第2講空間點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系最新考綱考向預(yù)測借助長方體，在直觀認(rèn)識空間點(diǎn)、直線、平面的位置關(guān)系的基礎(chǔ)上，抽象出空間點(diǎn)、直線、平面的位置關(guān)系的定義，了解公理1～4及其相關(guān)定理.命題趨勢主要考查與點(diǎn)、線、面位置關(guān)系有關(guān)的命題真假判斷和求解異面直線所成的角，主要以選擇題和填空題的形式出現(xiàn)，主要為中低檔題.核心素養(yǎng)直觀想象、邏輯推理1．四個(gè)公理公理1：如果一條直線上的兩點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi)，那么這條直線在此平面內(nèi)．公理2：過不在一條直線上的三點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面．公理3：如果兩個(gè)不重合的平面有一個(gè)公共點(diǎn)，那么它們有且只有一條過該點(diǎn)的公共直線．公理4：平行于同一條直線的兩條直線互相平行．2．空間直線的位置關(guān)系(1)位置關(guān)系的分類eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(共面直線\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(平行,相交)),異面直線：不同在任何一個(gè)平面內(nèi)))(2)異面直線所成的角①定義：設(shè)a，b是兩條異面直線，經(jīng)過空間中任一點(diǎn)O作直線a′∥a，b′∥b，把a(bǔ)′與b′所成的銳角(或直角)叫做異面直線a與b所成的角(或夾角)．②范圍：eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))．(3)等角定理空間中如果兩個(gè)角的兩邊分別對應(yīng)平行，那么這兩個(gè)角相等或互補(bǔ)．3．空間中直線與平面、平面與平面的位置關(guān)系(1)空間中直線和平面的位置關(guān)系位置關(guān)系圖形表示符號表示公共點(diǎn)直線a在平面α內(nèi)a?α有無數(shù)個(gè)公共點(diǎn)直線在平面外直線a與平面α平行a∥α沒有公共點(diǎn)直線a與平面α斜交a∩α＝A有且只有一個(gè)公共點(diǎn)直線a與平面α垂直a⊥α(2)空間中兩個(gè)平面的位置關(guān)系位置關(guān)系圖形表示符號表示公共點(diǎn)兩平面平行α∥β沒有公共點(diǎn)兩平面相交斜交α∩β＝l有一條公共直線垂直α⊥β且α∩β＝a常用結(jié)論1．公理2的三個(gè)推論推論1：經(jīng)過一條直線和這條直線外一點(diǎn)有且只有一個(gè)平面；推論2：經(jīng)過兩條相交直線有且只有一個(gè)平面；推論3：經(jīng)過兩條平行直線有且只有一個(gè)平面．2．異面直線判定的一個(gè)定理過平面外一點(diǎn)和平面內(nèi)一點(diǎn)的直線，與平面內(nèi)不過該點(diǎn)的直線是異面直線．常見誤區(qū)1．異面直線易誤解為“分別在兩個(gè)不同平面內(nèi)的兩條直線為異面直線”，實(shí)質(zhì)上兩異面直線不能確定任何一個(gè)平面，因此異面直線即不平行，也不相交．2．在判斷直線與平面的位置關(guān)系時(shí)最易忽視“線在平面內(nèi)”．1．判斷正誤(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”)(1)若P∈α∩β且l是α，β的交線，則P∈l.