第五章三角函數(shù)§5.2三角函數(shù)的概念5.2.1三角函數(shù)的概念(一）第五章三角函數(shù)§5.2三角函數(shù)的概念1探要點(diǎn)·究所然情境導(dǎo)學(xué)在初中我們已經(jīng)學(xué)過銳角三角函數(shù)，知道它們都是以銳角為自變量，以比值為函數(shù)值的函數(shù)，

角的概念推廣后，這樣的三角函數(shù)的定義明顯不再適用，如何對三角函數(shù)重新定義，這一節(jié)我們就來一起研究這個(gè)問題.探要點(diǎn)·究所然情境導(dǎo)學(xué)在初中我們已經(jīng)學(xué)過銳角三角函數(shù)，知道它2探究點(diǎn)一銳角三角函數(shù)的定義思考1如圖，Rt△ABC中，∠C＝90°，若已知a＝3，b＝4，c＝5，試求sinA，cosB，sinB，cosA，tanA，tanB的值.探究點(diǎn)一銳角三角函數(shù)的定義思考1如圖，Rt△ABC中，3思考2如圖，銳角α的頂點(diǎn)與原點(diǎn)O重合，始邊與x軸的非負(fù)半軸重合，在α終邊上任取一點(diǎn)P(a，b)，它與原點(diǎn)的距離為r，作PM⊥x軸，你能根據(jù)直角三角形中三角函數(shù)的定義求出sinα，cosα，tanα嗎？思考2如圖，銳角α的頂點(diǎn)與原點(diǎn)O重合，始邊與4思考3

如圖所示，在直角坐標(biāo)系中，以原點(diǎn)為圓心，以單位長度為半徑的圓為單位圓.銳角α的終邊與單位圓交于P(x，y)點(diǎn)，則有：sinα＝

，cosα＝

，tanα＝

.yx思考3如圖所示，在直角坐標(biāo)系中，以原點(diǎn)為yx5探究點(diǎn)二任意角三角函數(shù)的概念

yyxx

探究點(diǎn)二任意角三角函數(shù)的概念

yyxx

6

7思考2對于確定的角α，這三個(gè)比值是否會隨點(diǎn)P在α的終邊上的位置的改變而改變呢？答

由三角函數(shù)的定義知，三角函數(shù)值是一個(gè)比值，即一個(gè)實(shí)數(shù)，它的大小只與角α的終邊位置有關(guān)，即與角有關(guān)，與角α終邊上點(diǎn)P的位置無關(guān).思考2對于確定的角α，這三個(gè)比值是否會隨點(diǎn)P在α的終邊上的8思考3

在上述三角函數(shù)定義中，自變量是什么？對應(yīng)關(guān)系有什么特點(diǎn)，函數(shù)值是什么？答

(1)正弦，余弦，正切都是以角為自變量，以單位圓上點(diǎn)的坐標(biāo)或坐標(biāo)的比值為函數(shù)值的函數(shù)，我們將這種函數(shù)統(tǒng)稱為三角函數(shù).

思考3在上述三角函數(shù)定義中，自變量是什么？對應(yīng)關(guān)系有什么特9(3)當(dāng)α是銳角時(shí)，此定義與初中定義相同；當(dāng)α不是銳角時(shí)，也能夠找出三角函數(shù)，因?yàn)?，既然有角，就必然有終邊，終邊就必然與單位圓有交點(diǎn)P(x，y)，從而就必然能夠最終計(jì)算出三角函數(shù)值.(3)當(dāng)α是銳角時(shí)，此定義與初中定義相同；當(dāng)α不是銳角時(shí)，也10

