第二章靜電場(二)1第二章靜電場(二)1§2-1靜電場的唯一性定理及其應(yīng)用§2-2平行雙電軸法§2-3無限大導(dǎo)電平面的鏡象法§2-4球形導(dǎo)體面的鏡象§2-5無限大介質(zhì)交界平面的鏡象§2-6電容與電容的計(jì)算§2-7雙輸電線的電容§2-8多導(dǎo)體系統(tǒng)的部分電容§2-9帶電導(dǎo)體系統(tǒng)的電場能量及其分布§2-10虛位移法計(jì)算電場力目錄2§2-1靜電場的唯一性定理及其應(yīng)用目錄2除唯一性定理以外，都屬于靜電場求解方面的應(yīng)用問題1、唯一性定理及其重要意義

2、電軸法

3、鏡象法

4、電容的計(jì)算5、帶電導(dǎo)體系統(tǒng)部分電容6、多導(dǎo)體系統(tǒng)的電場能量與電場力

本章內(nèi)容3除唯一性定理以外，都屬于靜電場求解方面的應(yīng)用問題1、唯一性§2-1靜電場的唯一性定理及其應(yīng)用一、唯一性定理及其重要意義唯一性定理：靜電場中，滿足一定邊界條件(即前述三類邊界條件)的泊松方程或拉普拉斯方程的解是唯一的。當(dāng)場中介質(zhì)及各導(dǎo)體的分布一定時(shí)：1、給定各導(dǎo)體表面的電位值此時(shí)由邊值問題解得之電位函數(shù)為唯一；4§2-1靜電場的唯一性定理及其應(yīng)用2、導(dǎo)體表面為等位面，給定各導(dǎo)體表面的電荷量，此時(shí)由邊值問題所解得的電位函數(shù)，僅相差一無關(guān)緊要的常數(shù)，而電位的梯度E是唯一的。3、若給定某些導(dǎo)體表面的電位值，及其它導(dǎo)體表面(導(dǎo)體表面為等位面)的電荷量，此時(shí)由邊值問題所解得的電位函數(shù)為唯一。靜電場的唯一性定理及其應(yīng)用52、導(dǎo)體表面為等位面，給定各導(dǎo)體表面的電荷量，此時(shí)由邊值問題由唯一性定理可獲得的重要概念：

1.明確哪些條件可以完全而且唯一地確定靜電場的解，從而使我們在求解靜電場問題時(shí)能正確地提出邊界條件。在處理實(shí)際問題時(shí)，就能根據(jù)所提條件判明問題是否有解如何正確提供條件才能有解。2.在許多實(shí)際問題中，往往不能對泊松方程或拉普拉斯方程直接求解，而要借助于其它解法。其它解法所得之解是否正確唯一，要看它是否滿足唯一性定理所要求滿足的條件來進(jìn)行判定。3.有許多實(shí)際問題，由于采用不同的方法求解，其解的形式可能不一樣，如果求得的解都滿足唯一性定理所要求滿足的條件，則可以判定這些不同形式的解彼此相等且均為有效。

說明靜電場的唯一性定理及其應(yīng)用6由唯一性定理可獲得的重要概念：說明靜電場的唯一性定理及其應(yīng)用

根據(jù)唯一性定理，若沿場的等位面任意一側(cè)，填充導(dǎo)電媒質(zhì)，則等位面另側(cè)的電場保持不變。兩平行輸電線的電場，若沿場中任一等位面k之一側(cè)(內(nèi)或外側(cè))填充導(dǎo)電媒質(zhì)，則導(dǎo)電媒質(zhì)以外之另一側(cè)，其電場不變。二、唯一性定理的應(yīng)用——等位面法靜電場的唯一性定理及其應(yīng)用7根據(jù)唯一性定理，若沿場的等位面任意一側(cè)，填充導(dǎo)電媒例:

空氣中有半徑為R1的導(dǎo)體球，其電位為已知。試確定導(dǎo)體球外距球心R>R1區(qū)域的電場強(qiáng)度。解：設(shè)導(dǎo)體帶電荷8例:空氣中有半徑為R1的導(dǎo)體球，其電位為已知。試確定導(dǎo)體若R＝R2導(dǎo)體球帶有同樣的電荷電場的分布完全一樣，這就是等位體法唯一性定理應(yīng)用的一個(gè)例證9若R＝R2導(dǎo)體球帶有同樣的電荷電場的分布完全一樣，這就是等位1.它保持了另一側(cè)場的邊界形狀及介質(zhì)分布不變，且對另一側(cè)場而言，邊界仍為等位面。填充導(dǎo)電媒質(zhì)后，邊界上的總電荷量等于填充導(dǎo)電媒質(zhì)前邊界上所穿過的總電通量，即邊界條件沒有變化。2.它保持了另一側(cè)場的介質(zhì)及電荷分布不變。因而根據(jù)唯一性定理，另一側(cè)的場沒有變化。由于這一方法是沿等位面填充介質(zhì)，因而稱之為等位面法。靜電場的唯一性定理及其應(yīng)用等位面法的實(shí)質(zhì)：101.它保持了另一側(cè)場的邊界形狀及介質(zhì)分布不變，且對另一側(cè)例2-1

靜電場唯一性定理在解靜電屏蔽現(xiàn)象中的應(yīng)用。解靜電屏蔽現(xiàn)象：(1)接地的封閉導(dǎo)體殼內(nèi)的電荷不影響殼外的電場；(2)封閉導(dǎo)體殼無論它是否接地，則殼內(nèi)的電場不受殼外電荷的影響。一種情形：設(shè)封閉導(dǎo)體殼的外表面為S1，對于殼外區(qū)域而言，它是一個(gè)邊界面。無論殼內(nèi)電荷q1在數(shù)量上增減或作位置上的移動(dòng)，由于導(dǎo)體殼接地，恒有，始終沒有改變殼外區(qū)域邊界面上的邊界條件。因此在這種情況下，殼內(nèi)的電荷不影響殼外的電場。靜電場的唯一性定理及其應(yīng)用11例2-1靜電場唯一性定理在解靜電屏蔽現(xiàn)象中的應(yīng)用。一種

第二種情形：設(shè)封閉導(dǎo)體殼的內(nèi)表面為S2，對于殼內(nèi)區(qū)域而言它是一個(gè)邊界面。首先，S2是一個(gè)等位面。其次，如在殼內(nèi)緊貼S2作一高斯面S，則有以S2作為導(dǎo)體殼內(nèi)電場的一個(gè)邊界面，通過它的電通量僅僅決定于導(dǎo)體殼內(nèi)的電荷，而與殼外的電荷分布是無關(guān)的。根據(jù)唯一性定理，當(dāng)導(dǎo)體殼內(nèi)帶電導(dǎo)體都是給定電荷量時(shí)，電位函數(shù)可以相差一個(gè)常數(shù)，但是電場強(qiáng)度是唯一確定的。它不受導(dǎo)體殼外電荷q2的影響。有時(shí)甚至殼內(nèi)的電位函數(shù)也是唯一確定的。（電位移矢量

的通量為q1）12第二種情形：設(shè)封閉導(dǎo)體殼的內(nèi)表面為S2，對于殼內(nèi)區(qū)域而言它例:

一點(diǎn)電荷位于兩種介質(zhì)的交界面，試確定上下兩部分的電位。解：試探法

試探解2、介質(zhì)的交界面3、作一高斯面球坐標(biāo)13例:一點(diǎn)電荷位于兩種介質(zhì)的交界面，試確定上下兩部分的電位1414設(shè)介質(zhì)電容率為ε0的空間有兩無限長平行電軸，兩電軸所帶有的電荷線密度分別為§2-2平行雙電軸法一、平行雙電軸電場

由高斯定理可得兩電軸分別產(chǎn)生的電場強(qiáng)度表達(dá)式為平行雙電軸電場是一個(gè)平行平面場，在垂直于電軸的各個(gè)平面上，場有完全相同的分布圖形平行雙電軸法15設(shè)介質(zhì)電容率為ε0的空間有兩無限長平行電軸，兩電軸所帶有的電選取坐標(biāo)軸的原點(diǎn)o為零電位點(diǎn)，點(diǎn)P電位為由疊加原理，點(diǎn)P的電位為平行雙電軸法16選取坐標(biāo)軸的原點(diǎn)o為零電位點(diǎn)，點(diǎn)P電位為由疊加原理，點(diǎn)P等位線的分布規(guī)律

在雙電軸的電場中，等位面是一組偏心的圓柱族面平行雙電軸法17等位線的分布規(guī)律在雙電軸的電場中，等位面是一組偏心某個(gè)等位圓之半徑為R0等位圓圓心至中性面距離為x0電軸至中性面的距離為D/2在等位圓上選擇特殊點(diǎn)A及BR2/R1=R2′/R1′=K(常數(shù))等位面與電軸之間的關(guān)系平行雙電軸法18某個(gè)等位圓之半徑為R0等位面與電軸之間的關(guān)系平行雙電可知：

1)若已知電軸位置，選取任意點(diǎn)x0為圓心，即可作出以x0為圓心R0為半徑的等位圓。

2)若已知電軸位置，給定任意的R0，亦可作出此等位圓圓心所在處x0的等位圓。

3)若已知R0，及圓心的位置x0，亦可推出電軸所在的位置，亦即推求出距離D平行雙電軸法19可知：

1)若已知電軸位置，選取任意點(diǎn)x0為圓心，

具有相同半徑R0的平行雙輸電線。設(shè)每根導(dǎo)線單位長度上所帶的電荷量分別為+τ及-τ，求電場分布?？烧J(rèn)為導(dǎo)線的圓截面是沿某待求的雙電軸所形成的等位圓填充導(dǎo)電媒質(zhì)所得，根據(jù)等位面法，此問題轉(zhuǎn)化為求解雙電軸的電場

