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nn分)、a...,a是n不同的數(shù)證f())(x)()2,2,在有理數(shù)域上可的必要條件f(x可表示為一個整數(shù)多的平方。一、證明：充分性：若
f
能表示成一個整數(shù)多項式的平方，顯然
f
在有理數(shù)域上可約必要性：由于
f
在有理數(shù)域上可約，在存在整數(shù)系數(shù)多項式
有f
，
，由于
，f
i
，g
i
i
，則ii令
F
，則
或
F
，由于有
個不同的數(shù)為F
的根，從而
F
為零多項式，即
f二：解；
能表示成一個整數(shù)多項式的平方
En
由于
nn
n
n
，從而nn三：證明：
由于存在
階可逆矩陣
和
階可逆矩陣
，有012
，即
0
0
0
，令
0
0
，然Q可，則
令
BQ
m
，顯然可知
E四：證明：
P
，不妨設
x
aii
，又
xxAxAx
，則iAi
i
，從而
2
，又i
nnna1nninnna1nniA
，從而可知
x1即
x1
，即
PV1
，任取
x1
2
，所以
0
，且存在
k,1
,，x，Anii
，從而可知ixiiii
，從而
，即
1
2iiPnV1五：證明：由于B正，存在可逆矩陣有
T
，又由于對，從而nCAC
也對稱，即存在正交矩陣
F
，使
FTCdiag
,1
n
，即,ACFE
n
，若取
S
，則有ASDS
T六：證明：
若A
的一個特征值
0
，有
，則此時0n
為嚴格對角占優(yōu)矩陣，即
A可，這與A0
的特征值矛盾，從而，1
，則iAxi
0
從而為0
的一個特征值七：證明：由于
正定，從而，存在可逆矩陣
C
有，
，
C
C
C
C
C
C由于上述不等式，等號成立時候當且僅當，存在數(shù)
k,k
，使kC1
，即
k，12
線性相關
八：證明：
設
A
的特征多項式為
f
，
B
的特征多項式為
g
A,B
無公共特征值，從而
f
，所以
f
可逆，由于
XB
，故對于
，均有A
n
XXB
n
，就有
f
，即只零；
,
，由A所以是一個線性變換，由
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