解

在直角坐標(biāo)系中，

∠AOB的終邊與單位圓的交點(diǎn)坐標(biāo)為

解在直角坐標(biāo)系中，

∠AOB的終邊與單位圓的交點(diǎn)坐標(biāo)為11反思與感悟利用三角函數(shù)的定義，求一個(gè)角的三角函數(shù)，需要確定三個(gè)量：角的終邊上任意一個(gè)異于原點(diǎn)的點(diǎn)P的橫坐標(biāo)x、縱坐標(biāo)y、點(diǎn)P到原點(diǎn)的距離r.特別注意，當(dāng)點(diǎn)的坐標(biāo)含有參數(shù)時(shí)，應(yīng)分類討論.反思與感悟利用三角函數(shù)的定義，求一個(gè)角的三角函數(shù)，需要確定12跟蹤訓(xùn)練1已知角θ的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，始邊為x軸的非負(fù)半軸，若P(4，y)是角θ終邊上一點(diǎn)，且sinθ＝

則y＝

.所以y<0，且y2＝64，所以y＝－8.－8跟蹤訓(xùn)練1已知角θ的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，始邊為x軸的非負(fù)半軸，13探究點(diǎn)三三角函數(shù)值在各象限的符號

探究點(diǎn)三三角函數(shù)值在各象限的符號

14

15三角函數(shù)值在各象限內(nèi)的符號，如圖所示：記憶口訣：一全正，二正弦，三正切，四余弦.三角函數(shù)值在各象限內(nèi)的符號，如圖所示：記憶口訣：一全正，二正16例2判斷下列各式的符號：(1)sinα·cosα(其中α是第二象限角)；解

(1)∵α是第二象限角.∴sinα>0，cosα<0，∴sinα·cosα<0.例2判斷下列各式的符號：解(1)∵α是第二象限角.17(2)sin285°cos(－105°)；解

∵285°是第四象限角，∴sin285°<0，∵－105°是第三象限角，∴cos(－105°)<0，∴sin285°·cos(－105°)>0.(2)sin285°cos(－105°)；18反思與感悟準(zhǔn)確確定三角函數(shù)值中角所在象限是基礎(chǔ)，準(zhǔn)確記憶三角函數(shù)在各象限的符號是解決這類問題的關(guān)鍵.例2判斷下列各式的符號：(2)sin285°cos(－105°)；探究點(diǎn)二任意角三角函數(shù)的概念解∵285°是第四象限角，∴sin285°<0，答(1)正弦，余弦，正切都是以角為自變量，以單位圓上點(diǎn)的坐標(biāo)或坐標(biāo)的比值為函數(shù)值的函數(shù)，我們將這種函數(shù)統(tǒng)稱為三角函數(shù).反思與感悟利用三角函數(shù)的定義，求一個(gè)角的三角函數(shù)，需要確定三個(gè)量：角的終邊上任意一個(gè)異于原點(diǎn)的點(diǎn)P的橫坐標(biāo)x、縱坐標(biāo)y、點(diǎn)P到原點(diǎn)的距離r.第三或第四象限角 D.思考2對于確定的角α，這三個(gè)比值是否會隨點(diǎn)P在α的終邊上的位置的改變而改變呢？在初中我們已經(jīng)學(xué)過銳角三角函數(shù)，知道它們都是以銳角為自變量，以比值為函數(shù)值的函數(shù)，角的概念推廣后，這樣的三角函數(shù)的定義明顯不再適用，如何對三角函數(shù)重新定義，這一節(jié)我們就來一起研究這個(gè)問題.探究點(diǎn)一銳角三角函數(shù)的定義特別注意，當(dāng)點(diǎn)的坐標(biāo)含有參數(shù)時(shí)，應(yīng)分類討論.反思與感悟準(zhǔn)確確定三角函數(shù)值中角所在象限是基礎(chǔ)，準(zhǔn)確記憶三角函數(shù)在各象限的符號是解決這類問題的關(guān)鍵.圓心，以單位長度為半徑的圓為單位圓.反思與感悟利用三角函數(shù)的定義，求一個(gè)角的三角函數(shù)，需要確定三個(gè)量：角的終邊上任意一個(gè)異于原點(diǎn)的點(diǎn)P的橫坐標(biāo)x、縱坐標(biāo)y、點(diǎn)P到原點(diǎn)的距離r.的終邊與單位圓交于P(x，y)點(diǎn)，則有：sinα＝，反思與感悟準(zhǔn)確確定三角函數(shù)值中角所在象限是基礎(chǔ)，準(zhǔn)確記憶三角函數(shù)在各象限的符號是解決這類問題的關(guān)鍵.三角形中三角函數(shù)的定義求出sinα，cosα，tanα嗎？x軸的非負(fù)半軸重合，在α終邊上任取一點(diǎn)P(a，b)，所以y<0，且y2＝64，所以y＝－8.特別注意，當(dāng)點(diǎn)的坐標(biāo)含有參數(shù)時(shí)，應(yīng)分類討論.∴sin3>0，cos4<0.反思與感悟準(zhǔn)確確定三角函數(shù)值中角所在象限是基礎(chǔ)，準(zhǔn)確記憶三19反思與感悟準(zhǔn)確確定三角函數(shù)值中角所在象限是基礎(chǔ)，準(zhǔn)確記憶三角函數(shù)在各象限的符號是解決這類問題的關(guān)鍵.可以利用口訣“一全正、二正弦、三正切、四余弦”來記憶.反思與感悟準(zhǔn)確確定三角函數(shù)值中角所在象限是基礎(chǔ)，準(zhǔn)確記憶三20跟蹤訓(xùn)練2已知cosθ·tanθ<0，那角θ是(

