2.1.1合情推理2.1.1合情推理在日常生活中，人們常常進行這樣那樣的推理。例如：（1）氣象專家預測未來幾天天氣的狀態(tài)；（2）醫(yī)生診斷病人的病癥；（3）考古學家推斷出土文物的年代等等。在高中數(shù)學中，時時刻刻都在應用推理。例如：（1）必修1函數(shù)單調(diào)性的證明；（2）必修2立體幾何命題的證明;（3）必修4三角函數(shù)性質(zhì)的推導；（4）必修5數(shù)列通項公式的推導等等。引言：在日常生活中，人們常常進行這樣那樣的推理。例如：引言：歸納推理歌德巴赫猜想的提出過程：

3＋7＝10，3＋17＝20，13＋17＝30，

10＝3＋7，20＝3＋17，30＝13＋17．偶數(shù)＝奇質(zhì)數(shù)＋奇質(zhì)數(shù)6＝3+3，⑴任何一個不小于6的偶數(shù)都等于兩個奇質(zhì)數(shù)之和；⑵至今無人證明它是錯誤的。8＝3+5，10＝5+5，12＝5+7，14＝7+7，16＝5+11，…，1000＝29+971，…歸納推理歌德巴赫猜想的提出過程：銅能導電鋁能導電金能導電銀能導電一切金屬都能導電.三角形內(nèi)角和為凸四邊形內(nèi)角和為凸五邊形內(nèi)角和為

凸n邊形內(nèi)角和為第一個芒果是甜的第二個芒果是甜的第三個芒果是甜的這個果園的芒果都是甜的第一個數(shù)為2第二個數(shù)為4第三個數(shù)為6第四個數(shù)為8第n個數(shù)為2n.部分個別整體一般銅能導電一切金屬都能導電.三角形內(nèi)角和凸n邊形內(nèi)角和為第一個1.歸納推理的定義:

由某類事物的部分對象具有某些特征,推出該類事物的全部對象都具有這些特征的推理,或者由個別事實概括出一般結(jié)論的推理,稱為歸納推理(簡稱歸納)。

簡言之,歸納推理是由部分到整體、由個別到一般的推理。1.歸納推理的定義:由某類事物的部分對象具哥德巴赫猜想的過程：具體的材料觀察分析猜想出一般性的結(jié)論歸納推理的過程：哥德巴赫猜想的過程：具體的材料觀察分析猜想出一般性的結(jié)論歸納例1.觀察下圖,可以發(fā)現(xiàn)1+3+…+(2n－1)=n2．1=12得出一般性結(jié)論：1+3=4=22，1+3+5=9=32，1+3+5+7=16=42，1+3+5+7+9=25=52，……例1.觀察下圖,可以發(fā)現(xiàn)1+3+…+(2n－1)=n2．1=高中數(shù)學選修22：21《合情推理與演繹推理課件》動手，練一練動手，練一練

每一行首末兩端的數(shù)都等于上一行首末兩端的數(shù)都是1，其它各數(shù)等于上一行與之相鄰的兩數(shù)之和。每一行首末兩端的數(shù)都等于上一行首末兩端的數(shù)都是11.工匠魯班類比帶齒的草葉和蝗蟲的牙齒,發(fā)明了鋸；2.人們仿照魚類的外型和它們在水中沉浮原理,發(fā)明了潛水艇.3.利用平面向量的基本定理類比得到空間向量的基本定理.類比推理

除了類比推理，在人類的發(fā)明創(chuàng)造中，還常常應用另一種推理---類比推理。比如：1.工匠魯班類比帶齒的草葉和蝗蟲的牙齒,發(fā)明了鋸；2.人們仿圓的概念和性質(zhì)球的概念和性質(zhì)與圓心距離相等的兩弦相等與圓心距離不相等的兩弦不相等,距圓心較近的弦較長以點(x0,y0)為圓心,r為半徑的圓的方程為(x-x0)2+(y-y0)2=r2圓心與弦(非直徑)中點的連線垂直于弦球心與不過球心的截面圓的圓心的連線垂直于截面圓與球心距離相等的兩截面圓面積相等與球心距離不相等的兩截面圓面積不相等,距球心較近的截面圓面積較大以點(x0,y0,z0)為球心,r為半徑的球的方程為(x-x0)2+(y-y0)2+(z-z0)2=r2利用圓的性質(zhì)類比得出球的性質(zhì)球的體積球的表面積圓的周長圓的面積圓的概念和性質(zhì)球的概念和性質(zhì)與圓心距離相等的兩弦相等與圓心距

