球的體積與表面積第1頁思索：怎樣求球體積？排液法：hHh第2頁R高等于底面半徑旋轉(zhuǎn)體體積對(duì)比球體積第3頁球體積公式第4頁則球體積為：OO球表面積公式推導(dǎo)第5頁一、基本計(jì)算問題例1.(1)把球半徑擴(kuò)大為原來3倍，則體積擴(kuò)大為原來________倍.(2)把球隊(duì)表面積擴(kuò)大到原來2倍，那么體積擴(kuò)大為原來_______倍.(3)三個(gè)球表面積之比為1:2:3，則它們體積之比為_________.(4)三個(gè)球體積之比為1:8:27，則它們表面積之比為________.例題講解第6頁（4）.若兩球體積之比是1:2，則其表面積之比是______.（1）.若球表面積變?yōu)樵瓉?倍,則半徑變?yōu)樵瓉韄__倍.（2）.若球半徑變?yōu)樵瓉?倍，則表面積變?yōu)樵瓉韄__倍.（3）.若兩球表面積之比為1:2，則其體積之比是______.例2一、基本計(jì)算問題第7頁練習(xí).鋼球直徑是5cm,求它體積.例3.如圖,圓柱底面直徑與高都等于球直徑,求證:(1)球表面積等于圓柱側(cè)面積.(2)球表面積等于圓柱全方面積三分之二.O一、基本計(jì)算問題第8頁例4.一個(gè)空心鋼球質(zhì)量是142g,外徑是5cm,求它內(nèi)徑.(鋼密度是7.9g/cm2)解:設(shè)空心鋼球內(nèi)徑為2xcm,則鋼球質(zhì)量是答:空心鋼球內(nèi)徑約為4.5cm.由計(jì)算器算得:一、基本計(jì)算問題第9頁球體積公式球表面積公式第10頁2)球體積比等于半徑立方比,

表面積之比等于半徑平方比.1)球體積：規(guī)律小結(jié):問:若三個(gè)球體積之比為1:8:27,則它們半徑之比

.

(1)V1:V2=R13:R23;S1:S2=R12:R22.(3)解這類問題關(guān)鍵:找到改變前后半徑大小關(guān)系.第11頁AOO.B2C2BiCiAO

把垂直于底面半徑OA作n等分，經(jīng)過這些分點(diǎn)，用一組平行于底面平面把半球切割成n層，每一層幾何體怎樣？第12頁用一個(gè)平面去截一個(gè)球O，截面是圓面O?球截面性質(zhì)：球心和截面圓心連線垂直于截面球心到截面距離為d，球半徑為R，則二、截面問題?第13頁

例4.在球心同側(cè)有相距9cm兩個(gè)平行截面,它們面積分別為49πcm2和400πcm2,求球表面積。

若將“球心同側(cè)”這個(gè)條件去掉，又怎樣？OBAO?O?OBAO?O?第14頁OABC例5.已知過球面上三點(diǎn)A、B、C截面到球心O距離等于球半徑二分之一，且AB=BC=CA=3cm，求球體積，表面積．二、截面問題第15頁二、截面問題例6.一球球面面積為256πcm2，過此球一條半徑中點(diǎn)，作垂直于這條半徑截面，求截面圓面積.第16頁二、球與多面體接、切定義1：若一個(gè)多面體各頂點(diǎn)都在一個(gè)球球面上，

則稱這個(gè)多面體是這個(gè)球內(nèi)接多面體，

這個(gè)球是這個(gè)多面體外接球。定義2：若一個(gè)多面體各面都與一個(gè)球球面相切，

則稱這個(gè)多面體是這個(gè)球外切多面體，

這個(gè)球是這個(gè)多面體內(nèi)切球。處理“接切”問題關(guān)鍵是畫出正確截面，把空間“接切”轉(zhuǎn)化為平面“接切”問題第17頁1.與正方體相關(guān)切接問題正方體內(nèi)切球正方體內(nèi)切球半徑是棱長二分之一第18頁正方體外接球第19頁正方體外接球半徑是體對(duì)角線二分之一ABCDD1C1B1A1OABCDD1C1B1A1O第20頁正方體棱切球第21頁例3.如圖，正方體ABCD-A1B1C1D1棱長為a,它各個(gè)頂點(diǎn)都在球O球面上，問球O表面積。ABCDD1C1B1A1OABCDD1C1B1A1O正方體外接球1.球與正方體“接切”問題第22頁1.球與正方體“接切”問題經(jīng)典：有三個(gè)球,甲球切于正方體各面,乙球切于正方體各側(cè)棱,丙球過正方體各頂點(diǎn),求這三個(gè)球體積之比.

