線性規(guī)劃問題

在高考中的考查

線性規(guī)劃問題

在高考中的考查

線性規(guī)劃問題是直線方程的簡單應用，在各級各類的數(shù)學競賽及考試中簡單的線性規(guī)劃問題經常出現(xiàn)，命題形式多以選擇題、填空題為主，常與實際問題相聯(lián)系，來考察學生觀察、聯(lián)想以及作圖的能力，以及“建?！焙徒鉀Q實際問題的能力，所以對于簡單的線性規(guī)劃知識我們應給予足夠的重視.線性規(guī)劃問題是直線方程的簡單應用，在各級各類的數(shù)學競賽考察的題目類型主要有以下幾種：類型一：平面區(qū)域的面積問題類型二：最值問題類型三：實際應用類型四：與其他知識的交匯類型五：含參變量考察的題目類型主要有以下幾種：類型一：平面區(qū)域的面積問題例1.在坐標平面上，不等式組所表示的平面區(qū)域的面積為（）

類型一：平面區(qū)域的面積問題（A）（B）（C）（D）2

例1.在坐標平面上，不等式組所表示的平面區(qū)域的面積為（【解析】原不等式組化為或

所表示的平面區(qū)域如右圖所示，CD

∴故選B

【解析】原不等式組化為或所表示的平面區(qū)域如右圖所示，∴

【點撥】分類討論，通過畫出區(qū)域，計算面積．這一類型的題目不是很復雜，主要是根據(jù)線性約束條件把表示的區(qū)域畫出來，但要注意的是畫圖時邊界所畫直線要虛實分明，在解答的過程中我們就將“數(shù)”轉化為“形”，體現(xiàn)了數(shù)形結合的思想.【點撥】例2.若滿足約束條件類型二：最值問題

則的最大值為

．例2.若滿足約束條件類型二：最值問題則（1）先畫出線性約束條件所表示的平面區(qū)域，如圖所示,【解析】解題基本步驟：x(3,-3)(3,6)33-3yoZ=2x-y=0（1）先畫出線性約束條件所表【解析】解題基本步驟：x(3,-（1）先畫出線性約束條件所表示的平面區(qū)域，如圖所示,（2）再畫出令時的臨界直線，并將臨界直線平行移動，找到直線最先進入（或最后離開）可行域時的頂點，最優(yōu)解一般在可行域的頂點或邊界上取得，即當時，有最大值為9x(3,-3)(3,6)33-3yo【解析】解題基本步驟：Z=2x-y=0【領悟】當表示線性目標函數(shù)的直線與可行域的某邊重合時，其最優(yōu)解可能有無數(shù)個.（1）先畫出線性約束條件所表x(3,-3)(3,6)33-3類型三：實際應用

本公司計劃2008年在甲、乙兩個電視臺做總時間不超過300分鐘的廣告，廣告總費用不超過9萬元，甲、乙電視臺的廣告收費標準分別為元/分鐘和200元/分鐘，規(guī)定甲、乙兩個電視臺為該公司所做的每分鐘廣告，能給公司事來的收益分別為0.3萬元和0.2萬元．問該公司如何分配在甲、乙兩個電視臺的廣告時間，才能使公司的收益最大，最大收益是多少萬元？例3.類型三：實際應用本公司計劃2008年在甲、乙兩個電視

設公司在甲電視臺和乙電視臺做廣告的時間分別為【解析】：分鐘和分鐘，總收益為元，由題意得目標函數(shù)為設公司在甲電視臺和乙電視臺做廣告的時間分別為二元一次不等式組等價于作出二元一次不等式組所表示的平面區(qū)域，即可行域．如圖：0100200300100200300400500yxlMx作直線

即平移直線

二元一次不等式組等價于作出二元一次不等式組所表示的平面區(qū)域0100200300100200300400500yxlMx從圖中可知，當直線過點時，目標函數(shù)取得最大值．聯(lián)立

解得為【領悟】解決線性規(guī)劃應用題的一般步驟：（1）設出變量，找出線性約束條件；（2）寫出目標函數(shù)；（3）準確作圖；（4）求出最優(yōu)解.

