試卷第=page88頁，共=sectionpages88頁試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁2023年新高考一輪復(fù)習講義第19講利用導(dǎo)數(shù)證明不等式學(xué)校:___________姓名：___________班級：___________考號：___________【基礎(chǔ)鞏固】1．（2022·浙江·杭州高級中學(xué)模擬預(yù)測）已知數(shù)列中，，若，則下列結(jié)論中錯誤的是（

）A． B． C． D．2．（2022·湖北·鄂南高中模擬預(yù)測）下列大小比較中，錯誤的是（

）A． B． C． D．3．（2022·河北衡水中學(xué)一模）已知實數(shù)，且，為自然對數(shù)的底數(shù)，則（

）A． B． C． D．4．（2022·福建福州·高三期末）設(shè)函數(shù)，則（

）A．B．函數(shù)有極大值為C．若，則D．若，且，則5．（多選）（2022·湖南·模擬預(yù)測）已知，，且，則下列結(jié)論一定正確的是（

）A． B．C． D．6．（2022·河北滄州·二模）已知實數(shù)滿足，則（

）A． B．C． D．7．（2022·北京市第九中學(xué)模擬預(yù)測）已知．(1)當時，判斷函數(shù)零點的個數(shù)；(2)求證：.8．（2022·山東泰安·模擬預(yù)測）已知函數(shù).(1)若函數(shù)，討論的單調(diào)性.(2)若函數(shù)，證明：.9．（2022·湖南·雅禮中學(xué)二模）已知.(1)求的最大值；(2)求證：（i）存在，使得；（ii）當存在，使得時，有.10．（2022·山東省實驗中學(xué)模擬預(yù)測）已知函數(shù)．(1)求函數(shù)的最大值；(2)若關(guān)于x的方程有實數(shù)根，求實數(shù)k的取值范圍；(3)證明：．11．（2022·天津市咸水沽第一中學(xué)模擬預(yù)測）已知函數(shù)……自然對數(shù)底數(shù)）.(1)當時，求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；(2)當時，（i）證明：存在唯一的極值點：（ii）證明：【素養(yǎng)提升】1．（2022·重慶八中高三階段練習）已知為常數(shù)，函數(shù)有兩個極值點，則（

）A． B． C． D．2．（2022·浙江·樂清市知臨中學(xué)模擬預(yù)測）已知函數(shù)．(1)求的極值點．(2)若有且僅有兩個不相等的實數(shù)滿足．（i）求k的取值范圍（ⅱ）證明．3．（2022·浙江省江山中學(xué)模擬預(yù)測）函數(shù)．(1)討論函數(shù)的單調(diào)性；(2)若函數(shù)有兩個零點，且，①證明：；②證明：．（注：為自然對數(shù)的底數(shù)）試卷第=page2525頁，共=sectionpages1717頁試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁 第19講利用導(dǎo)數(shù)證明不等式學(xué)校:___________姓名：___________班級：___________考號：___________【基礎(chǔ)鞏固】1．（2022·浙江·杭州高級中學(xué)模擬預(yù)測）已知數(shù)列中，，若，則下列結(jié)論中錯誤的是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】解：A.由題得所以該選項正確；B.由題得，，所以，當時，也滿足，所以，所以該選項正確；C.由前面得，，所以也適合，所以.設(shè)，所以函數(shù)在單調(diào)遞減，所以所以，所以，，，所以所以，所以該選項正確；D.,所以該選項錯誤.故選：D2．（2022·湖北·鄂南高中模擬預(yù)測）下列大小比較中，錯誤的是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】解：對于選項D,構(gòu)造函數(shù)，所以，所以當時，，函數(shù)單調(diào)遞增；當時，，函數(shù)單調(diào)遞減.所以.（當且僅當時取等）則令，則，化簡得，故，故，故，所以選項D錯誤；對于選項A，，在中，令，則，化簡得，故，所以.所以，所以選項A正確；對于選項B,在中，令，則，所以，所以選項B正確；對于選項C,所以，所以選項C正確.故選：D3．（2022·河北衡水中學(xué)一模）已知實數(shù)，且，為自然對數(shù)的底數(shù)，則（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】因為，所以，函數(shù)在上單調(diào)遞增，且，因為所以，所以，即，又，所以，所以，即，綜上，.故選：D4．（2022·福建福州·高三期末）設(shè)函數(shù)，則（

