平面

學(xué)習(xí)目標(biāo)：1.理解平面是“平”的、無限延展等特性；2.理解平面的三個(gè)基本公理，并能用數(shù)學(xué)的三種語(yǔ)言表達(dá)。3.體會(huì)公理化的思想，了解公理化的發(fā)展與意義，體驗(yàn)數(shù)學(xué)是一種文化活動(dòng)，數(shù)學(xué)是不斷發(fā)展與完善的。平面學(xué)習(xí)目標(biāo)：1實(shí)例引入觀察實(shí)例引入觀察2實(shí)例引入觀察實(shí)例引入觀察3

實(shí)例引入觀察實(shí)例引入觀察4

生活中的一些物體通常呈平面形，課桌面、黑板面、海面都給我們以平面的形象．你還能從生活中舉出類似平面形的物體嗎？（一）創(chuàng)設(shè)情境，直觀感知

幾何里所說的“平面”就是從這樣的一些物體中抽象出來的．

【問題1】說說你對(duì)平面的印象，在你腦海里，平面有哪些特性？生活中的一些物體通常呈平面形，課桌面、黑板面、海面都5

公元前5世紀(jì)，古希臘哲學(xué)家巴門尼德對(duì)平面的刻畫：如果一個(gè)二維對(duì)象是直的表面，那么它就是一個(gè)平面，直線可在任意方向與之相合。（一）創(chuàng)設(shè)情境，直觀感知

公元前3世紀(jì)，歐幾里得:平面是它上面的線一樣地平放著的面。

公元1世紀(jì)，海倫給出了平面特征：平面是具有以下性質(zhì)的面，它向四周無限延伸，平面是直線與之完全相合的表面。公元前5世紀(jì)，古希臘哲學(xué)家巴門尼德對(duì)平面的刻畫：如6平面的特性：平面是“平”的；

平面是無限延展的，它沒有大小之分，無厚薄之別。

【問題2】請(qǐng)同學(xué)們比較剛才大家對(duì)平面的認(rèn)識(shí)與三位數(shù)學(xué)家對(duì)平面的認(rèn)識(shí)，你能提煉平面的特性嗎？（一）創(chuàng)設(shè)情境，直觀感知平面的特性：【問題2】請(qǐng)同學(xué)們比較剛才大家對(duì)平面的認(rèn)識(shí)與三7判斷下列各題的說法是否正確與否，在正確的說法的題號(hào)后打√，否則打╳:1、一個(gè)平面長(zhǎng)4米，寬2米；()2、平面有邊界；

()3、一個(gè)平面的面積是25cm2；()4、菱形的面積是4cm2；

()5、一個(gè)平面可以把空間分成兩部分.()練習(xí)判斷下列各題的說法是否正確與否，在正練習(xí)8我們常常把水平的平面畫成銳角為450，橫邊長(zhǎng)等于其鄰邊長(zhǎng)2倍的平行四邊形.

【問題3】“平面”是無限延展的，它是無法畫出來的，請(qǐng)類比直線的畫法，思考如何直觀地畫出平面呢？（二）表示平面，深化理解常把希臘字母α、β、γ等寫在代表平面的平行四邊形的一個(gè)角上，如平面α、平面β等；也可以用代表平面的四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)，或者相對(duì)的兩個(gè)頂點(diǎn)的大寫英文字母作為這個(gè)平面的名稱．平面記作：平面ABCD平面AC平面BD【問題4】用有限大的平行四邊形表示無限大的平面，這體現(xiàn)了什么數(shù)學(xué)思想？有限與無限的數(shù)學(xué)思想平面β我們常常把水平的平面畫成銳角為450，橫邊長(zhǎng)等于其鄰邊長(zhǎng)2倍9（1）直線與平面相交的畫法（二）表示平面，深化理解（2）兩平面相交的畫法①畫出交線；②被遮擋部分畫虛線.（1）直線與平面相交的畫法（二）表示平面，深化理解（2）兩平10AB點(diǎn)A在平面內(nèi)，記作．記作．點(diǎn)B在平面外，讀作讀作（3）點(diǎn)、線、平面的位置關(guān)系有哪些？