0100200300100200300400500yxlMx類型四：與其他知識的交匯例4.設實數(shù)x,y滿足

【思路點撥】本題主要考查線性規(guī)劃問題,由線性約束條件畫出可行域,即：然后求出目標函數(shù)的幾何意義求出的最值.；

類型四：與其他知識的交匯例4.設實數(shù)x,y滿足【思路【正確解答】

【解后反思】解題的關鍵是理解目標函數(shù)的幾何意義.類似的你知道的幾何意義嗎？

的幾何意義是：的直線斜率,最大值為過O(0,0)以及可行域中的點P(x,y)y【正確解答】【解后反思】解題的關鍵是理解目標函數(shù)的幾何意例5【2014年山東卷（理09）】已知滿足的約束條件

當目標函數(shù)在該約束條件下取得最小值時，的最小值為()（A）5（B）4（C）（D）2例5【2014年山東卷（理09）】已知滿足的約束條件當【解析】

求得交點為，則，即圓心到直線的距離的平方【解析】求得交點為，則，即圓心到直線的距離的平方【2014年全國新課標Ⅰ（理09）】不等式組

的解集記為D.有下面四個命題：.：：：：其中真命題是()例6【2014年全國新課標Ⅰ（理09）】不等式組的解集記為D.【解析】：作出可行域如圖：設

即

，時，∴、為真命題。選C.∴當直線過

【解析】：作出可行域如圖：設即，時，∴、為真命題類型五：含參變量【2014年安徽卷（理05）】

滿足約束條件

若取得最大值的最優(yōu)解不唯一，則實數(shù)

的值為()（A）或（B）或（C）或（D）或例7類型五：含參變量【2014年安徽卷（理05）】滿足約束條件【解析】可行域如圖所示，可化為，由題意知或【解析】可行域如圖所示，可化為，由題意知或例8

【2014年北京卷（理06）】若

滿足且的最小值為-4，的值為（）則例8【2014年北京卷（理06）】若滿足且的最小值為【解析】由約束條件

作出可行域如圖，由kx﹣y+2=0，得x=

∴

B（﹣）．由z=y﹣x得y=x+z．由圖可知，當直線y=x+z過B時直線在y軸上的截距最小，即解得：k=﹣故選：D【解析】由約束條件作出可行域如圖，由kx﹣y+2=0，得【2014年湖南卷（理14）】若變量滿足約束條件且的最小值為—6，則____.練習【2014年湖南卷（理14）】若變量滿足約束條件且的【解析】求出約束條件中三條直線的交點為

.且不等式組限制的區(qū)域如圖,所以

①當為最優(yōu)解時,②當為最優(yōu)解時,(舍)【解析】求出約束條件中三條直線的交點為.且不等式組限制的線性規(guī)劃問題

在高考中的考查

線性規(guī)劃問題

在高考中的考查

線性規(guī)劃問題是直線方程的簡單應用，在各級各類的數(shù)學競賽及考試中簡單的線性規(guī)劃問題經常出現(xiàn)，命題形式多以選擇題、填空題為主，常與實際問題相聯(lián)系，來考察學生觀察、聯(lián)想以及作圖的能力，以及“建模”和解決實際問題的能力，所以對于簡單的線性規(guī)劃知識我們應給予足夠的重視.線性規(guī)劃問題是直線方程的簡單應用，在各級各類的數(shù)學競賽考察的題目類型主要有以下幾種：類型一：平面區(qū)域的面積問題類型二：最值問題類型三：實際應用類型四：與其他知識的交匯類型五：含參變量考察的題目類型主要有以下幾種：類型一：平面區(qū)域的面積問題例1.在坐標平面上，不等式組所表示的平面區(qū)域的面積為（）

類型一：平面區(qū)域的面積問題（A）（B）（C）（D）2

例1.在坐標平面上，不等式組所表示的平面區(qū)域的面積為（【解析】原不等式組化為或

所表示的平面區(qū)域如右圖所示，CD

∴故選B

【解析】原不等式組化為或所表示的平面區(qū)域如右圖所示，∴

【點撥】分類討論，通過畫出區(qū)域，計算面積．這一類型的題目不是很復雜，主要是根據(jù)線性約束條件把表示的區(qū)域畫出來，但要注意的是畫圖時邊界所畫直線要虛實分明，在解答的過程中我們就將“數(shù)”轉化為“形”，體現(xiàn)了數(shù)形結合的思想.【點撥】例2.若滿足約束條件類型二：最值問題