）A．B．函數(shù)有極大值為C．若，則D．若，且，則【答案】A【解析】A.，故正確；B.求導(dǎo)，令，得，當時，，當時，，所以當時，函數(shù)有極小值為，故錯誤；C.因為，所以，則，，，令，則，令，得或，當或，，當時，，故無最小值，故錯誤；D.，因為，且，所以，由B知在上遞減，在上遞增，所以，因為的大小不確定，故無法判斷的大小，故錯誤；故選：A5．（多選）（2022·湖南·模擬預(yù)測）已知，，且，則下列結(jié)論一定正確的是（

）A． B．C． D．【答案】AC【解析】令，則，所以當時，，所以在上單調(diào)遞增；由得，即，∵，∴，∴，即，∴，即，∴，A正確；由知，所以，所以選項B錯誤；由知，所以選項C正確．由，知，所以，所以D錯誤，故選：AC．6．（2022·河北滄州·二模）已知實數(shù)滿足，則（

）A． B．C． D．【答案】BCD【解析】由得，又，所以，所以，所以，選項錯誤；因為，所以，即，所以，選項正確，因為，所以，所以.令，則，所以在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以，即，又，所以，即，選項正確.故選：BCD7．（2022·北京市第九中學(xué)模擬預(yù)測）已知．(1)當時，判斷函數(shù)零點的個數(shù)；(2)求證：.【解】(1)當時，，，當且僅當時取“=”，所以在R上單調(diào)遞增，而，即0是的唯一零點，所以函數(shù)零點的個數(shù)是1.(2)，令，則，因，則，因此，函數(shù)在上單調(diào)遞增，，，所以當時，成立.8．（2022·山東泰安·模擬預(yù)測）已知函數(shù).(1)若函數(shù)，討論的單調(diào)性.(2)若函數(shù)，證明：.【解】(1)解：因為，所以，的定義域為，.當時，在上單調(diào)遞增.當時，若，則單調(diào)遞減；若，則單調(diào)遞增.綜上所述：當時，f(x)在上單調(diào)遞增;當時,f(x)在(0,1-a)上單調(diào)遞減，在(1-a,+)上單調(diào)遞增；(2)證明：.設(shè)，則.當時，單調(diào)遞減；當時，單調(diào)遞增.所以，因此，當且僅當時，等號成立.設(shè)，則.當時，單調(diào)遞減：當時，單調(diào)遞增.因此，從而，則，因為，所以中的等號不成立，故.9．（2022·湖南·雅禮中學(xué)二模）已知.(1)求的最大值；(2)求證：（i）存在，使得；（ii）當存在，使得時，有.【解】(1)法一：，當時，單調(diào)遞增；當時，單調(diào)遞減..法二：，由在上均為減函數(shù)，∴在上單調(diào)遞減，又，當時，單調(diào)遞增；當時，單調(diào)遞減..(2)過的直線方程為，令，則.，易知在單調(diào)遞減.（i）當時，在單調(diào)遞減，則，這與矛盾，不符題意；同理可證，當時不符題意.，故存在，使，即.（ii）要證，即證，由在單調(diào)遞減，即證，即證，即證，，可證，其中.在單調(diào)遞減，式得證，故.10．（2022·山東省實驗中學(xué)模擬預(yù)測）已知函數(shù)．(1)求函數(shù)的最大值；(2)若關(guān)于x的方程有實數(shù)根，求實數(shù)k的取值范圍；(3)證明：．【解】(1)，當時，，當時，，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減所以，即當時，取最大值1．(2)依題意，，令，，當時，，當時，，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，即，因此的值域是，方程有解，有，所以實數(shù)k的取值范圍是.(3)由（1）知，當且僅當時取等號，因此當時，，即當時，，，

