圖形的相像與位似一、選擇題1.（?湖北宜昌,第9題3分）如圖，A，B兩地被池塘分開，小明經過以下方法測出了A、B間的距離：先在AB外選一點C，而后測出AC，BC的中點M，N，并丈量出MN的長為12m，由此他就知道了A、B間的距離．有關他此次研究活動的描繪錯誤的選項是（）A．AB=24mB．MN∥ABC．△CMN∽△CABD．CM：MA=1：2考點：三角形中位線定理；相像三角形的應用．專題：應用題．剖析：依據三角形的中位線平行于第三邊而且等于第三邊的一半可得再依據相像三角形的判斷解答．解答：解：∵M、N分別是AC，BC的中點，∴MN∥AB，MN=AB，∴AB=2MN=2×12=24m，△CMN∽△CAB，∵M是AC的中點，∴CM=MA，∴CM：MA=1：1，故描繪錯誤的選項是D選項．應選D．

MN∥AB，MN=AB，評論：本題考察了三角形的中位線平行于第三邊而且等于第三邊的一半，相像三角形的判斷，熟記定理并正確識圖是解題的重點．（?萊蕪，第10題3分）如圖，在△ABC中，D、E分別是AB、BC上的點，且DE∥AC，若S△BDE：S△CDE=1：4，則S△BDE：S△ACD=（）A．1：16B．1：18C．1：20D．1：24考點：相像三角形的判斷與性質．剖析：設△BDE的面積為a，表示出△CDE的面積為于底邊的比求出，而后求出△DBE和△ABC相像比的平方求出△ABC的面積，而后表示出△

4a，依據等高的三角形的面積的比等相像，依據相像三角形面積的比等于ACD的面積，再求出比值即可．解答：解：∵S△BDE：S△CDE=1：4，∴設△BDE的面積為a，則△CDE的面積為4a，∵△BDE和△CDE的點D到BC的距離相等，=，=，∵DE∥AC，∴△DBE∽△ABC，∴S△DBE：S△ABC=1：25，∴S△ACD=25a﹣a﹣4a=20a，∴S△BDE：S△ACD=a：20a=1：20．應選C．評論：本題考察了相像三角形的判斷與性質，等高的三角形的面積的比等于底邊的比，熟記相像三角形面積的比等于相像比的平方用△BDE的面積表示出△ABC的面積是解題的重點．3．（?湖北黃岡,第8題3分）已知：在△ABC中，BC=10，BC邊上的高h=5，點E在邊AB上，過點E作EF∥BC，交AC邊于點F．點D為BC上一點，連結DE、DF．設點E到BC的距離為x，則△DEF的面積S對于x的函數圖象大概為（）第1題圖A．B．C．D．考點：剖析：解答：

動點問題的函數圖象．判斷出△AEF和△ABC相像，依據相像三角形對應邊成比率列式求出角形的面積列式表示出S與x的關系式，而后獲得大概圖象選擇即可．解：∵EF∥BC，