)A.第一或第二象限角

B.第二或第三象限角C.第三或第四象限角

D.第一或第四象限角∴角θ為第三或第四象限角.C跟蹤訓(xùn)練2已知cosθ·tanθ<0，那角θ是()21當(dāng)堂測·查疑缺12341.已知角α的終邊經(jīng)過點(diǎn)(－4,3)，則cosα等于(

)D當(dāng)堂測·查疑缺12341.已知角α的終邊經(jīng)過點(diǎn)(－4,3)2212342.如果角α的終邊過點(diǎn)P(2sin30°，－2cos30°)，則cosα的值等于(

)A12342.如果角α的終邊過點(diǎn)P(2sin30°，－2co231234D1234D24呈重點(diǎn)、現(xiàn)規(guī)律1.三角函數(shù)值是比值，是一個(gè)實(shí)數(shù)，這個(gè)實(shí)數(shù)的大小和點(diǎn)P(x，y)在終邊上的位置無關(guān)，只由角α的終邊位置確定.即三角函數(shù)值的大小只與角有關(guān).2.要善于利用三角函數(shù)的定義及三角函數(shù)的符號規(guī)律解題，并且注意掌握解題時(shí)必要的分類討論及三角函數(shù)值符號的正確選取.3.要牢記一些特殊角的正弦、余弦、正切值.呈重點(diǎn)、現(xiàn)規(guī)律1.三角函數(shù)值是比值，是一個(gè)實(shí)數(shù)，這個(gè)實(shí)數(shù)的大25第五章三角函數(shù)§5.2三角函數(shù)的概念5.2.1三角函數(shù)的概念(一）第五章三角函數(shù)§5.2三角函數(shù)的概念26探要點(diǎn)·究所然情境導(dǎo)學(xué)在初中我們已經(jīng)學(xué)過銳角三角函數(shù)，知道它們都是以銳角為自變量，以比值為函數(shù)值的函數(shù)，

