開始圓的一般方程開始圓的一般方程學點一學點二學點三學點一學點二學點三1.方程x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0)叫做圓的

.2.對于方程x2+y2+Dx+Ey+F=0（1）當

時，方程表示以為圓心，為半徑的圓；（2）當

時，方程只有一解，表示一個點（3）當

時，方程無實數(shù)解，不表示任何圖形.一般方程D2+E2-4F>0D2+E2-4F=0D2+E2-4F<0返回1.方程x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0返回返回學點一二元二次方程的曲線與圓的關(guān)系下列方程能否表示圓？若能表示圓，求出圓心和半徑.（1）2x2+y2-7x+5=0;（2）x2-xy+y2+6x+7y=0;（3）x2+y2-2x-4y+10=0;（4）2x2+2y2-4x=0;（5）x2+y2+20x+62=0.【分析】先看方程是否具備x2+y2+Dx+Ey+F=0的基本特征，再判定D2+E2-4F>0滿足的情況下，用配方法求出圓心和半徑.返回學點一二元二次方程的曲線與圓的關(guān)系下列方程能否表【解析】（1）式中x2和y2的系數(shù)不相等，所以方程（1）不能表示圓.（2）式中含xy項，所以方程（2）不能表示圓.（3）式整理得(x-1)2+(y-2)2=-5，此時方程沒有實數(shù)解，它不表示任何圖形.（4）式可化為x2+y2-2x=0，進而化為(x-1)2+y2=1，所以（4）式能表示圓，圓心為(1,0)，半徑為1.（5）式可化為(x+10)2+y2=64,所以(5)式能表示圓，圓心為(-10,0)，半徑為8.【點評】將圓的一般方程化為標準方程可以求出圓心和半徑，當然也可知道表示圓的條件直接利用寫出圓心，利用求出半徑.返回【解析】（1）式中x2和y2的系數(shù)不相等，【點評】將圓的一般已知圓x2+y2+kx+2y+k2=0，求該圓的面積最大值，并求此時圓的圓心坐標.∵方程x2+y2+kx+2y+k2=0表示圓，則有k2+4-4k2>0,∴0≤k2<,要使圓的面積最大，只需圓的半徑r最大,下面求r的最大值r=，∴當k2=0時，r最大，即面積最大，最大值為πr2=π,此時圓心為(0,-1).返回已知圓x2+y2+kx+2y+k2=0，求該圓的面積最大值，學點二求圓的一般方程△ABC的三個頂點坐標分別為A(-1,5),B(-2,-2),C(5,5)，求其外接圓的方程.【分析】設出圓方程的一般式，列方程組求待定系數(shù).【解析】設所求圓的方程為x2+y2+Dx+Ey+F=0,由題設得方程組-D+5E+F+26=0-2D-2E+F+8=05D+5E+F+50=0,解得D=-4,E=-2,F=-20.∴△ABC的外接圓的方程為x2+y2-4x-2y-20=0.返回學點二求圓的一般方程△ABC的三個頂點坐標分別為A【點評】（1）用待定系數(shù)法求圓的方程:①如果由已知條件容易求得圓心坐標、半徑或需要利用圓心的坐標或半徑列方程的問題，一般采用標準方程.②如果已知條件和圓心或半徑都無直接關(guān)系，一般采用圓的一般方程.（3）本題也可利用△ABC與外接圓的幾何性質(zhì)求解，即外接圓的圓心是△ABC三邊的垂直平分線的交點，因此,可先求出其中兩邊的垂直平分線，其交點就是外接圓圓心，然后再求半徑.返回【點評】（1）用待定系數(shù)法求圓的方程:①如果由已知條件容易求圓C過點A(1,2)，B（3，4）且在x軸上截得的弦長為6，求圓C的方程.設所求圓的方程為x2+y2+Dx+Ey+F=0,∵圓過A(1,2),B(3,4),∴D+2E+F=-5①3D+4E+F=-25②令y=0得x2+Dx+F=0，設圓C與x軸的兩個交點的橫坐標分別是x1,x2,由韋達定理，得x1+x2=-D,x1x2=F,∵|x1-x2|=6,∴(x1+x2)2-4x1x2=36,即D2-4F=36③由①②③得D=12D=-8E=-22E=-2F=27或F=7.∴所求圓的方程為x2+y2+12x-22y+27=0或x2+y2-8x-2y+7=0.返回圓C過點A(1,2)，B（3，4）且在x軸上截得的弦長為6，學點三求軌跡方程已知一曲線是與兩個定點O(0,0)，A（3，0）距離之比為