由兩類對象具有某些類似特征和其中一類對象的某些已知特征，推出另一類對象也具有這些特征的推理稱為類比推理（簡稱類比）．2.類比推理的定義:

簡言之，類比推理是由特殊到特殊的推理．

數(shù)學家波利亞曾指出“類比是一個偉大的引路人,求解立體幾何往往有賴于平面幾何的類比問題.”由兩類對象具有某些類似特征和其中一類對象的例1：類比平面內(nèi)直角三角形的勾股定理，試給出空間中四面體性質(zhì)的猜想．ＡＢＣabcoABCs1s2s3c2=a2+b2直角三角形3個面兩兩垂直的四面體∠C＝90°3個邊的長度a，b，c

2條直角邊a，b和1條斜邊c∠AOB＝∠AOC＝∠BOC＝90°4個面的面積S1，S2，S3和S

3個“直角面”S1，S2，S3和1個“斜面”S例1：類比平面內(nèi)直角三角形的勾股定理，試給出空間中四面體性質(zhì)類比推理的一般步驟：⑴找出兩類對象之間可以確切表述的相似特征；⑵用一類對象的已知特征去推測另一類對象的特征，從而得出一個猜想；類比推理的一般步驟：⑴找出兩類對象之間可以確切表述的相似特類比推理類比推理以舊的知識為基礎(chǔ),推測新的結(jié)果，具有發(fā)現(xiàn)的功能由特殊到特殊的推理類比推理的結(jié)論不一定成立注意類比推理類比推理由特殊到特殊的推理類比推理的結(jié)論不一定成立注由上圖（左）有面積關(guān)系：

則由上圖（右），則類似的結(jié)論是：動手，練一練1.由上圖（左）有面積關(guān)系：則由上圖（右），則類似的結(jié)論是：2.在平面上,設(shè)ha,hb,hc是三角形ABC三條邊上的高.P為三角形內(nèi)任一點,P到相應三邊的距離分別為pa,pb,pc,我們可以得到結(jié)論:試通過類比,在空間中,設(shè)ha,hb,hc,hd,是三棱錐A-BCD四個面上的高.P為三棱錐內(nèi)任一點,P到相應四個面的距離分別為pa,pb,pc,pd,寫出在空間中的類似結(jié)論.2.在平面上,設(shè)ha,hb,hc是三角形ABC三條邊上的高.平面上空間中圖形結(jié)論證法ABCPpapbpcABCDP平面上空間中圖結(jié)論證AB證法高中數(shù)學選修22：21《合情推理與演繹推理課件》分析：面積法分析：面積法高中數(shù)學選修22：21《合情推理與演繹推理課件》

合情推理

歸納推理和類比推理都是根據(jù)已有的事實，經(jīng)過觀察、分析、比較、聯(lián)想，再進行歸納、類比，然后提出猜想的推理，我們把它們統(tǒng)稱為合情推理。

通俗地說，合情推理是指“合乎情理”的推理。

合情推理的應用

數(shù)學研究中，得到一個新結(jié)論之前，合情推理常常能幫助我們猜測和發(fā)現(xiàn)結(jié)論。

證明一個數(shù)學結(jié)論之前，合情推理常常能為我們提供證明的思路和方向。合情推理歸納推理和類比推理都是根據(jù)已有的

小結(jié)?歸納推理和類比推理的過程從具體問題出發(fā)觀察、分析、比較、聯(lián)想歸納、類比提出猜想通俗地說，合情推理是指“合乎情理”的推理.合情推理歸納推理類比推理小結(jié)?歸納推理和類比推理的過程從具體問題出發(fā)觀察、分謝謝指導，再見！謝謝指導，再見！高中數(shù)學選修22：21《合情推理與演繹推理課件》3:(2001年上海)已知兩個圓①x2+y2=1:與②x2+(y-3)2=1,則由①式減去②式可得上述兩圓的對稱軸方程.將上述命題在曲線仍然為圓的情況下加以推廣,即要求得到一個更一般的命題,而已知命題應成為所推廣命題的一個特例,推廣的命題為---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------.(x-a)2+(y-b)2=r2與②(x-c)2+(y-d)2=r2（a≠c或設(shè)圓的方程為①b≠d),則由①式減去②式可得上述兩圓的對稱軸方程.3:(2001年上海)已知兩個圓①x2+y2=1:與②x2+高中數(shù)學選修22：21《合情推理與演繹推理課件》例7.例7.（2004廣東，15）由圖(1)有面積關(guān)系:則由圖(2)有體積關(guān)系:圖(1)圖(2)（2004廣東，15）圖(1)圖(2)高中數(shù)學選修22：21《合情推理與演繹推理課件》高中數(shù)學選修22：21《合情推理與演繹推理課件》2.1.2演繹推理2.1.2演繹推理

