2017-2018學年高中數(shù)學(人教B版)必修4同步導教學設計：第2章2.4向量的應用2017-2018學年高中數(shù)學(人教B版)必修4同步導教學設計：第2章2.4向量的應用2017-2018學年高中數(shù)學(人教B版)必修4同步導教學設計：第2章2.4向量的應用2017－2018學年高中數(shù)學（人教B版）必修4同步導教學設計：第2章2.4向量的應用向量的應用向量在幾何中的應用向量在物理中的應用1.會用向量法計算或證明平面幾何和剖析幾何中的相關問題.(重點)2.會用向量法解決某些簡單的物理學中的問題.[基礎·初探]教材整理1向量在幾何中的應用閱讀教材P117～P120以上內容，完成以下問題.1.直線與向量平行的條件(1)直線的斜率與向量的關系：設直線l的傾斜角為α，斜率為k，A(x1，y1)∈l，P(x，y)∈l，向量a＝(a1，a2)平行于l，可得k＝y(tǒng)－y1＝a2＝tanα.x－x1a1(2)平行條件：a2若是知道直線l的斜率k＝，則向量(a1，a2)必然與該直線平行.(3)法向量：若是表示向量的基線與一條直線垂直，則稱這個向量垂直該直線.這個向量稱為這條直線的法向量.2.特別向量設直線l的一般方程為Ax＋By＋C＝0，則向量(A，B)與直線l垂直，向量(－B，A)與l平行.判斷(正確的打“√”，錯誤的打“×”)1/182017－2018學年高中數(shù)學（人教B版）必修4同步導教學設計：第2章2.4向量的應用→→(1)若△ABC是直角三角形，則有AB·BC＝0.( )→→(2)若AB∥CD，則直線AB與CD平行.( )【剖析】(1)錯誤.由于△ABC為直角三角形，∠B其實不用然是直角，有可能是∠A或∠C為直角.→→(2)錯誤.向量AB∥CD時，直線AB∥CD或AB與CD重合.【答案】(1)×(2)×教材整理2向量在物理中的應用閱讀教材P121～P122以上內容，完成以下問題.1.力向量力向量與自由向量不同樣，它包括大小、方向、作用點三個要素.在不考慮作用點的情況下，可利用向量運算法規(guī)進行計算.2.速度向量一質點在運動中每一時辰都有一個速度向量，該速度向量可以用有向線段表示.已知力F＝(2,3)作用在一物體上，使物體從A(2,0)搬動到B(－2,3)，則F對物體所做的功為________焦耳.【剖析】→，∴力做的功為＝→－＋×由已知位移AB＝－F·＝×4)(4,3)WFAB2(33＝1.【答案】1[思疑·手記]預習完成后，請將你的疑問記錄，并與“小伙伴們”商議交流：疑問1：_________________________________________________________解惑：_________________________________________________________疑問2：_________________________________________________________解惑：_________________________________________________________疑問3：_________________________________________________________解惑：_________________________________________________________2/182017－2018學年高中數(shù)學（人教B版）必修4同步導教學設計：第2章2.4向量的應用疑問4：_________________________________________________________解惑：_________________________________________________________[小組合作型]向量在平面幾何中的應用如圖2-4-1，在正三角形ABC中，D，E分別是AB，BC上的一個三均分點，且AE與CD交于點P，求證：BP⊥DC.圖2-4-1【優(yōu)秀點撥】先表示出圖中向量對應的線段，再計算所需向量的數(shù)量積.【自主解答】→→的邊長為→＝2→－→，設PD＝λ，并設正三角形，則有：CDABCaCD3BABC→→→→1→2→→PA＝PD＋DA＝λCD＋3BA＝λ3BA－BC→→1→→→又EA＝BA－3BC，PA∥EA，1→→(2λ＋1)BA－λBC3