所以．11．（2022·天津市咸水沽第一中學(xué)模擬預(yù)測）已知函數(shù)……自然對數(shù)底數(shù)）.(1)當時，求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；(2)當時，（i）證明：存在唯一的極值點：（ii）證明：【解】(1)，構(gòu)建當時，則在上單調(diào)遞減，且當時，，當時，則函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為(2)（i）由（1）可知：當時，在上單調(diào)遞減∴在內(nèi)存在唯一的零點當時，，當時，則函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為∴存在唯一的極值點（ii）由（i）可知：∵，即，且∵在單調(diào)遞減則構(gòu)建，則當時恒成立則在上單調(diào)遞增，則則，即∴【素養(yǎng)提升】1．（2022·重慶八中高三階段練習）已知為常數(shù)，函數(shù)有兩個極值點，則（

）A． B． C． D．【答案】AC【解析】,令,由題意可得有兩個實數(shù)解；所以函數(shù)有且只有兩個零點；.①當時,單調(diào)遞增,因此至多有一個零點,不符合題意,應(yīng)舍去；②當時,令,解得,因為當時,,函數(shù)單調(diào)遞增;當時,

,函數(shù)單調(diào)遞減,所以是函數(shù)的極大值點,則>0,即>0,解得，故選項A正確；因為，所以，又因為，所以，所以，所以，所以，故選項C正確；又，所以，==，令，則，當，，單調(diào)遞增，而，所以，故選項D錯誤；當時（符合，此時仍有兩個極值點），此時，解得，所以，故正負不確定，因此選項B錯誤；綜上所述，AC為正確答案；故選：AC.2．（2022·浙江·樂清市知臨中學(xué)模擬預(yù)測）已知函數(shù)．(1)求的極值點．(2)若有且僅有兩個不相等的實數(shù)滿足．（i）求k的取值范圍（ⅱ）證明．【解】(1)函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為.當時，，所以函數(shù)單調(diào)遞減；當時，，所以函數(shù)單調(diào)遞增.所以為的極值點.(2)因為有且僅有兩個不相等的實數(shù)滿足，所以.（i）問題轉(zhuǎn)化為在(0,+∞)內(nèi)有兩個零點,則.當時,,單調(diào)遞減；當時,,單調(diào)遞增.若有兩個零點,則必有,解得：.若k≥0,當時,,無法保證有兩個零點；若,又,，,故存在使得,存在使得.綜上可知,.（ⅱ）設(shè)則t∈(1,+∞).將代入,可得，（*）.欲證:，需證即證，將（*）代入，則有，則只需要證明：，即.構(gòu)造，則，.令，則.所以，則，所以在內(nèi)單減.又，所以當時，有，單調(diào)遞增；當時，有，單調(diào)遞減；所以，因此，即.綜上所述，命題得證.3．（2022·浙江省江山中學(xué)模擬預(yù)測）函數(shù)．(1)討論函數(shù)的單調(diào)性；(2)若函數(shù)有兩個零點，且，①證明：；②證明：．（注：為自然對數(shù)的底數(shù)）【解】(1)函數(shù)，當時，恒成立，所以在上單調(diào)遞增；當時，令，此時單調(diào)遞減，令，此時單調(diào)遞增.綜上可得：當時，的增區(qū)間為，無減區(qū)間；當時，的增區(qū)間為，減區(qū)間為.(2)證明：①由（1）可知，當時，不可能有兩個零點，當時，即時，有兩個零點且，.設(shè)，則，所以在上單調(diào)遞增，，即，所以，又，因為在單調(diào)遞減，所以且，故；②，由，故，而且在單調(diào)遞增，所以，又，則；由于，由①可知.綜上可得：．試卷第=page3232頁，共=sectionpages77頁試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁第20講利用導(dǎo)數(shù)研究不等式的恒成立問題學(xué)校:___________姓名：___________班級：___________考號：___________【基礎(chǔ)鞏固】1．（2022·山東·肥城市教學(xué)研究中心模擬預(yù)測）定義在上的函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，且對任意恒成立.若，則不等式的解集為（