則的最大值為

．例2.若滿足約束條件類型二：最值問題則（1）先畫出線性約束條件所表示的平面區(qū)域，如圖所示,【解析】解題基本步驟：x(3,-3)(3,6)33-3yoZ=2x-y=0（1）先畫出線性約束條件所表【解析】解題基本步驟：x(3,-（1）先畫出線性約束條件所表示的平面區(qū)域，如圖所示,（2）再畫出令時的臨界直線，并將臨界直線平行移動，找到直線最先進入（或最后離開）可行域時的頂點，最優(yōu)解一般在可行域的頂點或邊界上取得，即當時，有最大值為9x(3,-3)(3,6)33-3yo【解析】解題基本步驟：Z=2x-y=0【領悟】當表示線性目標函數(shù)的直線與可行域的某邊重合時，其最優(yōu)解可能有無數(shù)個.（1）先畫出線性約束條件所表x(3,-3)(3,6)33-3類型三：實際應用

本公司計劃2008年在甲、乙兩個電視臺做總時間不超過300分鐘的廣告，廣告總費用不超過9萬元，甲、乙電視臺的廣告收費標準分別為元/分鐘和200元/分鐘，規(guī)定甲、乙兩個電視臺為該公司所做的每分鐘廣告，能給公司事來的收益分別為0.3萬元和0.2萬元．問該公司如何分配在甲、乙兩個電視臺的廣告時間，才能使公司的收益最大，最大收益是多少萬元？例3.類型三：實際應用本公司計劃2008年在甲、乙兩個電視

設公司在甲電視臺和乙電視臺做廣告的時間分別為【解析】：分鐘和分鐘，總收益為元，由題意得目標函數(shù)為設公司在甲電視臺和乙電視臺做廣告的時間分別為二元一次不等式組等價于作出二元一次不等式組所表示的平面區(qū)域，即可行域．如圖：0100200300100200300400500yxlMx作直線

即平移直線

二元一次不等式組等價于作出二元一次不等式組所表示的平面區(qū)域0100200300100200300400500yxlMx從圖中可知，當直線過點時，目標函數(shù)取得最大值．聯(lián)立

解得為【領悟】解決線性規(guī)劃應用題的一般步驟：（1）設出變量，找出線性約束條件；（2）寫出目標函數(shù)；（3）準確作圖；（4）求出最優(yōu)解.

0100200300100200300400500yxlMx類型四：與其他知識的交匯例4.設實數(shù)x,y滿足

【思路點撥】本題主要考查線性規(guī)劃問題,由線性約束條件畫出可行域,即：然后求出目標函數(shù)的幾何意義求出的最值.；

類型四：與其他知識的交匯例4.設實數(shù)x,y滿足【思路【正確解答】

【解后反思】解題的關鍵是理解目標函數(shù)的幾何意義.類似的你知道的幾何意義嗎？

的幾何意義是：的直線斜率,最大值為過O(0,0)以及可行域中的點P(x,y)y【正確解答】【解后反思】解題的關鍵是理解目標函數(shù)的幾何意例5【2014年山東卷（理09）】已知滿足的約束條件

當目標函數(shù)在該約束條件下取得最小值時，的最小值為()（A）5（B）4（C）（D）2例5【2014年山東卷（理09）】已知滿足的約束條件當【解析】

求得交點為，則，即圓心到直線的距離的平方【解析】求得交點為，則，即圓心到直線的距離的平方【2014年全國新課標Ⅰ（理09）】不等式組

的解集記為D.有下面四個命題：.：：：：其中真命題是()例6【2014年全國新課標Ⅰ（理09）】不等式組的解集記為D.【解析】：作出可行域如圖：設

即

，時，∴、為真命題。選C.∴當直線過

【解析】：作出可行域如圖：設即，時，∴、為真命題類型五：含參變量【2014年安徽卷（理05）】

滿足約束條件

若取得最大值的最優(yōu)解不唯一，則實數(shù)