八年級(jí)上冊(cè)全等三角形的判定

八年級(jí)上冊(cè)全等三角形的判定

∠A=∠A′AB=A′B′已知△ABC≌△

A′B′

C′，找出其中相等的邊與角：思考滿足這六個(gè)條件可以保證△ABC≌△A′B′C′嗎？創(chuàng)設(shè)情境，導(dǎo)入新知ABCA′

B′C′

∠B=∠B′BC=B′C′∠C=∠C′AC=A′C′∠A=∠A′AB=A′B′已知△ABC≌△A′B追問(wèn)當(dāng)滿足一個(gè)條件時(shí)，

△ABC與△A′B′C′全等嗎？動(dòng)腦思考，分類辨析思考如果只滿足這些條件中的一部分，那么能保證△ABC≌△A′B′C′嗎？追問(wèn)當(dāng)滿足一個(gè)條件時(shí)，△ABC與△A′B′C′動(dòng)腦思考如果只滿足這些條件中的一部分，那么能保證△ABC≌△A′B′C′嗎？①兩邊②一邊一角③兩角兩個(gè)條件追問(wèn)當(dāng)滿足兩個(gè)條件時(shí)，

△ABC與△A′B′C′全等嗎？動(dòng)腦思考，分類辨析思考如果只滿足這些條件中的一部分，那么能保①兩邊思考如果只滿足這些條件中的一部分，那么能保證△ABC≌△A′B′C′嗎？①三邊②三角③兩邊一角④兩角一邊三個(gè)條件追問(wèn)當(dāng)滿足三個(gè)條件時(shí)，△ABC與△A′B′C′全等嗎？滿足三個(gè)條件時(shí)，又分為幾種情況呢？動(dòng)腦思考，分類辨析思考如果只滿足這些條件中的一部分，那么能保①三邊畫(huà)法:

（1）畫(huà)線段B′C′=BC；

（2）分別以B′、C′為圓心，BA、BC為半徑畫(huà)弧，兩弧交于點(diǎn)A′；（3）連接線段A′B′，A′Ｃ′.動(dòng)手操作，驗(yàn)證猜想先任意畫(huà)出一個(gè)△ABC，再畫(huà)出一個(gè)△A′B′C′，使A′B′=AB，B′C′=BC，A′C′=AC．把畫(huà)好的△A′B′C′剪下，放到△ABC上，它們?nèi)葐?？?huà)法:動(dòng)手操作，驗(yàn)證猜想先任意畫(huà)出一個(gè)△AB

邊邊邊公理：三邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等．簡(jiǎn)寫(xiě)為“邊邊邊”或“SSS”.動(dòng)腦思考，得出結(jié)論思考作圖的結(jié)果反映了什么規(guī)律？你能用文字語(yǔ)言和符號(hào)語(yǔ)言概括嗎？邊邊邊公理：動(dòng)腦思考，得出結(jié)論思考作圖的結(jié)果反映了在△ABC與△

A′B′C′中，∴△ABC≌△A′B′C′（SSS）．判斷兩個(gè)三角形全等的推理過(guò)程，叫做證明三角形全等.AB=A′B′，

AC=A′C′，

BC=B′C′，

∵

用符號(hào)語(yǔ)言表達(dá):動(dòng)腦思考，得出結(jié)論ABCA′

B′C′

在△ABC與△A′B′C′中，∴△ABC≌△A′B證明：∵D是BC中點(diǎn)，∴BD=DC．

在△ABD與△ACD中，∴△ABD≌△ACD

（SSS）．應(yīng)用所學(xué)，例題解析例1如圖，有一個(gè)三角形鋼架，AB=AC，AD是連接點(diǎn)A與BC中點(diǎn)D的支架．求證：△ABD≌△ACD．CBDAAB=AC，BD=CD，AD=AD，∵

證明：∵D是BC中點(diǎn)，∴△ABD≌△ACD（作法：

（1）以點(diǎn)O為圓心，任意長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，分別交OA，

OB于點(diǎn)C、D；

已知：∠AOB．求作：∠A′O′B′=∠AOB．用尺規(guī)作一個(gè)角等于已知角．應(yīng)用所學(xué)，例題解析ODBCA作法：已知：∠AOB．求作：∠A′O′B′=作法：

