Logistic映射的混沌行為摘要：Logistic映射是非常重要的混沌系統(tǒng)，我們編寫了與之相關(guān)的計算程序，利用程序的計算結(jié)果討論了非線性系統(tǒng)走向混沌的兩種道路，并通過Logistic映射的動力學(xué)行為解釋了混沌的本質(zhì)。關(guān)鍵詞：Logistic映射；混沌；李亞普諾夫指數(shù)引言本文將通過對Logistic映射的分析研究，揭示混沌產(chǎn)生的動力學(xué)機(jī)制，并揭示混沌現(xiàn)象中普遍成立的規(guī)律。1838年，Verhulst建立了生物種群的繁衍模型[1]即% =(1+r)%(1—%)=ax(1—x) (1)n+1 n n n n(1)式被稱為蟲口模型，也稱為單參數(shù)的Logistic映射模型。線性項ax代表蟲口數(shù)的平均增長率，而非線性項-ax2(a>0)體現(xiàn)環(huán)境資源對種群繁衍的制約因素。通過設(shè)定初值x并研究數(shù)值序列氣，x2，???，x，???的變化規(guī)律，我們就得到了種群繁衍的規(guī)律，0 1 2 n計算發(fā)現(xiàn)，Logistic映射的漸進(jìn)行為與a的取值密切相關(guān)。1、Logistic映射動力學(xué)行為的復(fù)雜性如果aV1，則種群個體總數(shù)迅速衰減，最終迭代結(jié)果xn+1=0。從生態(tài)意義上來講，雖然初始物種的數(shù)量保持一定的規(guī)模，但由于受到外界環(huán)境的制約，最終走向了物種滅亡的道路，如圖1所示。圖1a=0.8，種群滅絕 圖2a=2.1，種群數(shù)量穩(wěn)定當(dāng)a=2.1時，雖然種群的起始數(shù)量較少，但經(jīng)過數(shù)代的繁衍，種群數(shù)量逐漸龐大并趨于穩(wěn)定，如圖2所示。而當(dāng)a=2.8時，迭代出現(xiàn)震蕩現(xiàn)象，但振蕩起伏逐漸穩(wěn)定最終導(dǎo)致物種總量達(dá)到平衡狀態(tài)，如圖3所示。

0.80.750.70.80.750.70.650.60.550.50.450 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20圖3a=2.8，種群數(shù)量穩(wěn)定 圖4a=3.1,種群數(shù)量出現(xiàn)周期二行為當(dāng)a>3時，Logistic映射開始出現(xiàn)周期振蕩現(xiàn)象，當(dāng)a=3-1時，迭代結(jié)果在兩個值之間交替出現(xiàn)，意味著物種繁衍出現(xiàn)了大小年情況，此時，Logistic映射進(jìn)入周期二軌道,如圖4所示。當(dāng)a的值進(jìn)一步增大時，迭代出現(xiàn)的振蕩起伏會出現(xiàn)更為復(fù)雜的現(xiàn)象，當(dāng)a=3.52時，迭代值每四次會出現(xiàn)重復(fù)現(xiàn)象，Logistic映射進(jìn)入周期四軌道，如圖5所示。10.90.80.70.60.510.90.80.70.60.50.40 2 4 6 8 10 12 14 16 18 2010.90.80.70.60.50.40 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20圖5a=3.52，種群數(shù)量出現(xiàn)周期四行為圖6a=3.55，種群數(shù)量出現(xiàn)周期八行為當(dāng)a=3.55時，Logistic映射進(jìn)入周期八軌道。隨著a值的增加，Logistic映射還會出現(xiàn)更長的周期軌道。Logistic映射隨著a的增加軌道周期加倍的現(xiàn)象稱為倍周期分叉現(xiàn)象，如圖6所示。特別需要指出的是，存在一個特殊的a值即a廣3.569945672，當(dāng)a>a^時，Logistic映射進(jìn)入混沌區(qū)域，如圖7所示。9876■■■■oooO54321■■■■■ooooO9876■■■■oooO54321■■■■■ooooO0021801604012000的604020OO圖7a=3.9，種群數(shù)量出現(xiàn)混沌現(xiàn)象2、Logistic映射模型進(jìn)入混沌狀態(tài)的倍周期分叉機(jī)制Logistic映射模型從形式上來看是非常簡單的，但由于非線性項的作用，其數(shù)值序列的漸進(jìn)行為非常復(fù)雜，為了找出其非線性行為的規(guī)律性，我們首先下面研究Logistic映射的倍周期分叉圖。圖8Logistic映射的倍周期分叉圖從圖8可以看出，隨著a值的增加，方程的動力學(xué)行為依次出現(xiàn)周期2、周期4、周期8、周期16……的振蕩解，這種周期逐漸加倍的現(xiàn)象我們稱之為倍周期分叉。