EF，再依據三∴△AEF∽△ABC，∴=，∴EF=?10=10﹣2x，∴S=（10﹣2x）?x=﹣x2+5x=﹣（x﹣）2+，∴S與x的關系式為S=﹣（x﹣）2+（0＜x＜10），縱觀各選項，只有D選項圖象切合．應選D．評論：本題考察了動點問題函數圖象，主要利用了相像三角形的性質，求出S與x的函數關系式是解題的重點，也是本題的難點．4．（?四川綿陽,第12題3分）如圖，AB是半圓O的直徑，C是半圓O上一點，OQ⊥BC于點Q，過點B作半圓O的切線，交OQ的延伸線于點P，PA交半圓O于R，則以下等式中正確的選項是（）A．=B．=C．=D．=考點：切線的性質；平行線的判斷與性質；三角形中位線定理；垂徑定理；相像三角形的判定與性質專題：研究型．剖析：（1）連結AQ，易證△OQB∽△OBP，獲得，也就有，可得△OAQ∽OPA，從而有∠OAQ=∠APO．易證∠CAP=∠APO，從而有∠CAP=∠OAQ，則有∠CAQ=∠BAP，從而可證△ACQ∽△ABP，可得，所以A正確．（2）由△OBP∽△OQB得，即，由AQ≠OP得，故C不正確．（3）連結OR，易得=，=2，獲得，故B不正確．（4）由及AC=2OQ，AB=2OB，OB=OR可得，由AB≠AP得，故D不正確．解答：解：（1）連結AQ，如圖1，∵BP與半圓O于點B，AB是半圓O的直徑，∴∠ABP=∠ACB=90°．∵OQ⊥BC，∴∠OQB=90°．∴∠OQB=∠OBP=90°．又∵∠BOQ=∠POB，∴△OQB∽△OBP．∴．∵OA=OB，∴．又∵∠AOQ=∠POA，∴△OAQ∽△OPA．∴∠OAQ=∠APO．∵∠OQB=∠ACB=90°，∴AC∥OP．∴∠CAP=∠APO．∴∠CAP=∠OAQ．∴∠CAQ=∠BAP．∵∠ACQ=∠ABP=90°，∴△ACQ∽△ABP．∴．故A正確．（2）如圖1，∵△OBP∽△OQB，∴．∴．∵AQ≠OP，∴．故C不正確．3）連結OR，如圖2所示．∵OQ⊥BC，∴BQ=CQ．∵AO=BO，∴OQ=AC．∵OR=AB．∴=，=2．∴≠．∴．故B不正確．（4）如圖2，∵，且AC=2OQ，AB=2OB，OB=OR，∴．∵AB≠AP，∴．故D不正確．應選：A．評論：本題考察了切線的性質，相像三角形的判斷與性質、平行線的判斷與性質、垂徑定理、三角形的中位線等知識，綜合性較強，有必定的難度．5．（?河北第13題3分）在研究相像問題時，甲、乙同學的看法以下：甲：將邊長為3、4、5的三角形按圖1的方式向外擴充，獲得新三角形，它們的對應邊間距為1，則新三角形與原三角形相像．乙：將鄰邊為3和5的矩形按圖2的方式向外擴充，獲得新的矩形，它們的對應邊間距均為1，則新矩形與原矩形不相像．對于兩人的看法，以下說法正確的選項是（）A．兩人都對B．兩人都不對C．甲對，乙不對D．甲不對，乙對考點：相像三角形的判斷；相像多邊形的性質剖析：甲：依據題意得：AB∥A′B′，AC∥A′C′，BC∥B′C′，即可證得∠A=∠A′，∠B=∠B′，可得△ABC∽△A′B′C′；乙：依據題意得：AB=CD=3，AD=BC=5，則A′B′=C′D′=3+2=5，A′D′=B′C′=5+2=7，則可得，即新矩形與原矩形不相像．解答：解：甲：依據題意得：AB∥A′B′，AC∥A′C′，BC∥B′C′，∴∠A=∠A′，∠B=∠B′，∴△ABC∽△A′B′C′，∴甲說法正確；乙：∵依據題意得：AB=CD=3，AD=BC=5，則A′B′=C′D′=3+2=5，A′D′=B′C′=5+2=7，∴，，∴，∴新矩形與原矩形不相像．∴乙說法正確．應選A．評論：本題考察了相像三角形以及相像多邊形的判斷．本題難度不大，注意掌握數形聯合思想的應用．6．二、填空題1.（?黔南州，第15題5分）如圖，在△ABC中，點D、E分別在AB、AC上，DE∥BC．若AD=4，DB=2，則的值為．考點：相像三角形的判斷與性質．剖析：由AD=3，DB=2，即可求得AB的長，又由DE∥BC，依據平行線分線段成比率定理，可得DE：BC=AD：AB，則可求得答案．解答：解：∵AD=4，DB=2，∴AB=AD+BD=4+2=6，∵DE∥BC，△ADE∽△ABC，∴

=

，故答案為：．評論：本題考察了平行線分線段成比率定理．本題比較簡單，注意掌握比率線段的對應關系是解本題的重點．2．（?攀枝花，第16題4分）如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，BE均分∠ABC交CD于E，且BE⊥CD，CE：ED=2：1．假如△BEC的面積為2，那么四邊形ABED的面積是．考點：相像三角形的判斷與性質；等腰三角形的判斷與性質；梯形．剖析：第一延伸BA，CD交于點F，易證得△BEF≌△BEC，則可得DF：FC=1：4，又由△ADF∽△BCF，依據相像三角形的面積比等于相像比的平方，

可求得△ADF的面積，既而求得答案．解答：解：延伸

BA，CD

交于點

F，∵BE均分∠

ABC，∴∠EBF=∠EBC，∵BE⊥CD，∴∠BEF=∠BEC=90°，在△BEF和△BEC中，，∴△BEF≌△BEC（ASA），EC=EF，S△BEF=S△BEC=2，S△BCF=S△BEF+S△BEC=4，∵CE：ED=2：1DF：FC=1：4，AD∥BC，∴△ADF∽△BCF，∴=（）2=，∴S△ADF=×4=，S四邊形ABCD=S△BEF﹣S△ADF=2﹣=．故答案為：．評論：本題考察了相像三角形的判斷與性質、全等三角形的判斷與性質以及梯形的性質．本題難度適中，注意掌握協助線的作法，注意掌握數形聯合思想的應用．3．（?黑龍江哈爾濱,第20題3分）如圖，在△ABC中，4AB=5AC，AD為△ABC的角均分線，點E在BC的延伸線上，EF⊥AD于點F，點G在AF上，FG=FD，連結EG交AC于點H．若點H是AC的中點，則的值為．第1題圖考點：相像三角形的判斷與性質；全等三角形的判斷與性質；角均分線的性質；等腰三角形的判斷與性質；平行四邊形的判斷與性質．剖析：解題重點是作出協助線，如解答圖所示：第1步：利用角均分線的性質，獲得BD=CD；第2步：延伸AC，結構一對全等三角形△ABD≌△AMD；第3步：過點M作MN∥AD，結構平行四邊形DMNG．由MD=BD=KD=CD，獲得等腰△DMK；而后利用角之間關系證明DM∥GN，從而推出四邊形DMNG為平行四邊形；第4步：由MN∥AD，列出比率式，求出的值．解答：解：已知AD為角均分線，則點D到AB、AC的距離相等，設為h．∵====，∴BD=CD．如右圖，延伸AC，在AC的延伸線上截取AM=AB，則有AC=4CM．連結DM．在△ABD與△AMD中，∴△ABD≌△AMD（SAS），∴MD=BD=5m．過點M作MN∥AD，交EG于點N，交DE于點K．∵MN∥AD，∴==，∴CK=CD，∴KD=CD．∴MD=KD，即△DMK為等腰三角形，∴∠DMK=∠DKM．由題意，易知△EDG為等腰三角形，且∠1=∠2；∵MN∥AD，∴∠3=∠4=∠1=∠2，又∵∠DKM=∠3（對頂角）∴∠DMK=∠4，∴DM∥GN，∴四邊形DMNG為平行四邊形，∴MN=DG=2FD．∵點H為AC中點，AC=4CM，∴=．∵MN∥AD，∴=，即∴=．