）A． B．C． D．2．（2022·遼寧·鞍山一中模擬預(yù)測）已知且，若任意，不等式均恒成立，則的取值范圍為（

）A． B．C． D．3．（2022·重慶八中模擬預(yù)測）已知函，（為自然對數(shù)底數(shù)，……），若對成立，則實數(shù)a的最大值為（

）A． B．1 C． D．4．（2022·遼寧沈陽·三模）已知函數(shù)的圖象恒在的圖象的上方，則實數(shù)m的取值范圍是（

）A． B． C． D．5．（2022·江蘇揚州·模擬預(yù)測）已知為正整數(shù)，若對任意，不等式成立，則的最大值為（

）A．2 B．3 C．4 D．56．（2022·江蘇·模擬預(yù)測）已知且成立，則（

）A． B． C． D．7．（2022·遼寧·建平縣實驗中學(xué)模擬預(yù)測）已知函數(shù)，若存在實數(shù)使不等式成立，則a的取值范圍為(

)A． B． C． D．8．（2022·浙江紹興·高三期末）已知關(guān)于的不等式恒成立，其中為自然對數(shù)的底數(shù)，，則（

）A．既有最小值，也有最大值 B．有最小值，沒有最大值C．有最大值，沒有最小值 D．既沒有最小值，也沒有最大值9．（多選）（2022·廣東·模擬預(yù)測）已知，若不等式在上恒成立，則a的值可以為（

）A． B． C．1 D．10．（多選）（2022·湖南·長郡中學(xué)模擬預(yù)測）若存在正實數(shù)x，y，使得等式成立，其中e為自然對數(shù)的底數(shù)，則a的取值可能是（

）A． B． C． D．211．（2022·湖北省仙桃中學(xué)模擬預(yù)測）若關(guān)于的不等式在上恒成立，則實數(shù)的取值范圍為_______________

.12．（2022·江蘇·南京師大附中模擬預(yù)測）已知.設(shè)實數(shù)，若對任意的正實數(shù)，不等式恒成立，則的最小值為___________.13．（2022·湖北·大冶市第一中學(xué)模擬預(yù)測）已知關(guān)于的不等式恒成立，則實數(shù)的取值范圍為________.14．（2022·廣東·深圳市光明區(qū)高級中學(xué)模擬預(yù)測）已知函數(shù)，（e為自然對數(shù)的底數(shù)，…），當時，函數(shù)在點處的切線方程為____________；若對）成立，則實數(shù)a的最大值為____________.15．（2022·遼寧實驗中學(xué)模擬預(yù)測）已知函數(shù)(1)請討論函數(shù)的單調(diào)性(2)當時，若恒成立，求實數(shù)的取值范圍16．（2022·山東臨沂·三模）已知函數(shù)，其圖象在處的切線過點．(1)求a的值；(2)討論的單調(diào)性；(3)若，關(guān)于x的不等式在區(qū)間上恒成立，求的取值范圍．17．（一題多解）（2022·海南中學(xué)高三階段練習）已知函數(shù).(1)若，求的單調(diào)區(qū)間；(2)是否存在實數(shù)a，使對恒成立，若存在，求出a的值或取值范圍；若不存在，請說明理由.【素養(yǎng)提升】1．（2022·廣東廣州·三模）對于任意都有，則的取值范圍為（