的點的軌跡，求此曲線的方程，并描述其形狀.【分析】求軌跡方程的步驟可用“建系、設點、列式、化簡”來概括.【解析】設點M(x,y)是曲線上的任一點,則點M屬于集合

,有

,化簡得x2+y2+2x-3=0,配方得(x+1)2+y2=4,故該曲線是以C（-1，0）為圓心，以2為半徑的圓.返回學點三求軌跡方程已知一曲線是與兩個定點O(0,0【點評】考查直接法求軌跡方程.返回【點評】考查直接法求軌跡方程.返回如圖所示,一動點P到定圓(x-2)2+(y+1)2=9所引的切線長(切點為D)等于它到定點M(-7,5)的距離的一半,求動點P的軌跡方程.解:設點P的坐標為(x,y),則|PM|=2|PD|.由兩點間的距離公式及勾股定理得整理得x2+y2-10x+6y-30=0,故動點P的軌跡方程為x2+y2-10x+6y-30=0.返回如圖所示,一動點P到定圓(x-2)2+(y+1)2=9所引的如何理解圓的一般方程？（1）圓的一般方程的討論是在其標準方程的基礎上進行的，把圓的標準方程(x-a)2+(y-b)2=r2展開得x2+y2-2ax-2by+a2+b2-r2=0，可見任何一個圓的方程，都可以寫成下面的形式：x2+y2+Dx+Ey+F=0①反過來，形如①的方程是否都表示圓呢？把①變形過來得：.返回如何理解圓的一般方程？返回可見當D2+E2-4F>0時，方程①就表示一個圓，圓心為-，半徑為.把方程x2+y2+Dx+Ey+F=0（D2+E2-4F>0）叫做圓的一般方程.它的優(yōu)點是突出了方程形式上的特點：（?。﹛2,y2系數(shù)相等且不為0.（ⅱ）沒有xy這樣的二次項.（2）二元二次方程Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0表示圓的充要條件：若上式二元二次方程表示圓，則有：①A=C≠0,B=0.這只是二元二次方程表示圓的必要條件，不充分.當A=C≠0，B=0時，返回可見當D2+E2-4F>0時，方程①就表示一個圓，圓心為-上述二次方程可化為x2+y2+x+y+=0.此方程表示圓的條件是>0,即D2+E2-4AF>0,故有二元二次方程Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0表示圓的充要條件是①A=C≠0;②B=0;③D2+E2-4AF>0.（3）把圓的一般方程x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0)化為標準方程.可先把方程左邊分別按x,y配方,之后把常數(shù)移到右邊得，進而可得到圓心，半徑r=.返回上述二次方程可化為x2+y2+x+y+1.方程x2+y2+Dx+Ey+F=0中含有三個參變數(shù)，因此必須具備三個獨立條件，才能確定一個圓，要注意圓的一般方程與它的標準方程的轉(zhuǎn)化.2.由一般方程求圓的半徑或圓心常用配方法.3.用待定系數(shù)法求圓的方程時，要根據(jù)題目的條件，靈活選用圓的方程的形式.選取不同的形式，計算的繁簡程度不同.返回1.方程x2+y2+Dx+Ey+F=0中含有三個參變數(shù)，因此返回返回返回返回返回返回返回返回返回返回返回返回返回返回返回返回返回返回返回返回返回返回返回返回返回返回返回返回返回返回返回返回返回返回返回返回返回返回返回返回返回返回祝同學們學習上天天有進步！祝同學們學習上天天有進步！開始圓的一般方程開始圓的一般方程學點一學點二學點三學點一學點二學點三1.方程x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0)叫做圓的