平面內(nèi)有無數(shù)個(gè)點(diǎn)，平面、直線都可以看成點(diǎn)的集合．點(diǎn)在平面內(nèi)和點(diǎn)在平面外都可以借助于元素與集合的屬于、不屬于關(guān)系來表示．AB點(diǎn)A在平面內(nèi)，記作．記作11AlABlAl點(diǎn)A在直線l上．點(diǎn)A不在直線l上．Al直線l在平面內(nèi)．平面經(jīng)過直線l．直線

l不在平面內(nèi)AlABlAl點(diǎn)A在直線l上．點(diǎn)A不在直線l上．Al直線l在12（三）理解公理、豐富內(nèi)涵17世紀(jì)德國(guó)數(shù)學(xué)家萊布尼茲認(rèn)為歐凡里得關(guān)于平面的論斷存在邏輯上的不完美，也批評(píng)海倫的定義包含過多的需要描述平面的“重復(fù)判斷”。于是，他給出了一個(gè)更簡(jiǎn)單的定義:“平面是一組這樣的點(diǎn)，它們到兩定點(diǎn)的距離相等”。顯然，萊布尼茲的定義實(shí)質(zhì)上給出了一個(gè)平面的構(gòu)造，這是數(shù)學(xué)家首次給出平面的構(gòu)造，并用此來定義平面。18世紀(jì)，高斯對(duì)平面的定義：平面就是包含了過一個(gè)已知點(diǎn)與一條已知直線垂直的所有直線的表面?！净顒?dòng)與體驗(yàn)】請(qǐng)同學(xué)們拿一支筆豎直放置，在這支筆上選一個(gè)點(diǎn)，將另一支筆經(jīng)過該點(diǎn)和豎直的筆保持垂直關(guān)系，旋轉(zhuǎn)一周，感受運(yùn)動(dòng)的筆的軌跡，體驗(yàn)“平面”的形成過程，體驗(yàn)平面的兩個(gè)特點(diǎn)——平面的“平”與平面的無限延展性。（三）理解公理、豐富內(nèi)涵17世紀(jì)德國(guó)數(shù)學(xué)家萊布尼茲認(rèn)13（三）理解公理、豐富內(nèi)涵——公理117世紀(jì)德國(guó)數(shù)學(xué)家萊布尼茲認(rèn)為歐凡里得關(guān)于平面的論斷存在邏輯上的不完美，也批評(píng)海倫的定義包含過多的需要描述平面的“重復(fù)判斷”。于是，他給出了一個(gè)更簡(jiǎn)單的定義:“平面是一組這樣的點(diǎn)，它們到兩定點(diǎn)的距離相等”。顯然，萊布尼茲的定義實(shí)質(zhì)上給出了一個(gè)平面的構(gòu)造，這是數(shù)學(xué)家首次給出平面的構(gòu)造，并用此來定義平面。18世紀(jì)，高斯對(duì)平面的定義：平面就是包含了過一個(gè)已知點(diǎn)與一條已知直線垂直的所有直線的表面?！净顒?dòng)與體驗(yàn)】請(qǐng)同學(xué)們拿一支筆豎直放置，在這支筆上選一個(gè)點(diǎn)，將另一支筆經(jīng)過該點(diǎn)和豎直的筆保持垂直關(guān)系，旋轉(zhuǎn)一周，感受運(yùn)動(dòng)的筆的軌跡，體驗(yàn)“平面”的形成過程，體驗(yàn)平面的兩個(gè)特點(diǎn)——平面的“平”與平面的無限延展性。（三）理解公理、豐富內(nèi)涵——公理117世紀(jì)德國(guó)數(shù)學(xué)家14（三）理解公理、豐富內(nèi)涵——公理1

【問題5】請(qǐng)同學(xué)們?cè)谥背呱蠘?biāo)記兩個(gè)點(diǎn)，將這兩個(gè)點(diǎn)放在桌面上，觀察直尺上的其他點(diǎn)與平面的位置關(guān)系，你能得出什么結(jié)論？公元前3世紀(jì)，歐幾里得在《幾何原本》第11卷給出了三個(gè)命題，其中命題1是：“一條直線不可能一部分在平面內(nèi)，而另一部分在平面外”。公元1世紀(jì)，海倫給出了平面的性質(zhì)：如果一條直線經(jīng)過平面上的兩個(gè)點(diǎn)，那么這條直線的任意部位都和這個(gè)平面完全相合。

18世紀(jì)，英國(guó)數(shù)學(xué)家辛松給出了平面的新定義:平面是具有下列性質(zhì)的面，通過其上任意兩點(diǎn)的直線完全包含在該面上。（三）理解公理、豐富內(nèi)涵——公理1【問題5】請(qǐng)同學(xué)15（三）理解公理、豐富內(nèi)涵——公理1