）A． B．C． D．2．（2022·江蘇連云港·模擬預(yù)測）已知，函數(shù)，當x＞1時，恒成立，則實數(shù)的最小值為（

）A． B． C． D．13．（2022·山東聊城·三模）已知函數(shù)（且），若對任意的，，不等式恒成立，則實數(shù)a的取值范圍為________.4．（2022·遼寧·二模）已知不等式對任意恒成立，則實數(shù)a的最小值為____．5．（2022·福建龍巖·模擬預(yù)測）若對恒成立，則實數(shù)m的取值范圍是___________.6．（2022·山東聊城·三模）已知函數(shù)，.(1)當b=1時，討論函數(shù)的單調(diào)性；(2)若函數(shù)在處的切線方程為，且不等式恒成立，求實數(shù)m的取值范圍.試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁第20講利用導(dǎo)數(shù)研究不等式的恒成立問題學(xué)校:___________姓名：___________班級：___________考號：___________【基礎(chǔ)鞏固】1．（2022·山東·肥城市教學(xué)研究中心模擬預(yù)測）定義在上的函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，且對任意恒成立.若，則不等式的解集為（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】由，即，即，即對恒成立，令，則在上單調(diào)遞增，∵，∴，由即，即，因為在上單調(diào)遞增，∴故選：B.2．（2022·遼寧·鞍山一中模擬預(yù)測）已知且，若任意，不等式均恒成立，則的取值范圍為（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】由題設(shè)，，令，則恒成立，令，則，，當時，遞減；當時，遞增；所以，故遞增，當，即時，，不合題意；當，即時，要使恒成立，則恒成立，令且，則，，當時，遞減；當時，遞增；所以，故在上遞增，而，此時時，即恒成立.綜上，的取值范圍為.故選：A3．（2022·重慶八中模擬預(yù)測）已知函，（為自然對數(shù)底數(shù)，……），若對成立，則實數(shù)a的最大值為（

）A． B．1 C． D．【答案】C【解析】解：因為，恒成立，即，所以，，故令，，在上恒成立，所以，在上單調(diào)遞減，所以，兩邊取對數(shù)得，，即，記，則，所以，當，，單調(diào)遞減，當時，，單調(diào)遞增，所以，的最小值是，故，所以，實數(shù)a的最大值是．故選：C4．（2022·遼寧沈陽·三模）已知函數(shù)的圖象恒在的圖象的上方，則實數(shù)m的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由題意可得，故，即令，則單調(diào)遞增，原不等式可化為，所以，即，令，則，當時，，當時，，所以函數(shù)在上遞減，在上遞增，故，所以.故選：A5．（2022·江蘇揚州·模擬預(yù)測）已知為正整數(shù)，若對任意，不等式成立，則的最大值為（

）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】B【解析】因為對恒成立，令，當時，在上單調(diào)遞減，時，，不滿足題意；當時，恒成立；當時，，所以在上遞增，在上遞減，，設(shè)，，所以在上遞減，在上遞增，，而成立，成立，，．故選：B.6．（2022·江蘇·模擬預(yù)測）已知且成立，則（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】依題意，，，構(gòu)造函數(shù)，所以在區(qū)間遞減；在區(qū)間遞增.若，則，，不符合題意.若，則，，符合題意，若，此時對任意，有兩個不同的實數(shù)根，則存在，使“且”成立.對任意，有兩個不同的實數(shù)根，則存在，使“且”成立.綜上所述，.故選：C7．（2022·遼寧·建平縣實驗中學(xué)模擬預(yù)測）已知函數(shù)，若存在實數(shù)使不等式成立，則a的取值范圍為(

)A． B． C． D．【答案】A【解析】令得，∴，將化簡得，令，則，令，∵，∴為增函數(shù)，當時，，為增函數(shù)，；當時，，為減函數(shù)，；因此最小值為1，從而，即．故選：A．8．（2022·浙江紹興·高三期末）已知關(guān)于的不等式恒成立，其中為自然對數(shù)的底數(shù)，，則（

）A．既有最小值，也有最大值 B．有最小值，沒有最大值C．有最大值，沒有最小值 D．既沒有最小值，也沒有最大值【答案】B【解析】變形為：，令（）則上式可化為：，其中，所以（）單調(diào)遞增，故，即，令，則，當時，，當時，，所以在處取得極大值，也是最大值，故，所以，解得：，綜上：有最小值，無最大值.故選：B9．（多選）（2022·廣東·模擬預(yù)測）已知，若不等式在上恒成立，則a的值可以為（

