第八篇第1章第二講一、選擇題1．下面四個在平面內成立的結論①平行于同一直線的兩直線平行②一條直線如果與兩條平行線中的一條垂直，那么必與另一條也垂直③垂直于同一直線的兩直線平行④一條直線如果與兩條平行線中的一條相交，那么必與另一條相交在空間中也成立的為()A．①②B．③④C．①③D．②④[答案]A2．“金導電、銀導電、銅導電、鐵導電；所以一切金屬都導電〞．此推理方法是()A．完全歸納推理B．歸納推理C．類比推理D．演繹推理[答案]B[解析]這是由特殊到一般的歸納推理．3．如下圖，小圓點表示網絡的結點，結點之間的連線表示它們有網線相連，連線標注的數(shù)字表示該網線單位時間內可以通過的最大信息量．現(xiàn)從結點A向結點B傳遞信息，信息可以沿分開不同的路線同時傳遞，單位時間內傳遞的最大信息量為()A．26B．24C．19D．20[答案]D4．定義在R上的奇函數(shù)f(x)的圖象關于直線x＝1對稱，并且當x∈(0,1]時，f(x)＝x2＋1，那么f(2023)的值為()A．2B．0C．1D．－1[答案]B[解析]∵f(x)為奇函數(shù)，∴f(－x)＝－f(x)，∵f(x)圖象關于直線x＝1對稱，∴f(2－x)＝f(x)，∴f(2＋x)＝f(－x)＝－f(x)，∴f(4＋x)＝f(2＋(2＋x))＝－f(2＋x)＝f(x)，∴f(x)是周期為4的周期函數(shù)，∴f(2023)＝f(2)，∵f(2＋x)＝f(－x)成立，∴f(2)＝f(0)，又f(x)是R上的奇函數(shù)，∴f(0)＝0，∴f(2023)＝0.5．n個連續(xù)自然數(shù)按規(guī)律排成下表：根據(jù)規(guī)律，從2023到2023的箭頭方向依次為()A．↓→B．→↑C．↑→D．→↓[答案]A[解析]觀察圖例可見，位序相同的數(shù)字都是以4為公差的等差數(shù)列，故從2023至2023，其位序應與相同，應選A.6．用反證法證明命題“三角形的內角中至少有一個不大于60°〞時，反設正確的是()A．假設三內角都不大于60°B．假設三內角都大于60°C．假設三內角至多有一個大于60°D．假設三內角至多有兩個大于60°[答案]B7．某種商品方案提價，現(xiàn)有四種方案，方案(Ⅰ)先提價m%，再提價n%；方案(Ⅱ)先提價n%，再提價m%；方案(Ⅲ)分兩次提價，每次提價(eq\f(m＋n,2))%；方案(Ⅳ)一次性提價(m＋n)%，m>n>0，那么四種提價方案中，哪一種提價最多？()A．ⅠB．ⅡC．ⅢD．Ⅳ[答案]C[解析]設商品原價為a，方案(Ⅰ)：a(1＋m%)(1＋n%)＝a[1＋(m＋n)%＋m%n%]方案(Ⅱ)：a(1＋n%)(1＋m%)＝a(1＋(m＋n)%＋m%n%)方案(Ⅲ)：a(1＋eq\f(m＋n,2)%)2＝a(1＋(m＋n)%＋(eq\f(m＋n,2)%)2)方案(Ⅳ)：a[1＋(m＋n)%]＝a(1＋(m＋n)%)又∵(eq\f(m＋n,2)%)2≥(eq\r(mn)%)2＝m%n%應選C.8．平面α外不共線的三點A、B、C到α的距離都相等，那么正確的結論是()A．平面ABC必平行于αB．平面ABC必與α相交C．平面ABC必不垂直于αD．存在△ABC的一條中位線平行于α或在α內[答案]D[解析]由三點A、B、C可以不在平面α的同一側，知A錯；由三點A、B、C可以在平面α的同一側，知B錯；可以找到平面ABC垂直于平面α，知C錯．[點評]如何證明選項D，請讀者給出自己的理由．9．設a、b、c∈R＋，P＝a＋b－c，Q＝b＋c－a，R＝c＋a－b，那么“PQR>0”是“P、Q、R同時大于零〞A．充分而不必要條件B．必要而不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件[答案]C[解析]首先假設P、Q、R同時大于零，那么必有PQR>0成立．其次，假設PQR>0，且P、Q、R不都大于0，那么必有兩個為負，不妨設P<0，Q<0，即a＋b－c<0，b＋c－a<0，∴b<0與b∈R＋矛盾，故P、Q、R都大于0.10．如果四棱錐的四條側棱都相等，就稱它為“等腰四棱錐〞，四條側棱稱為它的腰，以下4個命題中，假命題是()A．等腰四棱錐的腰與底面所成的角都相等B．等腰四棱錐的側面與底面所成的二面角都相等或互補C．等腰四棱錐的底面四邊形必存在外接圓D．等腰四棱錐的各頂點必在同一球面上[答案]B[解析]如右圖，由“等腰四棱錐〞的定義知，PA＝PB＝PC＝PD.設P點在底面ABCD內的射影為O，那么OA＝OB＝OC＝OD，從而∠PAO＝∠PBO＝∠PCO＝∠PDO，且四邊形存在以O為圓心的外接圓，故A，C都對；在△PAO所在平面內作線段PA的中垂線交PO于M.那么MP＝MA，從而MP＝MA＝MB＝MC＝MD.故四棱錐的頂點都在以M為球心的球面上．故D正確；顯然當四棱錐為正四棱錐時，各側面與底面成的角相等．當?shù)酌嫔纤狞c任意排布在⊙O的圓周上時，B錯．