()(2)三點(diǎn)A，B，C確定一個(gè)平面．()(3)若直線a∩b＝A，則直線a與b能夠確定一個(gè)平面．()(4)若A∈l，B∈l且A∈α，B∈α，則l?α.()(5)分別在兩個(gè)平面內(nèi)的兩條直線是異面直線．()答案：(1)√(2)×(3)√(4)√(5)×2．(多選)α是一個(gè)平面，m，n是兩條直線，A是一個(gè)點(diǎn)，若m?α，n?α，且A∈m，A∈α，則m，n的位置關(guān)系可能是()A．垂直 B．相交C．異面 D．平行解析：選ABC.依題意，m∩α＝A，n?α，所以m與n可能異面、相交(垂直是相交的特例)，一定不平行．3．若∠AOB＝∠A1O1B1，且OA∥O1A1，OA與O1A1的方向相同，則下列結(jié)論中正確的是()A．OB∥O1B1且方向相同B．OB∥O1B1C．OB與O1B1不平行D．OB與O1B1不一定平行解析：選D.兩角相等，角的一邊平行且方向相同，另一邊不一定平行，故選D.4．(易錯(cuò)題)如圖所示，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別是AB，AD的中點(diǎn)，則異面直線B1C與EF所成角的大小為________．解析：連接B1D1，D1C，則B1D1∥EF，故∠D1B1C為所求角，又B1D1＝B1C＝D1C，所以∠D1B1C＝60°.答案：60°5．如圖，在三棱錐A-BCD中，E，F(xiàn)，G，H分別是棱AB，BC，CD，DA的中點(diǎn)，則(1)當(dāng)AC，BD滿足條件________時(shí)，四邊形EFGH為菱形；(2)當(dāng)AC，BD滿足條件________時(shí)，四邊形EFGH為正方形．解析：(1)因?yàn)樗倪呅蜤FGH為菱形，所以EF＝EH，故AC＝BD.(2)因?yàn)樗倪呅蜤FGH為正方形，所以EF＝EH且EF⊥EH，因?yàn)镋F綊eq\f(1,2)AC，EH綊eq\f(1,2)BD，所以AC＝BD且AC⊥BD.答案：(1)AC＝BD(2)AC＝BD且AC⊥BD平面的基本性質(zhì)如圖所示，在正方體ABCD-A1B1C1D中，E，F(xiàn)分別是AB和AA1的中點(diǎn)，求證：E，C，D1，F(xiàn)四點(diǎn)共面．【證明】如圖所示，連接CD1，EF，A1B，因?yàn)镋，F(xiàn)分別是AB和AA1的中點(diǎn)，所以EF∥A1B且EF＝eq\f(1,2)A1B.又因?yàn)锳1D1綊BC，所以四邊形A1BCD1是平行四邊形，所以A1B∥CD1，所以EF∥CD1，所以EF與CD1確定一個(gè)平面α，所以E，F(xiàn)，C，D1∈α，即E，C，D1，F(xiàn)四點(diǎn)共面．【引申探究】(變問法)若本例條件不變，如何證明“CE，D1F，DA交于一點(diǎn)”？證明：如圖，由本例知EF∥CD1，且EF＝eq\f(1,2)CD1，所以四邊形CD1FE是梯形，所以CE與D1F必相交，設(shè)交點(diǎn)為P，則P∈CE且P∈D1F，又CE?平面ABCD，且D1F?平面A1ADD1，所以P∈平面ABCD，且P∈平面A1ADD1.又平面ABCD∩平面A1ADD1＝AD，所以P∈AD，所以CE，D1F，DA三線交于一點(diǎn)．eq\a\vs4\al()共面、共線、共點(diǎn)問題的證明方法(1)證明點(diǎn)或線共面：①首先由所給條件中的部分線(或點(diǎn))確定一個(gè)平面，然后再證其余的線(或點(diǎn))在這個(gè)平面內(nèi)；②將所有條件分為兩部分，然后分別確定平面，再證兩平面重合．(2)證明點(diǎn)共線：①先由兩點(diǎn)確定一條直線，再證其他各點(diǎn)都在這條直線上；②直接證明這些點(diǎn)都在同一條特定的直線上．