二、平行雙電軸法1、相同半徑的平行雙輸電線雙電軸的位置：平行雙電軸法20具有相同半徑R0的平行雙輸電線。設(shè)每根導(dǎo)線單位長度得2、對于相互平行但半徑不同的雙輸電線半徑R0′與R0″以及兩圓柱體軸心距離d已知，得解得x0′及x0″可求兩電軸的距離平行雙電軸法21得2、對于相互平行但半徑不同的雙輸電線解得x0′及x0″可

3、兩偏心圓柱套筒的電場已知兩圓柱套筒半徑R0′、R0″以及圓柱軸心間距離d從而可求兩電軸的距離D

電軸法在求解雙輸電線電容及偏心圓柱套筒等的電容問題中被廣泛運(yùn)用平行雙電軸法223、兩偏心圓柱套筒的電場從而可求兩電軸的距離D例2-2

空中兩根互相平行、無限長的導(dǎo)體圓柱上帶有等量異號(hào)電荷。設(shè)單位長度的電量τ=10-8C/m，圓柱的半徑各為R0′=15cm,R0″=20cm，兩圓柱的幾何軸線間距離為d=50cm。試求電軸的位置、零位(中性)面的位置。解:

可確定中性面到半徑為R0′的圓柱面的幾何中心的距離為平行雙電軸法23例2-2空中兩根互相平行、無限長的導(dǎo)體圓柱上帶有等量異號(hào)電軸到中性面的距離為中性面到半徑R0″的圓柱面的幾何中心的距離為平行雙電軸法24電軸到中性面的距離為中性面到半徑R0″的圓柱面的幾何中心的距平行雙電軸法25平行雙電軸法25平行雙電軸法26平行雙電軸法26外法線方向均相反外法線方向均一致外法線方向一個(gè)相反一個(gè)一致27外法線方向均相反外法線方向均一致外法線方向一個(gè)相反一個(gè)一致2基于唯一性定理的鏡象法

以場域外虛擬的集中電荷代替場域邊界上分布電荷的作用，使場的邊界條件保持不變，從而保持被研究的場不變由于虛擬電荷往往與場域內(nèi)的集中電荷互為鏡象(平面鏡象或曲面鏡象)，故稱為鏡象法?！?-3無限大導(dǎo)電平面的鏡象法

一、點(diǎn)電荷對無限大導(dǎo)電平面的鏡象無限大導(dǎo)電平面的鏡象法28基于唯一性定理的鏡象法§2-3無限大導(dǎo)對于場域邊界條件而言，無限大地平面為等位面，其上總電荷(感應(yīng)電荷)已知為-q。設(shè)想將無限大地平面撤去，而將下半場域亦充以電容率為ε0的媒質(zhì)，且以地平面為鏡象，在電荷q的鏡象位置，放置一點(diǎn)電荷-q。對于上半場域，其內(nèi)部未作任何變更，邊界條件也沒有改變無限大導(dǎo)電平面的鏡象法無限大導(dǎo)電平面的鏡象法29對于場域邊界條件而言，無限大地平面為等位面，其上總電荷導(dǎo)電平面鏡象問題的特點(diǎn)：1、鏡象電荷必在被研究場域邊界外，2、所處位置與場源電荷以平面對稱。3、鏡象電荷的電量與邊界面有總電荷量相等，與場源電荷量大小相等、符號(hào)相反，而被研究場域邊界電位值為零。無限大導(dǎo)電平面的鏡象法30導(dǎo)電平面鏡象問題的特點(diǎn)：無限大導(dǎo)電平面的鏡象法30二、無限大導(dǎo)電平面鏡象法的應(yīng)用應(yīng)用1(a)直角區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)電荷(b)圖(a)的鏡象電荷應(yīng)用2(a)特殊角(2π/α偶數(shù))區(qū)域的點(diǎn)電荷(b)圖(a)的鏡象電荷無限大導(dǎo)電平面的鏡象法31二、無限大導(dǎo)電平面鏡象法的應(yīng)用應(yīng)用1應(yīng)用2無限大導(dǎo)電平面的鏡應(yīng)用3(a)大地上方h處平行放置長直圓柱導(dǎo)體；(b)圖(a)的鏡象無限大導(dǎo)電平面的鏡象法32應(yīng)用3無限大導(dǎo)電平面的鏡象法32例2-3

帶電的云與地面之間形成一均勻向下的電場E0。將導(dǎo)致高度為l處的高壓輸電線A的電位升高。若在A的上方又架設(shè)有架空地線G，半徑為r0，G是經(jīng)過支架接地的，則在架空地線G上感應(yīng)出負(fù)電荷，地面上感應(yīng)出正電荷。將這些感應(yīng)電荷的電場疊加到大氣電場以后可以降低A處的電位。工程上采用這種方法使得高壓輸電線免受雷擊，試求由于架空地線的屏蔽作用而導(dǎo)致A處電位的變化。無限大導(dǎo)電平面的鏡象法33例2-3帶電的云與地面之間形成一均勻向下的電場E0。將導(dǎo)解：設(shè)架空地線單位長度上的感應(yīng)負(fù)電荷為-τ。地面上的感應(yīng)正電荷可視為-τ感應(yīng)所致，它在大氣中產(chǎn)生的電場可以用-τ的鏡象電荷+τ來代替。因?yàn)榧芸盏鼐€的半徑r0較之它與鏡象之間的距離2h小得多，可以認(rèn)為電軸與幾何軸線重合。架空地線的電位為故得因?yàn)榻拥卦诖髿怆妶鲋屑芸盏鼐€的電位為無限大導(dǎo)電平面的鏡象法34解：設(shè)架空地線單位長度上的感應(yīng)負(fù)電荷為-τ。地面上的感應(yīng)正電高壓輸電線A處的電位由原來的降低為

架空地線的重要作用，是使其自身表面造成很大的場強(qiáng)，其值可達(dá)大氣電場場強(qiáng)的幾十倍至幾百倍，因此當(dāng)大氣的場強(qiáng)很高發(fā)生雷電時(shí)，可以引導(dǎo)輸電線附近的閃電偏向于架空地線，從而保護(hù)高壓輸電線免受直接的雷擊。若h=11m，l=10m，r0=0.004m，得相對值為無限大導(dǎo)電平面的鏡象法35高壓輸電線A處的電位由原來的§2-4球形導(dǎo)體面的鏡象

點(diǎn)電荷q的電場中，置有一半徑為R的接地導(dǎo)體球。一、接地導(dǎo)體球?qū)c(diǎn)電荷的鏡象

球心至點(diǎn)電荷的距離為d。在點(diǎn)電荷的電場中，引入一中性導(dǎo)體球后，球面兩側(cè)將分別出現(xiàn)等量而異號(hào)的感應(yīng)電荷+q′與-q′。其數(shù)值必較電荷q為小，即q>q′。球形導(dǎo)體面的鏡象36§2-4球形導(dǎo)體面的鏡象

導(dǎo)體球與地聯(lián)接，則球面所感應(yīng)的正電荷將受電場力的作用而流入地中，球體凈剩分布于其表面的感應(yīng)負(fù)電荷，球面電位為零。按鏡象法原理將導(dǎo)體球撤去，使整個(gè)空間充以電容率為ε0的同一媒質(zhì)，并在距球心b處，置一虛擬的集中鏡象電荷-q′，來代替球面分布電荷的作用。若此時(shí)仍能保持球面的電位為零，則球面以外的電場，可視為點(diǎn)電荷q及-q′所共同產(chǎn)生的電場，運(yùn)用點(diǎn)電荷場強(qiáng)公式及疊加原理，即可求解。球形導(dǎo)體面的鏡象37導(dǎo)體球與地聯(lián)接，則球面所感應(yīng)的正電荷將受電場力的作

設(shè)球面電位為零，因而在截取的平面上，對于以R為半徑的圓周上的任意點(diǎn)P，其電位表達(dá)式為

點(diǎn)電荷q為確定值，q′亦必為確定值

在圓上選取兩特殊點(diǎn)C及D(k常數(shù))解上式得球形導(dǎo)體面的鏡象38設(shè)球面電位為零，因而在截取的平面上，對于以R為半在求得q′與b值之后，就可解決求解導(dǎo)體球外部電場的問題分析：（1）當(dāng)距離d一定時(shí)導(dǎo)體球半徑R愈大則鏡象電荷q′亦愈大。這是因?yàn)榘霃接髸r(shí)，球面愈大，其離點(diǎn)電荷q愈近，所受電場力愈大，因而球面上感應(yīng)電荷亦愈多。同理，當(dāng)R一定時(shí)d愈大，球面離點(diǎn)電荷距離愈遠(yuǎn)，球面所受電場力亦愈小，故球面感應(yīng)電荷愈小。球形導(dǎo)體面的鏡象39在求得q′與b值之后，就可解決求解導(dǎo)體球外部電場的問題分析：（2）當(dāng)導(dǎo)體球半徑愈大時(shí)，靠近點(diǎn)電荷q一側(cè)的導(dǎo)體球面其所感應(yīng)的電荷愈密集，因而與球面感應(yīng)電荷相等效的鏡象電荷q′的位置將愈靠近點(diǎn)電荷q之一側(cè)，亦即b愈大；當(dāng)點(diǎn)電荷q遠(yuǎn)離導(dǎo)體球時(shí)，球面感應(yīng)電荷的密集程度減少，整個(gè)球面上感應(yīng)電荷面密度愈來愈均勻，因而鏡象電荷將愈靠近導(dǎo)體球心，即b隨距離d的增大而減小。（3）若運(yùn)用等位面法考慮上述問題時(shí)，球外電場可以認(rèn)為是沿等位球面填充導(dǎo)電媒質(zhì)所得。當(dāng)沿等位球面填充導(dǎo)電媒質(zhì)后，電荷q′即轉(zhuǎn)移至導(dǎo)體球表面，此時(shí)導(dǎo)體球外側(cè)的電場仍保持不變，亦即球外的電場，可以視為兩點(diǎn)電荷(-q′及q)的電場進(jìn)行求解。球形導(dǎo)體面的鏡象40（2）當(dāng)導(dǎo)體球半徑愈大時(shí)，靠近點(diǎn)電荷q一側(cè)的導(dǎo)體球面其所感應(yīng)若引入點(diǎn)電荷場中的導(dǎo)體球不接地，可知導(dǎo)體表面的邊界條件:ⅰ)球面為等位面；ⅱ)因?qū)w球原不帶電，引入電場后，其所感應(yīng)的正電荷量與負(fù)電荷量相等，故球面總電荷量為零。