（2）畫(huà)一條射線O′A′，以點(diǎn)O′為圓心，OC長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，交O′A′于點(diǎn)C′；

已知：∠AOB．求作：∠A′O′B′=∠AOB．用尺規(guī)作一個(gè)角等于已知角．應(yīng)用所學(xué)，例題解析O′C′A′ODBCA作法：已知：∠AOB．求作：∠A′O′B′=作法：

（3）以點(diǎn)C′為圓心，CD長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，與第2步中所畫(huà)的弧交于點(diǎn)D′；

已知：∠AOB．求作：∠A′O′B′=∠AOB．用尺規(guī)作一個(gè)角等于已知角．應(yīng)用所學(xué)，例題解析O′D′C′A′ODBCA作法：已知：∠AOB．求作：∠A′O′B′=作法：

（4）過(guò)點(diǎn)D′畫(huà)射線O′B′，則∠A′O′B′=∠AOB．

已知：∠AOB．求作：∠A′O′B′=∠AOB．用尺規(guī)作一個(gè)角等于已知角．應(yīng)用所學(xué)，例題解析O′D′B′C′A′ODBCA作法：已知：∠AOB．求作：∠A′O′B′=作法：

（1）以點(diǎn)O為圓心，任意長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，分別交OA，

OB于點(diǎn)C、D；（2）畫(huà)一條射線O′A′，以點(diǎn)O′為圓心，OC長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，交O′A′于點(diǎn)C′；（3）以點(diǎn)C′為圓心，CD長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，與第2步中所畫(huà)的弧交于點(diǎn)D′；（4）過(guò)點(diǎn)D′畫(huà)射線O′B′，則∠A′O′B′=∠AOB．

已知：∠AOB．求作：∠A′O′B′=∠AOB．用尺規(guī)作一個(gè)角等于已知角．應(yīng)用所學(xué)，例題解析作法：已知：∠AOB．求作：∠A′O′B′=尺規(guī)作圖，探究邊角邊的判定方法問(wèn)題先任意畫(huà)出一個(gè)△ABC，再畫(huà)一個(gè)△A′B′C′，使A′B′=AB，∠A＇=∠A，C′A′=CA（即兩邊和它們的夾角分別相等）.把畫(huà)好的△A′B′C′剪下來(lái)，放到△ABC上，它們?nèi)葐幔緼BC尺規(guī)作圖，探究邊角邊的判定方法問(wèn)題先任意畫(huà)出一個(gè)△ABC，ABCA′

DE尺規(guī)作圖，探究邊角邊的判定方法現(xiàn)象：兩個(gè)三角形放在一起能完全重合．說(shuō)明：這兩個(gè)三角形全等．畫(huà)法：（1）畫(huà)∠DA′E=∠A；（2）在射線A′D上截取A′B′=AB，在射線A′E

上截取A′C′=AC；（3）連接B′C′．B′

C′

ABCA′DE尺規(guī)作圖，探究邊角邊的判定方法現(xiàn)幾何語(yǔ)言：在△ABC和△A′B′C′中，∴

△ABC≌△A′B′C′（SAS）．

尺規(guī)作圖，探究邊角邊的判定方法

歸納概括“SAS”判定方法:

兩邊和它們的夾角分別相等的兩個(gè)三角形全等（可簡(jiǎn)寫(xiě)成“邊角邊”或“SAS

”）．AB=

A′B′，∠A=∠A′，AC=A′C′

，幾何語(yǔ)言：∴△ABC≌△A′B′C′（SAS）．尺例題講解，學(xué)會(huì)運(yùn)用例2如圖，有一池塘，要測(cè)池塘兩端A、B的距離，可先

在平地上取一個(gè)不經(jīng)過(guò)池塘可以直接到達(dá)點(diǎn)A和B的點(diǎn)C，連接AC并延長(zhǎng)至D，使CD=CA，連接BC

并延長(zhǎng)至E，使CE=CB，連接ED，那么量出DE的

長(zhǎng)就是A，B的距離．為什么？ABCDE12例題講解，學(xué)會(huì)運(yùn)用例2如圖，有一池塘，要測(cè)池塘兩端A例題講解，學(xué)會(huì)運(yùn)用AC=