1884年，Newcomb在《幾何學(xué)基礎(chǔ)》中，不再定義平面轉(zhuǎn)而直接給出以下公理:公理1：如果一條直線上的兩個(gè)點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi)，那么這條直線在此平面內(nèi)。符號(hào)語(yǔ)言圖形語(yǔ)言作用：（1）用直線的“直”來刻畫平面的“平”；

（2）判斷直線是否在平面內(nèi)的依據(jù)．（三）理解公理、豐富內(nèi)涵——公理11884年，Ne16（三）理解公理、豐富內(nèi)涵——公理1

1884年，Newcomb在《幾何學(xué)基礎(chǔ)》中，不再定義平面轉(zhuǎn)而直接給出以下公理:公理1：如果一條直線上的兩個(gè)點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi)，那么這條直線在此平面內(nèi)。符號(hào)語(yǔ)言圖形語(yǔ)言作用：（1）用直線的“直”來刻畫平面的“平”；

（2）判斷直線是否在平面內(nèi)的依據(jù)．（三）理解公理、豐富內(nèi)涵——公理11884年，Ne17（三）理解公理、豐富內(nèi)涵——公理1（三）理解公理、豐富內(nèi)涵——公理118（三）理解公理、豐富內(nèi)涵——公理2

【問題6】（1）空間中，經(jīng)過兩點(diǎn)有且只有一條直線，即兩點(diǎn)確定一條直線，那么兩點(diǎn)能否確定一個(gè)平面？經(jīng)過三點(diǎn)、四點(diǎn)可以作多少個(gè)平面？（2）照相機(jī)，測(cè)量?jī)x等器材的支架為何要做成三腳架？生活經(jīng)驗(yàn)告訴我們：不在同一直線上的三點(diǎn)，可以確定一個(gè)平面。直到19世紀(jì)初，數(shù)學(xué)家皮埃爾才明確從數(shù)學(xué)的角度給出了確定平面的方法：給出不共線的三點(diǎn)A,B,C，由A與BC上各點(diǎn)，或B與CA上各點(diǎn)，或C與AB上各點(diǎn)所連接的直線全部填滿的圖形，稱為平面ABC.（三）理解公理、豐富內(nèi)涵——公理2【問題6】（1）19（三）理解公理、豐富內(nèi)涵——公理21897年，Keigwin在《幾何基礎(chǔ)》中才將“不共線三點(diǎn)確定一個(gè)平面”作為公理：公理2：過不在同一直線上的三點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面。由公理2，我們不難得到如下推理：推論1：過直線及直線外一點(diǎn)有且只有一個(gè)平面；推論2：過兩條平行直線有且只有一個(gè)平面；推論3：過兩條相交直線有且只有一個(gè)平面。．AB．Cα．事實(shí)上，在平面概念形成過程中，Newcomb在《幾何學(xué)基礎(chǔ)》(1884)中，以公理的形式給出了推論1:只有一個(gè)平面可經(jīng)過一條直線和直線外一點(diǎn)。同時(shí)他還證明了推論3。Halsted在《幾何基礎(chǔ)》（1885)中同樣得到推論1。（三）理解公理、豐富內(nèi)涵——公理21897年，Keigwin20（三）理解公理、豐富內(nèi)涵——公理2【例與練3】（1）下列說法正確的是(

)A．三點(diǎn)可以確定一個(gè)平面B．一條直線和一個(gè)點(diǎn)可以確定一個(gè)平面C．四邊形是平面圖形D．兩條相交直線可以確定一個(gè)平面（2）空間兩兩相交的三條直線，可以確定的平面數(shù)是(

)A．1B．2C．3D．1或3（3）下列說法正確的是(

)①任意三點(diǎn)確定一個(gè)平面；②圓上的三點(diǎn)確定一個(gè)平面；③任意四點(diǎn)確定一個(gè)平面；④兩條平行線確定一個(gè)平面。A．①②B．②③C．②④D．③④（三）理解公理、豐富內(nèi)涵——公理2【例與練3】（2）空間兩兩21（三）理解公理、豐富內(nèi)涵——公理3實(shí)驗(yàn)操作：①將三角板的一個(gè)角放置在桌面上，讓同學(xué)們觀察三角板所代表的平面與桌面所代表的平面有多少個(gè)公共點(diǎn)？②將一張薄餅放在桌面上，用菜刀切薄餅，觀察切口的形狀，它是什么圖形，你得到什么結(jié)論？