，評論：本題是幾何綜合題，難度較大，正確作出協助線是解題重點．在解題過程中，需要綜合利用各樣幾何知識，比如相像、全等、平行四邊形、等腰三角形、角均分線性質等，對考生能力要求較高．(?黑龍江牡丹江,第14題3分)在同一時刻兩根木竿在太陽光下的影子以下圖，此中木竿AB=2m，它的影子BC=1.6m，木竿PQ的影子有一部分落在了墻上，PM=1.2m，MN=0.8m，則木竿PQ的長度為2.3m．第2題圖考點：相像三角形的應用．專題：應用題．剖析：先依據同一時刻物高與影長成正比求出可．解答：解：解：過N點作ND⊥PQ于D，∴，

MN

的影長，再依據此影長列出比率式即又∵AB=2，BC=1.6，PM=1.2，NM=0.8，∴QD==1.5，∴PQ=QD+DP=QD+NM=1.5+0.8=2.3（米）．答：木竿PQ的長度為2.3米．評論：在運用相像三角形的知識解決實質問題時，模型，而后列出有關數據的比率關系式，從而求出結論．5.（?湖北荊門,第14題3分）如圖，正方形OABC

要能夠從實質問題中抽象出簡單的數學與正方形ODEF是位似圖形，點O為位似中心，相像比為

1：

，點

A的坐標為（

0，1），則點

E的坐標是

（

，）．第3題圖考點：位似變換；坐標與圖形性質．剖析：由題意可得OA：OD=1：，又由點A的坐標為（1，0），即可求得OD又由正方形的性質，即可求得E點的坐標．解答：解：∵正方形OABC與正方形ODEF是位似圖形，O為位似中心，相像比為∴OA：OD=1：，∵點A的坐標為（1，0），

的長，1：

，即OA=1，∴OD=，∵四邊形ODEF是正方形，∴DE=OD=．∴E點的坐標為：（，）．故答案為：（，）．評論：本題考察了位似變換的性質與正方形的性質．本題比較簡單，注意理解位似變換與相像比的定義是解本題的重點．

4．6．（?浙江紹興

,第

16題

5分）把標準紙一次又一次對開，能夠獲得均相像的

“開紙”．此刻我們在長為2、寬為1的矩形紙片中，畫兩個小矩形，使這兩個小矩形的每條邊都與原矩形紙的邊平行，或小矩形的邊在原矩形的邊上，且每個小矩形均與原矩形紙相像，而后將它們剪下，則所剪得的兩個小矩形紙片周長之和的最大值是4+．考點：相像多邊形的性質剖析：依據相像多邊形對應邊的比相等的性質分別求出所剪得的兩個小矩形紙片的長與寬，從而求解即可．解答：解：∵在長為2、寬為1的矩形紙片中，畫兩個小矩形，使這兩個小矩形的每條邊都與原矩形紙的邊平行，或小矩形的邊在原矩形的邊上，且每個小矩形均與原矩形紙相像，∴要使所剪得的兩個小矩形紙片周長之和最大，則這兩個小矩形紙片長與寬的和最大．∵矩形的長與寬之比為2：1，∴剪得的兩個小矩形中，一個矩形的長為1，寬為=，∴此外一個矩形的長為2﹣=，寬為=，∴所剪得的兩個小矩形紙片周長之和的最大值是2（1+++）=4+．故答案為4+．評論：本題考察了相像多邊形的性質，分別求出所剪得的兩個小矩形紙片的長與寬是解題的重點．三、解答題（?黑龍江綏化,第21題6分）已知：△ABC在直角坐標平面內，三個極點的坐標分別為A（0，3）、B（3，4）、C（2，2）（正方形網格中每個小正方形的邊長是一個單位長度）．（1）畫出△ABC向下平移4個單位長度獲得的△A1B1C1，點C1的坐標是（2，﹣2）；（2）以點B為位似中心，在網格內畫出△A2B2C2，使△A2B2C2與△ABC位似，且位似比為2：1，點C2的坐標是（1，0）；（3）△A2B2C2的面積是10平方單位．考點：作圖-位似變換；作圖-平移變換．剖析：（1）利用平移的性質得出平移后圖象從而得出答案；2）利用位似圖形的性質得出對應點地點即可；3）利用等腰直角三角形的性質得出△A2B2C2的面積．解答：解：（1）以下圖：C1（2，﹣2）；故答案為：（2，﹣2）；2）以下圖：C2（1，0）；故答案為：（1，0）；3）∵A2C22=20，B2C=20，A2B2=40，∴△A2B2C2是等腰直角三角形，∴△A2B2C2的面積是：××20=10平方單位．故答案為：10．評論：本題主要考察了位似圖形的性質以及平移的性質和三角形面積求法等知識，得出對應點坐標是解題重點．2.（?湖北宜昌,第21題8分）已知：如圖，四邊形ABCD為平行四邊形，以CD為直徑作⊙O，⊙O與邊BC訂交于點F，⊙O的切線DE與邊AB訂交于點E，且AE=3EB．1）求證：△ADE∽△CDF；2）當CF：FB=1：2時，求⊙O與?ABCD的面積之比．考點：剖析：解答：