在球心o處放置一點(diǎn)電荷q′，則能滿足上述的邊界條件導(dǎo)體球外的電場，即可看為由點(diǎn)電荷q、q′及-q′三者所共同激發(fā)的電場。二、不接地導(dǎo)體球?qū)c(diǎn)電荷的鏡象球形導(dǎo)體面的鏡象41若引入點(diǎn)電荷場中的導(dǎo)體球不接地，可知導(dǎo)體表面的邊界條件:二、例2-4

空氣中有一內(nèi)外半徑分別為R11和R22的導(dǎo)體球殼原不帶電，其內(nèi)腔介質(zhì)為ε0，若于殼內(nèi)距球心為b處放置點(diǎn)電荷q，求球殼內(nèi)外的電場強(qiáng)度和電位。解：點(diǎn)電荷q在球殼的內(nèi)、外表面上感應(yīng)電荷分別為-q和q?？梢宰C明球殼外表面的電荷q是均勻分布的。殼外的電場完全由這些均勻分布的感應(yīng)電荷所激發(fā)殼外的電場強(qiáng)度：電位為：

(R≥R22)42例2-4空氣中有一內(nèi)外半徑分別為R11和R22的導(dǎo)體球殼球殼內(nèi)表面作不均勻分布的感應(yīng)電荷-q和點(diǎn)電荷q只在球殼內(nèi)部激發(fā)電場，殼內(nèi)的電場使得半徑為R11的內(nèi)球面為等位面和進(jìn)入內(nèi)球面的電位移的通量為q。仿照求解導(dǎo)體球外電場時(shí)在球內(nèi)設(shè)置鏡象電荷的方法求解球面內(nèi)的電場，在球面外設(shè)置鏡象電荷-q′，如圖(b)所示。比較43球殼內(nèi)表面作不均勻分布的感應(yīng)電荷-q和點(diǎn)電荷q只在點(diǎn)電荷-q′和q使得半徑為R11的球面電位為零，滿足等位面的要求，并且沒有改變進(jìn)入內(nèi)球面的電位移的通量。所以球面外鏡象電荷-q′可以代替分布的感應(yīng)電荷，其在球面內(nèi)任一點(diǎn)P所產(chǎn)生的電場強(qiáng)度為R1、R2分別是點(diǎn)電荷q、-q′到場點(diǎn)P的距離

為相應(yīng)的單位矢徑球內(nèi)點(diǎn)P處的電位應(yīng)由此兩點(diǎn)電荷所產(chǎn)生的電位，及導(dǎo)體球殼電位疊加而成。44點(diǎn)電荷-q′和q使得半徑為R11的球面電位為零§2-5無限大介質(zhì)交界平面的鏡象

有電容率分別為ε1及ε2的媒質(zhì)區(qū)域區(qū)域交界處為無限大平面在媒質(zhì)ε1中，離界面高度h處，置一點(diǎn)電荷q

如何求此時(shí)上、下半無限大場域的電場？

介質(zhì)交界面外的點(diǎn)電荷介質(zhì)交界面上的極化電荷45§2-5無限大介質(zhì)交界平面的鏡象交界面上的束縛電荷和原電荷用q″來代替交界面上束縛電荷用鏡象電荷q′來代替上半無限大場域的電場下半無限大場域的電場無限大介質(zhì)交界平面的鏡象46交界面上的束縛電荷和原電荷用q″來代替交界面上束縛電荷用鏡象根據(jù)兩種介質(zhì)邊界條件：得

鏡象電荷有惟一確定的值上半場域與下半場域的電場ε1＝ε2時(shí)，q′=0，q″=q，整場域變?yōu)榫鶆蛎劫|(zhì)場域，束縛電荷將不復(fù)存在。無限大介質(zhì)交界平面的鏡象47根據(jù)兩種介質(zhì)邊界條件：得鏡象電荷有惟一確定的平行于介質(zhì)交界面的線分布電荷

線分布電荷在兩種不同介質(zhì)中的電場推廣：無限大介質(zhì)平面上，置有一帶電長直導(dǎo)線的電場，即可運(yùn)用上述方法求解。無限大介質(zhì)交界平面的鏡象48平行于介質(zhì)交界面的線分布電荷線分布電荷在兩種不同介質(zhì)中的電解:可將導(dǎo)線表面電荷視為集中到幾何軸線上的線電荷。求水中電場時(shí)，將上半空間的媒質(zhì)換為80ε0，而導(dǎo)線的電荷τ連同交界面上分布的極化電荷可等效為例2-5離河面高度為h處，有一輸電線經(jīng)過，導(dǎo)線單位長度的電荷量τ，且導(dǎo)線半徑Rh。設(shè)河水的電容率為80ε0，求水中的電場強(qiáng)度。無限大介質(zhì)交界平面的鏡象49解:可將導(dǎo)線表面電荷視為集中到幾何軸線上的線電荷。求水中電場故水中任一點(diǎn)P(x，y)的電場強(qiáng)度無限大介質(zhì)交界平面的鏡象50故水中任一點(diǎn)P(x，y)的電場強(qiáng)度無限大介質(zhì)交界平面的鏡象5

(2)孤立導(dǎo)體電容的定義：當(dāng)空間僅存有一孤立導(dǎo)體時(shí)，可設(shè)另一導(dǎo)體在無限遠(yuǎn)處，因而孤立導(dǎo)體的電容即是導(dǎo)體所帶的電量與其電位之比。即

一、電容

(1)雙導(dǎo)體電容的定義：設(shè)空間僅有兩導(dǎo)體，若兩導(dǎo)體分別帶有等值而異號(hào)的電荷，此電荷的量值q與兩導(dǎo)體間電壓U之比，定義為兩導(dǎo)體間的電容，通常以C表示

§2-6電容與電容的計(jì)算

51(2)孤立導(dǎo)體電容的定義：當(dāng)空間僅存有一孤立導(dǎo)孤立導(dǎo)體球的電容計(jì)算公式在線性媒質(zhì)中，兩導(dǎo)體間的電容僅決定于兩導(dǎo)體本身幾何尺寸、相互位置和空間媒質(zhì)的電容率的量，而與兩導(dǎo)體所帶的電量以及兩導(dǎo)體間電壓的數(shù)值無關(guān)。1、可先賦予兩導(dǎo)體以等值而異號(hào)的電量q，再求在其作用下，兩導(dǎo)體間的電壓U，然后按定義式求得兩導(dǎo)體間電容C。

2、也可先賦予兩導(dǎo)體以電壓U，求得每導(dǎo)體所具有的電量q后得兩導(dǎo)體間電容C。二、電容的求解方法

52孤立導(dǎo)體球的電容計(jì)算公式在線性媒質(zhì)中，兩導(dǎo)體間的電容僅決定于例：兩間距為d板面積為A的平行導(dǎo)電板構(gòu)成一平板電容器，上面板電荷為＋Q，下面板為－Q，問電容是多少？53例：兩間距為d板面積為A的平行導(dǎo)電板構(gòu)成一平板電容器，上面板球形電容器的半徑比R2/R1≥101例2-6：球形電容器的內(nèi)球外半徑為R1，外球的內(nèi)半徑為R2。介質(zhì)的電容率為ε0。要使得這一電容器的電容與空氣中半徑為R1的孤立導(dǎo)體球的電容之比不超過后者的1%，試確定球形電容器的內(nèi)外半徑比(R2/R1)。解設(shè)球形電容器的內(nèi)導(dǎo)體球的電荷為q，則(R1<R<R2)54球形電容器的半徑比圓柱形電容器內(nèi)外圓筒間電壓為設(shè)有內(nèi)外半徑分別為R1、R3的同軸圓柱形電容器，其中配置有電容率分別為ε1及ε2的雙層媒質(zhì)，媒質(zhì)分界面半徑為R2三、雙層媒質(zhì)圓柱形電容器的電容55圓柱形電容器內(nèi)外圓筒間電壓為設(shè)有內(nèi)外半徑分別為觀察可以認(rèn)為，雙層媒質(zhì)圓柱形電容器，可視為兩個(gè)單一媒質(zhì)圓柱形電容器串聯(lián)而成。