角的概念推廣后，這樣的三角函數(shù)的定義明顯不再適用，如何對三角函數(shù)重新定義，這一節(jié)我們就來一起研究這個(gè)問題.探要點(diǎn)·究所然情境導(dǎo)學(xué)在初中我們已經(jīng)學(xué)過銳角三角函數(shù)，知道它27探究點(diǎn)一銳角三角函數(shù)的定義思考1如圖，Rt△ABC中，∠C＝90°，若已知a＝3，b＝4，c＝5，試求sinA，cosB，sinB，cosA，tanA，tanB的值.探究點(diǎn)一銳角三角函數(shù)的定義思考1如圖，Rt△ABC中，28思考2如圖，銳角α的頂點(diǎn)與原點(diǎn)O重合，始邊與x軸的非負(fù)半軸重合，在α終邊上任取一點(diǎn)P(a，b)，它與原點(diǎn)的距離為r，作PM⊥x軸，你能根據(jù)直角三角形中三角函數(shù)的定義求出sinα，cosα，tanα嗎？思考2如圖，銳角α的頂點(diǎn)與原點(diǎn)O重合，始邊與29思考3

如圖所示，在直角坐標(biāo)系中，以原點(diǎn)為圓心，以單位長度為半徑的圓為單位圓.銳角α的終邊與單位圓交于P(x，y)點(diǎn)，則有：sinα＝

，cosα＝

，tanα＝

.yx思考3如圖所示，在直角坐標(biāo)系中，以原點(diǎn)為yx30探究點(diǎn)二任意角三角函數(shù)的概念

yyxx

探究點(diǎn)二任意角三角函數(shù)的概念

yyxx

31

32思考2對于確定的角α，這三個(gè)比值是否會隨點(diǎn)P在α的終邊上的位置的改變而改變呢？答

由三角函數(shù)的定義知，三角函數(shù)值是一個(gè)比值，即一個(gè)實(shí)數(shù)，它的大小只與角α的終邊位置有關(guān)，即與角有關(guān)，與角α終邊上點(diǎn)P的位置無關(guān).思考2對于確定的角α，這三個(gè)比值是否會隨點(diǎn)P在α的終邊上的33思考3

在上述三角函數(shù)定義中，自變量是什么？對應(yīng)關(guān)系有什么特點(diǎn)，函數(shù)值是什么？答

(1)正弦，余弦，正切都是以角為自變量，以單位圓上點(diǎn)的坐標(biāo)或坐標(biāo)的比值為函數(shù)值的函數(shù)，我們將這種函數(shù)統(tǒng)稱為三角函數(shù).

思考3在上述三角函數(shù)定義中，自變量是什么？對應(yīng)關(guān)系有什么特34(3)當(dāng)α是銳角時(shí)，此定義與初中定義相同；當(dāng)α不是銳角時(shí)，也能夠找出三角函數(shù)，因?yàn)?，既然有角，就必然有終邊，終邊就必然與單位圓有交點(diǎn)P(x，y)，從而就必然能夠最終計(jì)算出三角函數(shù)值.(3)當(dāng)α是銳角時(shí)，此定義與初中定義相同；當(dāng)α不是銳角時(shí)，也35

解

在直角坐標(biāo)系中，

∠AOB的終邊與單位圓的交點(diǎn)坐標(biāo)為

解在直角坐標(biāo)系中，

∠AOB的終邊與單位圓的交點(diǎn)坐標(biāo)為36反思與感悟利用三角函數(shù)的定義，求一個(gè)角的三角函數(shù)，需要確定三個(gè)量：角的終邊上任意一個(gè)異于原點(diǎn)的點(diǎn)P的橫坐標(biāo)x、縱坐標(biāo)y、點(diǎn)P到原點(diǎn)的距離r.特別注意，當(dāng)點(diǎn)的坐標(biāo)含有參數(shù)時(shí)，應(yīng)分類討論.反思與感悟利用三角函數(shù)的定義，求一個(gè)角的三角函數(shù)，需要確定37跟蹤訓(xùn)練1已知角θ的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，始邊為x軸的非負(fù)半軸，若P(4，y)是角θ終邊上一點(diǎn)，且sinθ＝

則y＝

.所以y<0，且y2＝64，所以y＝－8.－8跟蹤訓(xùn)練1已知角θ的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，始邊為x軸的非負(fù)半軸，38探究點(diǎn)三三角函數(shù)值在各象限的符號