完成下列推理，1.所有的金屬都能導電,2.一切奇數(shù)都不能被2整除,所以銅能夠?qū)щ?因為銅是金屬,所以2007不能被2整除.因為2007是奇數(shù),一般性的原理特殊情況結(jié)論一般性的原理特殊情況結(jié)論它們有什么特點？案例分析：完成下列推理，1.所有的金屬都能導電,2.一切奇數(shù)

從一般性的原理出發(fā)，推出某個特殊情況下的結(jié)論，這種推理稱為演繹推理．1.所有的金屬都能導電,2.一切奇數(shù)都不能被2整除,所以銅能夠?qū)щ?因為銅是金屬,所以2007不能被2整除.因為2007是奇數(shù),大前提小前提結(jié)論一般性的原理特殊情況結(jié)論一般性的原理特殊情況結(jié)論案例分析2：從一般性的原理出發(fā)，推出某個特殊情況下的結(jié)論，這種推

從一般性的原理出發(fā)，推出某個特殊情況下的結(jié)論，這種推理稱為演繹推理．１．簡言之，演繹推理是由一般到特殊的推理；２．演繹推理的一般模式“三段論”

⑴大前提---已知的一般原理⑵小前提---所研究的特殊情況⑶結(jié)論---根據(jù)一般原理，對特殊情況做出的判斷演繹推理的定義從一般性的原理出發(fā)，推出某個特殊情況下的結(jié)論，這種推理稱例8.用三段論的形式寫出下列演繹推理（1)矩形的對角線相等，正方形是矩形，所以，正方形的對角線相等。矩形的對角線相等（大前提）正方形是矩形（小前題）正方形的對角線相等（結(jié)論）（2)y＝sinx是三角函數(shù)，三角函數(shù)是周期函數(shù)，y＝sinx（x為R）是周期函數(shù)。三角函數(shù)是周期函數(shù)（大前提）y＝sinx是三角函數(shù)（小前題）y＝sinx是周期函數(shù)（結(jié)論）例8.用三段論的形式寫出下列演繹推理矩形的對角線相等3.三段論的基本格式M—P（M是P）S—M（S是M）所以S—P（S是P）（大前提）（小前提）（結(jié)論）M……PS……MS……P三角函數(shù)是周期函數(shù)y＝sinx是三角函數(shù)y＝sinx是周期函數(shù)3.三段論的基本格式M—P（M是P）S—M（S是M）所以4.用集合的觀點來理解:若集合M的所有元素都具有性質(zhì)P,

S是M的一個子集,那么S中所有元素也都具有性質(zhì)P.MSp演繹推理矩形的對角線相等（大前提）正方形是矩形（小前題）正方形的對角線相等（結(jié)論）4.用集合的觀點來理解:若集合M的所有元素都具有性質(zhì)P,∵二次函數(shù)的圖象是一條拋物線,例9:完成下面的推理過程

“函數(shù)y=x2+x+1的圖象是

.”函數(shù)y=x2+x+1是二次函數(shù),∴函數(shù)y=x2+x+1的圖象是一條拋物線.大前提小前提結(jié)論解：一條拋物線試將其恢復成完整的三段論．∵二次函數(shù)的圖象是一條拋物線,例9:完成下面的推理過程函數(shù)y

演繹推理（練習）練習1：把下列推理恢復成完全的三段論:演繹推理（練習）練習1：把下列推理恢復成完全的三段論:高中數(shù)學選修22：21《合情推理與演繹推理課件》例10推理形式正確，但推理結(jié)論錯誤，因為大前提錯誤。因為指數(shù)函數(shù)是增函數(shù)（大前提）而是指數(shù)函數(shù)（小前提）所以是增函數(shù)（結(jié)論）（1)上面的推理形式正確嗎？（2)推理的結(jié)論正確嗎？為什么？例10推理形式正確，但推理結(jié)論錯誤，因為大前提錯誤。因為指數(shù)練習2分析下列推理模式是否正確，結(jié)論正確嗎？為什么？(1)自然數(shù)是整數(shù)，3是自然數(shù)，3是整數(shù).大前提錯誤推理形式錯誤(2)整數(shù)是自然數(shù)，-3是整數(shù)，-3是自然數(shù).(4)自然數(shù)是整數(shù)，－3是整數(shù)，－3是自然數(shù).(3)自然數(shù)是整數(shù)，-3是自然數(shù)，-3是整數(shù).小前提錯誤練習2分析下列推理模式是否正確，結(jié)論正確嗎？為什么？(1)錯誤的前提和推理形式可能導致錯誤的結(jié)論；大前提錯誤推理形式錯誤(2)整數(shù)是自然數(shù)，-3是整數(shù)，-3是自然數(shù).(4)自然數(shù)是整數(shù)，－3是整數(shù)，－3是自然數(shù).(3)自然數(shù)是整數(shù)，-3是自然數(shù)，-3是整數(shù).