畫出正確截面：(1)中截面；(2)對(duì)角面；找準(zhǔn)數(shù)量關(guān)系第23頁

要研究球表面積，必須考慮球面特征，球面有什么特征呢？

球面不可展，故球表面積不便用求平面圖形面積方法來處理。第24頁2、求長方體外接球相關(guān)問題例、一個(gè)長方體各頂點(diǎn)均在同一球面上，且一個(gè)頂點(diǎn)上三條棱長分別為1,2,3，則此球表面積為

.解析：關(guān)鍵是求出球半徑，因?yàn)殚L方體內(nèi)接于球，所以它體對(duì)角線恰好為球直徑。長方體體對(duì)角線長為，故球表面積為.若長方體過同一頂點(diǎn)三條棱長為a,b,c各頂點(diǎn)均在同一球面上,則此球半徑為

.第25頁

．已知點(diǎn)P,A,B,C,D是球O表面上點(diǎn),PA⊥平面ABCD,四邊形ABCD是邊長為3寬為4長方形.若PA=2,則球O表面積為______________.

2、結(jié)構(gòu)長方體3.結(jié)構(gòu)直角三角形第26頁1、一個(gè)四面體全部棱都為，四個(gè)頂點(diǎn)在同一球面上，則此球表面積（）A3лB

4лCD6л·●●●●O●●BDCA

解：設(shè)四面體為ABCD，為其外接球心。

球半徑為R，O為A在平面BCD上射影，M為CD中點(diǎn)。M連結(jié)BAR第27頁1、一個(gè)四面體全部棱都為，四個(gè)頂點(diǎn)在同一球面上，則此球表面積（）A3лB

4лCD6л

解法2結(jié)構(gòu)棱長為1正方體，如圖。則A1、C1、B、D是棱長為正四面體頂點(diǎn)。正方體外接球也是正四面體外接球，此時(shí)球直徑為，選A4.補(bǔ)形成正方體第28頁正四面體棱長為a,與外接球半徑R關(guān)系為邊長為a正四面體能夠看成是邊長是(√2/2)a正方體截出來,則其外接球直徑是正方體邊長倍.第29頁OABCD設(shè)球半徑為r，則VA-BCD=VO-ABC+VO-ABD+VO-ACD+VO-BCD這四個(gè)四面體高都是內(nèi)切球半徑R,底面都是以a為邊長是正三角形,利用等體積法能夠求出內(nèi)切球半徑R值.2、若正四體棱長都為6，內(nèi)有一球與四個(gè)面都相切，求球表面積。第30頁2、若正四體棱長都為6，內(nèi)有一球與四個(gè)面都相切，求球表面積。解法2：連結(jié)OA、OB、OC、OP，那么第31頁2、若正四體棱長都為6，內(nèi)有一球與四個(gè)面都相切，求球表面積。

解：作出過一條側(cè)棱PC和高PO截面，則截面三角形PDC邊PD是斜高，DC是斜高射影，球被截成大圓與DP、DC相切，連結(jié)EO，設(shè)球半徑為r，∽由第32頁2.四面體與球“接切”問題經(jīng)典：正四面體ABCD棱長為a，求其內(nèi)切球半徑r與外接球半徑R.1、內(nèi)切球球心到多面體各面距離均相等，

外接球球心到多面體各頂點(diǎn)距離均相等2、正多面體內(nèi)切球和外接球球心重合3、正棱錐內(nèi)切球和外接球球心都在高線上，但不重合4、基本方法：結(jié)構(gòu)三角形利用相同比和勾股定理5、體積分割是求內(nèi)切球半徑通用做法第33頁假設(shè)正多面體幾何中心為P點(diǎn),連接P點(diǎn)和各個(gè)定點(diǎn),你能夠用全等三角形證實(shí)P點(diǎn)到各個(gè)頂點(diǎn)距離相等,即P點(diǎn)為該多面體外接球球心.同理,連接P點(diǎn)和各個(gè)面中心,你能夠證實(shí)這些線段也相等,即P點(diǎn)也是該多面體內(nèi)切球球心.即為一點(diǎn)第34頁解題小結(jié)：1、多面體“切”、“接”問題，必須明確“切”、“接”位置和相關(guān)元素間數(shù)量關(guān)系，常借助“截面”圖形來處理。2、正三棱錐、正四面體是主要基本圖形，要掌握其中邊、角關(guān)系。能將空間問題化為平面問題得到處理，并注意方程思想應(yīng)用。4、正四面體內(nèi)切球半徑等于其高四分之一，外接球半徑等于其高四分之三。第35頁ACBPO

結(jié)構(gòu)正方體例、若三棱錐三條側(cè)棱兩兩垂直，且側(cè)棱長均為，則其外接球表面積是

ACPBACPB第36頁ABCDOABCDO求正多面體外接球半徑求正方體外接球半