課時23動能和動能定理

課前導(dǎo)航

人們利用水力發(fā)電，即水對水輪機(jī)做功，水輪機(jī)再對發(fā)電機(jī)的轉(zhuǎn)子做功從而產(chǎn)生電；龍卷風(fēng)破壞力很大，把樹木連根拔起，即風(fēng)對樹木做了功；站在一起的小朋友相互接觸不會有什么反應(yīng)，但從斜軌道上滑下的小朋友撞在另一個小朋友身上(如圖23－1所示)，下面的小朋友卻受不了．

請你思考：

1．水流、龍卷風(fēng)和運動的小朋友為什么都能對外做功呢？圖23－1

2．物體動能的變化量與外力做功的多少有什么定量關(guān)系呢？

基礎(chǔ)梳理基本要求1．知道動能的符號、單位和表達(dá)式，會根據(jù)表達(dá)式計算物體的動能．2．能從牛頓第二定律和運動學(xué)公式導(dǎo)出動能定理，理解動能定理的物理意義．3．領(lǐng)會運用動能定理解題的優(yōu)越性，理解做功的過程就是能量轉(zhuǎn)化或轉(zhuǎn)移的過程，會用動能定理處理單個物體的有關(guān)問題．發(fā)展要求1．知道動能定理也可用于變力做功與曲線運動的較復(fù)雜情景，能用動能定理計算變力所做的功．2．區(qū)分好動能定理、重力做功與重力勢能的變化、彈力做功與彈性勢能的變化之間的關(guān)系．

知識精析

一、動能

1．概念：物體由于運動而具有的能叫動能；物體的動能等于物體的質(zhì)量與物體速度的二次方的乘積的一半．

2．定義式：Ek＝mv2，v為瞬時速度．

3．單位：焦耳(J)．

4．動能概念的理解：

(1)動能是標(biāo)量，且沒有負(fù)值；

(2)動能具有瞬時性，在某一時刻，物體具有一定的速度，也就具有一定的動能；

(3)動能具有相對性，對不同的參考系，物體速度有不同的瞬時值，也就具有不同的動能，一般都以地面為參考系研究物體的運動．

二、物體的動能變化物體的動能變化是末動能與初動能的代數(shù)差．

ΔEk＝m

－m

，若ΔEk>0，表示物體的動能增加；若ΔEk<0，表示物體的動能減?。k與速度方向無關(guān)．

三、動能定理

1．內(nèi)容：合外力對物體做的總功等于物體動能的改變量．

2．表達(dá)式：W總＝Ek2－Ek1＝m

－m

．

3．推導(dǎo)試在以下描述的物理情境中，通過牛頓運動定律推導(dǎo)出動能定理：可看做質(zhì)點的物體在恒力作用下，沿某直線方向運動．

解析

取物體所受的合外力方向為正，物體受到的合外力大小為F，物體的質(zhì)量為m，加速度為a．物體先后經(jīng)過A、B兩位置的速度大小分別為vA、vB，從A點到B點的位移為s．由牛頓第二定律有：F＝ma又由運動學(xué)公式有：2as＝

－

所以F＝m

，即Fs＝m－m

W合＝EkB－EkA(若s與F反向，W合為負(fù)值)．

答案見解析

點評上題為在特殊情形下由牛頓第二定律推導(dǎo)出動能定理，其實利用微積分的方法(微元法)，在任何情形下都可由牛頓第二定律推導(dǎo)出動能定理(包括曲線運動、變速運動)．

4．對動能定理的理解

(1)W總是合外力對物體做的總功，等于所有外力對物體做功的代數(shù)和．

(2)W總＞0表示合外力作為動力對物體做正功，物體的動能增加；W總＜0表示合外力作為阻力對物體做負(fù)功，物體的動能減少．

(3)動能定理的應(yīng)用比較廣泛，既適用于直線運動，也適用于曲線運動；既適用于恒力做功的情況，也適用于變力做功的情況．但是動能定理的研究對象一般應(yīng)為單個平動的剛體(不形變的物體)．

(4)若物體運動的過程中包含幾個不同的過程，應(yīng)用動能定理時，可以分段考慮，也可以將全過程作為一個整體來處理．

(5)動能定理對應(yīng)的是一個過程，并且它只涉及物體初末狀態(tài)的動能和整個過程中合外力做的功，不涉及物體運動過程中的加速度、時間以及中間狀態(tài)的速度和動能，因此用它處理問題比較方便．