1912年，Hart和Feldman在《平面與立體幾何》中將“直線與平面最多交于一點(diǎn)”作為公理。

1914年，Richardson在《立體幾何》中將“若兩平面有一個(gè)公共點(diǎn)，則它們有第二個(gè)公共點(diǎn)”作為公理。直到1934年，Cowley在《立體幾何》中將“兩平面相交，交線為直線”作為公理。（三）理解公理、豐富內(nèi)涵——公理3實(shí)驗(yàn)操作：②將一張薄餅放22（三）理解公理、豐富內(nèi)涵——公理3公理3：如果兩個(gè)不重合的平面有一個(gè)公共點(diǎn)，那么它們有且只有一條過該點(diǎn)的公共直線。作用：（1）從兩個(gè)平面的位置關(guān)系的角度刻畫“平面”無限延展性；（2）從兩個(gè)平面的交線是直線也刻畫了平面是“平”的。圖形語(yǔ)言符號(hào)語(yǔ)言：若兩個(gè)平面有一條公共直線，則稱這兩個(gè)平面相交，這條公共直線叫做這兩個(gè)平面的交線.平面α與平面β相交于直線l，可記作（三）理解公理、豐富內(nèi)涵——公理3公理3：如果兩個(gè)不重合的平23（三）理解公理、豐富內(nèi)涵——公理3【例與練4】（1）在空間四邊形ABCD的邊AB、BC、CD、DA上分別取E、F、G、H四點(diǎn)，如果EF與HG交于點(diǎn)M，那么(

)A．M一定在直線AC上B．M一定在直線BD上C．M可能在直線AC上，也可能在直線BD上D．M既不在直線AC上，也不在直線BD上（三）理解公理、豐富內(nèi)涵——公理3【例與練4】（1）在空間四24（三）理解公理、豐富內(nèi)涵——公理3（三）理解公理、豐富內(nèi)涵——公理325（四）回顧歷史，公理體系平面概念自公元前5世紀(jì)古希臘哲學(xué)家巴門尼德首次刻畫以來，到1934年希爾伯特的公理化定義，經(jīng)歷了三個(gè)階段：

第一個(gè)階段是古希臘時(shí)期的樸素定義。前面已經(jīng)介紹過的巴門尼德、歐幾里得、海倫的定義，這種認(rèn)識(shí)一直持續(xù)到16世紀(jì)末期。

第二個(gè)階段是17、18世紀(jì)的平面構(gòu)造性定義。17世紀(jì)德國(guó)數(shù)學(xué)家萊布尼茲的質(zhì)疑歐凡里得對(duì)平面的三個(gè)命題邏輯上的不完美，也批評(píng)海倫的定義包含過多的需要描述平面的“重復(fù)判斷”。給出了平面的構(gòu)造定義之后，很多數(shù)學(xué)家都投入到了平面的定義與構(gòu)造這一活動(dòng)中來！同時(shí)，很多數(shù)學(xué)家也嘗試做用構(gòu)造出的定義證明相關(guān)定理，但卻發(fā)現(xiàn)，無論怎樣構(gòu)造和定義平面，都不完美！（四）回顧歷史，公理體系平面概念自公元前5世紀(jì)古希臘哲26（四）回顧歷史，公理體系第三個(gè)階段是平面的公理化體系的構(gòu)建。19世紀(jì)中后期，意大利數(shù)學(xué)家皮亞諾(Peano,1858～1932)創(chuàng)立數(shù)學(xué)學(xué)派，對(duì)算術(shù)和幾何的公理化做出了巨大的貢獻(xiàn)。其中的一名重要成員、意大利數(shù)學(xué)家皮埃里(M.Pieri,1860～1913)利用點(diǎn)、線段和運(yùn)動(dòng)對(duì)幾何進(jìn)行公理化。1884年，Newcomb在《幾何學(xué)基礎(chǔ)》中，不再定義平面轉(zhuǎn)，而直接給出了三條公理，其中最核心的一條就是教材上的公理1。1897年，Keigwin在《幾何基礎(chǔ)》中將教材中的公理2作為公理。（四）回顧歷史，公理體系第三個(gè)階段是平面的公理化體系27（四）回顧歷史，公理體系真正構(gòu)建平面公理化體系的是19世紀(jì)末德國(guó)數(shù)學(xué)家希爾伯特，他在其《幾何基礎(chǔ)》（1899）中，系統(tǒng)論述了他的公理化體系：把平面概念作為原始概念，象點(diǎn)和直線一樣，不加定義。把“如果一條直線上的兩點(diǎn)在平面內(nèi)，那么這條直線在此平面內(nèi)”（即教材上的公理1）和“不共線三點(diǎn)確定一個(gè)平面”（即教材上的公理2）作為公理，建立了公理化的歐氏幾何，但希爾伯特的公理化體系并不完整，直到1924年Cowley的《立體幾何》中將“兩平面相交，交線為直線”（即教材上的公理3）作為公理，希爾伯特建立的公理化歐氏幾何才算完全。（四）回顧歷史，公理體系真正構(gòu)建平面公理化體系的是128（五）知識(shí)盤點(diǎn)，完善框架1.平面是從具體事物抽象出來的理想化概念，它是“平”的，無限延展的。2.平面的性質(zhì)：公理1：如果一條直線上的兩個(gè)點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi)，那么這條直線在此平面內(nèi)。公理2：過不在同一直線上的三點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面。推論1：過直線及直線外一點(diǎn)有且只有一個(gè)平面；推論2：過兩條平行直線有且只有一個(gè)平面；推論3：過兩條相交直線有且只有一個(gè)平面。公理3：如果兩個(gè)不重合的平面有一個(gè)公共點(diǎn)，那么它們有且只有一條過該點(diǎn)的公共直線。

