PAGE相遇和追及問題編稿：周軍審稿：吳楠楠【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1、掌握追及及相遇問題的特點；2、能熟練解決追及及相遇問題?！疽c梳理】要點一、機動車的行駛安全問題：要點詮釋：反應(yīng)時間：人從發(fā)現(xiàn)情況到采取相應(yīng)措施經(jīng)過的時間為反應(yīng)時間。反應(yīng)距離：在反應(yīng)時間內(nèi)機動車仍然以原來的速度v勻速行駛的距離。剎車距離：從剎車開始，到機動車完全停下來，做勻減速運動所通過的距離。停車距離與安全距離：反應(yīng)距離和剎車距離之和為停車距離。停車距離的長短由反應(yīng)距離和剎車距離共同決定。安全距離大于一定情況下的停車距離。要點二、追及與相遇問題的概述要點詮釋：追及與相遇問題的成因：當(dāng)兩個物體在同一直線上運動時，由于兩物體的運動情況不同，所以兩物體之間的距離會不斷發(fā)生變化，兩物體間距越來越大或越來越小，這時就會涉及追及、相遇或避免碰撞等問題．追及問題的兩類情況(1)速度小者追速度大者(2)速度大者追速度小者說明:①表中的Δx是開始追及以后,后面物體因速度大而比前面物體多運動的位移；②x0是開始追及以前兩物體之間的距離；③t2-t0=t0-t1；④v1是前面物體的速度,v2是后面物體的速度.特點歸類：(1)若后者能追上前者，則追上時，兩者處于同一位置，后者的速度一定不小于前者的速度．(2)若后者追不上前者，則當(dāng)后者的速度與前者相等時，兩者相距最近．相遇問題的常見情況(1)同向運動的兩物體的相遇問題,即追及問題.(2)相向運動的物體,當(dāng)各自移動的位移大小之和等于開始時兩物體的距離時相遇.解此類問題首先應(yīng)注意先畫示意圖,標(biāo)明數(shù)值及物理量;然后注意當(dāng)被追趕的物體做勻減速運動時,還要注意該物體是否停止運動了.要點三、追及、相遇問題的解題思路要點詮釋：追及?相遇問題最基本的特征相同,都是在運動過程中兩物體處在同一位置.①根據(jù)對兩物體運動過程的分析,畫出物體運動情況的示意草圖.②根據(jù)兩物體的運動性質(zhì),分別列出兩個物體的位移方程,注意要將兩個物體運動時間的關(guān)系反映在方程中;③根據(jù)運動草圖,結(jié)合實際運動情況,找出兩個物體的位移關(guān)系;④將以上方程聯(lián)立為方程組求解,必要時,要對結(jié)果進行分析討論.要點四、分析追及相遇問題應(yīng)注意的兩個問題要點詮釋：分析這類問題應(yīng)注意的兩個問題:(1)一個條件:即兩個物體的速度所滿足的臨界條件,例如兩個物體距離最大或距離最小?后面的物體恰好追上前面的物體或恰好追不上前面的物體等情況下,速度所滿足的條件.常見的情形有三種:一是做初速度為零的勻加速直線運動的物體甲,追趕同方向的做勻速直線運動的物體乙,這種情況一定能追上,在追上之前,兩物體的速度相等(即)時,兩者之間的距離最大;二是做勻速直線運動的物體甲,追趕同方向的做勻加速直線運動的物體乙,這種情況不一定能追上,若能追上,則在相遇位置滿足;若追不上,則兩者之間有個最小距離,當(dāng)兩物體的速度相等時,距離最小;三是做勻減速直線運動的物體追趕做勻速直線運動的物體,情況和第二種情況相似.(2)兩個關(guān)系:即兩個運動物體的時間關(guān)系和位移關(guān)系.其中通過畫草圖找到兩個物體位移之間的數(shù)值關(guān)系是解決問題的突破口.要點五、追及、相遇問題的處理方法方法一:臨界條件法(物理法):當(dāng)追者與被追者到達同一位置,兩者速度相同,則恰能追上或恰追不上(也是二者避免碰撞的臨界條件)。