第二章隨機過程

（隨機信號）主要內(nèi)容：1、隨機信號的概念和統(tǒng)計描述2、平穩(wěn)隨機信號3、平穩(wěn)隨機信號自相關(guān)函數(shù)的性質(zhì)4、隨機信號的各態(tài)歷經(jīng)性5、正態(tài)隨機信號§2.1隨機過程的概念

概率論隨機變量隨機信號分析隨機過程（隨機信號）一、隨機過程的定義

隨機變量：樣本空間實數(shù)域隨機過程：樣本空間時間函數(shù)族

（定義1）

或者樣本空間隨機變量族（定義2）

定義1設(shè)隨機試驗的樣本空間為，如果對于每一個樣本點，總可以依某種規(guī)則對應(yīng)一個時間函數(shù)：(T是時間t的變化范圍)。于是，對于所有的樣本點來說，就得到一族時間函數(shù)，稱此族時間的函數(shù)為隨機過程（也稱隨機信號）

，而族中的每一個時間函數(shù)稱為該隨機過程的樣本函數(shù)。即：隨機過程是樣本函數(shù)的集合，定義1常用于實驗觀測。

例

電阻上的噪聲電壓測量。噪聲電壓信號是典型的隨機信號。

定義2如果對于每一固定的時間點,

都是隨機變量，則稱是隨機過程。

即：隨機過程是隨機變量的集合，定義2常用于理論分析。

雷達(dá)接收機噪聲電壓的輸出波形隨機過程

具有以下四種含義：1、若和在發(fā)生變化，則隨機過程是一族時間函數(shù)，或一族隨機變量，構(gòu)成了隨機過程的完整概念；2、若和都固定，則隨機過程是一個確定值；3、若取固定值，則隨機過程是一個確定的時間函數(shù)，即樣本函數(shù),對應(yīng)于某次試驗的結(jié)果；4、若取固定值，則隨機過程是一個隨機變量；

隨機變量：樣本空間實數(shù)域

（簡記為）

隨機過程：樣本空間時間函數(shù)空間

或隨機變量空間

（簡記為）

§2.2

隨機信號的統(tǒng)計特性隨機信號是含參量

的隨機變量族，它的統(tǒng)計特性本質(zhì)上就是帶參量

的隨機變量的統(tǒng)計特性。1、概率特性：分布函數(shù)，概率密度函數(shù)；2、數(shù)字特征：數(shù)學(xué)期望，均方值，方差，自相關(guān)函數(shù)，自協(xié)方差函數(shù)；統(tǒng)計特性也可分為：1、幅值域描述:數(shù)學(xué)期望、均方值、方差等；2、時間域描述:自相關(guān)函數(shù)、互相關(guān)函數(shù)；3、頻率域描述:功率譜密度函數(shù)、互功率譜密度函數(shù)；2.2.1、隨機過程的概率分布

隨機過程，在任意固定時刻，都是隨機變量。隨機事件：

發(fā)生概率：1、一維分布函數(shù)與和都有直接的關(guān)系，是和的二元函數(shù)，記為：

是

時刻的隨機變量直至處的累積概率。2、一維概率密度函數(shù)注：一維概率分布描述了隨機過程在各個孤立時刻t的統(tǒng)計特性。

隨機過程，在任意兩個時刻，和都是隨機變量。隨機事件：

發(fā)生概率：3、二維分布函數(shù)與，，和都有直接的關(guān)系，是，，和的四元函數(shù)，記為：

是和兩個時刻的隨機變量直至

處的聯(lián)合累積概率。4、二維概率密度函數(shù)

隨機過程的二維概率分布與二維隨機變量的概率分布之間的區(qū)別：

隨機過程的二維概率分布是描述隨機過程在不同時刻t1和t2的狀態(tài)之間的關(guān)系。二維隨機變量的概率分布是描述不同隨機變量之間的關(guān)系。5、n維概率密度函數(shù)

2.2.2、隨機過程的數(shù)字特征

n維分布較全面描述了隨機過程的統(tǒng)計特性，但它的獲得很困難。由隨機過程的定義2，隨機過程是帶參數(shù)t隨機變量族，因此隨機過程的數(shù)字特征一般不再是確定的常數(shù)，而是t