按電容定義，得單位長度雙層媒質(zhì)圓柱形電容器的電容為填充兩層不同媒質(zhì)的圓柱形電容器雙層不同媒質(zhì)的圓柱形電容器內(nèi)的電場56觀察可以認(rèn)為，雙層媒質(zhì)圓柱形電容器，可視為兩個(gè)單由于R1＜R2，因而應(yīng)使內(nèi)層絕緣媒質(zhì)的電容率較大，而外層絕緣媒質(zhì)的電容率較小，這樣每一絕緣層所承受的電壓將比較均勻，而且絕緣材料也使用得最為有效。高壓電纜與高壓套管的有關(guān)設(shè)計(jì)中都采用這一原理。電容率為ε1的媒質(zhì)中，最大電場強(qiáng)度發(fā)生在導(dǎo)體表面處電容率ε2的媒質(zhì)中，最大電場強(qiáng)度發(fā)生在兩媒質(zhì)交界處相等57由于R1＜R2，因而應(yīng)使內(nèi)層絕緣媒質(zhì)的電容率較大，而外層絕緣§2-7雙輸電線的電容一、不考慮地面影響即忽略大地的鏡象效應(yīng)的情況下雙輸電線之間的電容求解兩導(dǎo)體間的電容實(shí)際上主要是求解兩導(dǎo)體的電場問題,給定兩輸電線電荷的線密度分別為+τ及-τ1、兩線間距離遠(yuǎn)大于導(dǎo)線半徑，視導(dǎo)線的幾何中心軸與導(dǎo)線的等效電軸重合雙輸電線的電容58§2-7雙輸電線的電容導(dǎo)線A與B表面處點(diǎn)1及點(diǎn)2的電位為單位長度兩導(dǎo)線間的電容則上式可簡化為雙輸電線的電容59導(dǎo)線A與B表面處點(diǎn)1及點(diǎn)2的電位為單位長度兩導(dǎo)線間的電容單位長度兩圓柱導(dǎo)體間電容2、兩平行圓柱導(dǎo)體間的電容，考慮幾何尺寸的影響兩柱體間電壓雙輸電線的電容60單位長度兩圓柱導(dǎo)體間電容2、兩平行圓柱導(dǎo)體間的電容，考慮幾例2-7兩根平行細(xì)長導(dǎo)線位于與地面平行的平面內(nèi)，導(dǎo)線半徑為R0，軸線間距離為d。當(dāng)導(dǎo)線至地面的高度不低于多大值時(shí)，忽略地面的影響，導(dǎo)線電容計(jì)算值的誤差才不致超過1%。解：單位長度上分別帶電荷+τ，-τ

考慮地面的影響，則對應(yīng)地設(shè)置鏡象A′之電荷為-τ，鏡象B′之電荷為+τ。任一點(diǎn)P的電位為雙輸電線的電容61例2-7兩根平行細(xì)長導(dǎo)線位于與地面平行的平面內(nèi)，導(dǎo)線半徑兩導(dǎo)線間電壓為

因?qū)Ь€很細(xì)，可視導(dǎo)線的幾何軸與電軸重合，故得導(dǎo)體A、B的電位分別為考慮地面影響單位長度兩導(dǎo)線間的電容雙輸電線的電容62兩導(dǎo)線間電壓為因?qū)Ь€很細(xì)，可視導(dǎo)線的幾何軸與電軸重若導(dǎo)線間距d=1m，導(dǎo)線之半徑R0＝4mm時(shí)，h＞1.46m。若要求兩種情況下，電容值的誤差不超過1%，即比較，可見考慮地面影響時(shí)，導(dǎo)線間電容C0′>C0，在上式中，令h→∞，同樣可以得到忽略地面影響的電容計(jì)算式雙輸電線的電容63若導(dǎo)線間距d=1m，導(dǎo)線之半徑R0＝4mm時(shí)，h＞1.46m在實(shí)際問題中常常要遇到帶電的多導(dǎo)體系統(tǒng)，此時(shí)每兩帶電導(dǎo)體間均有所謂部分電容存在。因?yàn)?，多?dǎo)體系統(tǒng)任意兩個(gè)導(dǎo)體間的電壓不僅要受到它們自身電荷的影響，還要受到其余導(dǎo)體電荷的影響。這時(shí)，系統(tǒng)導(dǎo)體間的電壓與導(dǎo)體電荷的關(guān)系，一般不能僅用一個(gè)電容來表示，需要將電容的概念加以擴(kuò)充，引入部分電容的概念§2-8多導(dǎo)體系統(tǒng)的部分電容

一、部分電容的概念的引入多導(dǎo)體系統(tǒng)的部分電容64在實(shí)際問題中常常要遇到帶電的多導(dǎo)體系統(tǒng)，此時(shí)每獨(dú)立導(dǎo)體系統(tǒng)（靜電獨(dú)立系統(tǒng)）

一個(gè)系統(tǒng)一切電的聯(lián)系均在系統(tǒng)內(nèi)，與外系統(tǒng)無關(guān)。每個(gè)導(dǎo)體的電位僅與本系統(tǒng)內(nèi)的帶點(diǎn)導(dǎo)體的電荷有關(guān)，或者說電場分布只與本系統(tǒng)內(nèi)各帶電導(dǎo)體的形狀、尺寸、相互位置及電介質(zhì)的分布有關(guān)。

所有電通量密度（D）全部從帶電體出發(fā)，也全部終止與系統(tǒng)內(nèi)。多導(dǎo)體系統(tǒng)的部分電容65獨(dú)立導(dǎo)體系統(tǒng)（靜電獨(dú)立系統(tǒng)）多導(dǎo)體系統(tǒng)的部分電

例：外殼接地的三芯電纜其中:C11、C22、C33分別為導(dǎo)體1、2、3對地的自部分電容

C12為導(dǎo)體1、2間的互部分電容

C23為導(dǎo)體2、3間的互部分電容，

C31則為導(dǎo)體3、1間的互部分電容。多導(dǎo)體系統(tǒng)的部分電容66例：外殼接地的三芯電纜多導(dǎo)體系統(tǒng)的部分電容66例：受大地影響的雙輸電線系統(tǒng)是一個(gè)多導(dǎo)體系統(tǒng)，它們的互部分電容和自部分電容表示在圖中例：考慮大地影響時(shí)，三相輸電線的部分電容情形。在帶電的多導(dǎo)體系統(tǒng)中，每一導(dǎo)體的電位與所有帶電導(dǎo)體的電荷都是相關(guān)的。多導(dǎo)體系統(tǒng)的部分電容67例：受大地影響的雙輸電線系統(tǒng)是一個(gè)多導(dǎo)體系統(tǒng)，它們的互部》導(dǎo)體1電荷量為q1，其它導(dǎo)體不帶電荷時(shí)》導(dǎo)體1上的電荷量由q1增加至Ｋq1，則導(dǎo)體1上各處的電荷密度，均將同時(shí)增加K倍》導(dǎo)體所帶的總電荷量與其表面電荷密度間存在著線性關(guān)系。二、多導(dǎo)體系統(tǒng)中導(dǎo)體電荷與電位的線性關(guān)系給定導(dǎo)體1的電荷量在導(dǎo)體2、3上感應(yīng)的電荷感應(yīng)電荷量與引起感應(yīng)的電荷成比例至Ｋq1電荷密度，均將同時(shí)增加K倍多導(dǎo)體系統(tǒng)的部分電容68》導(dǎo)體1電荷量為q1，其它導(dǎo)體不帶電荷時(shí)二、多導(dǎo)體系統(tǒng)中導(dǎo)體》運(yùn)用疊加原理可知：場中所有電荷分布處，當(dāng)各點(diǎn)電荷面密度增加K倍時(shí)，場中所有點(diǎn)的電位(包括導(dǎo)體表面點(diǎn))亦增加K倍》這就說明：其它導(dǎo)體所帶電荷量為零時(shí)，當(dāng)導(dǎo)體1的電荷(或電位)增加K倍時(shí)，場中所有點(diǎn)的電位于(或電荷)亦將增加K倍?！犯话愕恼f法是：在線性媒質(zhì)空間的多導(dǎo)體系統(tǒng)中，場中所有點(diǎn)(包括導(dǎo)體表面點(diǎn))的電位，與每一導(dǎo)體的電荷量間具有線性關(guān)系。多導(dǎo)體系統(tǒng)的部分電容69》運(yùn)用疊加原理可知：場中所有電荷分布處，當(dāng)各點(diǎn)電荷面密度增加設(shè)在電容率為ε的線性媒質(zhì)空間有1、2、3三個(gè)導(dǎo)體若給導(dǎo)體1以電荷q1，而第2、3兩導(dǎo)體不給電荷根據(jù)電位與電荷的線性關(guān)系，場中點(diǎn)A的電位根據(jù)疊加原理，此時(shí)場中點(diǎn)A的電位三、多導(dǎo)體系統(tǒng)中的電位系數(shù)為導(dǎo)體1對點(diǎn)A的電位系數(shù)，電位系數(shù)的單位為(V/C)

分別為導(dǎo)體2及導(dǎo)體3對點(diǎn)A的電位系數(shù)同理當(dāng)導(dǎo)體2、3分別帶有電荷q2、q3時(shí)其在空間點(diǎn)A所產(chǎn)生的電位為多導(dǎo)體系統(tǒng)的部分電容70設(shè)在電容率為ε的線性媒質(zhì)空間有1、2、3三個(gè)導(dǎo)

如將所觀察的點(diǎn)A，分別選取在導(dǎo)體1、2、3上，則得三導(dǎo)體的電位線性媒質(zhì)空間中各導(dǎo)體的電位與各導(dǎo)體電荷間的線性關(guān)系具有相同下標(biāo)的電位系數(shù)、、為導(dǎo)體的自電位系數(shù)具有不同下標(biāo)的電位系數(shù)、、、、、為兩導(dǎo)體的互電位系數(shù)它們的物理意義：多導(dǎo)體系統(tǒng)的部分電容71如將所觀察的點(diǎn)A，分別選取在導(dǎo)體1、2、3上，則得三——僅給導(dǎo)體1單位電荷時(shí)導(dǎo)體1本身所具有的電位數(shù)值。此時(shí)若以無限遠(yuǎn)點(diǎn)為零電位點(diǎn)當(dāng)導(dǎo)體1所給電荷為正時(shí)，其自身的電位應(yīng)為正，為正當(dāng)導(dǎo)體1所給電荷為負(fù)時(shí)，其自身的電位應(yīng)為負(fù)，仍為正，故知自電位系數(shù)恒為正。、同理