1→1→→＋3BA＝3(2λ＋1)BA－λBC.→1→＝kBA－3kBC，3/182017－2018學年高中數(shù)學（人教B版）必修4同步導教學設計：第2章2.4向量的應用1132λ＋1＝k，λ＝7，于是有1解得3λ＝k，k＝，37→1→∴PD＝7CD，→→→1→4→∴BP＝BD＋DP＝7BC＋7BA，→→1→4→2→→從而BP·CD＝BC＋BA·BA－BC7738212102＝21a－7a－21acos60＝°0.由向量垂直的條件知，BP⊥DC.垂直問題的解決，一般的思路是將目標線段的垂直轉變成向量的數(shù)量積為零，而在此過程中，則需運用線性運算，將目標向量用基底表示，經過基底的數(shù)量積運算式→→→→使問題獲解，如本題即是將向量BP，CD由基底BA，BC線性表示.自然基底的采用應以可以方便運算為準，即它們的夾角是明確的，且長度易知.[再練一題]如圖所示，若是△內的一點，且→－→＝→D2AC2DB21.2-4-2ABCAB→DC2，求證：AD⊥BC.圖2-4-2→→→→→【證明】設AB＝a，AC＝b，AD＝e，DB＝c，DC＝d，則a＝e＋c，b＝e＋d，∴a2－b2＝(e＋c)2－(e＋d)24/182017－2018學年高中數(shù)學（人教B版）必修4同步導教學設計：第2章2.4向量的應用＝c2＋2e·c－2e·d－d2.由已知a2－b2＝c2－d2，∴c2＋2e·c－2e·d－d2＝c2－d2，即e·(c－d)＝0.→→→∵BC＝BD＋DC＝d－c，→→∴AD·BC＝e·(d－c)＝0，→→∴AD⊥BC，即AD⊥BC.向量在剖析幾何中的應用過點A(－2,1)，求：(1)與向量a＝(3,1)平行的直線方程；(2)與向量b＝(－1,2)垂直的直線方程.【優(yōu)秀點撥】→＋，－，由→在直線上任取一點P(x，y)，則AP＝(x1)∥可以得2yAPa→(1)，由AP⊥b可以得(2).【自主解答】設所求直線上任意一點P(x，y)，→∵A(－2,1)，∴AP＝(x＋2，y－1).→(1)由題意知AP∥a，∴(x＋2)×1－3(y－1)＝0，即x－3y＋5＝0，∴所求直線方程為x－3y＋5＝0.→(2)由題意，知AP⊥b，∴(x＋2)×(－1)＋(y－1)×2＝0，即x－2y＋4＝0，5/182017－2018學年高中數(shù)學（人教B版）必修4同步導教學設計：第2章2.4向量的應用∴所求直線方程為x－2y＋4＝0.→1.本題求解的重點是在所求直線上任取一點P(x，y)，從而獲取向量AP的坐標.2.用向量方法解決剖析幾何問題的步驟：一是把剖析幾何問題中的相關量用向量表示；二是轉變成向量模型，經過向量運算解決問題；三是將結果還原為剖析幾何問題.[再練一題]→2.已知點A(1,0)，直線l：y＝2x－6，點R是直線l上的一點，若RA→＝2AP，求點P的軌跡方程.【導學號：72010069】【解】設P(x，y)，R(x0，y0)，→則RA＝(1,0)－(x0，y0)＝(1－x0，－y0)，→AP＝(x，y)－(1,0)＝(x－1，y).→→1－x0＝2x－1，由RA＝2AP，得y0＝2y，又∵點R在直線l：y＝2x－6上，∴y0＝2x0－6，1－x0＝2x－2，①∴6－2x0＝2y，②由①得x0＝3－2x，代入②得6－2(3－2x)＝2y，整理得y＝2x，即為點P的軌跡方程.向量在物理中的應用(1)一個質點碰到平面上的三個力F1，F(xiàn)2，F(xiàn)3(單位：牛頓)的作用而處于平衡狀態(tài)，已知F1，F(xiàn)2成60°角且|F1|＝2，|F2|＝4，則|F6/182017－2018學年高中數(shù)學（人教B版）必修4同步導教學設計：第2章2.4向量的應用3|＝()37(2)某人騎車以每小時a千米的速度向東行駛，感覺風從正北方向吹來，而當速度為每小時2a千米時，感覺風從東北方向吹來，試求實質風速和方向.