓(xùn)1．一個車間為了規(guī)定工時定額需要確定加工零件所花費的時間．為此進(jìn)行了1次試，測得數(shù)據(jù)如下：零件個數(shù)x/個102030405060708090100加工時間y/分626875818995102108115122請判斷y與是具有線性相關(guān)關(guān)系與x具線性相關(guān)關(guān)系性歸程．解在直角坐標(biāo)系中畫出數(shù)據(jù)的散圖，如圖9.圖9直觀判斷散點在一條直線附近具有線性相關(guān)關(guān)系測得的數(shù)據(jù)表可知≈0.668a＝y(tǒng)－bx≈54.96.因此，所求線性回歸方程為＝a＋.只的血球體積及紅血球數(shù)的測量值如下：血球體積/mL紅血球數(shù)百萬

454246484235

58403950(1)畫出上表的散點圖；(2)求出回歸直線的方程．解(1)畫出的散點圖如圖10.5/

word圖10(2)x＝

110

(45＋46＋48＋42＋35＋58＋40＋39＋50)，1y＝(6.53＋6.30＋9.52＋7.50＋5.90＋6.20＋6.55＋8.72)＝7.37.10設(shè)回歸直線方程為＝＋，那么，a＝－＝－0.418故所求回歸直線的方程為.點：一組數(shù)據(jù)進(jìn)行線性回歸分析時應(yīng)先畫出其散圖看其是否呈直線形再系數(shù)a，的算公式，算出a，.由于計算量較大，所以在計算時應(yīng)借助技術(shù)手，認(rèn)真細(xì)致，謹(jǐn)防計算中產(chǎn)生錯誤，求線性回歸方程的步驟：計算平均數(shù)，y；算與yi的積，求xy；計算x；將結(jié)代入公式求b；用a＝－求a；寫出回歸直線方.i知訓(xùn)1．以下兩個變量之間的關(guān)系哪不是函數(shù)關(guān)()A．角度和它的余弦值B正方形邊長和面積C．正邊的邊數(shù)和它的內(nèi)角和D．人的年齡和身高答：2．三點3,10)，(7,20)，(11,24)的線性回歸方程()．A．B．C．D．答：3．關(guān)于某設(shè)備的使用年限x與支出的維修費用y(萬元)，如下統(tǒng)計資料：使用年限x維修費用y

2346設(shè)對x呈線性相關(guān)關(guān)系．試求：(1)線性回歸方程＝a＋的回歸系數(shù)，b；(2)估計使用年限為10年時維費用是多少？答：(1)＝1.23，＝0.084．我們考慮兩個表示變量x與y之的關(guān)系的模型為誤差項，模型如下：模型1：＝6＋4x；模型2：＝6＋e(1)如果x＝3e＝1，分別求兩個模型中y的；(2)分別說明以上兩個模型是確性模型還是隨機模型．解(1)模型1：＝6＝6＋4×3＝18模型2：＝6e＝6＋4×3＋1＝19.(2)模型1中同的x值定得到相同的y值，所以是確定性模型；模型2中同的x值δ的同得y值一定相同為誤差項是隨機的以模型2是隨機模型．5．以下是收集到的新房屋銷售格y與屋大小x的數(shù)據(jù)：6/

word房屋大小x/m80105110銷售價格y萬元22(1)畫出數(shù)據(jù)的散點圖；(2)用最小二乘法估計求線性回方程；(3)計算此時Qa，)和(2,0.2)的值，并作比較.

115135圖11解(1)畫出的散點圖如圖11.(2)計算得b≈0.1962，6，因此所求線性回歸方程為y＝1.8166＋0.1962.(3)(1.8166,0.1962)，(2,0.2)，由此可知，求得的a，＝0.9162是函數(shù)(a，)取最小值的值．拓提某調(diào)查者從調(diào)查中獲知某公司近年來科研費用支()與公司所得利潤)統(tǒng)計資i料如下表：科研費用支(與利()統(tǒng)計表單：萬元i年份科費用支利2007531200811402009430201053420113252012220合計30180試據(jù)此求出利潤對科研費用支出(的線性回歸模型．i解設(shè)線性回歸模型直線方程為＝＋X，i∑30∑180因為X＝＝＝5，Y＝＝30，n6n6求解參數(shù)，估計值為β＝2，β，所以利潤(Y對科研費用支(的線性回歸模型直線方程為Y＝20＋2Xi課小1．求線性回歸方程．2．經(jīng)歷用不同估算方法描述兩變量線性相關(guān)的過程．知道最小二乘法的思想，能根據(jù)給出的線性回歸方程系數(shù)公式建立線性回歸方程．作習(xí)題1—82,3.設(shè)感本節(jié)課在上節(jié)課的基礎(chǔ)上用例分析了散點圖的分布規(guī)律導(dǎo)了線性回歸直線的方程的求法，并利用回歸直線的方程估計可能的結(jié)果，本節(jié)課講得較為詳細(xì)，實例較多，便于同學(xué)們分析比較思路1和思路例題對知識進(jìn)行了鞏固和加強外本節(jié)課通過選取一些學(xué)生特別關(guān)心的身邊事例學(xué)生進(jìn)行思想情操教育志育和增強學(xué)生的自信心，以使其養(yǎng)成良好的學(xué)習(xí)態(tài)度．備資7/

word相關(guān)關(guān)系的強與弱我們知道，兩個變量x，正負(fù)相關(guān)時，它們就有相(反的變化趨勢，即當(dāng)x由變大時相應(yīng)的有小大變(小的勢此可以用回歸直線來描述這種關(guān)系與此相關(guān)的一個問題是何描述x和之的這種線性關(guān)系的強弱？例如理績與數(shù)學(xué)成績正相關(guān)但數(shù)學(xué)成績能夠在多程度上決定物理成績？這就是相關(guān)強弱的問題似的還有吸煙與健康的負(fù)相關(guān)強度母身高與子女身高的正相關(guān)強度作的產(chǎn)量與施肥量的正相關(guān)強度等．統(tǒng)計中用相關(guān)系數(shù)r來量兩個變量之間線性關(guān)系的強弱．假設(shè)