的函數(shù)。1、數(shù)學(xué)期望(均值函數(shù))隨機過程的數(shù)學(xué)期望或，即

它是該隨機過程在各個時刻的擺動中心。根據(jù)隨機過程在任意時刻都是一個隨機變量：2、均方值隨機過程的均方值或，即

3、方差隨機過程的二階中心矩為隨機過程的方差，記為或，其中稱為標(biāo)準(zhǔn)差。

方差、均方值和均值有數(shù)學(xué)關(guān)系式：

方差描述在該時刻對其數(shù)學(xué)期望的偏離程度。數(shù)學(xué)期望、均方值和均方差只能描述隨機過程孤立的時間點上的統(tǒng)計特性。隨機過程孤立的時間點上的統(tǒng)計特性不能反映隨機過程的起伏程度，故采用兩時刻或更多時刻狀態(tài)的相關(guān)性去描述起伏程度。4、自相關(guān)函數(shù)設(shè)和分別是隨機過程在時刻和的狀態(tài)，稱它們的二階原點混合矩為隨機過程的自相關(guān)函數(shù)，記為

自相關(guān)函數(shù)反映了隨機過程在兩個不同時刻的狀態(tài)之間的相關(guān)程度。5、自協(xié)方差函數(shù)設(shè)和分別是隨機過程在時刻和的狀態(tài)，稱它們的二階中心混合矩為隨機過程的自相關(guān)函數(shù)，記為

自協(xié)方差函數(shù)反映了隨機過程在兩個不同時刻的狀態(tài)之間的相關(guān)程度。自相關(guān)系數(shù)隨機過程統(tǒng)計不相關(guān)如果對于任意的，都有，或者

，則稱該隨機過程在任意兩個時刻是不相關(guān)的。例2.3若隨機過程為式中，

為在[0,1]上均勻分布的隨機變量，求的均值和自相關(guān)函數(shù)。解：已知

的概率密度函數(shù)為則隨機過程的均值隨機過程的自相關(guān)函數(shù)

例2.4求隨機相位正弦波的數(shù)學(xué)期望，方差及自相關(guān)函數(shù)。式中為常數(shù)，是在區(qū)間上均勻分布的隨機變量。解根據(jù)題意有

因為所以則方差那么，自相關(guān)函數(shù)§2.3

平穩(wěn)隨機過程平穩(wěn)性的定義嚴(yán)平穩(wěn)隨機過程及其性質(zhì)寬平穩(wěn)隨機過程及其性質(zhì)

由隨機過程定義2：隨機過程對于每一固定的時間點,

都是隨機變量，即不同的時間點對應(yīng)不同的隨機變量。若隨機過程滿足平穩(wěn)性，這些隨機變量的主要（或全部）統(tǒng)計特性相同。

平穩(wěn)性：隨機信號的主要（或全部）統(tǒng)計特性對于參量t保持不變的特性，即對t的移動不變性。因此對平穩(wěn)隨機信號的測試不受觀察時刻的影響。平穩(wěn)性包括嚴(yán)平穩(wěn)性與寬平穩(wěn)性。2.3.1嚴(yán)平穩(wěn)隨機過程

1、定義如果對于時間的任意個數(shù)值

，和任意實數(shù)，隨機過程的維分布函數(shù)（或概率密度函數(shù)）滿足

則稱為嚴(yán)(格)平穩(wěn)隨機過程，或稱窄平穩(wěn)隨機過程或狹義平穩(wěn)過程。密度函數(shù)平穩(wěn)性示例密度函數(shù)非平穩(wěn)性示例2、主要性質(zhì)(1)、若是嚴(yán)平穩(wěn)隨機過程，則它的一維概率密度和數(shù)字特征與時間無關(guān)。證明根據(jù)嚴(yán)平穩(wěn)隨機過程的定義，令，

(2)嚴(yán)平穩(wěn)隨機過程的二維概率密度和數(shù)字特征只與，的時間間隔有關(guān)，而與時間起點無關(guān)。證明：令，

1定義若隨機過程滿足

則稱為寬平穩(wěn)隨機過程或廣義平穩(wěn)過程。2.3.2寬平穩(wěn)隨機過程嚴(yán)平穩(wěn)過程n維概率密度的移動不變性寬平穩(wěn)過程一、二階矩的移動不變性隨機信號的嚴(yán)平穩(wěn)性與寬平穩(wěn)性之間的關(guān)系：