DC（已知），∠1=∠2（對(duì)頂角相等），BC

=EC（已知）

，證明：在△ABC和△DEC中，ABCDE12∴

△ABC≌△DEC（SAS）∴

AB

=DE（全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等）例題講解，學(xué)會(huì)運(yùn)用AC=DC（已知），證明：在△ABC

如圖，在△ABC和△ABD中，AB=AB，AC=

AD，∠B=∠B，但△ABC和△ABD不全等．

探索“SSA”能否識(shí)別兩三角形全等問(wèn)題

兩邊一角分別相等包括“兩邊夾角”和“兩邊及其

中一邊的對(duì)角”分別相等兩種情況，前面已探索出

“SAS”判定三角形全等的方法，那么由“SSA”的條件能判定兩個(gè)三角形全等嗎？ABCD如圖，在△ABC和△ABD中，探索“SSA”能否畫(huà)△ABC和△DEF，使∠B=∠E=30°，AB=DE=5cm

，AC=DF=3cm

．觀察所得的兩個(gè)三角形是否全等？

兩邊和其中一邊的對(duì)角這三個(gè)條件無(wú)法唯一確定三角形的形狀，所以不能保證兩個(gè)三角形全等．因此，△ABC和△DEF不一定全等．探索“SSA”能否識(shí)別兩三角形全等畫(huà)△ABC和△DEF，使∠B=∠E=30°，AB=問(wèn)題先在一張紙上畫(huà)一個(gè)△ABC，然后在另一張紙上畫(huà)△DEF，使EF=BC，∠E=∠B，∠F=∠C．△ABC和△DEF能重合嗎？根據(jù)你畫(huà)的兩個(gè)三角形及結(jié)果，你能得到又一個(gè)判定兩個(gè)三角形全等的方法嗎？?jī)山呛退鼈兊膴A邊分別相等的兩個(gè)三角形全等（簡(jiǎn)稱為“角邊角”或“ASA”）．動(dòng)手畫(huà)圖，探究“ASA”判定方法問(wèn)題先在一張紙上畫(huà)一個(gè)△ABC，然后在另一兩角和它適時(shí)引申，探究“AAS”判定方法問(wèn)題解答下面問(wèn)題，你能獲得什么結(jié)論？如圖，在△ABC和△DEF中，∠A=∠D，∠B=∠E，BC=EF，△ABC與△DEF全等嗎？你能利用“ASA”證明你的結(jié)論嗎？ABCDEF適時(shí)引申，探究“AAS”判定方法問(wèn)題解答下面問(wèn)題，你例題示范，鞏固新知證明：在△ABE和△ACD中，∴△ABE≌△ACD（ASA）．∴

AE=AD．∠B=∠C，AB=AC，∠A=∠A，例3如圖，點(diǎn)D在AB上，點(diǎn)E在AC上，BA=AC，∠B=∠C．求證：AD=AE．ABCDE例題示范，鞏固新知證明：在△ABE和△ACD中，∴△A例題示范，鞏固新知例4如圖，在△ABC和△DEF中，∠A=∠D，∠B=∠E，BC=EF.求證△ABC≌△DEF例題示范，鞏固新知例4如圖，在△ABC和△DEF中，∠（1）本節(jié)課學(xué)習(xí)了哪些主要內(nèi)容？（2）如何判定兩個(gè)三角形全等？課堂小結(jié)（1）本節(jié)課學(xué)習(xí)了哪些主要內(nèi)容？課堂小結(jié)八年級(jí)上冊(cè)全等三角形的判定

八年級(jí)上冊(cè)全等三角形的判定

∠A=∠A′AB=A′B′已知△ABC≌△

A′B′

C′，找出其中相等的邊與角：思考滿足這六個(gè)條件可以保證△ABC≌△A′B′C′嗎？創(chuàng)設(shè)情境，導(dǎo)入新知ABCA′

B′C′

∠B=∠B′BC=B′C′∠C=∠C′AC=A′C′∠A=∠A′AB=A′B′已知△ABC≌△A′B追問(wèn)當(dāng)滿足一個(gè)條件時(shí)，