3.平面的表示：平行四邊形、三角形、梯形、圓等，它體現(xiàn)了有限與無限的數(shù)學(xué)思想。（五）知識(shí)盤點(diǎn)，完善框架1.平面是從具體事物抽象出來的理想29（六）作業(yè)鞏固，應(yīng)用理解教材P43練習(xí)1～4，P51習(xí)題2.1A組第1～3，B組2、3.（六）作業(yè)鞏固，應(yīng)用理解教材P43練習(xí)1～4，P51習(xí)題2.30平面

學(xué)習(xí)目標(biāo)：1.理解平面是“平”的、無限延展等特性；2.理解平面的三個(gè)基本公理，并能用數(shù)學(xué)的三種語(yǔ)言表達(dá)。3.體會(huì)公理化的思想，了解公理化的發(fā)展與意義，體驗(yàn)數(shù)學(xué)是一種文化活動(dòng)，數(shù)學(xué)是不斷發(fā)展與完善的。平面學(xué)習(xí)目標(biāo)：31實(shí)例引入觀察實(shí)例引入觀察32實(shí)例引入觀察實(shí)例引入觀察33

實(shí)例引入觀察實(shí)例引入觀察34

生活中的一些物體通常呈平面形，課桌面、黑板面、海面都給我們以平面的形象．你還能從生活中舉出類似平面形的物體嗎？（一）創(chuàng)設(shè)情境，直觀感知

幾何里所說的“平面”就是從這樣的一些物體中抽象出來的．

【問題1】說說你對(duì)平面的印象，在你腦海里，平面有哪些特性？生活中的一些物體通常呈平面形，課桌面、黑板面、海面都35

公元前5世紀(jì)，古希臘哲學(xué)家巴門尼德對(duì)平面的刻畫：如果一個(gè)二維對(duì)象是直的表面，那么它就是一個(gè)平面，直線可在任意方向與之相合。（一）創(chuàng)設(shè)情境，直觀感知

公元前3世紀(jì)，歐幾里得:平面是它上面的線一樣地平放著的面。

公元1世紀(jì)，海倫給出了平面特征：平面是具有以下性質(zhì)的面，它向四周無限延伸，平面是直線與之完全相合的表面。公元前5世紀(jì)，古希臘哲學(xué)家巴門尼德對(duì)平面的刻畫：如36平面的特性：平面是“平”的；

平面是無限延展的，它沒有大小之分，無厚薄之別。

【問題2】請(qǐng)同學(xué)們比較剛才大家對(duì)平面的認(rèn)識(shí)與三位數(shù)學(xué)家對(duì)平面的認(rèn)識(shí)，你能提煉平面的特性嗎？（一）創(chuàng)設(shè)情境，直觀感知平面的特性：【問題2】請(qǐng)同學(xué)們比較剛才大家對(duì)平面的認(rèn)識(shí)與三37判斷下列各題的說法是否正確與否，在正確的說法的題號(hào)后打√，否則打╳:1、一個(gè)平面長(zhǎng)4米，寬2米；()2、平面有邊界；

()3、一個(gè)平面的面積是25cm2；()4、菱形的面積是4cm2；

()5、一個(gè)平面可以把空間分成兩部分.()練習(xí)判斷下列各題的說法是否正確與否，在正練習(xí)38我們常常把水平的平面畫成銳角為450，橫邊長(zhǎng)等于其鄰邊長(zhǎng)2倍的平行四邊形.

