信號與線性系統(tǒng)-12(總分：100.02，做題時間：90分鐘)一、計算題(總題數(shù)：22，分?jǐn)?shù)：100.00)N(1).即N(1).即W 是一個周期為N的序列。（分?jǐn)?shù)：2.50）N正確答案：()解析：證明N(2).（分?jǐn)?shù)：2.50）說明W 是以N解析：證明N(2).（分?jǐn)?shù)：2.50）解析：證明另一方面，由W 的周期性知，解析：證明另一方面，由W 的周期性知，故有N(4).這里(4).這里N等于N 的倍數(shù)。（分?jǐn)?shù)：2.50）正確答案：()解析：證明00解析：證明00

的倍數(shù)，不妨設(shè)N=N

l，l=1，2，3，…，于是解析：證明(3).解析：證明(3).（分?jǐn)?shù)：2.50）命題得證。試分別用基2時間抽取和基2頻率抽取FFT算法計算下列序列的離散傅里葉變換。（分?jǐn)?shù)：10.00）(1).f(k)=ε(k)-ε(k-8)，0≤N＜8（分?jǐn)?shù)：2.50）正確答案：()解析：解f(k)的8個點的值分別為而幾個系數(shù)分別為f(0)=f(1)=f(2)=f(3)=f(4)=f(5)=f(6)=f(7)=1而幾個系數(shù)分別為FFT2FFT

)所示，基2頻率抽取FFT計算過程如11圖(b )所示。1(2).（分?jǐn)?shù)：2.50）(2).（分?jǐn)?shù)：2.50）正確答案：()f(k8222FFT22

2FFT

)所示。由此可見，F(xiàn)(m)={4，0，0，0，4，0，0，0}(3).f(k)=k(k-1)ε(k)，0≤N＜8（分?jǐn)?shù)：2.50）正確答案：()解析：解f(k)的8個點的值分別為f(0)=0，f(1)=0，f(2)=2，f(3)=6，f(4)=12，f(5)=20，f(6)=30，f(7)=42332FFT33

2FFT

)所示。(4).（分?jǐn)?shù)：2.50）(4).（分?jǐn)?shù)：2.50）正確答案：()解析：解f(k)的8個點的值分別為f(0)=1，f(1)=0，f(2)=-1，f(3)=0，f(4)=1，f(5)=0，f(6)=-1，f(7)=0442FFT44

2FFT

)所示。由此可見，F(xiàn)(m)={0，0，4，0，0，0，4，0}1.假如用FFT32DFT出輸出序列的排列順序。（分?jǐn)?shù)：2.50）正確答案：()解析：解用比特反置方法求輸出序列的排列順序的計算過程見表。即輸出序列的排列順序為0，16，8，24，4，20，12，28，2，18，10，26，6，22，14，30，1，17，9，25，5，21，13，29，3，19，11，27，7，23，15，31位置位置序號序號位置位置位置序號序號位置位置序號序號0 00000 00000 0 16 10000 00001 11000011000016171000110001172000100100081810010010019300011110002419100111100125400100001004201010000101550010110100202110101101012160011001100122210110011011370011111100282310111111012980100000010224110000001139010011001018251100110011191001010010101026110100101111110101111010262711011110112712011000011062811100001117130110110110222911101101112314011100111014301111001111151501111111103031111111111131(十進(jìn)制)(二進(jìn)制)(二進(jìn)制)(十進(jìn)制)(十進(jìn)制)(二進(jìn)制)(二進(jìn)制)(十進(jìn)制)28點實信號f(k)的DFTF(4)=2，利用WN的性質(zhì)求F(5)，F(xiàn)(6)，F(xiàn)(7)，并用帕塞瓦爾定理求f(k)的平均能量。（分?jǐn)?shù)：2.50）正確答案：()解析：解先考慮一般情況，若需求F(l)，l=0，1，2，…，7，由定義有因為f(k)為實信號，故有f(k)=f*(k)，于是有根據(jù)此特性，易知F(5)=F*(3)=2-j3，F(xiàn)(6)=F*(2)=1-j，F(xiàn)(7)=F*(1)=-j由帕塞瓦爾定理知，f(k)的平均能量為利用FFTf (k)={1，1，1，1，1，1，1，1}，f1