(3)證明線共點(diǎn)：先證其中兩條直線交于一點(diǎn)，再證其他直線經(jīng)過該點(diǎn)．[提醒]點(diǎn)共線、線共點(diǎn)等都是應(yīng)用公理3，證明點(diǎn)為兩平面的公共點(diǎn)，即證明點(diǎn)在交線上．1.(多選)如圖，在長方體ABCD-A1B1C1D1中，O是DB的中點(diǎn)，直線A1C交平面C1BD于點(diǎn)M，則下列結(jié)論正確的是()A．C1，M，O三點(diǎn)共線B．C1，M，O，C四點(diǎn)共面C．C1，O，A1，M四點(diǎn)共面D．D1，D，O，M四點(diǎn)共面解析：選ABC.連接A1C1，AC，則AC∩BD＝O，又A1C∩平面C1BD＝M，所以三點(diǎn)C1，M，O在平面C1BD與平面ACC1A1的交線上，所以C1，M，O三點(diǎn)共線，所以選項(xiàng)A，B，C均正確，選項(xiàng)D錯(cuò)誤．2．如圖，空間四邊形ABCD中，E，F(xiàn)分別是AB，AD的中點(diǎn)，G，H分別在BC，CD上，且BG∶GC＝DH∶HC＝1∶2.(1)求證：E，F(xiàn)，G，H四點(diǎn)共面；(2)設(shè)EG與FH交于點(diǎn)P，求證：P，A，C三點(diǎn)共線．證明：(1)因?yàn)镋，F(xiàn)分別為AB，AD的中點(diǎn)，所以EF∥BD.在△BCD中，eq\f(BG,GC)＝eq\f(DH,HC)＝eq\f(1,2)，所以GH∥BD，所以EF∥GH，所以E，F(xiàn)，G，H四點(diǎn)共面．(2)因?yàn)镋G∩FH＝P，P∈EG，EG?平面ABC，所以P∈平面ABC.同理P∈平面ADC.所以P為平面ABC與平面ADC的公共點(diǎn)，又平面ABC∩平面ADC＝AC，所以P∈AC，所以P，A，C三點(diǎn)共線．空間兩直線的位置關(guān)系(2019·高考全國卷Ⅲ)如圖，點(diǎn)N為正方形ABCD的中心，△ECD為正三角形，平面ECD⊥平面ABCD，M是線段ED的中點(diǎn)，則()A．BM＝EN，且直線BM，EN是相交直線B．BM≠EN，且直線BM，EN是相交直線C．BM＝EN，且直線BM，EN是異面直線D．BM≠EN，且直線BM，EN是異面直線【解析】如圖，取CD的中點(diǎn)F，連接EF，EB，BD，F(xiàn)N，因?yàn)椤鰿DE是正三角形，所以EF⊥CD.設(shè)CD＝2，則EF＝eq\r(3).因?yàn)辄c(diǎn)N是正方形ABCD的中心，所以BD＝2eq\r(2)，NF＝1，BC⊥CD.因?yàn)槠矫鍱CD⊥平面ABCD，所以EF⊥平面ABCD，BC⊥平面ECD，所以EF⊥NF，BC⊥EC，所以在Rt△EFN中，EN＝2，在Rt△BCE中，EB＝2eq\r(2)，所以在等腰三角形BDE中，BM＝eq\r(7)，所以BM≠EN.易知BM，EN是相交直線．故選B.【答案】Beq\a\vs4\al()1．已知a，b是異面直線，A，B是a上的兩點(diǎn)，C，D是b上的兩點(diǎn)，M，N分別是線段AC，BD的中點(diǎn)，則MN和a的位置關(guān)系是()A．異面 B．平行C．相交 D．以上均有可能解析：選A.若MN與AB平行或相交，則MN與AB共面，設(shè)該平面為α.因?yàn)镃∈直線AM，D∈直線BN，所以C∈α，D∈α，所以b?α.又因?yàn)锳∈α，B∈α，所以a?α.這與a，b異面矛盾．故選A.2．(多選)如圖所示，正方體ABCD-A1B1C1D1中，M，N分別為棱C1D1，C1C的中點(diǎn)，下列說法正確的有()A．直線AM與CC1是相交直線B．直線AM與BN是平行直線C．直線BN與MB1是異面直線D．直線AM與DD1是異面直線解析：選CD.