【優(yōu)秀點撥】(1)可利用F1＋F2＋F3＝0分別F3得F3＝－F1－F2，平方可求|F3|.(2)用相關向量表示行駛速度與風速，可利用三角形法規(guī)求解.【自主解答】(1)由于物體處于平衡狀態(tài)，所以F1＋F2＋F3＝0，所以F3＝－(F1＋F2)，所以|F3|＝|F1＋F2|F1＋F22|F1|2＋|F2|2＋2F1·F21＝4＋16＋2×2×4×2＝27.【答案】D(2)設a表示此人以每小時a千米的速度向東行駛的向量，無風時此人感覺風速為→→→－a，設實質風速為v，那么此時人感覺的風速為v－a，設OA＝－a，OB＝－2a，PO＝→→→v，由于PO＋OA＝PA，→所以PA＝v－a，這就是感覺由正北方向吹來的風速，→→→→由于PO＋OB＝PB，所以PB＝v－2a.→于是當此人的速度是原來的2倍時所感覺到由東北方向吹來的風速就是PB.由題意：∠PBO＝45°，PA⊥BO，BA＝AO，從而，△POB為等腰直角三角形，所以7/182017－2018學年高中數(shù)學（人教B版）必修4同步導教學設計：第2章2.4向量的應用PO＝PB＝2a，即|v|＝2a，所以實質風速是每小時2a千米的西北風.向量在物理中的應用：(1)求力向量、速度向量常用的方法：一般是向量幾何化，借助于向量求和的平行四邊形法規(guī)求解.(2)用向量方法解決物理問題的步驟：①把物理問題中的相關量用向量表示；②轉變成向量問題的模型，經過向量運算使問題解決；③結果還原為物理問題.再練一題]3.在靜水中劃船速度的大小是每分鐘40m，水流速度的大小是每分鐘20m，若是一小船從岸邊O處出發(fā)，沿著垂直于水流的航線到達對岸，則小船的前進方向應指向哪里？→→【解】以下列圖，設向量OA的長度和方向表示水流速度的大小和方向，向量OB→→的長度和方向表示船在靜水中速度的大小和方向，以OA，OB為鄰邊作平行四邊形OACB，連接OC.依題意OC⊥OA，BC＝OA＝20，OB＝40，∴∠BOC＝30°.故船應向上游(左)與河岸夾角為60°的方向前進.[研究共研型]向量的數(shù)量積在物理中的應用研究1向量的數(shù)量積與功有什么聯(lián)系？8/182017－2018學年高中數(shù)學（人教B版）必修4同步導教學設計：第2章2.4向量的應用【提示】物理上力作功的實質是力在物體前進方向上的分力與物體位移距離的乘積，它的實質是向量的數(shù)量積.研究2用向量方法解決物理問題的一般步驟是什么？【提示】用向量理論談論物理學中的相關問題，一般來說分為四個步驟：①問題轉變，即把物理問題轉變成數(shù)學問題；②建立模型，即建立以向量為載體的數(shù)學模型；③求解參數(shù)，即求向量的模、夾角、數(shù)量積等；④回答以下問題，即把所得的數(shù)學結論回歸到物理問題中.兩個力F1＝i＋j，F(xiàn)2＝4i－5j作用于同一質點，使該質點從點A(20,15)搬動到點B(7,0)(其中i，j分別是與x軸y軸同方向的單位向量).求(1)F1，F(xiàn)2分別對該質點做的功；(2)F1，F(xiàn)2的合力F對該質點做的功.【優(yōu)秀點撥】向量數(shù)量積的物理背景是做功問題，所以本題需將做功問題轉變成求向量的數(shù)量積的問題.→【自主解答】AB＝(7－20)i＋(0－15)j＝－13i－15j.→(1)F1做的功W1＝F1·s＝F1·AB(i＋j)·(－13i－15j)＝－28J.→F2做的功W2＝F2·s＝F2·AB(4i－5j)·(－13i－15j)＝23J.(2)F＝F1＋F2＝5i－4j，→所以F做的功W＝F·s＝F·AB＝(5i－4j)·(－13i－15j)＝－5J.1.求幾個力的合力：可以用幾何法，經過解三角形求邊長及角，也可以用向量法求解.9/182017－2018學年高中數(shù)學（人教B版）必修4同步導教學設計：第2章2.4向量的應用2.若是一個物體在力F的作用下產生位移s，那么力F所做的功W＝|F||s|cosθ，其中θ是F與s的夾角.