(k)={1，1，1，1，-1，-1，-1，-1}f (k)={1，1，-1，-1，1，1，-1，-1}，f3

(k)={1，-1，1，-1，1，-1，1，-1}（分?jǐn)?shù)：2.50）正確答案：()解析：解第一步，首先計算f1

(k)～f

(k)的DFT。4FFT

(k)的DFT，這里直接引用。1F (m)={8，0，0，0，0，0，0，0}12342FFT234

(k)、f

(k)及f

(k)的過程分別如圖(a)、(b)、(c)所示。由計算可得故第二步，計算各序列兩兩之間的循環(huán)卷積。由DFT的時域循環(huán)卷積特性，有故FDFTF(m)·F(m)=0，i i ji，j=1，2，3，4，i≠j，所以任意兩序列的循環(huán)卷積都為0。第三步，計算各序列兩兩之間的循環(huán)相關(guān)函數(shù)。故由于有故但由于所以任意兩序列的循環(huán)相關(guān)函數(shù)均為0。但由于在計算實數(shù)序列f(k)的FFTx(k)y(k)c(k)的實部和虛部。假設(shè)已知c(k)的DFTC(m)，求x(k)。進(jìn)一步降低運算量。試推導(dǎo)此時計算過程，估計計算量(復(fù)數(shù)加法和乘法的次數(shù))。（分?jǐn)?shù)：2.50）正確答案：()f(k)的奇數(shù)項和偶數(shù)項分別構(gòu)成兩個長度為f(k)的奇數(shù)項和偶數(shù)項分別構(gòu)成兩個長度為(k)和f(k)，則且再將二者合成一個復(fù)數(shù)序列。則且而由基2時間抽取FFT算法的推導(dǎo)過程可知，f(k)的DFTF(m)為(1)利用FFT(1)利用FFTC(m)，在此步需要的計算量為乘法次數(shù)：加法次數(shù)：co乘法次數(shù)：加法次數(shù)：加法次數(shù)：co乘法次數(shù)：加法次數(shù)：(3)求出F(m)和，此步需要的計算量為

(m)和

(m)，此步需要的計算量為乘法次數(shù)：加法次數(shù)：乘法次數(shù)：所以總的計算量為乘法次數(shù)：加法次數(shù)：乘法次數(shù)：加法次數(shù)：計算下列序列的8點離散沃爾什變換。（分?jǐn)?shù)：7.50）加法次數(shù)：(1).f(k)={10，20，30，29，50，100，37，22}（分?jǐn)?shù)：2.50）正確答案：()解析：解直接利用矩陣進(jìn)行計算如下：故F(m)={298，-120，-120，62，-76，54，26，-44}(2).f(k)={1，3，5，7，9，11，13，15}（分?jǐn)?shù)：2.50）正確答案：()解析：解直接利用矩陣進(jìn)行計算如下：故F(m)={64，-32，0，-16，0，0，0，-8}(3).f(k)={21，23，25，27，29，31，33，35}（分?jǐn)?shù)：2.50）正確答案：()解析：解直接利用矩陣進(jìn)行計算如下：故F(m)={224，-32，0，-16，0，0，0，-8}N=3CNN=3CN矩陣等于(1)故(2)(1)f(k)={15，20，32}(2)f(k)={1，3，5}(3)f(k)={11，13，15}（分?jǐn)?shù)：2.50）正確答案：()故(3)故(1).（分?jǐn)?shù)：2.50）故(3)故(1).（分?jǐn)?shù)：2.50）正確答案：()解析：解則相應(yīng)的差分方程為解析：解r(k)=e(k-2)+e(k-1)+e(k)(2).（分?jǐn)?shù)：2.50）(2).（分?jǐn)?shù)：2.50）正確答案：()解析：解由知相應(yīng)的差分方程為解析：解由知相應(yīng)的差分方程為(3).（分?jǐn)?shù)：2.50）(3).（分?jǐn)?shù)：2.50）正確答案：()解析：解由知相應(yīng)的差分方程為解析：解由知相應(yīng)的差分方程為IIR解析：解由知相應(yīng)的差分方程為解析：解由知相應(yīng)的差分方程為r(k)=e(k)-0.3r(k-1)-0.02r(k-2)可見此離散時間系統(tǒng)是IIR及AR類型的濾波器。下面的說法是否正確?請說明理由。（分?jǐn)?shù)：10.00）(1).FIR濾波器一定是MA濾波器。（分?jǐn)?shù)：2.50）正確答案：()解析：解此說法正確。若濾波器的傳輸函數(shù)H(z)的一般形式為對于FIR濾波器，其系數(shù)an