因?yàn)辄c(diǎn)A在平面CDD1C1外，點(diǎn)M在平面CDD1C1內(nèi)，直線CC1在平面CDD1C1內(nèi)，CC1不過點(diǎn)M，所以AM與CC1是異面直線，故A錯(cuò)；取DD1的中點(diǎn)E，連接AE(圖略)，則BN∥AE，但AE與AM相交，故B錯(cuò)；因?yàn)锽1與BN都在平面BCC1B1內(nèi)，M在平面BCC1B1外，BN不過點(diǎn)B1，所以BN與MB1是異面直線，故C正確；同理D正確，故選CD.異面直線所成的角(1)如圖，已知圓柱的軸截面ABB1A1是正方形，C是圓柱下底面弧AB的中點(diǎn)，C1是圓柱上底面弧A1B1的中點(diǎn)，那么異面直線AC1與BC所成角的正切值為________．(2)四面體ABCD中，E，F(xiàn)分別是AB，CD的中點(diǎn)．若BD，AC所成的角為60°，且BD＝AC＝1，則EF的長為________．【解析】(1)取圓柱下底面弧AB的另一中點(diǎn)D，連接C1D，AD，因?yàn)镃是圓柱下底面弧AB的中點(diǎn)，所以AD∥BC，所以直線AC1與AD所成的角即為異面直線AC1與BC所成的角，因?yàn)镃1是圓柱上底面弧A1B1的中點(diǎn)，所以C1D垂直于圓柱下底面，所以C1D⊥AD.因?yàn)閳A柱的軸截面ABB1A1是正方形，所以C1D＝eq\r(2)AD，所以直線AC1與AD所成角的正切值為eq\r(2)，所以異面直線AC1與BC所成角的正切值為eq\r(2).(2)如圖，取BC的中點(diǎn)O，連接OE，OF，因?yàn)镺E∥AC，OF∥BD，所以O(shè)E與OF所成的銳角(或直角)即為AC與BD所成的角，而AC，BD所成角為60°，所以∠EOF＝60°或∠EOF＝120°.當(dāng)∠EOF＝60°時(shí)，EF＝OE＝OF＝eq\f(1,2).當(dāng)∠EOF＝120°時(shí)，取EF的中點(diǎn)M，則OM⊥EF，EF＝2EM＝2×eq\f(\r(3),4)＝eq\f(\r(3),2).【答案】(1)eq\r(2)(2)eq\f(1,2)或eq\f(\r(3),2)eq\a\vs4\al()平移法求異面直線所成角的步驟具體步驟如下：1．直三棱柱ABC-A1B1C1中，若∠BAC＝90°，AB＝AC＝AA1，則異面直線BA1與AC1所成的角等于()A．30° B．45°C．60° D．90°解析：選C.如圖，可補(bǔ)成一個(gè)正方體，所以AC1∥BD1.所以BA1與AC1所成的角為∠A1BD1.又易知△A1BD1為正三角形．所以∠A1BD1＝60°.即BA1與AC1所成的角為60°.2．(2021·濟(jì)南市學(xué)習(xí)質(zhì)量評估)如圖，在正方形ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別為BC，AD的中點(diǎn)，將四邊形CDFE沿EF翻折，使得平面CDFE⊥平面ABEF，則異面直線BD與CF所成角的余弦值為________．解析：如圖，連接DE交FC于點(diǎn)O，取BE的中點(diǎn)G，連接OG，CG，則OG∥BD且OG＝eq\f(1,2)BD，所以∠COG為異面直線BD與CF所成的角或其補(bǔ)角．設(shè)正方形ABCD的邊長為2，則CE＝BE＝1，CF＝DE＝eq\r(CD2＋CE2)＝eq\r(5)，所以CO＝eq\f(1,2)CF＝eq\f(\r(5),2).易得BE⊥平面CDFE，所以BE⊥DE，所以BD＝eq\r(DE2＋BE2)＝eq\r(6)，所以O(shè)G＝eq\f(1,2)BD＝eq\f(\r(6),2).易知CE⊥平面ABEF，所以CE⊥BE，又GE＝eq\f(1,2)BE＝eq\f(1,2)，所以CG＝eq\r(CE2＋GE2)＝eq\f(\r(5),2).