考查命題的判斷與信息捕捉分析能力．二、填空題11．點An(n，an)為函數(shù)y＝eq\r(x2＋1)的圖象上的點，Bn(n，bn)為函數(shù)y＝x圖象上的點，其中n∈N*，設cn＝an－bn，那么cn與cn＋1的大小關系為________．[答案]cn>cn＋1[解析]∵an＝eq\r(n2＋1)，bn＝n，cn＝eq\r(n2＋1)－n＝eq\f(1,\r(n2＋1)＋n)，隨n的增大而減小，∴cn＋1<cn.12．(文)設f(x)定義如表，數(shù)列{xn}滿足x1＝5，xn＋1＝f(xn)，那么x2023的值為________.x123456f(x)451263[答案]4[解析]由條件知x1＝5，x2＝f(x1)＝f(5)＝6，x3＝f(x2)＝f(6)＝3，x4＝f(x3)＝f(3)＝1，x5＝f(x4)＝f(1)＝4，x6＝f(x5)＝f(4)＝2，x7＝f(x6)＝f(2)＝5＝x1，可知{xn}是周期為6的周期數(shù)列，∴x2023＝x1＝4.據(jù)此可知，{xn}周期為4，∴x2023＝x3＝1.(理)(09·福建)五位同學圍成一圈依序循環(huán)報數(shù)，規(guī)定：①第一位同學首次報出的數(shù)為1，第二位同學首次報出的數(shù)也為1，之后每位同學所報出的數(shù)都是前兩位同學所報出的數(shù)之和；②假設報出的數(shù)為3的倍數(shù)，那么報該數(shù)的同學需拍手一次．甲同學第一個報數(shù)，當五位同學依序循環(huán)報到第100個數(shù)時，甲同學拍手的總次數(shù)為________．[答案]5[解析]根據(jù)規(guī)那么可知報數(shù)為1,1,2,3,5,8,13,21，…，被3除的余數(shù)規(guī)律為1,1,2,0,2,2,1,0,1,1,2,0，…，而是3的倍數(shù)的數(shù)出現(xiàn)在4的倍數(shù)位置．又甲在第1,6,11,16，…等次數(shù)上，那么同時滿足的有16,36,56,76,96共5個數(shù)．13．(文)(09·江蘇)在平面上，假設兩個正三角形的邊長的比為12，那么它們的面積比為14.類似地，在空間，假設兩個正四面體的棱長比為12，那么它們的體積比為________．[答案]18(理)E、F是△ABC的邊AB、AC上的點，△ABC被線段EF分成兩局部的面積之比，eq\f(S△AEF,S△ABC)＝eq\f(AE·AF,AB·AC)，類比此結論，那么對于三棱錐P－ABC，假設E、F、G分別為三條棱PA、PB、PC上的點，那么有________．[答案]eq\f(VP－EFG,VP－ABC)＝eq\f(PE·PF·PG,PA·PB·PC)14．(文)假設a、b、c為Rt△ABC的三邊，其中c為斜邊，那么an＋bn與cn(其中n∈N*且n>2)的大小關系是________．[答案]an＋bn<cn[解析]∵△ABC為Rt△，且c為斜邊，∴c2＝a2＋b2，∴c>a>0，c>b>0，∴0<eq\f(a,c)<1,0<eq\f(b,c)<1，當n>2時，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,c)))n＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b,c)))n<eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,c)))2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b,c)))2＝eq\f(a2＋b2,c2)＝1，即an＋bn<cn.(理)設x>0，y>0，a＝x＋y，b＝xcos2θ·ysin2θ(θ∈R)，那么a與b的大小關系為________．[答案]a>b[解析]∵x>0，y>0，∴x＋y>x，x＋y>y，∴(x＋y)cos2θ>xcos2θ，(x＋y)sin2θ>ysin2θ，∴b＝xcos2θ·ysin2θ<(x＋y)cos2θ·(x＋y)sin2θ＝(x＋y)sin2θ＋cos2θ＝x＋y＝a.三、解答題15．(文)先解答(1)，再根據(jù)結構類比解答(2)：(1)a，b為實數(shù)，且|a|<1，|b|<1，求證：ab＋1>a＋b.(2)a，b，c均為實數(shù)，且|a|<1，|b|<1，|c|<1，求證：abc＋2>a＋b＋c.[解析](1)ab＋1－(a＋b)＝(a－1)(b－1)>0.(2)∵|a|<1，|b|<1，|c|<1，據(jù)(1)得(ab)·c＋1>ab＋c，∴abc＋2＝[(ab)·c＋1]＋1>(ab＋c)＋1＝(ab＋1)＋c>a＋b＋c.你能再用歸納推理方法猜測出更一般地結論嗎？即xi∈R，|xi|<1(i＝1,2，…，n)時，有________．