切線的性質；勾股定理；平行四邊形的性質；相像三角形的判斷與性質．（1）依據平行四邊形的性質得出∠A=∠C，AD∥BC，求出∠ADE=∠CDF，依據相似三角形的判斷推出即可；（2）設CF=x，FB=2x，則BC=3x，設EB=y，則AE=3y，AB=4y，依據相像得出=，求出x=2y，由勾股定理得求出DF=2y，分別求出⊙O的面積和四邊形ABCD的面積，即可求出答案．（1）證明：∵CD是⊙O的直徑，∴∠DFC=90°，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴∠A=∠C，AD∥BC，∴∠ADF=∠DFC=90°，∵DE為⊙O的切線，DE⊥DC，∴∠EDC=90°，∴∠ADF=∠EDC=90°，∴∠ADE=∠CDF，∵∠A=∠C，∴△ADE∽△CDE；（2）解：∵CF：FB=1：2，∴設CF=x，FB=2x，則BC=3x，∵AE=3EB，∴設EB=y，則AE=3y，AB=4y，∵四邊形ABCD是平行四邊形，AD=BC=3x，AB=DC=4y，∵△ADE∽△CDF，=，=，x、y均為正數，∴x=2y，∴BC=6y，CF=2y，在Rt△DFC中，∠DFC=90°，由勾股定理得：DF===2y，∴⊙O的面積為π?（DC）2=22=42，π?DC=π（4y）πy四邊形ABCD的面積為BC?DF=6y?2y=12y2，∴⊙O與四邊形ABCD的面積之比為224πy：12y=π：3．評論：本題考察了平行四邊形的性質，相像三角形的性質和判斷，勾股定理的應用，主要考查學生綜合運用性質進行推理和計算的能力．3.（?湖南衡陽

,第

26題

8分）將一副三角尺（在

Rt△ABC

中，∠

ACB=90°，∠B=60°；在Rt△DEF

中，∠

EDF=90°，∠E=45°）如圖①擺放，點

D為

AB的中點，

DE

交

AC于點

P，DF

經過點

C．（1）求∠ADE的度數；（2）如圖②，將△DEF繞點D順時針方向旋轉角α（0°＜α＜60°），此時的等腰直角三角尺記為△DE′F′，DE′交AC于點M，DF′交BC于點N，試判斷的值能否跟著α的變化而變化？假如不變，懇求出的值；反之，請說明原因．考點：旋轉的性質；相像三角形的判斷與性質．剖析：（1）依據直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可得CD=AD=BD=AB，依據等邊平等角求出∠ACD=∠A，再求出∠ADC=120°，再依據∠ADE=∠ADC﹣∠EDF計算即可得解；2）依據同角的余角相等求出∠PDM=∠CDN，再依據而后求出△BCD是等邊三角形，依據等邊三角形的性質求出∠BCD=60°，再依據三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內角的和求出∠CPD=60°，從而獲得∠CPD=∠BCD，再依據兩組角對應相等，兩三角形相像判斷出△DPM和△DCN相像，再依據相像三角形對應邊成比率可得=為定值．解答：解：（1）∵∠ACB=90°，點D為AB的中點，∴CD=AD=BD=AB，∴∠ACD=∠A=30°，∴∠ADC=180°﹣30°×2=120°，∴∠ADE=∠ADC﹣∠EDF=120°﹣90°=30°；（2）∵∠EDF=90°，∴∠PDM+∠E′DF=∠CDN+∠E′DF=90°，∴∠PDM=∠CDN，∵∠B=60°，BD=CD，∴△BCD是等邊三角形，∴∠BCD=60°，∵∠CPD=∠A+∠ADE=30°+30°=60°，∴∠CPD=∠BCD，在△DPM和△DCN中，，∴△DPM∽△DCN，=，=tan∠ACD=tan30°，∴的值不跟著α的變化而變化，是定值．評論：本題考察了旋轉的性質，相像三角形的判斷與性質，直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半的性質，熟記各性質并判斷出相像三角形是解題的重點，也是本題的難點．4.（?湖南永州,第21題8分）如圖，D是△ABC的邊AC上的一點，連結BD，已知∠ABD=∠C，AB=6，AD=4，求線段CD的長．考點：相像三角形的判斷與性質．.專題：計算題．剖析：由已知角相等，加上公共角，獲得三角形將AB與AD長代入即可求出CD的長．