.2.對于方程x2+y2+Dx+Ey+F=0（1）當

時，方程表示以為圓心，為半徑的圓；（2）當

時，方程只有一解，表示一個點（3）當

時，方程無實數(shù)解，不表示任何圖形.一般方程D2+E2-4F>0D2+E2-4F=0D2+E2-4F<0返回1.方程x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0返回返回學點一二元二次方程的曲線與圓的關(guān)系下列方程能否表示圓？若能表示圓，求出圓心和半徑.（1）2x2+y2-7x+5=0;（2）x2-xy+y2+6x+7y=0;（3）x2+y2-2x-4y+10=0;（4）2x2+2y2-4x=0;（5）x2+y2+20x+62=0.【分析】先看方程是否具備x2+y2+Dx+Ey+F=0的基本特征，再判定D2+E2-4F>0滿足的情況下，用配方法求出圓心和半徑.返回學點一二元二次方程的曲線與圓的關(guān)系下列方程能否表【解析】（1）式中x2和y2的系數(shù)不相等，所以方程（1）不能表示圓.（2）式中含xy項，所以方程（2）不能表示圓.（3）式整理得(x-1)2+(y-2)2=-5，此時方程沒有實數(shù)解，它不表示任何圖形.（4）式可化為x2+y2-2x=0，進而化為(x-1)2+y2=1，所以（4）式能表示圓，圓心為(1,0)，半徑為1.（5）式可化為(x+10)2+y2=64,所以(5)式能表示圓，圓心為(-10,0)，半徑為8.【點評】將圓的一般方程化為標準方程可以求出圓心和半徑，當然也可知道表示圓的條件直接利用寫出圓心，利用求出半徑.返回【解析】（1）式中x2和y2的系數(shù)不相等，【點評】將圓的一般已知圓x2+y2+kx+2y+k2=0，求該圓的面積最大值，并求此時圓的圓心坐標.∵方程x2+y2+kx+2y+k2=0表示圓，則有k2+4-4k2>0,∴0≤k2<,要使圓的面積最大，只需圓的半徑r最大,下面求r的最大值r=，∴當k2=0時，r最大，即面積最大，最大值為πr2=π,此時圓心為(0,-1).返回已知圓x2+y2+kx+2y+k2=0，求該圓的面積最大值，學點二求圓的一般方程△ABC的三個頂點坐標分別為A(-1,5),B(-2,-2),C(5,5)，求其外接圓的方程.【分析】設出圓方程的一般式，列方程組求待定系數(shù).【解析】設所求圓的方程為x2+y2+Dx+Ey+F=0,由題設得方程組-D+5E+F+26=0-2D-2E+F+8=05D+5E+F+50=0,解得D=-4,E=-2,F=-20.∴△ABC的外接圓的方程為x2+y2-4x-2y-20=0.返回學點二求圓的一般方程△ABC的三個頂點坐標分別為A【點評】（1）用待定系數(shù)法求圓的方程:①如果由已知條件容易求得圓心坐標、半徑或需要利用圓心的坐標或半徑列方程的問題，一般采用標準方程.②如果已知條件和圓心或半徑都無直接關(guān)系，一般采用圓的一般方程.（3）本題也可利用△ABC與外接圓的幾何性質(zhì)求解，即外接圓的圓心是△ABC三邊的垂直平分線的交點，因此,可先求出其中兩邊的垂直平分線，其交點就是外接圓圓心，然后再求半徑.返回【點評】（1）用待定系數(shù)法求圓的方程:①如果由已知條件容易求圓C過點A(1,2)，B（3，4）且在x軸上截得的弦長為6，求圓C的方程.設所求圓的方程為x2+y2+Dx+Ey+F=0,∵圓過A(1,2),B(3,4),∴D+2E+F=-5①3D+4E+F=-25②令y=0得x2+Dx+F=0，設圓C與x軸的兩個交點的橫坐標分別是x1,x2,由韋達定理，得x1+x2=-D,x1x2=F,∵|x1-x2|=6,∴(x1+x2)2-4x1x2=36,即D2-4F=36③由①②③得D=12D=-8E=-22E=-2F=27或F=7.∴所求圓的方程為x2+y2+12x-22y+27=0或x2+y2-8x-2y+7=0.返回圓C過點A(1,2)，B（3，4）且在x軸上截得的弦長為6，學點三求軌跡方程已知一曲線是與兩個定點O(0,0)，A（3，0）距離之比為

的點的軌跡，求此曲線的方程，并描述其形狀.【分析】求軌跡方程的步驟可用“建系、設點、列式、化簡”來概括.【解析】設點M(x,y)是曲線上的任一點,則點M屬于集合

,有

,化簡得x2+y2+2x-3=0,配方得(x+1)2+y2=4,故該曲線是以C（-1，0）為圓心，以2為半徑的圓.返回學點三求軌跡方程已知一曲線是與兩個定點O(0,0【點評】考查直接法求軌跡方程.返回【點評】考查直接法求軌跡方程.返回如圖所示,一動點P到定圓(x-2)2+(y+1)2=9所引的切線長(切點為D)等于它到定點M(-7,5)的距離的一半,求動點P的軌跡方程.解:設點P的坐標為(x,y),則|PM|=2|PD|.由兩點間的距離公式及勾股定理得整理得x2+y2-10x+6y-30=0,故動點P的軌跡方程為x2+y2-10x+6y-30=0.返回如圖所示,一動點P到定圓(x-2)2+(y+1)2=9所引的如何理解圓的一般方程？（1）圓的一般方程的討論是在其標準方程的基礎上進行的，把圓的標準方程(x-a)2+(y-b)2=r2展開得x2+y2-2ax-2by+a2+b2-r2=0，可見任何一個圓的方程，都可以寫成下面的形式：x2+y2+Dx+Ey+F=0①反過來，形如①的方程是否都表示圓呢？把①變形過來得：.返回如何理解圓的一般方程？返回可見當D2+E2-4F>0時，方程①就表示一個圓，圓心為-，半徑為.把方程x2+y2+Dx+Ey+F=0（D2+E2-4F>0）叫做圓的一般方程.它的優(yōu)點是突出了方程形式上的特點：（?。﹛2,y2系數(shù)相等且不為0.（ⅱ）沒有xy這樣的二次項.（2）二元二次方程Ax