(6)動能定理是從功的定義式出發(fā)，結(jié)合牛頓第二定律和動力學(xué)公式推導(dǎo)出來的，所以它不是獨立于牛頓第二定律的運動方程，但它們有較大的區(qū)別：牛頓第二定律是矢量式，反映的是力與加速度的瞬時關(guān)系；動能定理是標(biāo)量式，反映的是做功過程中功與始末兩狀態(tài)動能的變化量的關(guān)系．把對一個物理現(xiàn)象每個瞬時的研究轉(zhuǎn)變成對整個過程的研究，是研究方法上的一大進(jìn)步．

方法探究

一、運用動能定理解題的基本思路

1．選取研究對象，明確它的運動過程．

2．分析研究對象的受力情況和各個力的做功情況．受哪些力？每個力是否做功？是做正功還是做負(fù)功？做多少功？然后求各個外力做的功的代數(shù)和．

3．明確研究對象在運動過程中始末狀態(tài)的動能Ek1和Ek2．

4．列出動能定理的方程W合＝Ek2－Ek1，以及其他必要的解題方程進(jìn)行求解．

例1

兩輛汽車在同一平直路面行駛，它們的質(zhì)量之比m1∶m2＝1∶2，速度之比v1∶v2＝2∶1．當(dāng)汽車急剎車后，甲、乙兩車滑行的最大距離分別為s1和s2，設(shè)兩車與路面間的動摩擦因數(shù)相同，不計空氣阻力，則(

)

A．s1∶s2＝1∶2 B．s1∶s2＝1∶1

C．s1∶s2＝2∶1 D．s1∶s2＝4∶1

解析

汽車剎車滑行時，其消耗的動能等于克服路面的摩擦力所做的功．由動能定理有：

mv2＝μmgs解得：s＝所以＝＝，故D選項正確．

答案D

點評

本題也可由牛頓第二定律和運動學(xué)公式求解．

變式訓(xùn)練1

一物體在光滑水平面上向右運動，從某時刻起對物體作用一恒定的阻力使物體逐漸減速，直到停止．則物體在這段時間內(nèi)通過的位移完全由下列哪個物理量決定(

)

A．物體的質(zhì)量

B．物體的初速度

C．物體的初速度與質(zhì)量的乘積

D．物體的初動能

解析

根據(jù)動能定理Fs＝Ek2－Ek1，易得出s＝，故D選項正確．

答案

D

二、用動能定理求變力做功

例2

如圖23－2甲所示，AA′＝AC＝H．開始時，繩AC處于豎直方向，小車由靜止出發(fā)在水平路面上運動到A′點時速度為v，則在此過程中繩子對在井底的質(zhì)量為m的物體做了多少功？

圖23－2甲

解析繩子對在井底的物體做的功與物體的重力做的功的和等于物體動能的增加量．將繩子末端A′點的速度v分解為沿繩方向的分量v1和垂直于繩子方向的分量v2，如圖23－2乙所示，則井中物體獲得的速度v1＝vcosθ．由圖23－2甲可知θ＝45°．圖23－2乙井中物體上升的高度即等于小車?yán)^去的繩長，即h＝H－H＝(－1)H則由動能定理可得：W－mgh＝mv解得：W＝mv2＋(－1)mgH．

答案

mv2＋(－1)mgH

點評

本題中，速度的分解是解答的關(guān)鍵．

變式訓(xùn)練2

如圖23－3所示，AB為圓弧軌道，BC為水平直軌道，圓弧的半徑為R，BC的長度也是R．一質(zhì)量為m的物體，與兩個軌道間的動摩擦因數(shù)都為μ，當(dāng)它由軌道頂端A從靜止開始下落，恰好運動到C處停止．那么，物體在AB段克服摩擦力所做的功為(

)

圖23－3

A．μmgRB．mgRC．mgRD．(1－μ)mgR

解析

A→B的過程中，彈力、摩擦力都發(fā)生變化，無法直接用功的公式求物體克服摩擦力做的功WAB的數(shù)值，BC段可以直接表示W(wǎng)BC＝μmgR，對A→C全過程用動能定理有mgR－WAB－μmgR＝0，故WAB＝mgR－μmgR，D選項正確．

答案

D

變式訓(xùn)練3

一列車的質(zhì)量是5.0×105kg，在平直的軌道上以額定的功率3000kW加速行駛，當(dāng)速度由10m/s加速到所能達(dá)到的最大速率30m/s時，共用時2min，則在這段時間內(nèi)列車前進(jìn)的距離是多少？(假設(shè)列車所受的阻力恒定)