而當(dāng)a>3.5699時，系統(tǒng)的這種周期行為逐漸喪失，其迭代結(jié)果不再反復(fù)交替出現(xiàn)，而是進(jìn)入了混沌狀態(tài)，此時系統(tǒng)的動力學(xué)行為變得復(fù)雜，迭代行為出現(xiàn)了隨機(jī)性［2］，以至于Logistic映射的倍周期分叉圖的大部分區(qū)域被填滿。倍周期分叉圖具有自相似特性，如果我們縮小倍周期分叉圖的橫坐標(biāo)取值范圍，縮小計算步長，就可以將周期窗口放大，經(jīng)過放大分叉圖與其整體結(jié)構(gòu)具有相似性，這種自相似可以無限嵌套循環(huán)族通過改變系統(tǒng)參量a的取值，系統(tǒng)以倍周期分叉的方式進(jìn)入混沌狀態(tài)，稱之為進(jìn)入混沌的第一種模式：即由穩(wěn)定不動點一周期二一周期四一……無限倍周期一混沌狀態(tài)。在倍周期分叉進(jìn)入混沌的道路上，存在普適行為。若果定義任意相鄰兩次分叉的差值ba=a-a ，令&=△氣，通過計算可以得到：nnn Aan+1lim8=5=4.66920160910299096718532038…nsn該常數(shù)就是Feigenbaum常數(shù)，在混沌系統(tǒng)中出現(xiàn)了常數(shù)，意味著我們找到了某種規(guī)律，其實，該常數(shù)是倍周期分叉的規(guī)律，只要發(fā)現(xiàn)了第一次分叉，就可以準(zhǔn)確預(yù)測下一次發(fā)生分叉現(xiàn)象的時機(jī)。同時，分叉圖表明混沌現(xiàn)象存在自相似結(jié)構(gòu)4］該常數(shù)的發(fā)現(xiàn)則是自相似結(jié)構(gòu)存在的有力證據(jù)，該常數(shù)就是相似比的極限值。3、Logistic映射模型進(jìn)入混沌狀態(tài)的陣發(fā)性機(jī)制系統(tǒng)還存在第二種通向混沌的方式，近似周期運動一改變參量一陣發(fā)性混沌一陣發(fā)性混沌越來越頻繁一近似的周期運動越來越少一進(jìn)入混沌，我們稱之為是陣發(fā)性混沌丘。混沌區(qū)域并非一片無規(guī)律可循，而是有不斷出現(xiàn)的白色空白區(qū)域，稱為周期窗口。當(dāng)a=1+i8時，倍周期分叉圖出現(xiàn)了空白區(qū)域，意味著混沌行為突然消失，迭代結(jié)果在三個值之間交替出現(xiàn)，系統(tǒng)出現(xiàn)周期三的穩(wěn)定狀態(tài)，動力學(xué)行為再次出現(xiàn)隨機(jī)行為，系統(tǒng)重新進(jìn)入混沌狀態(tài)，這和李天巖預(yù)言的“周期三意味著混沌”相吻合［6］0-0.10-0.1-0.2-0.3-0.4n-0.5x-0.6-0.7-0.8-0.9-13.8 3.823.84 3.863.88 3.9 3.923.94 3.963.98 4n圖9周期三窗口及陣發(fā)性混沌結(jié)論：混沌系統(tǒng)的長期不可預(yù)報性來源于系統(tǒng)自身，混沌系統(tǒng)長期行為的隨機(jī)性就是混沌系統(tǒng)的初值敏感性［7。長期以來存在隨機(jī)性和確定性的爭論，混沌的研究則架起了二者之間橋梁，一個完全遵從確定性演化規(guī)則的混沌系統(tǒng)，其運動行為長期卻表現(xiàn)出隨機(jī)性，甚至是完全隨機(jī)性，因此，我們生活的這個世界是確定性和隨機(jī)性的有機(jī)統(tǒng)一，確定性和隨機(jī)性這一看似矛盾的兩個方面在混沌系統(tǒng)中和諧共存。ThechaoticbehaviorofLogisticmappingAbstract：TheLogisticmappingisanimportantchaoticsystem，thecalculationprogramwascompiledfordiscussingthetworoadchaostononlinearsystems，ThenatureofchaosisexplainedbydynamicalbehaviorofLogisticmapping。關(guān)鍵詞：Logisticmapping；chaos；Lyapunovindex參考資料：[1]H.O.Peitgen,H.Jurgens,D.SaupeChaosandfractalsNewfrontiersofscience[M],384-387,2008⑵柳平，閆川，黃顯高，改進(jìn)的基于Logistic映射混沌擴(kuò)頻序列的產(chǎn)生方法，通訊學(xué)報28(2)，134-139，通信學(xué)報，2007徐淳，混沌在工程中的應(yīng)用，物理與工程，No.5,53-55,2000張愛華，江中勤，基于Logistic映射混沌圖像加密算法的改進(jìn)，南京郵電大學(xué)學(xué)報29(4),69-73,2009鄧紹江，李傳東.混沌理論及其在密碼學(xué)中的應(yīng)用[J].重慶建筑大學(xué)學(xué)報25(5),123-1