由于力和位移都是向量，所以力所做的功就是力與位移的數(shù)量積.[再練一題]4.如圖2-4-3所示，已知力F與水平方向的夾角為30°(斜向上)，大小為50N，一個質量為8kg的木塊受力F的作用在動摩擦因數(shù)μ＝的水平面上運動了202m，則力F和摩擦力f所做的功分別為多少？(|g|＝10m/s)圖2-4-3【解】設木塊的位移為s，則：3W＝F·s＝|F|·|s|cos30＝°50×20×2＝5003(J).由于F在豎直方向上的分力的大小為1|F1|＝|F|·sin30＝°50×2＝25(N)，所以物體所受的支持力的大小為|FN|＝|mg|－|F1|＝8×10－25＝55(N).所以摩擦力的大小為|f|＝|μFN|＝×55＝1.1(N).又f與s反向，所以f·s＝|f|·|s|cos180°＝×20×(－1)＝－22(J).即F與f所做的功分別是5003J與－22J.10/182017－2018學年高中數(shù)學（人教B版）必修4同步導教學設計：第2章2.4向量的應用1.過點M(2,3)，且垂直于向量u＝(2,1)的直線方程為( )＋y－7＝0＋y＋7＝0－2y＋4＝0－2y－4＝0→【剖析】設P(x，y)是所求直線上任一點，則MP⊥u，→又∵MP＝(x－2，y－3)，∴2(x－2)＋(y－3)＝0，即2x＋y－7＝0.【答案】A→→2.若向量OF1＝(1,1)，OF2＝(－3，－2)分別表示兩個力F1，F(xiàn)2，則|F1＋F2|為()A.10B.25C.5D.15【剖析】由于F1＋F2＝(1,1)＋(－，－＝(－，－1)，32)2所以|F1＋F2|＝－22＋－12＝5，應選C.【答案】C→→→→＝，則△為3.在△ABC中，若(CA＋CB·－CB))(CA)0ABC(A.正三角形B.直角三角形C.等腰三角形D.形狀無法確定11/182017－2018學年高中數(shù)學（人教B版）必修4同步導教學設計：第2章2.4向量的應用【剖析】→→→→＝，∵(CA＋·－CB)CB)(CA0→→→→∴CA2－CB2＝0，CA2＝CB2，∴CA＝CB，△ABC為等腰三角形.【答案】C→→→→4.若AB＝3e，DC＝5e，且|AD|＝|BC|，則四邊形ABCD的形狀為________.【剖析】→，→＝，得→→由AB＝DC∥，3e5eABDC→→為四邊形，≠DC，又由于ABCDAB所以AB∥DC，AB≠DC.→→又|AD|＝|BC|，得AD＝BC，所以四邊形ABCD為等腰梯形.【答案】等腰梯形5.一架飛機從A地向北偏西60°的方向翱翔1000km到達B地，爾后向C地翱翔.設C地恰幸好A地的南偏西60°方向上，并且A，C兩地相距2000km，求飛機從B地到C地的位移.【導學號：72010070】【解】以下列圖，設A地在東西基線和南北基線的交點處，則A(0,0)，B(－1000cos30，°1000sin30)°＝(－5003，500)，C(－2000cos30，°－2000sin30)°＝(－10003，－1000)，12/182017－2018學年高中數(shù)學（人教B版）必修4同步導教學設計：第2章2.4向量的應用→∴BC＝(－5003，－1500)，→∴|BC|＝－50032＋－15002＝10003(km).我還有這些不足：(1)_________________________________________________________(2)_________________________________________________________我的課下提升方案：(1)_________________________________________________________(2)_________________________________________________________學業(yè)分層測評(二十三)(建議用時：45分鐘)[學業(yè)達標]一、選擇題1.已知直線l：mx＋2y＋6＝0，向量(1－m,1)與l平行，則實數(shù)m的值為()A.