在△COG中，由余弦定理得，cos∠COG＝eq\f(OC2＋OG2－CG2,2OC·OG)＝eq\f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(5),2)))\s\up12(2)＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(6),2)))\s\up12(2)－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(5),2)))\s\up12(2),2×\f(\r(5),2)×\f(\r(6),2))＝eq\f(\r(30),10)，所以異面直線BD與CF所成角的余弦值為eq\f(\r(30),10).答案：eq\f(\r(30),10)[A級基礎(chǔ)練]1．已知直線a和平面α，β，α∩β＝l，a?α，a?β，且a在α，β內(nèi)的射影分別為直線b和c，則直線b和c的位置關(guān)系是()A．相交或平行 B．相交或異面C．平行或異面 D．相交、平行或異面解析：選D.依題意，直線b和c的位置關(guān)系可能是相交、平行或異面．故選D.2．(多選)下列命題正確的是()A．梯形一定是平面圖形B．若兩條直線和第三條直線所成的角相等，則這兩條直線平行C．兩兩相交的三條直線最多可以確定三個(gè)平面D．若兩個(gè)平面有三個(gè)公共點(diǎn)，則這兩個(gè)平面重合解析：選AC.對于A，由于兩條平行直線確定一個(gè)平面，所以梯形可以確定一個(gè)平面，故A正確；對于B，兩條直線和第三條直線所成的角相等，則這兩條直線平行或異面或相交，故B錯(cuò)誤；對于C，兩兩相交的三條直線最多可以確定三個(gè)平面，故C正確；對于D，若兩個(gè)平面有三個(gè)公共點(diǎn)，則這兩個(gè)平面相交或重合，故D錯(cuò)誤．3．(2021·安徽蚌埠第二中學(xué)期中)在四面體ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)，G，H分別在直線AD，AB，CD，BC上，若直線EF和GH相交，則它們的交點(diǎn)一定()A．在直線DB上 B．在直線AB上C．在直線CB上 D．都不對解析：選A.直線EF和GH相交，設(shè)其交點(diǎn)為M.因?yàn)镋F?平面ABD，HG?平面CBD，所以M∈平面ABD且M∈平面CBD.因?yàn)槠矫鍭BD∩平面BCD＝BD，所以M∈BD，所以EF與HG的交點(diǎn)在直線BD上．故選A.4．如圖所示，平面α∩平面β＝l，A∈α，B∈α，AB∩l＝D，C∈β，C?l，則平面ABC與平面β的交線是()A．直線AC B．直線ABC．直線CD D．直線BC解析：選C.由題意知，D∈l，l?β，所以D∈β，又因?yàn)镈∈AB，所以D∈平面ABC，所以點(diǎn)D在平面ABC與平面β的交線上．又因?yàn)镃∈平面ABC，C∈β，所以點(diǎn)C在平面β與平面ABC的交線上，所以平面ABC∩平面β＝CD.5．如圖，在三棱柱ABC-A1B1C1中，底面三角形A1B1C1是正三角形，E是BC的中點(diǎn)，則下列敘述正確的是()A．CC1與B1E是異面直線B．C1C與AE共面C．AE與B1C1是異面直線D．AE與B1C1所成的角為60°解析：選C.由于CC1與B1E都在平面C1B1BC內(nèi)，故C1C與B1E是共面的，所以A錯(cuò)誤；由于C1C在平面C1B1BC內(nèi)，而AE與平面C1B1BC相交于E點(diǎn)，點(diǎn)E不在C1C上，故C1C與AE是異面直線，B錯(cuò)誤；同理AE與B1C1是異面直線，C正確；而AE與B1C1所成的角就是AE與BC所成的角，E為BC中點(diǎn)，△ABC為正三角形，所以AE⊥BC，D錯(cuò)誤．6．