MA

系數(shù)也都等于0，即k時刻系統(tǒng)的輸出等于時間窗n(4).（分?jǐn)?shù)：2.50）口[k-N，k-N+M]內(nèi)M+1FIRMA(4).（分?jǐn)?shù)：2.50）(2).AR濾波器一定是IIR濾波器。（分?jǐn)?shù)：2.50）正確答案：()解析：解此說法正確。AR濾波器的傳輸函數(shù)具有如下形式：其分母中，部分的系數(shù)其分母中，部分的系數(shù)a 不全為零，所以AR濾波器一定也是IIR濾波器。多個FIRFIR（分?jǐn)?shù)：2.50）正確答案：()解析：解此說法正確。FIR濾波器的傳輸函數(shù)形式為那么多個(假設(shè)l個)FIR濾波器并聯(lián)得到的系統(tǒng)，其傳輸函數(shù)為可見這個系統(tǒng)仍是一個FIR濾波器。多個IIRIIR（分?jǐn)?shù)：2.50）正確答案：()解析：解此說法不正確。IIR濾波器的傳輸函數(shù)形式為n式中，a 不會全為零。當(dāng)多個IIR濾波器串聯(lián)，所得系統(tǒng)的傳輸函數(shù)為n若出現(xiàn)這種情況，即H(z)的所有非零極點全部被零點抵消掉了，則此系統(tǒng)將不再是IIR類型的，而是FIR類型的。(1).（分?jǐn)?shù)：2.50）T（(1).（分?jǐn)?shù)：2.50）正確答案：()解析：解連續(xù)傳輸函數(shù)(2).（分?jǐn)?shù)：2.50）解析：解連續(xù)傳輸函數(shù)(2).（分?jǐn)?shù)：2.50）正確答案：()解析：解連續(xù)傳輸函數(shù)(3).（分?jǐn)?shù)：2.50）解析：解連續(xù)傳輸函數(shù)(3).（分?jǐn)?shù)：2.50）正確答案：()解析：解連續(xù)傳輸函數(shù)aa解析：解連續(xù)傳輸函數(shù)aa知

(s)有一個二階極點在s=-2，由H(z)與H

(s)的關(guān)系(4).H

(s)=1（分?jǐn)?shù)：2.50）a正確答案：()

(s)=1，意味著連續(xù)系統(tǒng)的沖a激響應(yīng)為δ(t)，將之轉(zhuǎn)換為數(shù)字信號，不可能不改變其性質(zhì)，所以這種情況下無法利用沖激響應(yīng)不變變換法。2kHz210kHz。（分?jǐn)?shù)：2.50）正確答案：()解析：解模擬巴特沃思濾波器的系統(tǒng)函數(shù)為取ω c

3×2π=4π×103

rad/s，N=2，代入上式可得用沖激響應(yīng)不變變換法，取T=10-4s，可得數(shù)字巴特沃思低通濾波器的系統(tǒng)函數(shù)為利用雙線性變換法求題中各系統(tǒng)的對應(yīng)的數(shù)字濾波器的傳輸函數(shù)。(1).（分?jǐn)?shù)：2.50）(1).（分?jǐn)?shù)：2.50）解析：解將代入上式可得(4).H解析：解將代入上式可得

