2022年四川省普通專(zhuān)升本統(tǒng)一考試高等數(shù)學(xué)（理工類(lèi)）標(biāo)準(zhǔn)化考試樣卷及解析命題、解析人：year冉春考試時(shí)間：150分鐘，滿(mǎn)分:150分絕密：?jiǎn)⒂们耙弧⑦x擇題（共8小題，每小題4分，共計(jì)32分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合要求的）1．當(dāng)x→0時(shí)，a=是無(wú)窮小量，則()A．a(chǎn)是比2x高階的無(wú)窮小量B．a(chǎn)是比2x低階的無(wú)窮小量C．a(chǎn)與2x是同階的無(wú)窮小量，但不是等價(jià)無(wú)窮小量D．a(chǎn)與2x是等價(jià)無(wú)窮小量正確答案：C解析：故選C．2．=()A．EB．e－1C．一e－1D．一e正確答案：B解析：由于若，則（）A.B.C.D.正確答案：C.解析:=應(yīng)選C.4．球心在(－1，2，－2)且與xOy平面相切的球面方程是()A．(x+1)2+(y－2)2+(z+2)2=4B．(x+1)2+(y－2)2+(z+2)2=2C．x2+y2+z2=4D．x2+y2+z2=2正確答案：A解析：已知球心為(一1，2，一2)，則代入球面標(biāo)準(zhǔn)方程為(x+1)2+(y－2)2+(z+2)2=r2．又與xOy平面相切，則r=2．故選A．5.冪級(jí)數(shù)的收斂區(qū)間為（）.B.D.正確答案：c解析：這是標(biāo)準(zhǔn)缺項(xiàng)的冪級(jí)數(shù)，考察正項(xiàng)級(jí)數(shù)，因,當(dāng)，即時(shí)，級(jí)數(shù)是絕對(duì)收斂的；當(dāng)，即時(shí)，級(jí)數(shù)是發(fā)散的；當(dāng)，即時(shí)，級(jí)數(shù)化為，顯然是發(fā)散的。故原級(jí)數(shù)的收斂區(qū)間為.6.函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開(kāi)為（）A．B．C．D．正確答案：C.解析:根據(jù)可知,,應(yīng)選C.7．化為極坐標(biāo)形式為（）A．B．C．D．正確答案：D.解析：積分區(qū)域有,應(yīng)選D.8．設(shè)A是n階矩陣，下列命題中錯(cuò)誤的是()A．AAT=ATAB．A*A=AA*C．(A2)n=(An)2D．(E+A)(E－A)=(E－A)(E+A)正確答案：A解析：因?yàn)锳是n階矩陣，所以AAT=故AAT不一定等于A(yíng)TA，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤．填空題（共7小題，每小題4分，共計(jì)28分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合要求的）9.函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是_________.正確答案：或或或.解析：,10=___________．正確答案：解析：令=u，則x=u2，dx=udu，當(dāng)x=－1時(shí)，u=3，當(dāng)x=1時(shí)，u=1，則原式=11.設(shè)，則_______.正確答案：解：12．設(shè)二元函數(shù)z=ln(x+y2)，則=___________．正確答案：dx解析：由于函數(shù)z=ln(x+y2)的定義域?yàn)閧（x,y）|x+y2＞0}．在z的定義域內(nèi)為連續(xù)函數(shù)，因此dz存在，且又由于故13．過(guò)點(diǎn)(1，一1，0)與直線(xiàn)垂直的平面方程為_(kāi)__________．正確答案：x－2y+3z一3=0(或(x一1)一2(y+1)+3z=0)解析：∵直線(xiàn)垂直于平面π，∴π的法向量即為直線(xiàn)的方向向量，即n=s=(1，一2，3)，且點(diǎn)(1，一1，0)在平面π上，∴(x－1)－2(y+1)+3z=0．14.區(qū)域?yàn)?，則正確答案：0解析：利用對(duì)稱(chēng)性知其值為0或.15．設(shè)A=，矩陣X滿(mǎn)足方程AX+E=A2+X，則X=___________．正確答案：解析：由AX+E=A2+X(A—E)X=A2一E。A=，則A—E=，顯然A—E可逆，所以(A—E)－1(A—E)X=X=(A—E)－1(A2—E)=(A—E)－1．(A—E)(A+E)=A+E，所以X=計(jì)算題（每小題必須清楚必要的解答步驟與過(guò)程，只給出最后結(jié)果的不得分，共9小題，共計(jì)90分）16.（本小題滿(mǎn)分8分）計(jì)算.解：....................4分.....................8分17.（本小題滿(mǎn)分8分）已知，求.解：方程兩邊對(duì)求導(dǎo)得，即，...........4分所以.故.........................6分..............8分18．（本小題滿(mǎn)分8分）設(shè)是由方程確定的隱函數(shù)，求.