已知棱長為a的正方體ABCD-A′B′C′D′中，M，N分別為CD，AD的中點(diǎn)，則MN與A′C′的位置關(guān)系是________．解析：如圖，由題意可知MN∥AC.又因?yàn)锳C∥A′C′，所以MN∥A′C′.答案：平行7．(2020·高考全國卷Ⅰ)如圖，在三棱錐P-ABC的平面展開圖中，AC＝1，AB＝AD＝eq\r(3)，AB⊥AC，AB⊥AD，∠CAE＝30°，則cos∠FCB＝________．解析：依題意得，AE＝AD＝eq\r(3)，在△AEC中，AC＝1，∠CAE＝30°，由余弦定理得EC2＝AE2＋AC2－2AE·ACcos∠EAC＝3＋1－2eq\r(3)cos30°＝1，所以EC＝1，所以CF＝EC＝1.又BC＝eq\r(AC2＋AB2)＝eq\r(1＋3)＝2，BF＝BD＝eq\r(AD2＋AB2)＝eq\r(6)，所以在△BCF中，由余弦定理得cos∠FCB＝eq\f(BC2＋CF2－BF2,2BC×CF)＝eq\f(22＋12－（\r(6)）2,2×2×1)＝－eq\f(1,4).答案：－eq\f(1,4)8．如圖，四邊形ABCD和ADPQ均為正方形，它們所在的平面互相垂直，則異面直線AP與BD所成的角為________．解析：如圖，將原圖補(bǔ)成正方體ABCD-QGHP，連接AG，GP，則GP∥BD，所以∠APG為異面直線AP與BD所成的角，在△AGP中，AG＝GP＝AP，所以∠APG＝eq\f(π,3).答案：eq\f(π,3)9．如圖，在棱長為a的正方體ABCD-A1B1C1D1中，M，N分別是AA1，D1C1的中點(diǎn)，過D，M，N三點(diǎn)的平面與正方體的下底面相交于直線l.(1)畫出l的位置；(2)設(shè)l∩A1B1＝P，求PB1的長．解：(1)如圖，延長DM與D1A1交于點(diǎn)O，連接NO，則直線NO即為直線l.(2)因?yàn)閘∩A1B1＝P，則易知直線NO與A1B1的交點(diǎn)即為P.所以A1M∥DD1，且M，N分別是AA1，D1C1的中點(diǎn)，所以A1也為D1O的中點(diǎn)．由圖可知eq\f(A1P,D1N)＝eq\f(OA1,OD1)＝eq\f(1,2)，所以A1P＝eq\f(a,4)，從而可知PB1＝eq\f(3a,4).10．如圖所示，A是△BCD所在平面外的一點(diǎn)，E，F(xiàn)分別是BC，AD的中點(diǎn)．(1)求證：直線EF與BD是異面直線；(2)若AC⊥BD，AC＝BD，求EF與BD所成的角．解：(1)證明：假設(shè)EF與BD不是異面直線，則EF與BD共面，從而DF與BE共面，即AD與BC共面，所以A，B，C，D在同一平面內(nèi)，這與A是△BCD所在平面外的一點(diǎn)相矛盾．故直線EF與BD是異面直線．(2)取CD的中點(diǎn)G，連接EG，F(xiàn)G，則AC∥FG，EG∥BD，所以相交直線EF與EG所成的角，即為異面直線EF與BD所成的角．又因?yàn)锳C⊥BD，則FG⊥EG.在Rt△EGF中，由EG＝FG＝eq\f(1,2)AC，求得∠FEG＝45°，即異面直線EF與BD所成的角為45°.[B級綜合練]11．已知直線l?平面α，直線m?平面α，給出下面四個(gè)結(jié)論：①若l與m不垂直，則l與α一定不垂直；②若l與m所成的角為30°，則l與α所成的角也為30°；③l∥m是l∥α的必要不充分條件；④若l與α相交，則l與m一定是異面直線．其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)為()A．1B．2C．3D．4解析：選A.對于①，當(dāng)l與m不垂直時(shí)，假設(shè)l⊥α，那么由l⊥α一定能得到l⊥m，這與已知條件矛盾，因此l與α一定不垂直，故①正確；對于②，易知l與m所成的角為30°時(shí)，l與α所成的角不一定為30°，故②不正確；對于③，l∥m可以推出l∥α，但是l∥α不能推出l∥m，因此l∥m是l∥α的充分不必要條件，故③不正確；對于④，若l與α相交，則l與m相交或異面，故④不正確．