小前提錯誤演繹推理錯誤的主要原因：①大前提錯誤；②小前提錯誤；③推理形式錯誤錯誤的前提和推理形式可能導致錯誤的結(jié)論；大前提錯誤推理形式錯錯誤的前提和推理形式可能導致錯誤的結(jié)論；演繹推理錯誤的主要原因：①大前提錯誤；②小前提錯誤；③推理形式錯誤正確的前提和推理形式一定能得到正確的結(jié)論！☆但是所以，我們主要運用演繹推理來證明數(shù)學命題(小前提不成立或不符合大前提的條件)(大前提不成立)因而，演繹推理可以作為數(shù)學中嚴格證明的工具錯誤的前提和推理形式可能導致錯誤的結(jié)論；演繹推理錯誤的主要原例11、

在銳角三角形ABC中,AD⊥BC,BE⊥AC,D,E是垂足.求證AB的中點M到D,E的距離相等.大前提小前提結(jié)論證明:(1)∵有一個內(nèi)角是直角的三角形是直角三角形,在△ABC中,AD⊥BC,即∠ADB=90o∴△ABD是直角三角形.同理△ABE是直角三角形(2)∵直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半,M是Rt△ABD斜邊AB的中點,DM是斜邊上的中線.同理EM=AB.∴DM=EM.∴DM=AB.大前提小前提結(jié)論ADECMB例11、在銳角三角形ABC中,AD⊥BC,BE⊥AC,D例12在銳角三角形ABC中,AD⊥BC,BE⊥AC,D,E是垂足.求證AB的中點M到D,E的距離相等.小前提結(jié)論證明:(1)∵在△ABC中,AD⊥BC,即∠ADB=90o∴△ABD是直角三角形.同理△ABE是直角三角形(2)∵,M是Rt△ABD斜邊AB的中點,DM是斜邊上的中線.同理EM=AB.∴DM=EM.∴DM=AB.小前提結(jié)論ADECMB作為一般性原理的大前提被人們熟知，是顯然的，所以書寫時可以省略不寫。例12在銳角三角形ABC中,AD⊥BC,BE⊥AC,D,例13證明函數(shù)

f(x)=－x2＋2x在(-∞,1)是增函數(shù).∴函數(shù)f(x)=－x2＋2x在(-∞,1)是增函數(shù).證明：滿足對于任意x1,x2∈D,若x1<x2，有

f(x1)<f(x2)成立的函數(shù)f(x)是區(qū)間D上的增函數(shù).大前提小前提結(jié)論例13證明函數(shù)f(x)=－x2＋2x在(-∞,1)是例14證明函數(shù)

f(x)=－x2＋2x在(-∞,1)是增函數(shù).∴函數(shù)f(x)=－x2＋2x在(-∞,1)是增函數(shù).證明：小前提結(jié)論例14證明函數(shù)f(x)=－x2＋2x在(-∞,1)是例求證：一個三角形中，最大的角不小于60°。證明：設(shè)△ABC中，∠A≤∠B≤∠C，則∠A+∠B+∠C≤3∠C

即3∠C≥180°

所以∠C≥60°省略了大前提不等式的性質(zhì)

省略了大前提三角形內(nèi)角和是180°思考：證明過程中哪步到哪步是三段論？

在應用三段論進行證明時，因為作為一般性道理的大前提被人們熟知，是顯然的，所以書寫時可以省略不寫。例求證：一個三角形中，最大的角不小于60°。證明：設(shè)△A正確的前提和推理形式一定能得到正確的結(jié)論！回顧小結(jié)：