嚴(yán)平穩(wěn)寬平穩(wěn)注：高斯信號是個例外，寬平穩(wěn)的高斯信號也必定是嚴(yán)平穩(wěn)的。若均方值有界不一定是平穩(wěn)性是隨機信號的統(tǒng)計特性對時間參量t的移動不變性，即平穩(wěn)隨機信號的測試不受觀察時刻的影響；應(yīng)用與研究最多的平穩(wěn)信號是寬平穩(wěn)信號；嚴(yán)平穩(wěn)性因要求太“苛刻”，更多地用于理論研究中；經(jīng)驗判據(jù)：如果產(chǎn)生與影響隨機信號的主要物理條件不隨時間而改變，那么通?？梢哉J(rèn)為此信號是平穩(wěn)的。

非平穩(wěn)信號：在一定的時間范圍內(nèi)，非平穩(wěn)信號可以近似作為平穩(wěn)信號來處理。如語音信號，人們普遍實施10－30ms的分幀，再采用平穩(wěn)信號的處理技術(shù)解決有關(guān)問題。小結(jié)：

例2-9判斷以下三個隨機過程是否平穩(wěn)？式中，是常數(shù)，是相互獨立的隨機變量。隨機過程在上均勻分布，Ａ的均值和均方值不為零。

解：(1)當(dāng)幅度為常數(shù)，在上均勻分布時，

因此，X(t)

為平穩(wěn)過程。

(2)當(dāng)幅度為隨機變量，相位為常數(shù)時，

此時，X(t)不是平穩(wěn)過程。(3)當(dāng)幅度、相位和頻率都為隨機變量時，由于相互獨立，且在上均勻分布。

X(t)的數(shù)學(xué)期望為

X(t)的自相關(guān)函數(shù)為因此，X(t)

為平穩(wěn)過程。

例2-10寬平穩(wěn)過程通過乘法調(diào)制器得到隨機信號，是確定常數(shù)，是在均勻分布的隨機相位，與統(tǒng)計獨立的，試問是否寬平穩(wěn)。乘法調(diào)制器圖調(diào)制器輸出信號特性解：調(diào)制器輸出為其均值為因為在上均勻分布，固有所以輸出函數(shù)的自相關(guān)函數(shù)表示為

的均值和自相關(guān)函數(shù)對觀察時間是平穩(wěn)的，因此

是廣義平穩(wěn)的。隨機過程的基本特征：數(shù)學(xué)期望和自相關(guān)函數(shù)。平穩(wěn)隨機過程的數(shù)學(xué)期望為常數(shù)，所以基本特征就是自相關(guān)函數(shù)。自相關(guān)函數(shù)提供隨機過程各狀態(tài)之間的關(guān)聯(lián)程度，還是求取隨機過程功率譜密度的工具?！?.5平穩(wěn)隨機過程自相關(guān)函數(shù)的性質(zhì)對平穩(wěn)隨機過程X(t)，其自相關(guān)函數(shù)滿足1、是偶函數(shù)

證明：2、

即平穩(wěn)隨機過程的均方值就是自相關(guān)函數(shù)在時的值。3、X(t)的自相關(guān)函數(shù)在原點處有最大值證明：任何正函數(shù)的數(shù)學(xué)期望為非負(fù)值，有展開因此有4.若平穩(wěn)隨機過程X(t)滿足X(t)=X(t+T)，則稱X(t)為周期平穩(wěn)隨機過程，其中T為X(t)的周期。對周期平穩(wěn)過程X(t)，其自相關(guān)函數(shù)必為周期函數(shù)，且它的周期與X(t)的周期相同，即

