本文格式為Word版，下載可任意編輯——學(xué)會(huì)欣賞高考試題，引領(lǐng)課堂教學(xué)方向陶磊

2021年是新高考“3+3〞模式、“3+1+2〞模式在全國大范圍實(shí)踐的第一年.新高考模式下的高考數(shù)學(xué)試題將數(shù)學(xué)素養(yǎng)的考察融入平淡無奇的背景之中，不僅充分表達(dá)了命題人的命題聰慧，也為廣大的一線教師研究數(shù)學(xué)教學(xué)提供了寶貴的材料，為今后的課堂數(shù)學(xué)教學(xué)指明白方向.本文是筆者研讀高考試題的一些心得體會(huì).

一、重視基本概念，從課本中吸取營養(yǎng)

例1.有6個(gè)一致的球，分別標(biāo)有數(shù)字1，2，3，4，5，6，從中有放回的隨機(jī)取兩次，每次取1個(gè)球.甲表示事件“第一次取出的球的數(shù)字是1〞，乙表示事件“其次次取出的球的數(shù)字是2〞，丙表示事件“兩次取出的球的數(shù)字之和是8〞，丁表示事件“兩次取出的球的數(shù)字之和是7〞，則（

）

A.甲與丙相互獨(dú)立

B.甲與丁相互獨(dú)立

C.乙與丙相互獨(dú)立

D.丙與丁相互獨(dú)立

賞析：這道試題背景在課本中屢見不鮮，學(xué)生十分熟悉.大量考生出考場(chǎng)后十分開心，都認(rèn)為第8題很簡(jiǎn)單，答案就是A.由于事件甲和事件丙之間是否發(fā)生相互不受影響.其實(shí)，這道試題的考點(diǎn)十分明確，就是考察事件的相互獨(dú)立性.

設(shè)A，B為兩個(gè)事件，若P（AB）=P（A）P（B），則稱事件A與事件B相互獨(dú)立.顯然，要正確解答這道試題，首先是要計(jì)算出甲、乙、丙、丁等相關(guān)事件的概率，然后再根據(jù)事件的相互獨(dú)立性的定義做出判斷.因此，相關(guān)事件概率的計(jì)算才是本道試題考察的核心.這么多個(gè)概率值，如何能迅速、確切地計(jì)算出來？其實(shí)，課本上早已經(jīng)給出了最有效的計(jì)算方法——列表法.如下表所示，豎列數(shù)字表示第一次取出的球的數(shù)字，橫排數(shù)字表示其次次取出的球的數(shù)字，以坐標(biāo)的形式表示隨機(jī)兩次取出的球的數(shù)字的所有狀況.從表中，我們可以很輕松地計(jì)算出甲、乙、丙、丁四個(gè)事件的概率分別是、、、.由事件的相互獨(dú)立性的定義P（AB）=P（A）P（B）來判斷，只有答案B是正確的.

二、把握基本方法，根據(jù)問題融會(huì)貫穿

例2.已知數(shù)列{an}滿足a1=1，

an+1=an+1，n為奇數(shù)

an+2，n為偶數(shù).

（1）記bn=a2n，寫出b1，b2，并求數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式;

（2）求{an}的前20項(xiàng)和.

賞析：本試題是利用分段函數(shù)的形式來給出數(shù)列{an}的遞推式，大量學(xué)生直接計(jì)算求出答案，這種解題方式缺少了“數(shù)學(xué)味〞.其實(shí)，我們將題目轉(zhuǎn)換成另一種表達(dá)方式就很簡(jiǎn)單看清題意.

當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，記n=2k-1（k∈N+），則a2k=a2k-1+1.當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，記n=2k（k∈N+），則a2k+1=a2k+2.由此，我們就很簡(jiǎn)單得出：a2k+1=a2k-1+3、a2k+2=a2k+3.這也就是說：在數(shù)列{an}中，a1，a3，a5，…構(gòu)成一個(gè)以1為首項(xiàng)、3為公差的等差數(shù)列;a2，a4，a6，…，an構(gòu)成一個(gè)以2為首項(xiàng)、3為公差的等差數(shù)列.看清了問題的本質(zhì)，解答問題就等心應(yīng)手了.