ABD

與三角形

ACB

相像，由相像得比率，解答：解：在△ABD和△ACB中，∠ABD=∠C，∠A=∠A，∴△ABD∽△ACB，=，AB=6，AD=4，∴AC===9，則CD=AC﹣AD=9﹣4=5．評論：本題考察了相像三角形的判斷與性質，嫻熟掌握相像三角形的判斷與性質是解本題的重點．5.（?樂山，第23題10分）如圖，在平行四邊形ABCD中，對角線AC、BD交于點O．M為AD中點，連結CM交BD于點N，且ON=1．（1）求BD的長；（2）若△DCN的面積為2，求四邊形ABCM的面積．考點：相像三角形的判斷與性質；平行四邊形的性質．.專題：計算題．剖析：（1）由四邊形ABCD為平行四邊形，獲得對邊平行且相等，且對角線相互均分，根據兩直線平行內錯角相等獲得兩對角相等，從而確立出三角形MND與三角形BCN相似，由相像得比率，獲得DN：BN=1：2，設OB=OD=x，表示出BN與DN，求出x的值，即可確立出BD的長；（2）由相像三角形相像比為1：2，獲得NC=2MN，依據三角形MND與三角形DNC高相等，底邊之比即為面積之比，由三角形DCN面積求出MND面積，從而求出三角形DCM面積，表示出平行四邊形ABCD面積與三角形MCD面積，即可求出平行四邊形ABCD面積．解答：解：（1）∵平行四邊形ABCD，AD∥BC，AD=BC，OB=OD，∴∠DMN=∠BCN，∠MDN=∠NBC，∴△MND∽△CNB，=，∵M為AD中點，MD=AD=BC，即=，=，即BN=2DN，設OB=OD=x，則有BD=2x，BN=OB+ON=x+1，DN=x﹣1，∴x+1=2（x﹣1），解得：x=3，BD=2x=6；2）∵△MND∽△CNB，且相像比為1：2，∴MN：CN=1：2，∴S△MND：S△CND=1：4，∵△DCN的面積為2，∴△MND面積為，∴△MCD面積為2.5，∵S平行四邊形ABCD=AD?h，S△MCD=MD?h=AD?h，S平行四邊形ABCD=4S△MCD=10．評論：本題考察了相像三角形的判斷與性質，嫻熟掌握相像三角形的判斷與性質是解本題的重點．6．（?黑龍江哈爾濱,第28題10分）如圖，在四邊形ABCD中，對角線AC、BD訂交于點E，且AC⊥BD，∠ADB=∠CAD+∠ABD，∠BAD=3∠CBD．（1）求證：△ABC為等腰三角形；（2）M是線段BD上一點，BM：AB=3：4，點F在BA的延伸線上，連結FM，∠BFM的均分線FN交BD于點N，交AD于點G，點H為BF中點，連結MH，當GN=GD時，研究線段CD、FM、MH之間的數目關系，并證明你的結論．第1題圖考點：相像形綜合題．剖析：（1）依據等式的性質，可得∠APE=∠ADE，依據等腰三角形的性質，可得∠PAD=2β，依據直角三角形的性質，可得∠AEB+∠CBE=90°，依據等式的性質，可得∠ABC=∠ACB，依據等腰三角形的判斷，可得答案；（2）依據相像三角形的判斷與性質，可得∠ABE=∠ACD，依據等腰三角形的性質，可得∠GND=∠GDN，依據對頂角的性質，可得∠AGF的度數，依據三角形外角的性質，∠AFG的度數，依據直角三角形的性質，可得BF與MH的關系，依據等腰三角形的性質，可得∠FRM=∠FMR，依據平行線的判斷與性質，可得∠CBD=∠RMB，依據相像三角形的判斷與性質，可得，依據線段的和差，可得BR=BF﹣FR，依據等量代換，可得答案．解答：（1）證明：如圖1，作∠BAP=∠DAE=β，AP交BD于P，設∠CBD=α，∠CAD=β，∵∠ADB=∠CAD+∠ABD，∠APE=∠BAP+∠ABD，∴∠APE=∠ADE，AP=AD．∵AC⊥BD∴∠PAE=∠DAE=β，∴∠PAD=2β，∠BAD=3β．∵∠BAD=3∠CBD，∴3β=3α，β=α．∵AC⊥BD，∴∠ACB=90°﹣∠CBE=90°﹣α=90°﹣β．∵∠ABC=180°﹣∠BAC﹣∠ACB=90°﹣β，∴∠ACB=∠ABC，∴△ABC為等腰三角形；2）2MH=FM+CD．證明：如圖2，由（1）知AP=AD，AB=AC，∠BAP=∠CAD=β，∴△ABP∽△ACD，∴∠ABE=∠ACD．∵AC⊥BD，∴∠GDN=90°﹣β，∵GN=GD，∴∠GND=∠GDN=90°﹣β，∴∠NGD=180°﹣∠GND﹣∠GDN=2β．∴∠AGF=∠NGD=2β．∴∠AFG=∠BAD﹣∠AGF=3β﹣2β=β．FN均分∠BFM，∴∠NFM=∠AFG=β，∴FM∥AE，∴∠FMN=90°．H為BF的中點，∴BF=2MH．在FB上截取FR=FM，連結RM，∴∠FRM=∠FMR=90°﹣β．∵∠ABC=90°﹣β，∴∠FRM=∠ABC，∴RM∥BC，∴∠CBD=∠RMB．∵∠CAD=∠CBD=β，∴∠RMB=∠CAD．∵∠RBM=∠ACD，∴△RMB∽△DAC，∴，∴BR=CD．BR=BF﹣FR，FB﹣FM=BR=CD，FB=FM+CD．∴2MH=FM+CD．評論：本題考察了相像形綜合題，（1）利用了等腰三角形的性質，等腰三角形的判斷，直角三角形的性質；（2）相像三角形的判斷與性質，直角三角形的性質，三角形外角的性質，平行線的判斷與性質，利用的知識點多，題目稍有難度，相像三角形的判斷與性質是解題重點．7.(?黑龍江牡丹江,第28題10分)如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=8，BC=6，CD⊥AB于點D．點P從點D出發(fā)，沿線段DC向點C運動，點Q從點C出發(fā)，沿線段CA向點運動，兩點同時出發(fā)，速度都為每秒1個單位長度，當點P運動到C時，兩點都停止．設運動時間為t秒．