【問題3】“平面”是無限延展的，它是無法畫出來的，請(qǐng)類比直線的畫法，思考如何直觀地畫出平面呢？（二）表示平面，深化理解常把希臘字母α、β、γ等寫在代表平面的平行四邊形的一個(gè)角上，如平面α、平面β等；也可以用代表平面的四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)，或者相對(duì)的兩個(gè)頂點(diǎn)的大寫英文字母作為這個(gè)平面的名稱．平面記作：平面ABCD平面AC平面BD【問題4】用有限大的平行四邊形表示無限大的平面，這體現(xiàn)了什么數(shù)學(xué)思想？有限與無限的數(shù)學(xué)思想平面β我們常常把水平的平面畫成銳角為450，橫邊長(zhǎng)等于其鄰邊長(zhǎng)2倍39（1）直線與平面相交的畫法（二）表示平面，深化理解（2）兩平面相交的畫法①畫出交線；②被遮擋部分畫虛線.（1）直線與平面相交的畫法（二）表示平面，深化理解（2）兩平40AB點(diǎn)A在平面內(nèi)，記作．記作．點(diǎn)B在平面外，讀作讀作（3）點(diǎn)、線、平面的位置關(guān)系有哪些？

平面內(nèi)有無數(shù)個(gè)點(diǎn)，平面、直線都可以看成點(diǎn)的集合．點(diǎn)在平面內(nèi)和點(diǎn)在平面外都可以借助于元素與集合的屬于、不屬于關(guān)系來表示．AB點(diǎn)A在平面內(nèi)，記作．記作41AlABlAl點(diǎn)A在直線l上．點(diǎn)A不在直線l上．Al直線l在平面內(nèi)．平面經(jīng)過直線l．直線

l不在平面內(nèi)AlABlAl點(diǎn)A在直線l上．點(diǎn)A不在直線l上．Al直線l在42（三）理解公理、豐富內(nèi)涵17世紀(jì)德國(guó)數(shù)學(xué)家萊布尼茲認(rèn)為歐凡里得關(guān)于平面的論斷存在邏輯上的不完美，也批評(píng)海倫的定義包含過多的需要描述平面的“重復(fù)判斷”。于是，他給出了一個(gè)更簡(jiǎn)單的定義:“平面是一組這樣的點(diǎn)，它們到兩定點(diǎn)的距離相等”。顯然，萊布尼茲的定義實(shí)質(zhì)上給出了一個(gè)平面的構(gòu)造，這是數(shù)學(xué)家首次給出平面的構(gòu)造，并用此來定義平面。18世紀(jì)，高斯對(duì)平面的定義：平面就是包含了過一個(gè)已知點(diǎn)與一條已知直線垂直的所有直線的表面。【活動(dòng)與體驗(yàn)】請(qǐng)同學(xué)們拿一支筆豎直放置，在這支筆上選一個(gè)點(diǎn)，將另一支筆經(jīng)過該點(diǎn)和豎直的筆保持垂直關(guān)系，旋轉(zhuǎn)一周，感受運(yùn)動(dòng)的筆的軌跡，體驗(yàn)“平面”的形成過程，體驗(yàn)平面的兩個(gè)特點(diǎn)——平面的“平”與平面的無限延展性。（三）理解公理、豐富內(nèi)涵17世紀(jì)德國(guó)數(shù)學(xué)家萊布尼茲認(rèn)43（三）理解公理、豐富內(nèi)涵——公理117世紀(jì)德國(guó)數(shù)學(xué)家萊布尼茲認(rèn)為歐凡里得關(guān)于平面的論斷存在邏輯上的不完美，也批評(píng)海倫的定義包含過多的需要描述平面的“重復(fù)判斷”。于是，他給出了一個(gè)更簡(jiǎn)單的定義:“平面是一組這樣的點(diǎn)，它們到兩定點(diǎn)的距離相等”。顯然，萊布尼茲的定義實(shí)質(zhì)上給出了一個(gè)平面的構(gòu)造，這是數(shù)學(xué)家首次給出平面的構(gòu)造，并用此來定義平面。18世紀(jì)，高斯對(duì)平面的定義：平面就是包含了過一個(gè)已知點(diǎn)與一條已知直線垂直的所有直線的表面?！净顒?dòng)與體驗(yàn)】請(qǐng)同學(xué)們拿一支筆豎直放置，在這支筆上選一個(gè)點(diǎn)，將另一支筆經(jīng)過該點(diǎn)和豎直的筆保持垂直關(guān)系，旋轉(zhuǎn)一周，感受運(yùn)動(dòng)的筆的軌跡，體驗(yàn)“平面”的形成過程，體驗(yàn)平面的兩個(gè)特點(diǎn)——平面的“平”與平面的無限延展性。（三）理解公理、豐富內(nèi)涵——公理117世紀(jì)德國(guó)數(shù)學(xué)家44（三）理解公理、豐富內(nèi)涵——公理1