）A． B． C．1 D．【答案】AD【解析】設(shè)，則，所以在上單調(diào)遞增，所以，所以，∴，∴．又在上恒成立，所以在上單調(diào)遞增，所以對恒成立，即恒成立．令，當時，，故，∴，解得或，所以a的值可以為，，故選：AD.10．（多選）（2022·湖南·長郡中學(xué)模擬預(yù)測）若存在正實數(shù)x，y，使得等式成立，其中e為自然對數(shù)的底數(shù)，則a的取值可能是（

）A． B． C． D．2【答案】ACD【解析】解：由題意，不等于，由，得，令，則，設(shè)，則，因為函數(shù)在上單詞遞增，且，所以當時，，當時，，則在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，從而，即，解得或.故.故選：ACD.11．（2022·湖北省仙桃中學(xué)模擬預(yù)測）若關(guān)于的不等式在上恒成立，則實數(shù)的取值范圍為_______________

.【答案】【解析】不等式可化為：，即.記.因為，所以當時，，所以在上單調(diào)遞增函數(shù)，所以當時，，即.記，則.因為，所以只需在上遞增，所以，只需恒成立.因為在單調(diào)遞減，所以當時，最大，所以.即實數(shù)的取值范圍為.故答案為：.12．（2022·江蘇·南京師大附中模擬預(yù)測）已知.設(shè)實數(shù)，若對任意的正實數(shù)，不等式恒成立，則的最小值為___________.【答案】【解析】因為僅在時取等號，故為R上的單調(diào)遞增函數(shù)，故由設(shè)實數(shù)，對任意的正實數(shù)，不等式恒成立，可得，恒成立，，即恒成立，當時，，恒成立，當時，構(gòu)造函數(shù)，恒成立，當時，遞增，則不等式恒成立等價于恒成立，即恒成立，故需，設(shè)，，在，上遞增，在，遞減，，故的最小值為，故答案為：13．（2022·湖北·大冶市第一中學(xué)模擬預(yù)測）已知關(guān)于的不等式恒成立，則實數(shù)的取值范圍為________.【答案】【解析】易知，將原不等式變形：，，可得，即，其中.設(shè)，則，原不等式等價于.當時，原不等式顯然成立；當時，因為在上遞增，恒成立，設(shè)，則，所以在遞減，遞增，所以的最小值為，故.故答案為：14．（2022·廣東·深圳市光明區(qū)高級中學(xué)模擬預(yù)測）已知函數(shù)，（e為自然對數(shù)的底數(shù)，…），當時，函數(shù)在點處的切線方程為____________；若對）成立，則實數(shù)a的最大值為____________.【答案】