△ABC與△A′B′C′全等嗎？動(dòng)腦思考，分類辨析思考如果只滿足這些條件中的一部分，那么能保證△ABC≌△A′B′C′嗎？追問(wèn)當(dāng)滿足一個(gè)條件時(shí)，△ABC與△A′B′C′動(dòng)腦思考如果只滿足這些條件中的一部分，那么能保證△ABC≌△A′B′C′嗎？①兩邊②一邊一角③兩角兩個(gè)條件追問(wèn)當(dāng)滿足兩個(gè)條件時(shí)，

△ABC與△A′B′C′全等嗎？動(dòng)腦思考，分類辨析思考如果只滿足這些條件中的一部分，那么能保①兩邊思考如果只滿足這些條件中的一部分，那么能保證△ABC≌△A′B′C′嗎？①三邊②三角③兩邊一角④兩角一邊三個(gè)條件追問(wèn)當(dāng)滿足三個(gè)條件時(shí)，△ABC與△A′B′C′全等嗎？滿足三個(gè)條件時(shí)，又分為幾種情況呢？動(dòng)腦思考，分類辨析思考如果只滿足這些條件中的一部分，那么能保①三邊畫(huà)法:

（1）畫(huà)線段B′C′=BC；

（2）分別以B′、C′為圓心，BA、BC為半徑畫(huà)弧，兩弧交于點(diǎn)A′；（3）連接線段A′B′，A′Ｃ′.動(dòng)手操作，驗(yàn)證猜想先任意畫(huà)出一個(gè)△ABC，再畫(huà)出一個(gè)△A′B′C′，使A′B′=AB，B′C′=BC，A′C′=AC．把畫(huà)好的△A′B′C′剪下，放到△ABC上，它們?nèi)葐?？?huà)法:動(dòng)手操作，驗(yàn)證猜想先任意畫(huà)出一個(gè)△AB

邊邊邊公理：三邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等．簡(jiǎn)寫(xiě)為“邊邊邊”或“SSS”.動(dòng)腦思考，得出結(jié)論思考作圖的結(jié)果反映了什么規(guī)律？你能用文字語(yǔ)言和符號(hào)語(yǔ)言概括嗎？邊邊邊公理：動(dòng)腦思考，得出結(jié)論思考作圖的結(jié)果反映了在△ABC與△

A′B′C′中，∴△ABC≌△A′B′C′（SSS）．判斷兩個(gè)三角形全等的推理過(guò)程，叫做證明三角形全等.AB=A′B′，

AC=A′C′，

BC=B′C′，

∵

用符號(hào)語(yǔ)言表達(dá):動(dòng)腦思考，得出結(jié)論ABCA′

B′C′

在△ABC與△A′B′C′中，∴△ABC≌△A′B證明：∵D是BC中點(diǎn)，∴BD=DC．

在△ABD與△ACD中，∴△ABD≌△ACD

（SSS）．應(yīng)用所學(xué)，例題解析例1如圖，有一個(gè)三角形鋼架，AB=AC，AD是連接點(diǎn)A與BC中點(diǎn)D的支架．求證：△ABD≌△ACD．CBDAAB=AC，BD=CD，AD=AD，∵

證明：∵D是BC中點(diǎn)，∴△ABD≌△ACD（作法：

（1）以點(diǎn)O為圓心，任意長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，分別交OA，

OB于點(diǎn)C、D；

已知：∠AOB．求作：∠A′O′B′=∠AOB．用尺規(guī)作一個(gè)角等于已知角．應(yīng)用所學(xué)，例題解析ODBCA作法：已知：∠AOB．求作：∠A′O′B′=作法：

（2）畫(huà)一條射線O′A′，以點(diǎn)O′為圓心，OC長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，交O′A′于點(diǎn)C′；

已知：∠AOB．求作：∠A′O′B′=∠AOB．用尺規(guī)作一個(gè)角等于已知角．應(yīng)用所學(xué)，例題解析O′C′A′ODBCA作法：已知：∠AOB．求作：∠A′O′B′=作法：

（3）以點(diǎn)C′為圓心，CD長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，與第2步中所畫(huà)的弧交于點(diǎn)D′；

已知：∠AOB．求作：∠A′O′B′=∠AOB．用尺規(guī)作一個(gè)角等于已知角．應(yīng)用所學(xué)，例題解析O′D′C′A′ODBCA作法：已知：∠AOB．求作：∠A′O′B′=作法：