－1D.－1或2【剖析】向量(1－m,1)是直線的方向向量，所以斜率為1，則1＝－m，解1－m1－m2得m＝－1或m＝2.【答案】D2.已知點A(2,3)，B(－2,6)，C(6,6)，D(10,3)，則以ABCD為極點的四邊形是( )A.梯形B.鄰邊不相等的平行四邊形C.菱形D.兩組對邊均不平行的四邊形→→→→→→【剖析】由于AD＝(8,0)，BC＝(8,0)，所以AD＝BC，由于BA＝(4，－3)，所以|BA→|＝5，而|BC|＝8，故為鄰邊不相等的平行四邊形.13/182017－2018學年高中數(shù)學（人教B版）必修4同步導教學設計：第2章2.4向量的應用【答案】B1→→→→＋OB＋OC＝，則點G是△ABC的()3.在△ABC中，若3(OA)OGA.內心B.外心C.垂心D.重心1→→→→→→→→→→→【剖析】由于3(OA＋OB＋OC)＝OG，所以GA－GO＋GB－GO＋GC－GO＝3OG，→→→化簡得GA＋GB＋GC＝0，故點G為三角形ABC的重心.【答案】D→→→4.在△ABC中，D為BC邊的中點，已知AB＝a，AC＝b，則以下向量中與AD同方向的是()a＋babA.|a＋b|B.|a|＋|b|a－babC.|a－b|D.|a|－|b|【剖析】→→＝→，所以＋與→共線，由于D為BC邊的中點，則有AB＋AC2ADADaba＋b與a＋b共線，所以選項A正確.又由于|a＋b|【答案】A5.如圖2-4-4所示，一力作用在小車上，其中力F的大小為10N，方向與水平面成60°角，當小車向前運動10米，則力F做的功為()圖2-4-4焦耳焦耳C.503焦耳焦耳【剖析】設小車位移為s，則|s|＝10米，WF＝F·s＝|F||s|·cos60°1＝10×10×2＝50(焦耳).14/182017－2018學年高中數(shù)學（人教B版）必修4同步導教學設計：第2章2.4向量的應用應選B.【答案】B二、填空題→→→→→→6.在邊長為1的正三角形ABC中，AB·BC＋BC·CA＋CA·AB＝________.【導學號：72010071】→→→→→→【剖析】AB·BC＋BC·CA＋CA·AB→→→→→＝AB·(BC＋CA)＋BC·CA→→→→＝AB·BA－CA·CB→→→2－|CA||CB|cos60°＝－AB21＝－1－1×1×23＝－2.3【答案】－27.用兩條成120°角的等長的繩子懸掛一個物體，如圖2-4-5所示，已知物體的重力大小為10N，則每根繩子的拉力大小是________.圖2-4-5【剖析】因繩子等長，所以每根繩子上的拉力和合力所成的角都相等，且等于60°，故每根繩子的拉力大小都是10N.【答案】10N三、解答題8.已知△ABC的三個極點A(0，－4)，B(4,0)，C(－6,2)，點D，E，F(xiàn)分別為邊BC，CA，AB的中點.15/182017－2018學年高中數(shù)學（人教B版）必修4同步導教學設計：第2章2.4向量的應用(1)求直線DE，EF，F(xiàn)D的方程；(2)求AB邊上的高線CH所在直線的方程.【解】(1)由已知得點D(－1,1)，E(－3，－1)，F(xiàn)(2，－2).設點M(x，y)是直線DE上的任意一點，→→→則DM∥DE，DM＝(x＋1，y－1)，→DE＝(－2，－2)，∴(－2)×(x＋1)－(－2)×(y－1)＝0，即x－y＋2＝0為直線DE的方程.同理可得直線EF，F(xiàn)D的方程分別為x＋5y＋8＝0，x＋y＝0.(2)設點N(x，y)是CH所在直線上的任意一點，→→→→則CN⊥AB，CN·AB＝0，→→CN＝(x＋6，y－2)，AB＝(4,4)，∴4(x＋6)＋4(y－2)＝0，即x＋y＋4＝0為所求高線CH所在直線的方程.9.在平面直角坐標系xOy中，點A(－1，－2)，B(2,3)，C(－2，－1).(1)求以線段AB，AC為鄰邊的平行四邊形的兩條對角線的長；→→(2)求AB和AC夾角的余弦值；可否存在實數(shù)滿足→－t→·→t(ABOC)OC(3)→→＝OA·OC，若存在，求t的值；若不存在，說