【解析】由題意當時，，，則，，所以函數(shù)在點處的切線方程為，即.因為，，即，則，令，，在上恒成立，故在上單調(diào)遞減，故，得，即，記，則，當時，，單調(diào)遞減，當時，，單調(diào)遞增，故的最小值是，故，即實數(shù)a的最大值是.故答案為：；.15．（2022·遼寧實驗中學(xué)模擬預(yù)測）已知函數(shù)(1)請討論函數(shù)的單調(diào)性(2)當時，若恒成立，求實數(shù)的取值范圍【解】(1)當時，在上遞增當時，在，單調(diào)遞減在上，單調(diào)遞增(2)原式等價于設(shè)，由（1）當時，為增函數(shù)，，∴等式等價于恒成立，時，成立，時，，設(shè)，，，設(shè)，所以在上為增函數(shù)，又因為，所以在上，，，為減函數(shù)，在上，，，為增函數(shù)，，．16．（2022·山東臨沂·三模）已知函數(shù)，其圖象在處的切線過點．(1)求a的值；(2)討論的單調(diào)性；(3)若，關(guān)于x的不等式在區(qū)間上恒成立，求的取值范圍．【解】(1)解：因為函數(shù)，所以，，則，所以函在處的切線方程為，又因為切線過點，所以，即，解得；(2)由（1）知；，則，令，則，當時，，當時，，所以即當時，，當時，，所以在上遞增，在上遞增；(3)因為x的不等式在區(qū)間上恒成立，所以在區(qū)間上恒成立，即在區(qū)間上恒成立，因為在上遞增，所以在區(qū)間上恒成立，即在區(qū)間上恒成立，令，則，當時，，當時，，所以當時，取得最大值，所以.17．（一題多解）（2022·海南中學(xué)高三階段練習）已知函數(shù).(1)若，求的單調(diào)區(qū)間；(2)是否存在實數(shù)a，使對恒成立，若存在，求出a的值或取值范圍；若不存在，請說明理由.【解】(1)因為，所以，即.當時，，令，則，所以在單調(diào)遞增，因為，所以，當時，，；當時，，，所以的單調(diào)遞減區(qū)間是，單調(diào)遞增區(qū)間是.(2)法一：設(shè)，則，①當時，，，即，故不符合題意.②當時，當時，.·令，即，取，則，即，.故不符合題意.③當時，令，，則，故在單調(diào)遞增.因為，，所以存在唯一的使得，所以，時，，；時，，，故在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增.所以的最小值為，因為，即，兩邊取對數(shù)得，所以.令，則，所以在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，故，當且僅當時，等號成立，故當且僅當時，在恒成立，綜上，存在a符合題意，.法二：設(shè)，則，設(shè)，易知在單調(diào)遞增，①當時，因為，，所以存在唯一，使得，即，.所以當，，即，單調(diào)遞減；當，，即，單調(diào)遞增.故，即，符合題意.②當時，，，所以存在唯一，使得，所以當，，即，單調(diào)遞減，故，即，故不符合題意.③當時，，，所以存在唯一，使得，所以當，，即.所以在單調(diào)遞增，故，即，故不符合題意.④當時，，不符合題意.⑤當時，，不符合題意.綜上，存在a符合題意，.法三：①當時，，故在上單調(diào)遞增.因為在單調(diào)遞增，且，，故存在唯一，使得，即，即，故，所以任意，都有.故不符合題意.②當時，，對于函數(shù)，.所以時，；時，.所以在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，故，所以，故，故符合題意.③當且時，對于函數(shù)，因為在單調(diào)遞增，且，，所以存在，使得，即，所以.令，則，故在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減.故，當且僅當時，“=”成立.所以當時，，即，，故不符合題意.綜上，存在a符合題意，.法四：設(shè)，，易知在單調(diào)遞增.又當時，，所以的值域為；當時，的值域為.所以的值域為.故對于上任意一個值，都有唯一的一個正數(shù)，使得.因為，即.設(shè)，，所以要使，只需.當時，因為，即，所以不符合題意.當時，當時，，在單調(diào)遞減；當時，，在單調(diào)遞增.所以.設(shè)，，則，當時，，在單調(diào)遞增；當時，，在單調(diào)遞減.所以，所以，，當且僅當時，等號成立.又因為，所以，所以.綜上，存在a符合題意，.【素養(yǎng)提升】1．（2022·廣東廣州·三模）對于任意都有，則的取值范圍為（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】，令，則，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞減，所以，所以，所以轉(zhuǎn)化為：，令，，①當時，，所以在上單調(diào)遞增，所以，所以.②當時，您，所以，（i）當即時，，所以在上單調(diào)遞增，，所以.(ii)當即時，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，，所以，所以.綜上，的取值范圍為：.故選：B.2．（2022·江蘇連云港·模擬預(yù)測）已知，函數(shù)，當x＞1時，恒成立，則實數(shù)的最小值為（

）A． B． C． D．1【答案】D【解析】解：因為x＞1時，恒成立，所以在x＞1時，恒成立，即，在x＞1時，恒成立，令