A1）求線段CD的長；2）設△CPQ的面積為S，求S與t之間的函數關系式，并確立在運動過程中能否存在某一時刻t，使得S△CPQ：S△ABC=9：100？若存在，求出t的值；若不存在，說明原因．3）當t為什么值時，△CPQ為等腰三角形？第2題圖考點：相像形綜合題；一元二次方程的應用；等腰三角形的性質；勾股定理；相像三角形的判斷與性質．、專題：綜合題．剖析：（1）利用勾股定理可求出AB長，再用等積法便可求出線段CD的長．（2）過點P作PH⊥AC，垂足為H，經過三角形相像即可用t的代數式表示PH，從而能夠求出S與t之間的函數關系式；利用S△CPQ：S△ABC=9：100成立t的方程，解方程即可解決問題．（3）可分三種狀況進行議論：由CQ=CP可成立對于t的方程，從而求出t；由PQ=PC或QC=QP不可以直接獲得對于t的方程，可借助于等腰三角形的三線合一及三角形相像，即可成立對于t的方程，從而求出t．解答：解：（1）如圖1，∵∠ACB=90°，AC=8，BC=6，∴AB=10．∵CD⊥AB，∴S△ABC=BC?AC=AB?CD．∴CD===4.8．∴線段CD的長為4.8．2）①過點P作PH⊥AC，垂足為H，如圖2所示．由題可知DP=t，CQ=t．則CP=4.8﹣t．∵∠ACB=∠CDB=90°，∴∠HCP=90°﹣∠DCB=∠B．∵PH⊥AC，∴∠CHP=90°．∴∠CHP=∠ACB．∴△CHP∽△BCA．∴．∴．∴PH=﹣t．∴S△CPQ=CQ?PH=t（﹣t）=﹣t2+t．②存在某一時刻t，使得S△CPQ：S△ABC=9：100．∵S△ABC=×6×8=24，且S△CPQ：S△ABC=9：100，∴（﹣t2+t）：24=9：100．整理得：5t2﹣24t+27=0．即（5t﹣9）（t﹣3）=0．解得：t=或t=3．0≤t≤4.8，∴當t=秒或t=3秒時，S△CPQ：S△ABC=9：100．3）①若CQ=CP，如圖1，則t=4.8﹣t．解得：t=2.4．②若PQ=PC，如圖2所示．∵PQ=PC，PH⊥QC，∴QH=CH=QC=．∵△CHP∽△BCA．∴．∴．解得；t=．③若QC=QP，過點Q作QE⊥CP，垂足為E，如圖3所示．同理可得：t=．綜上所述：當t為

2.4秒或

秒或

秒時，△

CPQ

為等腰三角形．評論：本題考察了相像三角形的判斷與性質、等腰三角形的性質、一元二次方程的應用、勾股定理等知識，擁有必定的綜合性，而利用等腰三角形的三線合一奇妙地將兩腰相等轉變?yōu)榈走吷系膬蓷l線段相等是解決第三小題的重點．8.（?湖北黃石,第24題9分）AD是△ABC的中線，將BC邊所在直線繞點D順時針旋轉α角，交邊AB于點M，交射線AC于點N，設AM=xAB，AN=yAC（x，y≠0）．1）如圖1，當△ABC為等邊三角形且α=30°時證明：△AMN∽△DMA；2）如圖2，證明：+=2；（3）如圖3，當G是AD上隨意一點時（點G不與A重合），過點G的直線交邊交射線AC于點N′，設AG=nAD，AM′=xAB，AN′=yAC（x′，y′≠0），猜想：否成立？并說明原因．

+

AB于=

M′，是第3題圖考點：相像形綜合題．剖析：（1）利用“兩角法”證得兩個三角形相像；（2）如圖1，過點C作CF∥AB交MN于點F，建立相像三角形：△該相像三角形的對應邊成比率求得．經過證△CFD≌△BMD例的性質和有關線段的代入獲得，即；

CFN∽△AMN，利用獲得BM=CF，利用比（3）猜想：+=成立．需要分類議論：①如圖乙，過交AC的延伸線于N．由平行線截線段成比率獲得利用（2）的結果能夠求得；②如圖丙，當過點D作M1N1∥M'N'交AB的延伸線于M1，交

D作MN∥M'N'交AB于，易求，AC1于N1，則同理可得

M，，．解答：（1）證明：如圖1，在△AMD中，∠∠MDA=60°∴∠AMD=90°在△AMN中，∠AMN=90°，∠MAN=60°，∴∠AMN=∠DMA=90°，∠MAN=∠MDA，∴△AMN∽△DMA；（2）證明：如圖甲，過點C作CF∥AB交MN