【問題5】請(qǐng)同學(xué)們?cè)谥背呱蠘?biāo)記兩個(gè)點(diǎn)，將這兩個(gè)點(diǎn)放在桌面上，觀察直尺上的其他點(diǎn)與平面的位置關(guān)系，你能得出什么結(jié)論？公元前3世紀(jì)，歐幾里得在《幾何原本》第11卷給出了三個(gè)命題，其中命題1是：“一條直線不可能一部分在平面內(nèi)，而另一部分在平面外”。公元1世紀(jì)，海倫給出了平面的性質(zhì)：如果一條直線經(jīng)過平面上的兩個(gè)點(diǎn)，那么這條直線的任意部位都和這個(gè)平面完全相合。

18世紀(jì)，英國(guó)數(shù)學(xué)家辛松給出了平面的新定義:平面是具有下列性質(zhì)的面，通過其上任意兩點(diǎn)的直線完全包含在該面上。（三）理解公理、豐富內(nèi)涵——公理1【問題5】請(qǐng)同學(xué)45（三）理解公理、豐富內(nèi)涵——公理1

1884年，Newcomb在《幾何學(xué)基礎(chǔ)》中，不再定義平面轉(zhuǎn)而直接給出以下公理:公理1：如果一條直線上的兩個(gè)點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi)，那么這條直線在此平面內(nèi)。符號(hào)語(yǔ)言圖形語(yǔ)言作用：（1）用直線的“直”來刻畫平面的“平”；

（2）判斷直線是否在平面內(nèi)的依據(jù)．（三）理解公理、豐富內(nèi)涵——公理11884年，Ne46（三）理解公理、豐富內(nèi)涵——公理1

1884年，Newcomb在《幾何學(xué)基礎(chǔ)》中，不再定義平面轉(zhuǎn)而直接給出以下公理:公理1：如果一條直線上的兩個(gè)點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi)，那么這條直線在此平面內(nèi)。符號(hào)語(yǔ)言圖形語(yǔ)言作用：（1）用直線的“直”來刻畫平面的“平”；

（2）判斷直線是否在平面內(nèi)的依據(jù)．（三）理解公理、豐富內(nèi)涵——公理11884年，Ne47（三）理解公理、豐富內(nèi)涵——公理1（三）理解公理、豐富內(nèi)涵——公理148（三）理解公理、豐富內(nèi)涵——公理2