故正確結(jié)論的個(gè)數(shù)為1，選A.12.如圖，在正方體ABCD-A′B′C′D′中，平面α垂直于對角線AC′，且平面α截得正方體的六個(gè)表面得到截面六邊形，記此截面六邊形的面積為S，周長為l，則()A．S為定值，l不為定值 B．S不為定值，l為定值C．S與l均為定值 D．S與l均不為定值解析：選B.設(shè)平面α截得正方體的六個(gè)表面得到截面六邊形ω，ω與正方體的棱的交點(diǎn)分別為I，J，N，M，L，K(如圖)．將正方體切去兩個(gè)正三棱錐A-A′BD和C′-B′CD′，得到一個(gè)幾何體V，則V的上、下底面B′CD′與A′BD互相平行，每個(gè)側(cè)面都是等腰直角三角形，截面六邊形ω的每一條邊分別與V的底面上的每一條邊平行．設(shè)正方體的棱長為a，eq\f(A′K,A′B′)＝γ，則IK＝γB′D′＝eq\r(2)aγ，KL＝(1－γ)A′B＝eq\r(2)a(1－γ)，故IK＋KL＝eq\r(2)aγ＋eq\r(2)a(1－γ)＝eq\r(2)a.同理可證LM＋MN＝NJ＋I(xiàn)J＝eq\r(2)a，故六邊形ω周長為3eq\r(2)a，即周長為定值．當(dāng)I，J，N，M，L，K都在對應(yīng)棱的中點(diǎn)時(shí)，ω是正六邊形．其面積S＝6×eq\f(1,2)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)a))eq\s\up12(2)×eq\f(\r(3),2)＝eq\f(3\r(3),4)a2，△A′BD的面積為eq\f(1,2)×(eq\r(2)a)2×eq\f(\r(3),2)＝eq\f(\r(3),2)a2，當(dāng)ω?zé)o限趨近于△A′BD時(shí)，ω的面積無限趨近于eq\f(\r(3),2)a2，故ω的面積一定會(huì)發(fā)生變化，不為定值．故選B.13．如圖，四邊形ABEF和ABCD都是直角梯形，∠BAD＝∠FAB＝90°，BC綊eq\f(1,2)AD，BE綊eq\f(1,2)FA，G，H分別為FA，F(xiàn)D的中點(diǎn)．(1)證明：四邊形BCHG是平行四邊形；(2)C，D，F(xiàn)，E四點(diǎn)是否共面？為什么？解：(1)證明：由已知FG＝GA，F(xiàn)H＝HD可得GH綊eq\f(1,2)AD.又BC綊eq\f(1,2)AD，所以GH綊BC.所以四邊形BCHG為平行四邊形．(2)C，D，F(xiàn)，E四點(diǎn)共面，理由如下：由BE綊eq\f(1,2)AF，G為FA的中點(diǎn)知，BE綊FG，所以四邊形BEFG為平行四邊形，所以EF∥BG.由(1)知BG∥CH，所以EF∥CH，所以EF與CH共面，又D∈FH，所以C，D，F(xiàn)，E四點(diǎn)共面．14.如圖，E，F(xiàn)，G，H分別是空間四邊形ABCD各邊上的點(diǎn)，且AE∶EB＝AH∶HD＝m，CF∶FB＝CG∶GD＝n.(1)證明：E，F(xiàn)，G，H四點(diǎn)共面；(2)m，n滿足什么條件時(shí)，四邊形EFGH是平行四邊形？(3)在(2)的條件下，若AC⊥BD，試證明：EG＝FH.解：(1)證明：因?yàn)锳E∶EB＝AH∶HD，所以EH∥BD.又CF∶FB＝CG∶GD，所以FG∥BD.所以EH∥FG.所以E，F(xiàn)，G，H四點(diǎn)共面．(2)當(dāng)m＝n時(shí)，四邊形EFGH為平行四邊形，理由如下：當(dāng)EH∥FG，且EH＝FG時(shí)，四邊形EFGH為平行四邊形．因?yàn)閑q\f(EH,BD)＝eq\f(AE,AE＋EB)＝eq\f(m,m＋1)，所以EH＝eq\f(