MAD=30°，于點F，則△

CFN∽△AMN∴．易證△CFD≌△BMD，∴BM=CF，∴，∴，即

；（3）猜想：+=成立．原因以下：①如圖乙，過D作MN∥M'N'交AB于M，交AC的延伸線于N，則∴即，

，由（2）知∴②如圖丙，當過點D作M1N1∥M'N'交AB的延伸線于M1，交AC1于N1，則同理可得．評論：本題考察了相像三角形的綜合題型．本題波及到的知識點有相像三角形的判斷與性質，平行線截線段成比率等．本題的難點在于協助線的作法，解題時，需要仔細的思慮才能理清解題思路．9．(?陜西,第21題8分)某一天，小明和小亮到達一河畔，想用遮陽帽和皮尺丈量這條河的大概寬度，兩人在保證無安全隱患的狀況下，此刻河岸邊選擇了一點B（點B與河對岸岸邊上的一棵樹的底部點D所確立的直線垂直于河岸）．①小明在B點面向樹的方向站好，調整帽檐，使視野經過帽檐正好落在樹的底部點D處，以下圖，這時小亮測的小明眼睛距地面的距離AB=1.7米；②小明站在原地轉動180°后蹲下，并保持本來的察看姿態(tài)（除身體重心下移外，其余姿態(tài)均不變），這時視野經過帽檐落在了DB延伸線上的點E處，此時小亮測得BE=9.6米，小明的眼睛距地面的距離CB=1.2米．依據以上丈量過程及丈量數據，請你求出河寬BD是多少米？考點：相像三角形的應用．剖析：依據題意求出∠BAD=∠BCE，而后依據兩組角對應相等，兩三角形相像求出△BAD和△BCE相像，再依據相像三角形對應邊成比率列式求解即可．解答：解：由題意得，∠BAD=∠BCE，∵∠ABD=∠CBE=90°，∴△BAD∽△BCE，=，即=，解得BD=13.6米．答：河寬BD是13.6米．評論：本題考察了相像三角形的應用，讀懂題目信息獲得兩三角形相等的角并確立出相像三角形是解題的重點，也是本題的難點．10．(?陜西,第24題8分)如圖，⊙O的半徑為4，B是⊙O外一點，連結OB，且OB=6，過點B作⊙O的切線BD，切點為D，延伸BO交⊙O于點A，過點A作切線BD的垂線，垂足為C．（1）求證：AD均分∠BAC；（2）求AC的長．考點：切線的性質；相像三角形的判斷與性質．剖析：（1）第一連結OD，由BD是⊙O的切線，AC⊥BD，易證得OD∥AC，既而可證得AD均分∠BAC；（2）由OD∥AC，易證得△BOD∽△BAC，而后由相像三角形的對應邊成比率，求得AC的長．解答：（1）證明：連結OD，∵BD是⊙O的切線，∴OD⊥BD，∵AC⊥BD，∴OD∥AC，∴∠2=∠3，∵OA=OD，∴∠1=∠3，∴∠1=∠2，即AD均分∠BAC；2）解：∵OD∥AC，∴△BOD∽△BAC，∴，∴，解得：AC=．評論：本題考察了切線的性質以及相像三角形的判斷與性質．本題難度適中，注意掌握輔助線的作法，注意掌握數形聯合思想的應用．11．（?浙江紹興,第20題8分）課本中有一道作業(yè)題：有一塊三角形余料ABC，它的邊BC=120mm，高AD=80mm．要把它加工成正方形部件，使正方形的一邊在BC上，其余兩個極點分別在AB，AC上．問加工成的正方形部件的邊長是多少mm？小穎解得本題的答案為48mm，小穎擅長反省，她又提出了以下的問題．（1）假如原題中要加工的部件是一個矩形，且此矩形是由兩個并排擱置的正方形所構成，如圖1，此時，這個矩形部件的兩條邊長又分別為多少mm？請你計算．（2）假如原題中所要加工的部件不過一個矩形，如圖2，這樣，此矩形部件的兩條邊長就不可以確立，但這個矩形面積有最大值，求達到這個最大值時矩形部件的兩條邊長．考點：相像三角形的應用；二次函數的最值．剖析：（1）設PN=2ymm，則PQ=ymm，而后依據相像三角形對應高的比等于相像比列出比率式求出即可；2）設PN=x，用PQ表示出AE的長度，而后依據相像三角形對應高的比等于相像比列出比率式并用x表示出PN，而后依據矩形的面積公式列式計算，再依據二次函數的最值問題解答．解答：解：（1）設矩形的邊長PN=2ymm，則PQ=ymm，由條件可得△APN∽△ABC，=，即=，解得y=，∴PN=×2=（mm），答：這個矩形部件的兩條邊長分別為mm，mm；2）設PN=xmm，由條件可得△APN∽△ABC，∴=，即=，解得PQ=80﹣x．S=PN?PQ=x（80﹣x）=﹣x2+80x=﹣（x﹣60）2+2400，∴S的最大值為2400mm2，此時PN=60mm，PQ=80﹣×60=40（mm）．評論：本題考察了相像三角形的應用，二次函數的最值問題，依據相像三角形對應高的比等于對應邊的比列式表示出正方形的邊長與三角形的邊與這邊上的高的關系是解題的重點，本題規(guī)律性較強，是道好題．12．（?浙江紹興,第24題14分）如圖，在平面直角坐標系中，直線l平行x軸，交y軸于點A，第一象限內的點B在l上，連結OB，動點P知足∠APQ=90°，PQ交x軸于點C．（1）當動點P與點B重合時，若點B的坐標是（2，1），求PA的長．（2）當動點P在線段OB的延伸線上時，若點A的縱坐標與點B的橫坐標相等，求PA：PC的值．（3）當動點P在直線OB上時，點D是直線OB與直線CA的交點，點E是直線CP與y軸的交點，若∠ACE=∠AEC，PD=2OD，求PA：PC的值．考點：相像形綜合題；全等三角形的判斷與性質；角均分線的性質；等腰三角形的判斷與性質；勾股定理；矩形的判斷與性質；平行線分線段成比率；相像三角形的判斷與性質．專題：壓軸題．剖析：（1）易得點P的坐標是（2，1），即可獲得PA的長．（2）易證∠AOB=45°，由角均分線的性質可得PA=PC，而后經過證明△即可求出PA：PC的值．（3）可分點P在線段OB的延伸線上及其反向延伸線上兩種狀況進行議論．