——僅給導(dǎo)體1單位電荷時(shí)，導(dǎo)體2上所具有的電位數(shù)值。當(dāng)導(dǎo)體1所給電荷為正時(shí)，導(dǎo)體2所具有的電位為正當(dāng)導(dǎo)體上1所給電荷為負(fù)時(shí)，導(dǎo)體2所具有的電位亦為負(fù)故互電位系數(shù)亦恒為正。同時(shí)可以推及其它具有不同下標(biāo)電位系數(shù)的物理意義，及其恒為正的屬性。多導(dǎo)體系統(tǒng)的部分電容72——僅給導(dǎo)體1單位電荷時(shí)導(dǎo)體1本身所具有的

無論是自電位系數(shù)或互電位系數(shù)，它們的數(shù)值將決定于每一導(dǎo)體的幾何形狀、導(dǎo)體與導(dǎo)體間的相互位置以及空間媒質(zhì)電容率。無論是空間媒質(zhì)的改變，或是任一導(dǎo)體的形狀與位置的改變，都將影響所有電位系數(shù)的數(shù)值。多導(dǎo)體系統(tǒng)的部分電容73無論是自電位系數(shù)或互電位系數(shù)，它們的數(shù)值將決定于在實(shí)際問題中，常常已知多導(dǎo)體系統(tǒng)中各導(dǎo)體的電位，此時(shí)如果要求各導(dǎo)體的電荷四、多導(dǎo)體系統(tǒng)的靜電感應(yīng)系數(shù)多導(dǎo)體系統(tǒng)的部分電容74在實(shí)際問題中，常常已知多導(dǎo)體系統(tǒng)中各導(dǎo)體的電位

β11、β22、β33自靜電感應(yīng)系數(shù)

β12、β13、β21、β23、β31、β32互靜電感應(yīng)系數(shù)單位：(C/V)多導(dǎo)體系統(tǒng)的部分電容75β11、β22、β33自靜電感應(yīng)系數(shù)多導(dǎo)體系統(tǒng)的部分電容7導(dǎo)體1給定對地正電位，接地導(dǎo)體2、3上的感應(yīng)電荷β11——僅給導(dǎo)體1單位電位其余導(dǎo)體聯(lián)接并接地時(shí)，導(dǎo)體1上所具有的電荷值當(dāng)所給導(dǎo)體1的電位為正時(shí)，其上電荷亦為正,β11應(yīng)為正當(dāng)所給導(dǎo)體1的電位為負(fù)時(shí)，其上電荷亦為負(fù)，β11仍應(yīng)為正

β11恒為正導(dǎo)體1給定對地負(fù)電位，接地導(dǎo)體2、3上的感應(yīng)電荷多導(dǎo)體系統(tǒng)的部分電容76導(dǎo)體1給定對地正電位，接地導(dǎo)體2、3上的感應(yīng)電荷β11——僅同理，可推及其它自靜電感應(yīng)系數(shù)及互靜電感應(yīng)系數(shù)的正負(fù)屬性導(dǎo)體1給定對地正電位，接地導(dǎo)體2、3上的感應(yīng)電荷β21——僅給導(dǎo)體1以單位電位，其余導(dǎo)體聯(lián)接并接地時(shí)，導(dǎo)體2上所具有的電荷值導(dǎo)體1的電位為正時(shí)，導(dǎo)體2上所具有的電荷為負(fù)，故β21為負(fù)。導(dǎo)體1的電位為負(fù)時(shí)，導(dǎo)體2上所具有的電荷為正，β21仍應(yīng)為負(fù)，故β21恒為負(fù)導(dǎo)體1給定對地負(fù)電位，接地導(dǎo)體2、3上的感應(yīng)電荷77同理，可推及其它自靜電感應(yīng)系數(shù)及互靜電感應(yīng)系數(shù)的正負(fù)屬性導(dǎo)五、多導(dǎo)體系統(tǒng)的部分電容多導(dǎo)體系統(tǒng)的部分電容78五、多導(dǎo)體系統(tǒng)的部分電容多導(dǎo)體系統(tǒng)的部分電容78C11、C22、C33——導(dǎo)體的自部分電容各導(dǎo)體與參考導(dǎo)體間的部分電容

C12、C13、C23、C31、C32——相應(yīng)兩導(dǎo)體間的互部分電容互電位系數(shù)、互靜電感應(yīng)系數(shù)和互部分電容的雙下標(biāo)均可以互換電位系數(shù)、靜電感應(yīng)系數(shù)與部分電容只決定于體的幾何形狀與它們間相互位置以及空間媒質(zhì)的電容率，而與導(dǎo)體間電壓和導(dǎo)體所帶電壓量關(guān)多導(dǎo)體系統(tǒng)的部分電容79C11、C22、C33——導(dǎo)體的自部分電容互電位

C11——僅給導(dǎo)體1與地之間施以一單位電壓，而其它導(dǎo)體均與導(dǎo)體1相接時(shí)，導(dǎo)體1所具有的正電荷量，C11恒為正。C12——除導(dǎo)體2外，包括導(dǎo)體1在內(nèi)的其余所有導(dǎo)體相聯(lián)并接地，再于導(dǎo)體1、2之間施以單位電壓(即U12＝1V)時(shí)，導(dǎo)體1上所具有的正電荷量，C12為正，當(dāng)所施電壓U12為負(fù)時(shí)，導(dǎo)體1上的電荷亦同時(shí)為負(fù)，而C12仍為正。故C12亦恒為正。多導(dǎo)體系統(tǒng)的部分電容80C11——僅給導(dǎo)體1與地之間施以一單位電壓，而其它導(dǎo)體自部分電容C11在整個(gè)導(dǎo)體系統(tǒng)中所擁有的電荷量，亦只是導(dǎo)體1所具有的總電荷q1中與地相關(guān)聯(lián)的那一部分電荷量q10

互部分電容C12即是導(dǎo)體1、2之間所具有的那一部分電容，互部分電容C12在整個(gè)導(dǎo)體系統(tǒng)中所擁有的電荷量，亦只是導(dǎo)體1所具有的總電荷q1中，與導(dǎo)體2相關(guān)聯(lián)的那一部分電荷量q12自部分電容互部分電容的物理意義多導(dǎo)體系統(tǒng)的部分電容81自部分電容C11在整個(gè)導(dǎo)體系統(tǒng)中所擁有的電荷量，亦只是導(dǎo)體1

在引入部分電容概念之后，可以將帶電導(dǎo)體系統(tǒng)的電場問題，等效為形象化的靜電電容電路問題來進(jìn)行求解。靜電電路基爾霍夫第一定律為：聯(lián)結(jié)于任一節(jié)點(diǎn)的各電容器極板電量的代數(shù)和恒等于聯(lián)結(jié)這些極板所帶電量的代數(shù)和，即Σq=Σq0靜電電路基爾霍夫第二定律為：沿某閉合回路，各支路電壓的代數(shù)和恒為零，即ΣU=0多導(dǎo)體系統(tǒng)的部分電容82在引入部分電容概念之后，可以將帶電導(dǎo)體系統(tǒng)的電場問六、幾個(gè)概念1、等效電容

多導(dǎo)體系統(tǒng)，把兩個(gè)導(dǎo)體作為電容器的兩個(gè)極，設(shè)在這兩個(gè)極上的電荷分別為＋q、－q。則q/U定義為兩導(dǎo)體間的等效電容，亦稱工作電容。多導(dǎo)體系統(tǒng)的部分電容83六、幾個(gè)概念1、等效電容多導(dǎo)體系統(tǒng)，把兩個(gè)導(dǎo)體作2、自部分電容、導(dǎo)體對地電容兩導(dǎo)體系統(tǒng)－－導(dǎo)體1對地總電容的推導(dǎo)多導(dǎo)體系統(tǒng)的部分電容842、自部分電容、導(dǎo)體對地電容兩導(dǎo)體系統(tǒng)－－導(dǎo)體1對地總電容的3、互部分電容、導(dǎo)體1、2間總電容多導(dǎo)體系統(tǒng)的部分電容853、互部分電容、導(dǎo)體1、2間總電容多導(dǎo)體系統(tǒng)的部分電容85三芯電纜部分電容三芯電纜三相電容示意多導(dǎo)體系統(tǒng)的部分電容86三芯電纜部分電容三芯電纜三相電容示意多導(dǎo)體系統(tǒng)的部分電容86例2-8為了測定對稱的三芯電纜的各部分電容，將三根纜芯聯(lián)在一起，測得它們與電纜的鉛皮間的電容為0.051μF。又將兩根纜芯與鉛皮相聯(lián)，測得它們與另一纜芯間的電容為0.037μF。試計(jì)算：(1)電纜的各部分電容；(2)每一相的工作電容；(3)只用兩根纜芯時(shí)的工作電容。多導(dǎo)體系統(tǒng)的部分電容87例2-8為了測定對稱的三芯電纜的各部分電容，多導(dǎo)體系統(tǒng)解：電纜的三根纜芯由于幾何位置對稱有

C11＝C22＝C33，C12=C22=C31(1)三根纜芯相聯(lián)時(shí)，C11、C22、C33并聯(lián)的等效電容3C11＝0.051μF

C11＝0.017μF。兩根纜芯例如2、3與鉛皮相聯(lián)時(shí)，C11、C12、C31的并聯(lián)等效電容

C11+2×C12=0.037μF

C12=0.01μF多導(dǎo)體系統(tǒng)的部分電容88解：電纜的三根纜芯由于幾何位置對稱有多導(dǎo)體系統(tǒng)的部分電容8(2)一相的工作電容為各相間互部分電容構(gòu)成對稱三角形接法，運(yùn)用△-Y變換，等效電路如圖所示。一相的工作電容為多導(dǎo)體系統(tǒng)的部分電容89(2)一相的工作電容為各相間互部分電容構(gòu)成對稱三角形接法(3)只用兩根纜芯(例如1與2)時(shí)的工作電容將各自部分電容變換為等效三角形接法。