(理)在Rt△ABC中，CA⊥CB，斜邊上的高為h，那么eq\f(1,h2)＝eq\f(1,AC2)＋eq\f(1,BC2)，先證明此性質，再類比此性質，給出在四面體P－ABC中，假設PA、PB、PC兩兩垂直，底面ABC上的高為h，寫出得到的正確結論并證明之．[解析](1)eq\f(1,h2)＝eq\f(1,PA2)＋eq\f(1,PB2)＋eq\f(1,PC2)(2)Rt△ABC中，AC2＝AD·AB，BC2＝BD·AB，∴eq\f(1,AC2)＋eq\f(1,BC2)＝eq\f(1,AD·AB)＋eq\f(1,BD·AB)＝eq\f(1,AB)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,AD)＋\f(1,BD)))＝eq\f(1,AB)·eq\f(AD＋BD,AD·BD)＝eq\f(1,AD·BD)＝eq\f(1,h2).四面體P－ABC中，PA、PB、PC兩兩垂直，設PD、PE、PF分別垂直于BC、AB、AC，PO⊥平面ABC，即PO＝h.∴△APD為直角三角形．∴eq\f(1,PA2)＋eq\f(1,PD2)＝eq\f(1,h2).同理，eq\f(1,PB2)＋eq\f(1,PF2)＝eq\f(1,h2)，eq\f(1,PC2)＋eq\f(1,PE2)＝eq\f(1,h2)，∴eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,PA2)＋\f(1,PB2)＋\f(1,PC2)))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,PD2)＋\f(1,PE2)＋\f(1,PF2)))＝eq\f(3,h2)(*)又△APB為直角三角形，∴eq\f(1,PA2)＋eq\f(1,PB2)＝eq\f(1,PE2).同理，eq\f(1,PB2)＋eq\f(1,PC2)＝eq\f(1,PD2)，eq\f(1,PA2)＋eq\f(1,PC2)＝eq\f(1,PF2).∴(*)式變?yōu)閑q\f(1,PA2)＋eq\f(1,PB2)＋eq\f(1,PC2)＋2eq\f(1,PA2)＋eq\f(1,PB2)＋eq\f(1,PC2)＝eq\f(3,h2).∴eq\f(1,PA2)＋eq\f(1,PB2)＋eq\f(1,PC2)＝eq\f(1,h2).16．觀察①sin210°＋cos240°＋sin10°cos40°＝eq\f(3,4)；②sin26°＋cos236°＋sin6°cos36°＝eq\f(3,4).由上面兩題的結構規(guī)律，你能否提出一個猜測？并證明你的猜測．[解析]觀察40°－10°＝30°，36°－30°＝6°，由此猜測：sin2α＋cos2(30°＋α)＋sinα·cos(30°＋α)＝eq\f(3,4).證明：sin2α＋cos2(30°＋α)＋sinα·cos(30°＋α)＝eq\f(1－cos2α,2)＋eq\f(1＋cos(60°＋2α),2)＋eq\f(1,2)[sin(30°＋2α)－sin30°]＝1＋eq\f(1,2)[cos(60°＋2α)－cos2α]＋eq\f(1,2)sin(30°＋2α)－eq\f(1,2)＝1＋eq\f(1,2)[－2sin(30°＋2α)sin30°]＋eq\f(1,2)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(sin(30°＋2α)－\f(1,2)))＝eq\f(3,4)－eq\f(1,2)sin(30°＋2α)＋eq\f(1,2)(sin30°＋2α)＝eq\f(3,4).17．(文)△ABC中，AB＝AC＝2，BC邊上有2023個不同的點P1、P2、…、P2023，記Mi＝APeq\o\al(2,i)＋BPi·CPi(i＝1、2、…、2023)，求M1＋M2＋…＋M2023的值．[解析]可取特殊點試驗Mi的值，例如，取BC的中點P，那么∵AB＝AC，∴AP⊥BC，∴M＝AP2＋BP·PC＝AP2＋BP2＝AB2＝4，再猜測所有Mi的值可能均為4.驗證：取BC中點P，又Pi為BC上任一點，∴Mi＝APeq\o\al(2,i)＋BPi·PiC＝APeq\o\al(2,i)＋(BP－PPi)(CP＋PPi)＝APeq\o\al(2,i)＋(BP－PPi)(BP＋PPi)＝APeq\o\al(2,i)＋BP2－PiP2＝(APeq\o\al(2,i)－PiP2)＋BP2＝AP2＋BP2＝AB2＝4，從而猜測正確，∴M1＋M2＋…＋M2023＝4×2023＝8044.(理)設數(shù)列{an}的首項a1＝a≠eq\f(1,4)，且an＋1＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)an，n為偶數(shù),an＋\f(1,4)，n為奇數(shù).))