方法二:判斷法(數(shù)學(xué)方法):若追者甲和被追者乙最初相距d0令兩者在t時相遇,則有,得到關(guān)于時間t的一元二次方程:當(dāng)時,兩者相撞或相遇兩次;當(dāng)時,兩者恰好相遇或相撞;時,兩者不會相撞或相遇。方法三:圖象法.利用速度時間圖像可以直觀形象的描述兩物體的運動情況，通過分析圖像，可以較方便的解決這類問題。【典型例題】類型一、機動車的行駛安全問題例1、（2015德州市期末考）2015年1月3日在京津高速上，司機駕駛小汽車以108km/h的速度勻速行駛，突然發(fā)現(xiàn)同一車道的正前方110m處停有一輛故障車，由于無法從其它車道避讓，司機立即采取措施．司機從發(fā)現(xiàn)前方故障車到開始制動有1s的反應(yīng)時間，制動后小汽車以大小為a=5m/s2的加速度剎車，請你通過計算判斷這輛小汽車能否跟前方故障車發(fā)生追尾事故？請你給司機提出至少一條合理的可以防止和減少追尾的建議．【答案】見解析【解析】，司機在反應(yīng)時間內(nèi)做勻速運動，，剎車后做勻減速運動的位移，總位移，會發(fā)生追尾．建議：1、不要超速，2、不要酒后駕駛，3、不要疲勞駕駛．答：會發(fā)生追尾．建議：1、不要超速，2、不要酒后駕駛，3、不要疲勞駕駛．【總結(jié)升華】決本題的關(guān)鍵知道汽車在反應(yīng)時間內(nèi)和剎車后的運動規(guī)律，結(jié)合運動學(xué)公式靈活求解，基礎(chǔ)題．舉一反三【變式】酒后駕車嚴(yán)重威脅交通安全．其主要原因是飲酒會使人的反應(yīng)時間(從發(fā)現(xiàn)情況到實施操作制動的時間)變長，造成制動距離(從發(fā)現(xiàn)情況到汽車停止的距離)變長，假定汽車以108km/h的速度勻速行駛，剎車時汽車的加速度大小為8m/s2，正常人的反應(yīng)時間為0.5s，飲酒人的反應(yīng)時間為1.5s，試問：(1)駕駛員飲酒后的反制距離比正常時多幾米？ (2)飲酒的駕駛員從發(fā)現(xiàn)情況到汽車停止需多少時間？【答案】(1)30m(2)5.25s【解析】(1)汽車勻速行駛v＝108km/h＝30m/s正常情況下剎車與飲酒后剎車，從剎車到車停止這段時間的運動是一樣的，設(shè)飲酒后的剎車距離比正常時多Δs，反應(yīng)時間分別為則代入數(shù)據(jù)得(2)飲酒的駕駛員從實施操作制動到汽車停止所用時間解得所以飲酒的駕駛員從發(fā)現(xiàn)情況到汽車停止所需時間解得類型二、追及問題一：速度小者追趕同向速度大者例2、一輛汽車在十字路口等候綠燈，當(dāng)綠燈亮?xí)r汽車以3m/s2的加速度開始加速行駛，恰在這時一輛自行車以6m/s的速度勻速駛來，從后邊超過汽車。試求：（1）汽車從路口開動后，在追上自行車之前經(jīng)過多長時間兩車相距最遠？此時距離是多少？【思路點撥】畫好汽車和自行車的運動示意圖是關(guān)鍵?！敬鸢浮?s6m【解析】：方法一：臨界狀態(tài)法運動示意圖如圖：xx汽x自△x汽車在追擊自行車的過程中，由于汽車的速度小于自行車的速度，汽車與自行車之間的距離越來越大；當(dāng)汽車的速度大于自行車的速度以后，汽車與自行車之間的距離便開始縮小。很顯然，當(dāng)汽車的速度與自行車的速度相等時，兩車之間的距離最大。設(shè)經(jīng)時間t兩車之間的距離最大。則∴方法二：圖象法在同一個v-t圖象中畫出自行車和汽車的速度-時間圖線，如圖所示。其中Ⅰ表示自行車的速度圖線，Ⅱ表示汽車的速度圖線，自行車的位移等于圖線Ⅰ與時間軸圍成的矩形的面積，而汽車的位移則等于圖線Ⅱ與時間軸圍成的三角形的面積。