ANP≌△CMP易證PA：PC=PN：PM，設

OA=x，只要用含

x的代數式表示出

PN、PM

的長，即可求出

PA：PC的值．解答：解：（1）∵點P與點B重合，點B的坐標是（2，1），∴點P的坐標是（2，1）．∴PA的長為2．2）過點P作PM⊥x軸，垂足為M，過點P作PN⊥y軸，垂足為N，如圖1所示．∵點A的縱坐標與點B的橫坐標相等，∴OA=AB．∵∠OAB=90°，∴∠AOB=∠ABO=45°．∵∠AOC=90°，∴∠POC=45°．∵PM⊥x軸，PN⊥y軸，∴PM=PN，∠ANP=∠CMP=90°．∴∠NPM=90°．∵∠APC=90°．∴∠APN=90°﹣∠APM=∠CPM．在△ANP和△CMP中，∵∠APN=∠CPM，PN=PM，∠ANP=∠CMP，∴△ANP≌△CMP．PA=PC．PA：PC的值為1：1．（3）①若點P在線段OB的延伸線上，過點P作PM⊥x軸，垂足為M，過點P作PN⊥y軸，垂足為N，PM與直線AC的交點為F，如圖2所示．∵∠APN=∠CPM，∠ANP=∠CMP，∴△ANP∽△CMP．∴．∵∠ACE=∠AEC，∴AC=AE．∵AP⊥PC，∴EP=CP．∵PM∥y軸，AF=CF，OM=CM．FM=OA．設OA=x，∵PF∥OA，∴△PDF∽△ODA．∴∵PD=2OD，PF=2OA=2x，FM=x．∴PM=x．∵∠APC=90°，AF=CF，∴AC=2PF=4x．∵∠AOC=90°，∴OC=x．∵∠PNO=∠NOM=∠OMP=90°，∴四邊形PMON是矩形．∴PN=OM=x．PA：PC=PN：PM=x：x=．②若點P在線段OB的反向延伸線上，過點P作PM⊥x軸，垂足為M，過點P作PN⊥y軸，垂足為N，PM與直線AC的交點為F，如圖3所示．同理可得：PM=x，CA=2PF=4x，OC=x．∴PN=OM=OC=x．∴PA：PC=PN：PM=x：x=．綜上所述：PA：PC的值為或．評論：本題考察了角均分線的性質、全等三角形的判斷與性質、相像三角形的判斷與性質、矩形的判斷與性質、等腰三角形的判斷與性質、平行線均分線段定理、勾股定理等知識，綜合性特別強．13．（衡陽，第26題8分）．將一副三角尺如圖①擺放（在RtABC中，∠ACB90o，∠B60o；在RtDEF中，∠EDF90o，∠E45o。），點D為AB的中點，DE交AC于點P，DF經過點C。圖①圖②⑴求∠ADE

的度數；⑵如圖②，將

DEF

繞點

D順時針方向旋轉角

0o

60o

，此時的等腰直角三角尺記為

DE'F'，DE'交

AC于點

M，DF'交BC于點

N

，試判斷

PM

的值能否跟著

的CN變化而變化？假如不變，懇求出PM的值；反之，請說明理CN由?！究键c】直角三角形斜邊的中線等于斜邊的一半；相等；相像三角形的判斷和性質定理.14、（衡陽，第27題10分）

同角的余角如圖，直線

AB與x軸訂交于點

A

4，0

，與

y軸訂交于點B0，3，點P從點

A出發(fā)，以每秒個單位長度的速度沿直線

AB向點

B挪動。同時，將直線

y

3x以每秒

0.6個單位長度的速度向上平移，

交OA于點

C，交OB于點

D，4設運動時間為

t0

t

5

秒。⑴證明：在運動過程中，四邊形

ACDP老是平行四邊形；⑵當取何值時，四邊形

ACDP為菱形？請指出此時以點

D為圓心、

OD

長為半徑的圓與直