(s)=1（分?jǐn)?shù)：2.50）a正確答案：()解析：解Ha

(s)=1解析：解將代入上式可得(2).（分?jǐn)?shù)：2.50）解析：解將解析：解將代入上式可得(2).（分?jǐn)?shù)：2.50）解析：解將代入上式可得(3).（分?jǐn)?shù)：2.50）而得到離散系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)。由H (s)=1知微分方程為r(t)=e(t)，于是相應(yīng)的差分方程為ar(k)=e(k)所以H(z)=12kHz210kHz。設(shè)計一個滿足以上要求的數(shù)字巴特沃思低通濾波器。（分?jǐn)?shù)：2.50）正確答案：()解析：解模擬巴特沃思濾波器的系統(tǒng)函數(shù)為取ω c

3×2π=4π×103

rad/s，N=2，代入上式可得用沖激響應(yīng)不變變換法，取T=10-4s，可得數(shù)字巴特沃思低通濾波器的系統(tǒng)函數(shù)為根據(jù)雙線性變換的公式，將代入根據(jù)雙線性變換的公式，將代入H (s)，可以得到a已知某系統(tǒng)的單位函數(shù)響應(yīng)如下，試判斷系統(tǒng)是否是線性相位FIR(1)h(k)={1，-1，1，-1，1，-1，1，-1，1}(2)h(k)={1，2，3，4，5，1，2，3，4，5}(3)h(k)={1，2，3，4，5，4，3，2}a(4)h(k)={1，1，1，1，1，1，1}(5)h(k)={1，2，3，4，5，-4，-3，-2，-1}（分?jǐn)?shù)：2.50）正確答案：()解析：解若FIR濾波器的單位函數(shù)響應(yīng)h(k)的長度為N，則只要滿足h(k)=±h(N-1-k)該濾波器便為線性相位的。由此可判斷出：(1)該系統(tǒng)是線性相位FIR濾波器。(2)該系統(tǒng)不是線性相位FIR濾波器。(3)該系統(tǒng)不是線性相位FIR濾波器。(4)該系統(tǒng)是線性相位FIR濾波器。(5)該系統(tǒng)是線性相位FIR濾波器。已知某長度為NFIR|H(ejωT)|=A(ωT)，其中T

jωT)。（分?jǐn)?shù)：2.50）正確答案：()解析：解若FIR濾波器的單位函數(shù)響應(yīng)是偶對稱的，則其相頻特性為若FIR濾波器的單位函數(shù)響應(yīng)是奇對稱的，則其相頻特性為故系統(tǒng)完整的頻率特性表示式為或2kHzFIRN＝10?；颍ǚ?jǐn)?shù)：2.50）正確答案：()其中解析：解由題意，濾波器的長度N＝10，為偶數(shù)，無法通過先求出h(k)再移動使其滿足對稱特性來進(jìn)行設(shè)計，這時就直接將目標(biāo)系統(tǒng)的頻率特性設(shè)置為其中求出目標(biāo)系統(tǒng)的單位函數(shù)響應(yīng)于是該FIR濾波器的單位函數(shù)響應(yīng)通過數(shù)值計算，可得h (k)={-0.0708，-0.0455，0.0637，0.2123，0.3185，0.3185，0.2123，0.0637，-0.0455，-0.0708}d2kHzFIRN＝10。在設(shè)計任務(wù)中，分別采用三角窗、漢寧窗、漢明窗、布萊克曼窗函數(shù)設(shè)計出相應(yīng)的濾波器。（分?jǐn)?shù)：1.00）正確答案：()解析：解求出目標(biāo)系統(tǒng)的單位函數(shù)響應(yīng)h (k)=h(k)·ωh (k)=h(k)·ω(k)d其中故得h (k)={0，-0.0101，0.0283，0.1415，0.2831，0.2831，0.1415，0.0283，-0.0101，0}d如果采用漢寧窗，則h (k)=h(k)·ω(k)其中d其中故得h (k)={0，-0.0053，0.0263，0.1592，0.3088，0.3088，0.1592，0.0263，-0.0053，0}d如果采用漢明窗，則d其中d其中故得h (k)={-0.0057，-0.0085，0.0293，0.1635，0.3096，0.3096，0.1635，0.0293，-0.0085，-0.0057}d如果采用布萊克曼窗，則h (k)=h(k)·ω(k)其中d其中故得h (k)={0，-0.0023，0.0164，0.1337，0.3028，0.3028，0.1337，0.0164，-0.0023，0}d理想的線性正交變換網(wǎng)絡(luò)的傳輸函數(shù)為H (jω)=-je-jωt0a其中t