證明：

例相位隨機正弦信號的自相關(guān)函數(shù)可見，與具有相同的周期。5、若平穩(wěn)隨機過程X(t)含有一個周期分量，則自相關(guān)函數(shù)也含有一個同周期的周期分量。例如：設(shè)隨機過程，式中為在內(nèi)均勻分布的隨機變量，為平穩(wěn)隨機過程，和統(tǒng)計獨立。6、對任何不含周期分量的非周期平穩(wěn)過程均有由此證明：對于此類非周期平穩(wěn)過程，當(dāng)增大時，隨機變量之間的相關(guān)性會減弱；當(dāng)在極限的情況下，兩者相互獨立，故有7、當(dāng)平穩(wěn)隨機過程含有均值，那它的自相關(guān)函數(shù)也將會含有一個常數(shù)項。8、平穩(wěn)隨機過程的自相關(guān)函數(shù)的傅里葉變換在整個頻率軸上是非負(fù)的，即且對于所有都成立。注：即不含有階躍函數(shù)的因子，如：平頂、垂直邊或幅度上的任何不連續(xù)。用平穩(wěn)過程的自相關(guān)函數(shù)表示數(shù)字特征：(1).數(shù)學(xué)期望(2).均方值(3).方差(4).協(xié)方差圖

隨機過程數(shù)字特征例2-14、設(shè)隨機過程的自相關(guān)函數(shù)為求它的均值、均方值、方差和自協(xié)函數(shù)方差。解：§2.4

隨機過程的各態(tài)歷經(jīng)性圖

噪聲電壓的輸出波形根據(jù)隨機過程的定義，隨機過程是大量時間函數(shù)的集合（或大量樣本函數(shù)的集合）。由統(tǒng)計實驗得到的數(shù)據(jù)計算各種統(tǒng)計參數(shù)：實驗數(shù)據(jù)：

（一段）樣本函數(shù)

統(tǒng)計參數(shù)：

意味著需要反復(fù)的實驗，觀察大量的樣本函數(shù)來得到隨機過程的統(tǒng)計特性。

辛欽證明：在具備一定的補充條件下，有一種平穩(wěn)隨機過程，對其任一個樣本函數(shù)取時間平均(觀察時間足夠長)，從概率意義上趨近于它的集合均值（或統(tǒng)計平均）。對具有以上特性的隨機過程，稱為該隨機過程具有各態(tài)歷經(jīng)性或者遍歷性。

各態(tài)歷經(jīng)性的物理意義：各態(tài)歷經(jīng)性隨機過程的任意一個樣本函數(shù)都同樣經(jīng)歷了隨機過程的各種可能狀態(tài)。這類隨機過程的任一個樣本函數(shù)都含有整個過程的全部統(tǒng)計信息。于是，實驗只需在任何一個樣本函數(shù)上進行就可以了，問題得到大大簡化。時間均值和時間自相關(guān)函數(shù)對隨機過程X(t)中任意一條樣本函數(shù)沿整個時間軸的積分：分別稱為X(t)的時間均值和時間自相關(guān)函數(shù)。定義：設(shè)X(t)是一個平穩(wěn)隨機過程若，依概率1成立：

稱隨機過程X(t)的均值具有各態(tài)歷經(jīng)性。若，依概率1成立：

稱X(t)的自相關(guān)函數(shù)具有各態(tài)歷經(jīng)性。寬（或廣義）各態(tài)歷經(jīng)性：X(t)的均值和自相關(guān)函數(shù)具有各態(tài)歷經(jīng)性。嚴(yán)（或狹義）各態(tài)歷經(jīng)性：X(t)的各種參數(shù)都具有各態(tài)歷經(jīng)性。應(yīng)用和研究中特別關(guān)注寬各態(tài)歷經(jīng)性。2.4.2各態(tài)歷經(jīng)性的實際意義各態(tài)歷經(jīng)性與隨機實驗對隨機過程的具體表達(dá)式未知，使用隨機實驗求隨機過程的統(tǒng)計特性是很困難的，實際上只有具備了各態(tài)歷經(jīng)性，在實際中用隨機實驗求統(tǒng)計特性才比較容易。

平穩(wěn)性與各態(tài)歷經(jīng)性平穩(wěn)性隨機過程的統(tǒng)計特性與時間起點無關(guān)；各態(tài)歷經(jīng)性直接用它的任一樣本函數(shù)的時間平均來代替對整個隨機過程的統(tǒng)計平均。例如：雷達(dá)接收機，電阻噪聲電壓測量各態(tài)歷經(jīng)性直接用它的任一樣本函數(shù)的時間平均來代替對整個隨機過程的統(tǒng)計平均。

實際中平穩(wěn)隨機過程自相關(guān)函數(shù)的電路形式：延時積分平均電路圖自相關(guān)儀各態(tài)歷經(jīng)信號的數(shù)字特征具有明確物理意義，對單位電阻：噪聲電壓（或電流）的直流分量