（4）過(guò)點(diǎn)D′畫(huà)射線O′B′，則∠A′O′B′=∠AOB．

已知：∠AOB．求作：∠A′O′B′=∠AOB．用尺規(guī)作一個(gè)角等于已知角．應(yīng)用所學(xué)，例題解析O′D′B′C′A′ODBCA作法：已知：∠AOB．求作：∠A′O′B′=作法：

（1）以點(diǎn)O為圓心，任意長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，分別交OA，

OB于點(diǎn)C、D；（2）畫(huà)一條射線O′A′，以點(diǎn)O′為圓心，OC長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，交O′A′于點(diǎn)C′；（3）以點(diǎn)C′為圓心，CD長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，與第2步中所畫(huà)的弧交于點(diǎn)D′；（4）過(guò)點(diǎn)D′畫(huà)射線O′B′，則∠A′O′B′=∠AOB．

已知：∠AOB．求作：∠A′O′B′=∠AOB．用尺規(guī)作一個(gè)角等于已知角．應(yīng)用所學(xué)，例題解析作法：已知：∠AOB．求作：∠A′O′B′=尺規(guī)作圖，探究邊角邊的判定方法問(wèn)題先任意畫(huà)出一個(gè)△ABC，再畫(huà)一個(gè)△A′B′C′，使A′B′=AB，∠A＇=∠A，C′A′=CA（即兩邊和它們的夾角分別相等）.把畫(huà)好的△A′B′C′剪下來(lái)，放到△ABC上，它們?nèi)葐?？ABC尺規(guī)作圖，探究邊角邊的判定方法問(wèn)題先任意畫(huà)出一個(gè)△ABC，ABCA′

DE尺規(guī)作圖，探究邊角邊的判定方法現(xiàn)象：兩個(gè)三角形放在一起能完全重合．說(shuō)明：這兩個(gè)三角形全等．畫(huà)法：（1）畫(huà)∠DA′E=∠A；（2）在射線A′D上截取A′B′=AB，在射線A′E

上截取A′C′=AC；（3）連接B′C′．B′

C′

ABCA′DE尺規(guī)作圖，探究邊角邊的判定方法現(xiàn)幾何語(yǔ)言：在△ABC和△A′B′C′中，∴

△ABC≌△A′B′C′（SAS）．

尺規(guī)作圖，探究邊角邊的判定方法

歸納概括“SAS”判定方法:

兩邊和它們的夾角分別相等的兩個(gè)三角形全等（可簡(jiǎn)寫(xiě)成“邊角邊”或“SAS

”）．AB=

A′B′，∠A=∠A′，AC=A′C′

，幾何語(yǔ)言：∴△ABC≌△A′B′C′（SAS）．尺例題講解，學(xué)會(huì)運(yùn)用例2如圖，有一池塘，要測(cè)池塘兩端A、B的距離，可先

在平地上取一個(gè)不經(jīng)過(guò)池塘可以直接到達(dá)點(diǎn)A和B的點(diǎn)C，連接AC并延長(zhǎng)至D，使CD=CA，連接BC

并延長(zhǎng)至E，使CE=CB，連接ED，那么量出DE的

長(zhǎng)就是A，B的距離．為什么？ABCDE12例題講解，學(xué)會(huì)運(yùn)用例2如圖，有一池塘，要測(cè)池塘兩端A例題講解，學(xué)會(huì)運(yùn)用AC=

DC（已知），∠1=∠2（對(duì)頂角相等），BC

=EC（已知）

，證明：在△ABC和△DEC中，ABCDE12∴

△ABC≌△DEC（SAS）∴

AB

=DE（全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等）例題講解，學(xué)會(huì)運(yùn)用AC=DC（已知），證明：在△ABC

如圖，在△ABC和△ABD中，AB=AB，AC=

AD，∠B=∠B，但△ABC和△ABD不全等．

探索“SSA”能否識(shí)別兩三角形全等問(wèn)題

兩邊一角分別相等包括“兩邊夾角”和“兩邊及其

中一邊的對(duì)角”分別相等兩種情況，前面已探索出

“SAS”判定三角形全等的方法，那么由“SSA”的條件能判定兩個(gè)三角形全等嗎？ABCD如圖，在△ABC和△ABD中，探索“SSA