《運(yùn)用導(dǎo)數(shù)證明不等式》教學(xué)設(shè)計(jì)

南京市第九中學(xué)金玉明TEL：136751668442020年11月19日近5年《運(yùn)用導(dǎo)數(shù)證明不等式》高考考查情況年份20162017201820192020考查試卷及題號(hào)新課標(biāo)全國(guó)卷Ⅰ(理科)21新課標(biāo)全國(guó)卷Ⅱ(理科)21新課標(biāo)全國(guó)卷Ⅰ(文科)21、(理科)21北京卷(理科)19、(文科)20天津卷20新課標(biāo)全國(guó)卷Ⅱ(理科)21新課標(biāo)全國(guó)卷Ⅲ(文科)21、(理科)21(數(shù)列不等式)新課標(biāo)全國(guó)卷Ⅱ(理科)21天津卷(理科)20、(文科)20浙江卷22新課標(biāo)全國(guó)卷Ⅲ(文科)21天津卷(理科)20、(文科)19新課標(biāo)全國(guó)卷Ⅲ(文科)21、(理科)21

浙江卷(文科)20江蘇卷20浙江卷22(Ⅰ)

浙江卷(文科)20浙江卷22(Ⅱ)(數(shù)列不等式)

山東卷(理科)20

教學(xué)設(shè)計(jì)思路數(shù)學(xué)證明的教育價(jià)值主要體現(xiàn)在如下的幾個(gè)方面：（1）通過(guò)證明的教與學(xué)，使學(xué)生理解并牢固地掌握已學(xué)到的知識(shí)，幫助學(xué)生尋找新舊知識(shí)之間的內(nèi)在聯(lián)系，使學(xué)生獲得的知識(shí)系統(tǒng)化；（2）通過(guò)證明，訓(xùn)練和培養(yǎng)學(xué)生的思維能力（包括邏輯的和非邏輯的思維）以及數(shù)學(xué)交流能力；（3）通過(guò)證明，提升學(xué)生邏輯思維、數(shù)學(xué)運(yùn)算和數(shù)學(xué)抽象等數(shù)學(xué)素養(yǎng)．本節(jié)課安排的學(xué)習(xí)路徑：“情境→問(wèn)題→方法和思路→運(yùn)用”教學(xué)設(shè)計(jì)明、暗線明線：掌握知識(shí)、歸納題型、明確方法暗線：思維方式優(yōu)化、核心素養(yǎng)提升課堂教學(xué)設(shè)計(jì)教學(xué)目標(biāo)1．體會(huì)導(dǎo)數(shù)方法在研究函數(shù)性質(zhì)中的一般性和有效性，同時(shí)感受和體會(huì)數(shù)學(xué)自身發(fā)展的一般規(guī)律；2．體會(huì)數(shù)形結(jié)合的作用，能運(yùn)用導(dǎo)數(shù)方法嚴(yán)格論證代數(shù)關(guān)系．課堂教學(xué)設(shè)計(jì)教學(xué)重點(diǎn)運(yùn)用導(dǎo)數(shù)證明不等式．課堂教學(xué)設(shè)計(jì)教學(xué)準(zhǔn)備PPT、GGB或者幾何畫(huà)板作圖演示．課堂教學(xué)設(shè)計(jì)教學(xué)過(guò)程一、問(wèn)題情境問(wèn)題1．探究函數(shù)f(x)＝ex與函數(shù)g(x)＝x＋1之間的大小關(guān)系．引例：求函數(shù)f(x)＝ex－(x＋1)的最小值．教學(xué)設(shè)計(jì)意圖問(wèn)題與方法總結(jié)課堂教學(xué)設(shè)計(jì)二、學(xué)生活動(dòng)與師生互動(dòng)問(wèn)題2．運(yùn)用導(dǎo)數(shù)，證明不等式．例1．求證:對(duì)于x∈R，ex≥x＋1．教學(xué)設(shè)計(jì)意圖研究方案1．通過(guò)GGB(或者幾何畫(huà)板)演示，首先讓學(xué)生有一定的直觀感受，明確有不等關(guān)系的兩個(gè)函數(shù)圖像之間應(yīng)當(dāng)可以被一條直線分割開(kāi)．2．師生共同完成該問(wèn)題，并研究方法．課堂教學(xué)設(shè)計(jì)三、建構(gòu)數(shù)學(xué)問(wèn)題與方法總結(jié)含超越函數(shù)的不等式證明問(wèn)題，主要方法是：構(gòu)造函數(shù)，求最值．而構(gòu)造函數(shù)的方法可以是作差或者是作商．方法一:作差，構(gòu)造函數(shù)f(x)＝ex－(x＋1)，求出函數(shù)最小值為0，證明不等式．課堂教學(xué)設(shè)計(jì)四、第一次課堂練習(xí)變式訓(xùn)練一：(2018全國(guó)Ⅱ卷理數(shù)21(1))求證:對(duì)于x∈[0，＋∞)，ex≥x2＋1．教學(xué)設(shè)計(jì)意圖問(wèn)題與方法總結(jié)課堂教學(xué)設(shè)計(jì)構(gòu)造方式一：作差法課堂教學(xué)設(shè)計(jì)構(gòu)造方式二：作商法課堂教學(xué)設(shè)計(jì)五、數(shù)學(xué)應(yīng)用例2．求證:對(duì)于x∈(0，＋∞)，x≥lnx＋1．教學(xué)設(shè)計(jì)意圖問(wèn)題與方法總結(jié)課堂教學(xué)設(shè)計(jì)六、第二次課堂練習(xí)教學(xué)設(shè)計(jì)意圖問(wèn)題與方法總結(jié)課堂教學(xué)設(shè)計(jì)課堂教學(xué)設(shè)計(jì)七、回顧小結(jié)對(duì)于本節(jié)課，你有哪些不同層次的體會(huì)？知識(shí)：用導(dǎo)數(shù)法證明不等式問(wèn)題的研究．方法：構(gòu)造函數(shù)，求函數(shù)最值、“指數(shù)好基友、對(duì)數(shù)單身狗”的轉(zhuǎn)換方式．思維：提升邏輯思維、數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)學(xué)抽象等核心素養(yǎng)．(由ex≥x＋1中將x換成x－1并化簡(jiǎn)得到x≥lnx＋1的數(shù)學(xué)抽象方法)

教后反思一、本節(jié)課重點(diǎn)研究的不等關(guān)系：ex≥x＋1，既是研究的題目，也是放縮法的橋梁．化曲為直、化動(dòng)為靜、化繁為簡(jiǎn)、順?biāo)兄鄱⒈竟?jié)課重點(diǎn)研究的不等關(guān)系：ex≥x＋1，既是其它不等式證明的源頭，也是問(wèn)題解決方法的重要背景，并且問(wèn)題的變化往往也是通過(guò)這個(gè)不等關(guān)系得到．三、明確不等式證明題還有不同的問(wèn)題，比如不等式兩邊可以分別求最大值與最小值直接比較大小關(guān)系，而移到一側(cè)卻無(wú)法求最值，此類問(wèn)題也需要關(guān)注，但是本節(jié)課時(shí)間有限，暫時(shí)不作研究．四、不等式證明還可以延申至數(shù)列不等關(guān)系證明，需要前后對(duì)應(yīng)，尋找關(guān)聯(lián)，解決問(wèn)題．謝謝！化曲為直、化動(dòng)為靜如：ex≥x＋1?x－1≥lnx．如：已知函數(shù)f(x)＝ex－ln(x＋m)．當(dāng)