纜芯1、2間的工作電容可設(shè)想為電源接于1、2時(shí)的等效電容

可見纜芯1、2間的互部分電容僅是它們之間的電容的一部分，而工作電容是與導(dǎo)體系統(tǒng)的各部分電容有關(guān)的。多導(dǎo)體系統(tǒng)的部分電容90(3)只用兩根纜芯(例如1與2)時(shí)的工作電容將各自部分電容一、平板電容器的電場能量與電場能量密度

平行板電容器的電場能量密度計(jì)算式

平行板電容器的能量表達(dá)式

V:體積靜電場的能量，是以能量密度的形式，儲(chǔ)存于整個(gè)電場所遍及的空間，而不是附著于兩極板板面有電荷處,有電場處即有能量存在推廣到非均勻的電場中§2-9帶電導(dǎo)體系統(tǒng)的電場能量及其分布帶電導(dǎo)體系統(tǒng)的電場能量及其分布91一、平板電容器的電場能量與電場能量密度§2-9帶電導(dǎo)1.基于場的物質(zhì)性，一定的物質(zhì)狀態(tài)，對應(yīng)唯一的能量狀態(tài)，電場能量確定于場的最終分布狀態(tài)，而不隨其建立方式與過程之不同而不同。2.電場所處空間為線性媒質(zhì)，因而各導(dǎo)體電位與各導(dǎo)體電荷具有線性關(guān)系，電場各量(、

、

、)適用疊加原理。二、多個(gè)帶電導(dǎo)體系統(tǒng)的電場能量

3.不考慮電場建立過程中媒質(zhì)的熱損耗及諸如輻射等等所帶來的不可逆能量損耗。帶電導(dǎo)體系統(tǒng)的電場能量及其分布921.基于場的物質(zhì)性，一定的物質(zhì)狀態(tài)，對應(yīng)唯一的能量狀態(tài)，電場n個(gè)帶電導(dǎo)體

q1，q2，…，qk，…，qn，

，…，，…

電場建立過程：某一瞬間，第一導(dǎo)體上電荷為xq1

，同一瞬間，第2，第3，…第n個(gè)導(dǎo)體上的電荷亦分別：

xq2，xq3…，xqk，…xqn此時(shí)各導(dǎo)體相應(yīng)的電位則分別為

x，x，…，x，…，x

設(shè)電荷均由無限遠(yuǎn)處，按比例搬移至各導(dǎo)體，搬移過程中外力反抗電場力所做的功，均以電場能量的方式儲(chǔ)存于電場之中。帶電導(dǎo)體系統(tǒng)的電場能量及其分布93n個(gè)帶電導(dǎo)體帶電導(dǎo)體系統(tǒng)的電場能量及其分布9設(shè)任一瞬間，第一導(dǎo)體的電位為,此時(shí)其相應(yīng)的電荷量xq1

當(dāng)從無限遠(yuǎn)處將電荷增量d(xq1)移至導(dǎo)體1時(shí)，外力反抗電場力所作的功為xd(xq1)在此同一瞬間，當(dāng)?shù)?，…，第k，…，第n諸導(dǎo)體上有電荷增量d(xq2)，…，d(xqk)，…，d(xqn)反抗電場力作功分別為xd(xq2)，…，x(xqk)…xd(xqn)電場在此瞬間所獲得的電場能量帶電導(dǎo)體系統(tǒng)的電場能量及其分布94設(shè)任一瞬間，第一導(dǎo)體的電位為,此時(shí)其電場能量例2-9：真空中的孤立帶電導(dǎo)體球帶有電荷q，半徑為R1，計(jì)算電場儲(chǔ)存的能量。解:方法一：在R>R1空間里，電場強(qiáng)度電位移矢量方法二：導(dǎo)體球的電位帶電導(dǎo)體系統(tǒng)的電場能量及其分布95電場能量例2-9：真空中的孤立帶電導(dǎo)體球帶有電荷q，半徑為R§2-10虛位移法計(jì)算電場力

基于功能守恒原理，電場力作功與電場能量的變化，應(yīng)該平衡于外部電源所作的功：

電場力所作的功＋電場能量的變化=外部電源所作的功

虛位移法，即是基于功能轉(zhuǎn)換過程而建立的。假設(shè)帶電導(dǎo)體系統(tǒng)的電場中，某一被研究的帶電導(dǎo)體，在電場力的作用下，作一想象的微小位移，電場能量亦相應(yīng)存在想象的微小變化，根據(jù)功能守恒原理，即可求得該帶電導(dǎo)體所受的電場力。由于該方法中導(dǎo)體的位移是想象(虛構(gòu))的位移，故稱之為虛位移法。一、虛位移法虛位移法計(jì)算電場力96§2-10虛位移法計(jì)算電場力設(shè)想負(fù)極板在電場力fg的作用下，沿坐標(biāo)g方向移動(dòng)一微小距離dg，此時(shí)電場力所作的功為fgdg，平行板電容器相應(yīng)的電場能量變化量為dWe，外部電源所作的功為dW，則有二、平行板電容器電場力計(jì)算分兩種情況：虛位移法計(jì)算電場力97設(shè)想負(fù)極板在電場力fg的作用下，沿坐標(biāo)g方向移動(dòng)一1.平行板電容器不與外界電源(如電池)相連接（即保持極板電荷q不變）在電場力作用下所作的功恒為正(力與位移的方向總是一致的)，即fgdg＞0，故當(dāng)fg＜0時(shí)，dg＜0，即電場力企圖使負(fù)極板向正極板方向移動(dòng)。故所求極板的力為吸力。平行板電容器的能量表達(dá)式為電容器極板所受的電場力為虛位移法計(jì)算電場力981.平行板電容器不與外界電源(如電池)相連接（即保持極板電容器極板間電場能量的變化是由于電容器極板電荷增量dq所致

2．平行板電容器接有外界電源令負(fù)極板接地，其電位為零。正極板的電位為電源正極的電位。

設(shè)負(fù)極板在電場力fg作用下，位移一微小距離dg。由于兩極板與外部能源相聯(lián)，故電容兩極板電位保持不變。電容器電場能量的變化量為dq電源虛位移法計(jì)算電場力99電容器極板間電場能量的變化是2．平行板電容器接有外界電源此時(shí)電源所作的功為

dq平行板電容器的能量表達(dá)式為電容器極板所受的電場力為電場力所作的功＋電場能量的變化=外部電源所作的功虛位移法計(jì)算電場力100此時(shí)電源所作的功為dq平行板電容器的能量表達(dá)式為電場力為了正確地計(jì)算帶電導(dǎo)體在電場中所受電場力，應(yīng)該注意下面3個(gè)要點(diǎn)：(1)選擇一個(gè)合適的坐標(biāo)系來描寫導(dǎo)體的虛位移情況，并將電場能量寫為位移坐標(biāo)的函數(shù)。(2)選擇一個(gè)方便的計(jì)算公式進(jìn)行計(jì)算。例如在求平行板電容器極板所受的電場力時(shí)，選取q為常數(shù)較為方便。(3)根據(jù)fgdg＞0，對電場力的作用方向進(jìn)行判斷。101為了正確地計(jì)算帶電導(dǎo)體在電場中所受電場力，應(yīng)該注意下面3個(gè)要

物體的位移狀態(tài)——廣義坐標(biāo)g廣義力fg物體的線位移普通的機(jī)械力物體的轉(zhuǎn)動(dòng)(位移)力矩物體表面積的變化張力物體體積變化壓力均以同一字母g來表示其變化的坐標(biāo)三、廣義坐標(biāo)和廣義力四、多導(dǎo)體系統(tǒng)中導(dǎo)體所受的電場力102物體的位移狀態(tài)——廣義坐標(biāo)g廣義力fg1．保持各導(dǎo)體電荷不變，求電場力在有n個(gè)不與外界能源連接的帶電導(dǎo)體系統(tǒng)中，若設(shè)想被研究的導(dǎo)體k，在廣義電場力的作用下，其廣義坐標(biāo)產(chǎn)生一變化dg，此時(shí)電場力所作的功為fgdg。由于系統(tǒng)與外部電源隔絕，根據(jù)功能守恒原理，此功應(yīng)由電場能量來補(bǔ)償，若以dWe表示系統(tǒng)電場能量的增量,則有1031．保持各導(dǎo)體電荷不變，求電場力在有n個(gè)不與外界能源連接2.保持各導(dǎo)體電位不變，求電場力在有n個(gè)與外界電源連接的帶電導(dǎo)體系統(tǒng)中,若設(shè)被研究的導(dǎo)體k，在廣義電場力的作用下，其廣義坐標(biāo)將產(chǎn)生一變化dg，此時(shí)電場力所作的功為fgdg。由于系統(tǒng)與外部電源連接，各導(dǎo)體的電位不變，各導(dǎo)體電荷則將改變。按前述的功能平衡關(guān)系，應(yīng)有1042.保持各導(dǎo)體電位不變，求電場力在有n個(gè)與外界電源連接假設(shè)系統(tǒng)中每導(dǎo)體的電荷不變或者每導(dǎo)體的電位不變，其所得的結(jié)果應(yīng)該一致，因而是彼此等效的，即應(yīng)用上述公式計(jì)算帶電導(dǎo)體所受電場力時(shí)，選定一合適的廣義坐標(biāo)，并將能量表示為廣義坐標(biāo)的函數(shù)105假設(shè)系統(tǒng)中每導(dǎo)體的電荷不變或者每導(dǎo)體的電位不五、介質(zhì)交界面電場力的計(jì)算