解析

設(shè)列車所受的阻力為f，有：f＝根據(jù)動能定理有：Pt－fs＝m－m由以上兩式代入數(shù)據(jù)可得：s＝1600m．

答案

1600m

三、用動能定理求解多過程問題

例4

一質(zhì)量為12kg的滑塊以2m/s的初速度在光滑的水平面上向左滑行．從某時刻起在滑塊上作用一向右的水平力F，經(jīng)過一段時間，滑塊的速度方向變?yōu)樗较蛴?，大小?m/s．則在這個過程中水平力F做的功為(

)

A．0 B．12J C．24J D．48J

解析

對于此題，如果詳細(xì)地分析物體的運動情況，則物體在力F的作用下，首先做勻減速運動，減速到零；然后再反向做勻加速運動，且在此過程中，物體所受的合外力始終為F，加速度a始終保持不變，解答過程比較復(fù)雜．如果我們運用動能定理來求解，盡管速度的方向發(fā)生了改變，但速度大小不變，故動能不變，且只有力F做功，故力F做功為零．因此，A選項正確．

答案

A

點評

動能定理只涉及物體運動的始末動能及外力做的總功，故需明確物體運動的始末狀態(tài)及外力的做功情況，進(jìn)而求出外力所做的總功．由于本題未涉及物體的運動時間和加速度，故運用動能定理解題較為簡單．

變式訓(xùn)練4

如圖23－4所示，物體在離斜面底端4m處由靜止滑下．已知物體與斜面及平面間的動摩擦因數(shù)均為0.5，斜面傾角為37°，斜面與平面間由一小段圓弧連接，求物體能在水平面上滑行的最大距離．

圖23－4

解析

物體在斜面上受重力mg、支持力FN、摩擦力f1的作用，沿斜面加速下滑(因為μ＝0.5＜tan37°＝0.75)，到水平面后，在摩擦力f2作用下做減速運動，直到停止．

解法一分別對物體在斜面上和水平面上運動時進(jìn)行受力分析可得：在下滑階段：FN1＝mgcos37°故f1＝μFN1＝μmgcos37°

由動能定理得：

mgsin37°·s1－μmgcos37°·s1＝mv12

－0在水平面上運動過程中，有：f2＝μFN2＝μmg由動能定理得：－μmgs2＝0－mv12解得：s2＝s1＝1.6m．

解法二物體的受力分析情況同上．物體運動的全過程，初末狀態(tài)速度均為零，對全過程運用動能定理，有：mgsin37°·s1-μmgcos37°·s1-μmgs2＝0故有：s2＝s1＝1.6m．

答案

1.6m

互動平臺

粗心同學(xué)和細(xì)心同學(xué)關(guān)于動能和速度的對話

粗心：對于一定質(zhì)量的物體而言，物體的動能不變，則其速度一定也不變；物體的速度不變，則其動能一定也不變．細(xì)心：動能是標(biāo)量還是矢量？粗心：標(biāo)量．細(xì)心：速度是標(biāo)量還是矢量？粗心：矢量．細(xì)心：那你再想一想剛才所說的話．粗心：哦，動能不變，只說明速度的大小不變，并不能說明速度的方向不變，因此物體的動能不變，其速度有可能發(fā)生變化．而物體的速度不變，說明速度的大小和方向均不變，因此動能一定不變．細(xì)心：這就對了！

互動訓(xùn)練

1．物體在合外力作用下做直線運動的v－t圖象如圖所示.下列表述正確的是[2009年高考·廣東理科基礎(chǔ)](

)

A．在0～1s內(nèi)，合外力做正功

B．在0～2s內(nèi)，合外力總是做負(fù)功

C．在1～2s內(nèi)，合外力不做功

D．在0～3s內(nèi)，合外力總是做正功

解析

根據(jù)物體的v－t圖象可知，物體在0～1s內(nèi)做勻加速運動，合外力做正功，A正確．1～3s內(nèi)做勻減速運動，合外力做負(fù)功．根據(jù)動能定理可知，0～3s內(nèi)合外力做功為零，1～2s內(nèi)合外力做負(fù)功．

答案

A

2．一個質(zhì)量為25kg的小孩從高度為3.0m的滑梯頂端由靜止開始滑下，滑到底端時的速度為2.0m/s．取g＝10m/s2，關(guān)于力對小孩做的功，以下結(jié)果正確的是[2008年高考·廣東理科基礎(chǔ)](

)

A．合外力做功為50J

B．阻力做功為500J

C．重力做功為500J

D．支持力做功為50J

解析

合外力做的功等于小孩動能的變化量，即W合＝mgh＋Wf