兩車之間的距離則等于圖中矩形的面積與三角形面積的差，不難看出，當(dāng)t=t0時矩形與三角形的面積之差最大。v/m/sv/m/s6Ⅰ0t0t/sⅡ此時方法三：二次函數(shù)極值法設(shè)經(jīng)過時間t汽車和自行車之間的距離，則當(dāng)時兩車之間的距離有最大值，且【點評】(1)在解決追及相遇類問題時，要緊抓“一圖三式”，即：過程示意圖，時間關(guān)系式、速度關(guān)系式和位移關(guān)系式，另外還要注意最后對解的討論分析。 (2)分析追及、相遇類問題時，要注意抓住題目中的關(guān)鍵字眼，充分挖掘題目中的隱含條件，如“剛好”、“恰好”、“最多”、“至少”等，往往對應(yīng)一個臨界狀態(tài)，滿足相應(yīng)的臨界條件。 (3)解題思路和方法舉一反三【高清課程：相遇和追及問題例2】【變式1】小轎車在十字路口等綠燈亮后，以1m/s2的加速度啟動，恰在此時，一輛大卡車以7m/s的速度從旁超過，做同向勻速運動，問（1）小轎車追上大卡車時已通過多少路程？（2）兩車間的距離最大時為多少？【答案】98m24.5m【變式2】甲、乙兩車同時從同一地點出發(fā)，向同一方向運動，其中甲以10m/s的速度勻速行駛，乙以2m/s2的加速度由靜止啟動，求： (1)經(jīng)多長時間乙車追上甲車？此時甲、乙兩車速度有何關(guān)系？ (2)追上前經(jīng)多長時間兩者相距最遠？此時二者的速度有何關(guān)系？【答案】(1)10s2倍(2)5s相等【解析】(1)乙車追上甲車時，二者位移相同，設(shè)甲車位移為x1，乙車位移為x2，則x1＝x2，即，解得，因此.(2)設(shè)追上前二者之間的距離為，則由數(shù)學(xué)知識知：當(dāng)時，兩者相距最遠，此時.類型三、追及問題二：速度大者減速追趕同向速度小者例3、火車以速度勻速行駛，司機發(fā)現(xiàn)前方同軌道上相距S處有另一列火車沿同方向以速度（對地、且）做勻速運動，司機立即以加速度緊急剎車，要使兩車不相撞，應(yīng)滿足什么條件？【思路點撥】理解兩車不相撞的臨界條件?！敬鸢浮俊窘馕觥糠椒ㄒ唬涸O(shè)兩車恰好相撞(或不相撞)，所用時間為t，此時兩車速度相等解之可得：即，當(dāng)時，兩車不會相撞。方法二：要使兩車不相撞，其位移關(guān)系應(yīng)為：對任一時間t，不等式都成立的條件為由此得【點評】分析解決兩物體的追及、相遇類問題，應(yīng)首先在理解題意的基礎(chǔ)上，認(rèn)清兩物體在位移、速度、時間等方面的關(guān)聯(lián)，必要時須畫出運動關(guān)聯(lián)的示意圖。這類問題的特殊之處是常與極值條件或臨界條件相聯(lián)系。分析解決這類問題的方法有多種，無論哪一種方法，分析臨界條件、解決相關(guān)的臨界條件方程或用數(shù)學(xué)方法找出相關(guān)的臨界值，是解決這類問題的關(guān)鍵和突破口。舉一反三【高清課程：相遇和追及問題例3】【變式】汽車正以10m/s的速度在平直公路上前進，突然發(fā)現(xiàn)正前方s處有一輛自行車以4m/s的速度做同方向的勻速直線運動，汽車立即關(guān)閉油門做勻減速運動，加速度大小為6m/s2，若汽車恰好不碰上自行車，則s大小為多少？【答案】3m類型四、相遇問題例4、（2016湛江市徐聞一中高三月考）如圖所示，直線MN表示一條平直公路，甲、乙兩輛汽車分別停在A、B兩處，，現(xiàn)甲車開始以a1=2.5m／s2的加速度向右做勻加速直線運動，當(dāng)甲車運動t0=6s時，乙車開始以a2=5m／s2的加速度向右做勻加速直線運動，求兩車相遇處到A處的距離?！敬鸢浮?25m和245m【解析】甲車運動t/r