解：方程兩邊對(duì)求導(dǎo)得..........................................2分即..........................................4分..........................................6分所以...........................................8分解析：若y=y(x)由方程F(x，y)=0確定，求dy常常有兩種方法．(1)將方程F(x，y)=0直接求微分，然后解出dy．(2)先由方程F(x，y)=0求y′，再由dy=y′dx得出微分dy．19．（本小題滿(mǎn)分8分）已知平面過(guò)兩點(diǎn)M(3，一2，5)和N(2，3，1)且平行于z軸，求此平面的方程．解：因?yàn)槠矫嫫叫杏趜軸，故設(shè)所求平面方程為Ax+By+D=0．..............2分又過(guò)兩點(diǎn)M，N，將其坐標(biāo)分別代入方程得解得A=，..........................4分再代入方程得Dy+D=0，.....................6分故得5x+y一13=0．..........................8分解析：解本題的關(guān)鍵是要抓住題中的兩個(gè)條件．其一，此平面平行于z軸，因而此平面方程為Ax+By+D=0；其二，平面過(guò)兩個(gè)點(diǎn)，那么將這兩個(gè)點(diǎn)代入方程后應(yīng)使等式成立．220.（本小題滿(mǎn)分10分）求，其中區(qū)域由直線(xiàn)圍成.2解：積分區(qū)域如圖所示：把看作Y型區(qū)域，且有..........................................2分故有..........................................5分...........................................10分21．（本小題滿(mǎn)分10分）求y″－2y′一3y=ex的通解．解：其對(duì)應(yīng)的齊次線(xiàn)性微分方程的特征方程為r2一2r一3=0，特征根為r1=－1，r2=3，..........................................2分相應(yīng)齊次方程的通解為=C1e－x+C2e3x．..........................................6分設(shè)方程的特解為y*=Aex，代入y″一2y′一3y=ex，得A=，原方程的特解y*=ex．..........................................10分解析：本題考查二階常系數(shù)非齊次線(xiàn)性微分方程的求解．求解二階常系數(shù)非齊次線(xiàn)性微分方程y″+py′+qy=f(x)的一般步驟：(1)先求出與其相對(duì)應(yīng)的齊次線(xiàn)性微分方程的通解=C1y1+C2y2；(2)再求出它的一個(gè)特解y*；(3)y=C1y1+C2y2+y*即為所求方程的通解．22．（本小題滿(mǎn)分10分）設(shè)線(xiàn)性方程組問(wèn)λ為何值時(shí)，方程組無(wú)解，λ為何值時(shí)，方程組有解，有解時(shí)，求方程組的解．解析：對(duì)方程組的增廣矩陣作初等行變換，得............................................4分所以λ=0或λ=－3時(shí)，方程組無(wú)解；............................................6分λ≠0且λ≠－3時(shí)，方程組有唯一解，其解為........................................10分解析：本題是利用初等行變換求解非齊次線(xiàn)性方程組．（本小題滿(mǎn)分12分）證明題證明不等式：，其中n＜m，且m，n均為正整數(shù)．證明：設(shè)f(x)=lnx，因?yàn)閚＜m，m，n為正整數(shù)，所以根據(jù)拉格朗日中值定理，易知f(x)在區(qū)間[n，m]上，至少存在一點(diǎn)ξ∈(n，m)，使得............................................4分又因?yàn)?＜n＜ξ＜m，故，............................................6分從而有............................................10分整理得............................................12分解析：解題的關(guān)鍵是掌握拉格朗日中值定理．（本小題滿(mǎn)分16分）證明題設(shè)，其中函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)且，證明在開(kāi)區(qū)間內(nèi),方程有唯一實(shí)根.證明：因?yàn)樵谏嫌幸饬x，所以在上連續(xù)，...........................................4分,...............