平行板電容器極板上，力的大小單位面積所受的電場力為可見極板上單位面積所受的電場力，在數(shù)值上等于該處電場能量密度。這一結(jié)論雖然是從均勻電場這一特殊情況下導(dǎo)得的，然而它同樣適用于非均勻電場的情況。結(jié)論不僅適用于導(dǎo)體(與媒質(zhì)的交界)表面，而且也適用于媒質(zhì)與媒質(zhì)的交界面。106五、介質(zhì)交界面電場力的計(jì)算可見極板上單位面此時(shí)媒質(zhì)交界面上每單位面積所受的電場力1、由上可知不同媒質(zhì)交界面上的力，總是由電容率大的媒質(zhì)指向電容率小的媒質(zhì)的一側(cè)。2、在不均勻電場中，若物體的電容率大于其周圍媒質(zhì)的電容率時(shí)，物體將向電場強(qiáng)度大的一方移動(dòng)。例如變壓器油中的小水珠。3、當(dāng)物體的電容率小于其周圍媒質(zhì)的電容率時(shí)，物體將向電場強(qiáng)度小的一方移動(dòng)。例如變壓器油中的小氣泡。107此時(shí)媒質(zhì)交界面上每單位面積所受的電場力1、由上可知靜電力矩例2-10:求作用于靜電電壓表的可動(dòng)極板上的靜電力矩。解：靜電電壓表由固定極板A和可動(dòng)極板B組成。隨著可動(dòng)極板B的旋轉(zhuǎn)，電容改變。若此電容與可動(dòng)極板B的旋轉(zhuǎn)角度之間的關(guān)系為C=C0+K1

C0是＝0時(shí)的電容，K1為決定于結(jié)構(gòu)尺寸的常數(shù)。設(shè)U為兩極板間電壓，則電場中的能量為108靜電力矩例2-10:求作用于靜電電壓表的可動(dòng)極板上的靜電力矩

時(shí)可動(dòng)極板處于平衡位置。從固定于極板B上指針C所指示的旋轉(zhuǎn)角度可讀得電壓的數(shù)值。對于電容與角成線性關(guān)系的靜電電壓表，電壓的刻度是不均勻的?？梢娮饔糜诳蓜?dòng)極板上的靜電力矩與施加于電壓表上電壓的平方成正比。固定于可動(dòng)極板B上的扭簧D，其反作用力矩Mf=K2，即與旋轉(zhuǎn)角度成正比。當(dāng)109時(shí)可動(dòng)極板處于平衡位置。從固定于極板B上指針C所指示的旋轉(zhuǎn)唯一性定理求邊值問題的指導(dǎo)性定理邊值問題唯一解的充要條件應(yīng)用：等位面法、電軸法、鏡像法邊值問題的求解直接解析法分離變量法間接法（鏡像法、電軸法）電容和部分電容的概念電場能量和計(jì)算電場力的虛位移法

第二章總結(jié)110唯一性定理第二章靜電場(二)111第二章靜電場(二)1§2-1靜電場的唯一性定理及其應(yīng)用§2-2平行雙電軸法§2-3無限大導(dǎo)電平面的鏡象法§2-4球形導(dǎo)體面的鏡象§2-5無限大介質(zhì)交界平面的鏡象§2-6電容與電容的計(jì)算§2-7雙輸電線的電容§2-8多導(dǎo)體系統(tǒng)的部分電容§2-9帶電導(dǎo)體系統(tǒng)的電場能量及其分布§2-10虛位移法計(jì)算電場力目錄112§2-1靜電場的唯一性定理及其應(yīng)用目錄2除唯一性定理以外，都屬于靜電場求解方面的應(yīng)用問題1、唯一性定理及其重要意義

2、電軸法

3、鏡象法

4、電容的計(jì)算5、帶電導(dǎo)體系統(tǒng)部分電容6、多導(dǎo)體系統(tǒng)的電場能量與電場力

本章內(nèi)容113除唯一性定理以外，都屬于靜電場求解方面的應(yīng)用問題1、唯一性§2-1靜電場的唯一性定理及其應(yīng)用一、唯一性定理及其重要意義唯一性定理：靜電場中，滿足一定邊界條件(即前述三類邊界條件)的泊松方程或拉普拉斯方程的解是唯一的。當(dāng)場中介質(zhì)及各導(dǎo)體的分布一定時(shí)：1、給定各導(dǎo)體表面的電位值此時(shí)由邊值問題解得之電位函數(shù)為唯一；114§2-1靜電場的唯一性定理及其應(yīng)用2、導(dǎo)體表面為等位面，給定各導(dǎo)體表面的電荷量，此時(shí)由邊值問題所解得的電位函數(shù)，僅相差一無關(guān)緊要的常數(shù)，而電位的梯度E是唯一的。3、若給定某些導(dǎo)體表面的電位值，及其它導(dǎo)體表面(導(dǎo)體表面為等位面)的電荷量，此時(shí)由邊值問題所解得的電位函數(shù)為唯一。靜電場的唯一性定理及其應(yīng)用1152、導(dǎo)體表面為等位面，給定各導(dǎo)體表面的電荷量，此時(shí)由邊值問題由唯一性定理可獲得的重要概念：

1.明確哪些條件可以完全而且唯一地確定靜電場的解，從而使我們在求解靜電場問題時(shí)能正確地提出邊界條件。在處理實(shí)際問題時(shí)，就能根據(jù)所提條件判明問題是否有解如何正確提供條件才能有解。2.在許多實(shí)際問題中，往往不能對泊松方程或拉普拉斯方程直接求解，而要借助于其它解法。其它解法所得之解是否正確唯一，要看它是否滿足唯一性定理所要求滿足的條件來進(jìn)行判定。3.有許多實(shí)際問題，由于采用不同的方法求解，其解的形式可能不一樣，如果求得的解都滿足唯一性定理所要求滿足的條件，則可以判定這些不同形式的解彼此相等且均為有效。

說明靜電場的唯一性定理及其應(yīng)用116由唯一性定理可獲得的重要概念：說明靜電場的唯一性定理及其應(yīng)用

根據(jù)唯一性定理，若沿場的等位面任意一側(cè)，填充導(dǎo)電媒質(zhì)，則等位面另側(cè)的電場保持不變。兩平行輸電線的電場，若沿場中任一等位面k之一側(cè)(內(nèi)或外側(cè))填充導(dǎo)電媒質(zhì)，則導(dǎo)電媒質(zhì)以外之另一側(cè)，其電場不變。二、唯一性定理的應(yīng)用——等位面法靜電場的唯一性定理及其應(yīng)用117根據(jù)唯一性定理，若沿場的等位面任意一側(cè)，填充導(dǎo)電媒例:

空氣中有半徑為R1的導(dǎo)體球，其電位為已知。試確定導(dǎo)體球外距球心R>R1區(qū)域的電場強(qiáng)度。解：設(shè)導(dǎo)體帶電荷118例:空氣中有半徑為R1的導(dǎo)體球，其電位為已知。試確定導(dǎo)體若R＝R2導(dǎo)體球帶有同樣的電荷電場的分布完全一樣，這就是等位體法唯一性定理應(yīng)用的一個(gè)例證119若R＝R2導(dǎo)體球帶有同樣的電荷電場的分布完全一樣，這就是等位1.它保持了另一側(cè)場的邊界形狀及介質(zhì)分布不變，且對另一側(cè)場而言，邊界仍為等位面。填充導(dǎo)電媒質(zhì)后，邊界上的總電荷量等于填充導(dǎo)電媒質(zhì)前邊界上所穿過的總電通量，即邊界條件沒有變化。2.它保持了另一側(cè)場的介質(zhì)及電荷分布不變。因而根據(jù)唯一性定理，另一側(cè)的場沒有變化。由于這一方法是沿等位面填充介質(zhì)，因而稱之為等位面法。靜電場的唯一性定理及其應(yīng)用等位面法的實(shí)質(zhì)：1201.它保持了另一側(cè)場的邊界形狀及介質(zhì)分布不變，且對另一側(cè)例2-1

靜電場唯一性定理在解靜電屏蔽現(xiàn)象中的應(yīng)用。解靜電屏蔽現(xiàn)象：(1)接地的封閉導(dǎo)體殼內(nèi)的電荷不影響殼外的電場；(2)封閉導(dǎo)體殼無論它是否接地，則殼內(nèi)的電場不受殼外電荷的影響。一種情形：設(shè)封閉導(dǎo)體殼的外表面為S1，對于殼外區(qū)域而言，它是一個(gè)邊界面。無論殼內(nèi)電荷q1在數(shù)量上增減或作位置上的移動(dòng)，由于導(dǎo)體殼接地，恒有，始終沒有改變殼外區(qū)域邊界面上的邊界條件。因此在這種情況下，殼內(nèi)的電荷不影響殼外的電場。靜電場的唯一性定理及其應(yīng)用121例2-1靜電場唯一性定理在解靜電屏蔽現(xiàn)象中的應(yīng)用。一種

第二種情形：設(shè)封閉導(dǎo)體殼的內(nèi)表面為S2，對于殼內(nèi)區(qū)域而言它是一個(gè)邊界面。首先，S2是一個(gè)等位面。其次，如在殼內(nèi)緊貼S2作一高斯面S，則有以S2作為導(dǎo)體殼內(nèi)電場的一個(gè)邊界面，通過它的電通量僅僅決定于導(dǎo)體殼內(nèi)的電荷，而與殼外的電荷分布是無關(guān)的。根據(jù)唯一性定理，當(dāng)導(dǎo)體殼內(nèi)帶電導(dǎo)體都是給定電荷量時(shí)，電位函數(shù)可以相差一個(gè)常數(shù)，但是電場強(qiáng)度是唯一確定的。它不受導(dǎo)體殼外電荷q2的影響。有時(shí)甚至殼內(nèi)的電位函數(shù)也是唯一確定的。（電位移矢量

的通量為q1）122第二種情形：設(shè)封閉導(dǎo)體殼的內(nèi)表面為S2，對于殼內(nèi)區(qū)域而言它例:

一點(diǎn)電荷位于兩種介質(zhì)的交界面，試確定上下兩部分的電位。解：試探法

試探解2、介質(zhì)的交界面3、作一高斯面球坐標(biāo)123例:一點(diǎn)電荷位于兩種介質(zhì)的交界面，試確定上下兩部分的電位12414設(shè)介質(zhì)電容率為ε0的空間有兩無限長平行電軸，兩電軸所帶有的電荷線密度分別為§2-2平行雙電軸法一、平行雙電軸電場

由高斯定理可得兩電軸分別產(chǎn)生的電場強(qiáng)度表達(dá)式為平行雙電軸電場是一個(gè)平行平面場，在垂直于電軸的各個(gè)平面上，場有完全相同的分布圖形平行雙電軸法125設(shè)介質(zhì)電容率為ε0的空間有兩無限長平行電軸，兩電軸所帶有的電選取坐標(biāo)軸的原點(diǎn)o為零電位點(diǎn)，點(diǎn)P電位為由疊加原理，點(diǎn)P的電位為平行雙電軸法126選取坐標(biāo)軸的原點(diǎn)o為零電位點(diǎn)，點(diǎn)P電位為由疊加原理，點(diǎn)P等位線的分布規(guī)律

在雙電軸的電場中，等位面是一組偏心的圓柱族面平行雙電軸法127等位線的分布規(guī)律在雙電軸的電場中，等位面是一組偏心某個(gè)等位圓之半徑為R0等位圓圓心至中性面距離為x0電軸至中性面的距離為D/2在等位圓上選擇特殊點(diǎn)A及BR2/R1=R2′/R1′=K(常數(shù))等位面與電軸之間的關(guān)系平行雙電軸法128某個(gè)等位圓之半徑為R0等位面與電軸之間的關(guān)系平行雙電可知：

1)若已知電軸位置，選取任意點(diǎn)x0為圓心，即可作出以x0為圓心R0為半徑的等位圓。

2)若已知電軸位置，給定任意的R0，亦可作出此等位圓圓心所在處x0的等位圓。

3)若已知R0，及圓心的位置x0，亦可推出電軸所在的位置，亦即推求出距離D平行雙電軸法129可知：

1)若已知電軸位置，選取任意點(diǎn)x0為圓心，

具有相同半徑R0的平行雙輸電線。設(shè)每根導(dǎo)線單位長度上所帶的電荷量分別為+τ及-τ，求電場分布?？烧J(rèn)為導(dǎo)線的圓截面是沿某待求的雙電軸所形成的等位圓填充導(dǎo)電媒質(zhì)所得，根據(jù)等位面法，此問題轉(zhuǎn)化為求解雙電軸的電場

二、平行雙電軸法1、相同半徑的平行雙輸電線雙電軸的位置：平行雙電軸法130具有相同半徑R0的平行雙輸電線。設(shè)每根導(dǎo)線單位長度得2、對于相互平行但半徑不同的雙輸電線半徑R0′與R0″以及兩圓柱體軸心距離d已知，得解得x0′及x0″可求兩電軸的距離平行雙電軸法131得2、對于相互平行但半徑不同的雙輸電線解得x0′及x0″可

3、兩偏心圓柱套筒的電場已知兩圓柱套筒半徑R0′、R0″以及圓柱軸心間距離d從而可求兩電軸的距離D

電軸法在求解雙輸電線電容及偏心圓柱套筒等的電容問題中被廣泛運(yùn)用平行雙電軸法1323、兩偏心圓柱套筒的電場從而可求兩電軸的距離D例2-2

空中兩根互相平行、無限長的導(dǎo)體圓柱上帶有等量異號(hào)電荷。設(shè)單位長度的電量τ=10-8C/m，圓柱的半徑各為R0′=15cm,R0″=20cm，兩圓柱的幾何軸線間距離為d=50cm。試求電軸的位置、零位(中性)面的位置。解:

可確定中性面到半徑為R0′的圓柱面的幾何中心的距離為平行雙電軸法133例2-2空中兩根互相平行、無限長的導(dǎo)體圓柱上帶有等量異號(hào)電軸到中性面的距離為中性面到半徑R0″的圓柱面的幾何中心的距離為平行雙電軸法134電軸到中性面的距離為中性面到半徑R0″的圓柱面的幾何中心的距平行雙電軸法135平行雙電軸法25平行雙電軸法136平行雙電軸法26外法線方向均相反外法線方向均一致外法線方向一個(gè)相反一個(gè)一致137外法線方向均相反外法線方向均一致外法線方向一個(gè)相反一個(gè)一致2基于唯一性定理的鏡象法

以場域外虛擬的集中電荷代替場域邊界上分布電荷的作用，使場的邊界條件保持不變，從而保持被研究的場不變由于虛擬電荷往往與場域內(nèi)的集中電荷互為鏡象(平面鏡象或曲面鏡象)，故稱為鏡象法?！?-3無限大導(dǎo)電平面的鏡象法

一、點(diǎn)電荷對無限大導(dǎo)電平面的鏡象無限大導(dǎo)電平面的鏡象法138基于唯一性定理的鏡象法§2-3無限大導(dǎo)對于場域邊界條件而言，無限大地平面為等位面，其上總電荷(感應(yīng)電荷)已知為-q。設(shè)想將無限大地平面撤去，而將下半場域亦充以電容率為ε0的媒質(zhì)，且以地平面為鏡象，在電荷q的鏡象位置，放置一點(diǎn)電荷-q。對于上半場域，其內(nèi)部未作任何變更，邊界條件也沒有改變無限大導(dǎo)電平面的鏡象法無限大導(dǎo)電平面的鏡象法139對于場域邊界條件而言，無限大地平面為等位面，其上總電荷導(dǎo)電平面鏡象問題的特點(diǎn)：1、鏡象電荷必在被研究場域邊界外，2、所處位置與場源電荷以平面對稱。3、鏡象電荷的電量與邊界面有總電荷量相等，與場源電荷量大小相等、符號(hào)相反，而被研究場域邊界電位值為零。無限大導(dǎo)電平面的鏡象法140導(dǎo)電平面鏡象問題的特點(diǎn)：無限大導(dǎo)電平面的鏡象法30二、無限大導(dǎo)電平面鏡象法的應(yīng)用應(yīng)用1(a)直角區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)電荷(b)圖(a)的鏡象電荷應(yīng)用2(a)特殊角(2π/α偶數(shù))區(qū)域的點(diǎn)電荷(b)圖(a)的鏡象電荷無限大導(dǎo)電平面的鏡象法141二、無限大導(dǎo)電平面鏡象法的應(yīng)用應(yīng)用1應(yīng)用2無限大導(dǎo)電平面的鏡應(yīng)用3(a)大地上方h處平行放置長直圓柱導(dǎo)體；(b)圖(a)的鏡象無限大導(dǎo)電平面的鏡象法142應(yīng)用3無限大導(dǎo)電平面的鏡象法32例2-3

帶電的云與地面之間形成一均勻向下的電場E0。將導(dǎo)致高度為l處的高壓輸電線A的電位升高。若在A的上方又架設(shè)有架空地線G，半徑為r0，G是經(jīng)過支架接地的，則在架空地線G上感應(yīng)出負(fù)電荷，地面上感應(yīng)出正電荷。將這些感應(yīng)電荷的電場疊加到大氣電場以后可以降低A處的電位。工程上采用這種方法使得高壓輸電線免受雷擊，試求由于架空地線的屏蔽作用而導(dǎo)致A處電位的變化。無限大導(dǎo)電平面的鏡象法143例2-3帶電的云與地面之間形成一均勻向下的電場E0。將導(dǎo)解：設(shè)架空地線單位長度上的感應(yīng)負(fù)電荷為-τ。地面上的感應(yīng)正電荷可視為-τ感應(yīng)所致，它在大氣中產(chǎn)生的電場可以用-τ的鏡象電荷+τ來代替。因?yàn)榧芸盏鼐€的半徑r0較之它與鏡象之間的距離2h小得多，可以認(rèn)為電軸與幾何軸線重合。架空地線的電位為故得因?yàn)榻拥卦诖髿怆妶鲋屑芸盏鼐€的電位為無限大導(dǎo)電平面的鏡象法144解：設(shè)架空地線單位長度上的感應(yīng)負(fù)電荷為-τ。地面上的感應(yīng)正電高壓輸電線A處的電位由原來的降低為

架空地線的重要作用，是使其自身表面造成很大的場強(qiáng)，其值可達(dá)大氣電場場強(qiáng)的幾十倍至幾百倍，因此當(dāng)大氣的場強(qiáng)很高發(fā)生雷電時(shí)，可以引導(dǎo)輸電線附近的閃電偏向于架空地線，從而保護(hù)高壓輸電線免受直接的雷擊。若h=11m，l=10m，r0=0.004m，得相對值為無限大導(dǎo)電平面的鏡象法145高壓輸電線A處的電位由原來的§2-4球形導(dǎo)體面的鏡象

點(diǎn)電荷q的電場中，置有一半徑為R的接地導(dǎo)體球。一、接地導(dǎo)體球?qū)c(diǎn)電荷的鏡象

球心至點(diǎn)電荷的距離為d。在點(diǎn)電荷的電場中，引入一中性導(dǎo)體球后，球面兩側(cè)將分別出現(xiàn)等量而異號(hào)的感應(yīng)電荷+q′與-q′。其數(shù)值必較電荷q為小，即q>q′。球形導(dǎo)體面的鏡象146§2-4球形導(dǎo)體面的鏡象

導(dǎo)體球與地聯(lián)接，則球面所感應(yīng)的正電荷將受電場力的作用而流入地中，球體凈剩分布于其表面的感應(yīng)負(fù)電荷，球面電位為零。按鏡象法原理將導(dǎo)體球撤去，使整個(gè)空間充以電容率為ε0的同一媒質(zhì)，并在距球心b處，置一虛擬的集中鏡象電荷-q′，來代替球面分布電荷的作用。若此時(shí)仍能保持球