例3.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知點(diǎn)F1（-，0），F(xiàn)2（，0）點(diǎn)M滿足MF1-MF2=2.記M的軌跡為C.

（1）求C的方程;

（2）設(shè)點(diǎn)T在直線x=上，過T的兩條直線分別交C于A，B兩點(diǎn)和P，Q兩點(diǎn)，且TA·TB=TP·TQ，求直線AB的斜率與直線PQ的斜率之和.

賞析：第（1）問是考察雙曲線的定義.根據(jù)雙曲線的定義，很簡(jiǎn)單求出軌跡C為雙曲線的右半支，其方程為x2-=1（x≥1）.

第（2）問是本道試題考察的重點(diǎn)和難點(diǎn).首先是如何利用數(shù)學(xué)表達(dá)式來表示TA·TB=TP·TQ;其次，就是計(jì)算問題.弦長(zhǎng)公式是高中學(xué)生最熟悉的公式之一，如弦長(zhǎng)AB==.其實(shí)，弦長(zhǎng)公式就是由平面上兩點(diǎn)間的距離公式經(jīng)推導(dǎo)變形而來的.也就是說，TA·TB=TP·TQ也可以使用弦長(zhǎng)公式來進(jìn)行轉(zhuǎn)換運(yùn)算.

如設(shè)點(diǎn)T（，n），直線AB的方程為：y-n=k1（x-），聯(lián)立y-n=k1（x-

），

x2

-=1，得（16-k12）x2+（k12-2k1n）x-k12-n2+k1n-16=0.由韋達(dá)定理可以得到xA+xB=，xAxB=.由于交點(diǎn)A、B均在直線x=的右側(cè)，所以TA=（xA-）、TB=（xB-），故TA·TB=（1+k12）（xA-）（xB-）=（1+k12）[xAxB-（xA+xB）+].同理也可以求出TP·TQ的表達(dá)式，再由TA·TB=TP·TQ得出等式，將所得到的等式化簡(jiǎn)、整理、計(jì)算，可以求出直線AB的斜率k1與直線PQ的斜率k2之和為0.

三、加強(qiáng)數(shù)學(xué)試驗(yàn)，用數(shù)學(xué)思維分析問題

例4.某校學(xué)生在研究民間剪紙藝術(shù)時(shí)，發(fā)現(xiàn)剪紙時(shí)經(jīng)常會(huì)沿紙的某條對(duì)稱軸把紙對(duì)折.規(guī)格為20dm×12dm的長(zhǎng)方形紙，對(duì)折1次共可以得到10dm×12dm，20dm×6dm兩種規(guī)格的圖形，它們的面積之和S1=240dm2，對(duì)折2次共可以得到5dm×12dm，10dm×6dm，20dm×3dm三種規(guī)格的圖形，它們的面積之和S2=180dm2，以此類推.則對(duì)折4次共可以得到不同規(guī)格圖形的種數(shù)為

;假如對(duì)折n次，那么Sk=

dm2.

賞析：這道試題的背景平凡普通，是希望通過考察學(xué)生的具體試驗(yàn)操作，讓學(xué)生在思維層次上體驗(yàn)從感性認(rèn)識(shí)上升到理性認(rèn)識(shí)的完美過程.對(duì)稱折紙，在小學(xué)數(shù)學(xué)中就有這種實(shí)踐體驗(yàn)，但是在高考試題中出現(xiàn)，主要的目的還是考察學(xué)生的抽象思維能力.由于長(zhǎng)方形是軸對(duì)稱圖形，沿對(duì)稱軸對(duì)折后得到的圖形依舊是長(zhǎng)方形.對(duì)折1次共可以得到兩種規(guī)格的圖形，它們的面積之和S1=240×（）1×2=240dm2;對(duì)折2次共可以得到三種規(guī)格的圖形，它們的面積之和S2=240×（）2×3=180dm2.以此類推，對(duì)折n次共可以得到n+1種規(guī)格的圖形，它們的面積之和Sn=240×（）n×（n+1）dm2.顯然，計(jì)算Sk是考察數(shù)列求和的重要方法——錯(cuò)位相減法.將重要的考點(diǎn)不動(dòng)聲色地藏于平凡普通的背景之中，這不能不讓人稱贊命題人的命題聰慧！這也真實(shí)、生動(dòng)地闡釋