是系統(tǒng)的時延，可以根據(jù)需要設(shè)定。如果要以該系統(tǒng)為原型設(shè)計一個長度為N的線性相位FIR濾0波器，抽樣間隔為T，t0數(shù)h(k)。（分?jǐn)?shù)：1.00）

應(yīng)該取多大?試用窗函數(shù)法設(shè)計出線性正交變換數(shù)字濾波器，給出其單位響應(yīng)函NNFIR，故。線性正交變換網(wǎng)絡(luò)的傳輸函數(shù)一般為故目標(biāo)系統(tǒng)的頻率特性應(yīng)為當(dāng)時，h(k)=0當(dāng)時，h(k)=0即用窗函數(shù)法設(shè)計出的線性正交變換數(shù)字濾波器的單位函數(shù)響應(yīng)50HzFIR400Hz，F(xiàn)IRN=8。（分?jǐn)?shù)：1.00）正確答案：()解析：解因為是設(shè)計線性相位FIR濾波器，其長度N=8，所以其相頻特性應(yīng)滿足按設(shè)計要求，其幅頻特性應(yīng)與所給|H (jω)|相近，即需要能保證將50Hz的工頻干擾濾除掉。a再考慮周期化的問題，其周期應(yīng)為ω =2πf =800πrad/s，則其主值區(qū)間為0～800π。s sd綜合以上因素，且為了保證h (k)為實數(shù)，將目標(biāo)系統(tǒng)的傳輸函(在主值區(qū)間內(nèi))設(shè)計為d根據(jù)這個頻率特性，可以得到它在0～800π內(nèi)的均勻分布的8個頻率點上的特性值為通過IDFT，可以得到50HzFIR400Hz，F(xiàn)IRN=8。給出用線性相位直接型結(jié)構(gòu)實現(xiàn)得到的離散時間系統(tǒng)的框圖。（分?jǐn)?shù)：1.00）正確答案：()解析：解得到系統(tǒng)單位函數(shù)響應(yīng)為由此可知h(0)=0.2061=h(7)，h(1)=0.1792=h(6)，h(2)=-0.28275=h(5)，h(3)=0.39745=h(4)故用直接型結(jié)構(gòu)實現(xiàn)該系統(tǒng)的框圖如圖所示。N(NFIR

(k)，其DFT為H1

(m)。將h1

(k)NN/2

(k)。（分?jǐn)?shù)：3.52）2(1).求h

(k)的DFTH2

(m)；（分?jǐn)?shù)：0.88）正確答案：()解析：解由題意知，則由DFT的循環(huán)移位特性知因為e

±jπm

=(-1)

m，所以h

(k)的DFT為2H 2

mH(m)1證明h

(k)所對應(yīng)的FIR濾波器依然滿足線性相頻特性；（分?jǐn)?shù)：0.88）2解析：解由知正確答案：()解析：解由知及1由于h (k)對應(yīng)的FIR濾波器是線性相位的，即有及1故有即h (k)滿足對稱特性，所以故有2

(k)所對應(yīng)的FIR濾波器依然滿足線性相頻特性。2證明將h(kh(k)對應(yīng)的系統(tǒng)并聯(lián)，得到的新系統(tǒng)依然是線性相位FIR；（分?jǐn)?shù)：0.88）1 2正確答案：()解析：解當(dāng)將h1

(k)和

(k)對應(yīng)的系統(tǒng)并聯(lián)，所得新系統(tǒng)的單位函數(shù)響應(yīng)為h2

(k)+h1

(k)。不妨2121L1R2L2R121L1R2L2R即

(k)都分成左、右兩部分，記為h

(k)，h

(k)和

(k)，h

(k)，由于于是有1212于是有

(k)

(k)又是偶對稱的，即故對于h1

(k)+h2

(k)，其不僅偶對稱，而且在N個點里包含了兩個周期，在每個周期內(nèi)分別都是偶對稱的