交流平均功率總平均功率注：源于電路理論的直流、交流與平均功率本質(zhì)上都是時間平均的概念。各態(tài)歷經(jīng)過程一定是平穩(wěn)過程。許多實際的信號，尤其無線電技術(shù)領(lǐng)域里遇到的各種平穩(wěn)的信號和噪聲，都是各態(tài)歷經(jīng)過程。

各態(tài)歷經(jīng)過程平穩(wěn)過程一定是

例

討論隨機過程各態(tài)歷經(jīng)性。其中，為常數(shù)，是在上均勻分布的隨機變量。

解：由上一節(jié)知是X(t)是平穩(wěn)過程，其數(shù)學(xué)期望和自相關(guān)函數(shù)分別為時間均值時間自相關(guān)函數(shù)可得：所以，隨機過程X(t)具有各態(tài)歷經(jīng)性。

例

討論隨機過程X(t)=Y的各態(tài)歷經(jīng)性，式中Y是方差不為零的隨機變量。

解：由于因此X(t)是平穩(wěn)隨機過程。

時間平均時間平均是一隨機變量，所以故不是各態(tài)歷經(jīng)過程。第六節(jié)隨機過程的聯(lián)合概率分布和互相關(guān)函數(shù)前面討論了單個隨機過程的統(tǒng)計特性。實際工作中，常需要研究多個隨機過程的統(tǒng)計特性，包括各自的統(tǒng)計特性和聯(lián)合統(tǒng)計特性。接收機有用信號信號＋噪聲圖

接收機輸入為信號與噪聲2.6.1兩個隨機過程的聯(lián)合概率分布

兩個隨機過程和的聯(lián)合事件其發(fā)生概率為定義此兩個過程的維聯(lián)合分布函數(shù)為

如果存在函數(shù)滿足：則稱為此兩個隨機過程的維聯(lián)合概率密度函數(shù)，且有隨機過程X(t)和Y(t)的獨立對任意的m，n，若隨機過程和滿足

或則稱隨機過程和相互獨立。兩個隨機過程的聯(lián)合嚴(yán)平穩(wěn)若隨機過程和的聯(lián)合概率分布不隨時間平移而變化，即或則稱隨機過程和是聯(lián)合嚴(yán)平穩(wěn)過程。2.6.2互相關(guān)函數(shù)及其性質(zhì)互相關(guān)函數(shù)設(shè)兩個隨機過程和，在任意兩個時刻的狀態(tài)分別為，則隨機過程和的互相關(guān)函數(shù)定義為：注：互相關(guān)函數(shù)是描述隨機過程之間關(guān)聯(lián)特性的數(shù)字特征?；f(xié)方差函數(shù)：互協(xié)方差函數(shù)與互相關(guān)函數(shù)的關(guān)系：兩個過程正交和互不相關(guān)若兩個隨機過程和對任意兩個時刻都具有

或則稱隨機過程和互為正交過程。若兩個隨機過程和對任意兩個時刻都具有

或則稱隨機過程和互不相關(guān)。必定如果正態(tài)互為獨立的隨機過程互不相關(guān)的隨機過程圖

隨機過程獨立與不相關(guān)兩個隨機過程的聯(lián)合寬平穩(wěn)如果兩個隨機過程和是寬平穩(wěn)隨機過程，且它們的互相關(guān)函數(shù)是單變量的函數(shù)，即則稱隨機過程和為聯(lián)合寬平穩(wěn)隨機過程。兩個隨機過程的聯(lián)合寬各態(tài)歷經(jīng)如果隨機過程和是聯(lián)合寬平穩(wěn)的，定義時間互相關(guān)函數(shù)為如果和的時間互相關(guān)函數(shù)依概率1收斂于集合的互相關(guān)函數(shù)，即

則稱和是聯(lián)合寬各態(tài)歷經(jīng)隨機過程。聯(lián)合平穩(wěn)隨機過程互相關(guān)函數(shù)性質(zhì)(1)、證明：圖2-6-6聯(lián)合平穩(wěn)過程的互相關(guān)函數(shù)兩個互相關(guān)函數(shù)關(guān)于縱軸對稱(2)、