【問題6】（1）空間中，經(jīng)過兩點(diǎn)有且只有一條直線，即兩點(diǎn)確定一條直線，那么兩點(diǎn)能否確定一個(gè)平面？經(jīng)過三點(diǎn)、四點(diǎn)可以作多少個(gè)平面？（2）照相機(jī)，測(cè)量?jī)x等器材的支架為何要做成三腳架？生活經(jīng)驗(yàn)告訴我們：不在同一直線上的三點(diǎn)，可以確定一個(gè)平面。直到19世紀(jì)初，數(shù)學(xué)家皮埃爾才明確從數(shù)學(xué)的角度給出了確定平面的方法：給出不共線的三點(diǎn)A,B,C，由A與BC上各點(diǎn)，或B與CA上各點(diǎn)，或C與AB上各點(diǎn)所連接的直線全部填滿的圖形，稱為平面ABC.（三）理解公理、豐富內(nèi)涵——公理2【問題6】（1）49（三）理解公理、豐富內(nèi)涵——公理21897年，Keigwin在《幾何基礎(chǔ)》中才將“不共線三點(diǎn)確定一個(gè)平面”作為公理：公理2：過不在同一直線上的三點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面。由公理2，我們不難得到如下推理：推論1：過直線及直線外一點(diǎn)有且只有一個(gè)平面；推論2：過兩條平行直線有且只有一個(gè)平面；推論3：過兩條相交直線有且只有一個(gè)平面。．AB．Cα．事實(shí)上，在平面概念形成過程中，Newcomb在《幾何學(xué)基礎(chǔ)》(1884)中，以公理的形式給出了推論1:只有一個(gè)平面可經(jīng)過一條直線和直線外一點(diǎn)。同時(shí)他還證明了推論3。Halsted在《幾何基礎(chǔ)》（1885)中同樣得到推論1。（三）理解公理、豐富內(nèi)涵——公理21897年，Keigwin50（三）理解公理、豐富內(nèi)涵——公理2【例與練3】（1）下列說法正確的是(

)A．三點(diǎn)可以確定一個(gè)平面B．一條直線和一個(gè)點(diǎn)可以確定一個(gè)平面C．四邊形是平面圖形D．兩條相交直線可以確定一個(gè)平面（2）空間兩兩相交的三條直線，可以確定的平面數(shù)是(

)A．1B．2C．3D．1或3（3）下列說法正確的是(

)①任意三點(diǎn)確定一個(gè)平面；②圓上的三點(diǎn)確定一個(gè)平面；③任意四點(diǎn)確定一個(gè)平面；④兩條平行線確定一個(gè)平面。A．①②B．②③C．②④D．③④（三）理解公理、豐富內(nèi)涵——公理2【例與練3】（2）空間兩兩51（三）理解公理、豐富內(nèi)涵——公理3實(shí)驗(yàn)操作：①將三角板的一個(gè)角放置在桌面上，讓同學(xué)們觀察三角板所代表的平面與桌面所代表的平面有多少個(gè)公共點(diǎn)？②將一張薄餅放在桌面上，用菜刀切薄餅，觀察切口的形狀，它是什么圖形，你得到什么結(jié)論？

1912年，Hart和Feldman在《平面與立體幾何》中將“直線與平面最多交于一點(diǎn)”作為公理。

1914年，Richardson在《立體幾何》中將“若兩平面有一個(gè)公共點(diǎn)，則它們有第二個(gè)公共點(diǎn)”作為公理。直到1934年，Cowley在《立體幾何》中將“兩平面相交，交線為直線”作為公理。（三）理解公理、豐富內(nèi)涵——公理3實(shí)驗(yàn)操作：②將一張薄餅放52（三）理解公理、豐富內(nèi)涵——公理3公理3：如果兩個(gè)不重合的平面有一個(gè)公共點(diǎn)，那么它們有且只有一條過該點(diǎn)的公共直線。作用：（1）從兩個(gè)平面的位置關(guān)系的角度刻畫“平面”無限延展性；（2）從兩個(gè)平面的交線是直線也刻畫了平面是“平”的。圖形語(yǔ)言符號(hào)語(yǔ)言：若兩個(gè)平面有一條公共直線，則稱這兩個(gè)平面相交，這條公共直線叫做這兩個(gè)平面的交線.平面α與平面β相交于直線l，可記作（三）理解公理、豐富內(nèi)涵——公理3公理3：如果兩個(gè)不重合的平53（三）理解公理、豐富內(nèi)涵——公理3【例與練4】（1）在空間四邊形ABCD的邊AB、BC、CD、DA上分別取E、F、G、H四點(diǎn)，如果EF與HG交于點(diǎn)M，那么(

)A．M一定在直線AC上B．M一定在直線BD上C．M可能在直線AC上，也可能在直線BD上D．M既不在直線AC上，也不在直線BD上（三）理解公理、豐富內(nèi)涵——公理3【例與練4】（1）在空間四54（三）理解公理、豐富內(nèi)涵——公理3（三）理解公理、豐富內(nèi)涵——公理355（四）回顧歷史，公理體系平面概念自公元前5世紀(jì)古希臘哲學(xué)家巴門尼德首次刻畫以來，到1934年希爾伯特的公理化定義，經(jīng)歷了三個(gè)階段：