探究點(diǎn)三三角函數(shù)值在各象限的符號

39

40三角函數(shù)值在各象限內(nèi)的符號，如圖所示：記憶口訣：一全正，二正弦，三正切，四余弦.三角函數(shù)值在各象限內(nèi)的符號，如圖所示：記憶口訣：一全正，二正41例2判斷下列各式的符號：(1)sinα·cosα(其中α是第二象限角)；解

(1)∵α是第二象限角.∴sinα>0，cosα<0，∴sinα·cosα<0.例2判斷下列各式的符號：解(1)∵α是第二象限角.42(2)sin285°cos(－105°)；解

∵285°是第四象限角，∴sin285°<0，∵－105°是第三象限角，∴cos(－105°)<0，∴sin285°·cos(－105°)>0.(2)sin285°cos(－105°)；43反思與感悟準(zhǔn)確確定三角函數(shù)值中角所在象限是基礎(chǔ)，準(zhǔn)確記憶三角函數(shù)在各象限的符號是解決這類問題的關(guān)鍵.例2判斷下列各式的符號：(2)sin285°cos(－105°)；探究點(diǎn)二任意角三角函數(shù)的概念解∵285°是第四象限角，∴sin285°<0，答(1)正弦，余弦，正切都是以角為自變量，以單位圓上點(diǎn)的坐標(biāo)或坐標(biāo)的比值為函數(shù)值的函數(shù)，我們將這種函數(shù)統(tǒng)稱為三角函數(shù).反思與感悟利用三角函數(shù)的定義，求一個(gè)角的三角函數(shù)，需要確定三個(gè)量：角的終邊上任意一個(gè)異于原點(diǎn)的點(diǎn)P的橫坐標(biāo)x、縱坐標(biāo)y、點(diǎn)P到原點(diǎn)的距離r.第三或第四象限角 D.思考2對于確定的角α，這三個(gè)比值是否會隨點(diǎn)P在α的終邊上的位置的改變而改變呢？在初中我們已經(jīng)學(xué)過銳角三角函數(shù)，知道它們都是以銳角為自變量，以比值為函數(shù)值的函數(shù)，角的概念推廣后，這樣的三角函數(shù)的定義明顯不再適用，如何對三角函數(shù)重新定義，這一節(jié)我們就來一起研究這個(gè)問題.探究點(diǎn)一銳角三角函數(shù)的定義特別注意，當(dāng)點(diǎn)的坐標(biāo)含有參數(shù)時(shí)，應(yīng)分類討論.反思與感悟準(zhǔn)確確定三角函數(shù)值中角所在象限是基礎(chǔ)，準(zhǔn)確記憶三角函數(shù)在各象限的符號是解決這類問題的關(guān)鍵.圓心，以單位長度為半徑的圓為單位圓.反思與感悟利用三角函數(shù)的定義，求一個(gè)角的三角函數(shù)，需要確定三個(gè)量：角的終邊上任意一個(gè)異于原點(diǎn)的點(diǎn)P的橫坐標(biāo)x、縱坐標(biāo)y、點(diǎn)P到原點(diǎn)的距離r.的終邊與單位圓交于P(x，y)點(diǎn)，則有：sinα＝，反思與感悟準(zhǔn)確確定三角函數(shù)值中角所在象限是基礎(chǔ)，準(zhǔn)確記憶三角函數(shù)在各象限的符號是解決這類問題的關(guān)鍵.三角形中三角函數(shù)的定義求出sinα，cosα，tanα嗎？x軸的非負(fù)半軸重合，在α終邊上任取一點(diǎn)P(a，b)，所以y<0，且y2＝64，所以y＝－8.特別注意，當(dāng)點(diǎn)的坐標(biāo)含有參數(shù)時(shí)，應(yīng)分類討論.∴sin3>0，cos4<0.反思與感悟準(zhǔn)確確定三角函數(shù)值中角所在象限是基礎(chǔ)，準(zhǔn)確記憶三44