演繹推理的定義;１4合情推理與演繹推理的區(qū)別與聯(lián)系.演繹推理的一般模式——三段論.2

演繹推理錯誤的主要原因是：

①大前提錯誤；②小前提錯誤；③推理形式錯誤演繹推理是證明數(shù)學結(jié)論、建立數(shù)學體系的重要思維過程．數(shù)學結(jié)論、證明思路等的發(fā)現(xiàn)，主要靠合情推理．3數(shù)學證明主要運用演繹推理正確的前提和推理形式一定能得到正確的結(jié)論！回顧小結(jié)：演繹推合情推理與演繹推理的區(qū)別區(qū)別推理形式推理結(jié)論聯(lián)系合情推理歸納推理類比推理由部分到整體,個別到一般的推理由特殊到特殊的推理結(jié)論不一定正確，有待進一步證明演繹推理由一般到特殊的推理在前提和推理形式都正確時,得到的結(jié)論一定正確

合情推理的結(jié)論需要演繹推理的驗證，而演繹推理的方向和思路一般是通過合情推理獲得的合情推理與演繹推理的區(qū)別區(qū)別推理推理結(jié)論聯(lián)系合情推理歸納推理從一般性的命題推演出特殊性命題的推理方法，稱為演繹推理．注：１．演繹推理是由一般到特殊的推理；從一般性的命題推演出特殊性命題的推理方法，稱為演繹推理．注：1.所有的金屬都能導電,所以銅能夠?qū)щ?因為銅是金屬,2.三角函數(shù)都是周期函數(shù),所以tan是周期函數(shù)因為tan是三角函數(shù),大前提小前提結(jié)論大前提小前提結(jié)論２．“三段論”是演繹推理的一般模式；包括⑴大前提---已知的一般原理；⑵小前提---所研究的特殊情況；⑶結(jié)論-----據(jù)一般原理，對特殊情況做出的判斷.1.所有的金屬都能導電,所以銅能2.三段論是演繹推理的一般模式,包括:(1)大前提已知的一般原理;(2)小前提所研究的特殊情況;(3)結(jié)論根據(jù)一般原理,對殊情況做出的判斷.特M是P，S是M，所以，S是P?！钣眉险摰挠^點看,三段論的依據(jù)是:若集合M的所有元素都具有性質(zhì)P,S是M的一個子集,那么S中所有元素也都具有性質(zhì)P.MSa2.三段論是演繹推理的一般模式,包括:(1)大前提1.所有的金屬都能導電,

所以,銅能夠?qū)щ?

銅是金屬,2.個位數(shù)字是0或5的正整數(shù)必是5的倍數(shù)2375的個位數(shù)是5所以，2375是5的倍數(shù)1.所有的金屬都能導電,所以例16.已知lg2=m,計算lg0.8解（1）lgan=nlga(a>0)lg8=lg23所以lg8=3lg2（2）lg(a/b)=lga-lgb(a>0,b>0)lg0.8=lg(8/10)所以，lg0.8=lg8-lg10=3lg2-1大前提小前提結(jié)論大前提小前提結(jié)論例16.已知lg2=m,計算lg0.8解（1）lga練習：1.把下列推理恢復成完全的三段論:(1)因為,所以(2)函數(shù)的圖象是一條直線.練習：1.把下列推理恢復成完全的三段論:(1)因為練習2.如圖,D,E,F分別是BC,CA,AB上的點,∠BFD=∠A,DE∥BA,求證：ED=AF.ABDCEF證:(1)同位角相等,兩直線平行,(大前提)∠BFD與∠A是同位角,且∠BFD=∠A,(小前提)(2)兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形,(大前提)DE∥BA且DF∥EA,(小前提)所以,DF∥EA.(結(jié)論)所以,四邊形AFDE是平行四邊形.(結(jié)論)(3)平行四邊形的對邊相等,(大前提)ED和AF為平行四邊形的對邊,(小前提)所以,ED=AF.(結(jié)論)練習2.如圖,D,E,F分別是BC,CA,AB上的點,AB練習3.指出下列推理中的錯誤,并分析產(chǎn)生錯誤的原因;(1)整數(shù)是自然數(shù),-3是整數(shù),-3是自然數(shù);(2)無理數(shù)是無限小數(shù),是無限小數(shù),是無理數(shù).練習3.指出下列推理中的錯誤,并分析產(chǎn)生錯誤的原因;(1)演繹推理錯誤的主要原因（1）大前提不成立；（2）小前提不符合大前提的條件演繹推理錯誤的主要原因（1）大前提不成立；（2）小前提不符合4.演繹推理具有如下特點:(1)演繹的前提是一般性原理,演繹所得的結(jié)論是蘊涵于前提之中的個別、特殊事實,結(jié)論完全蘊涵于前提之中。(2)在演繹推理中,前提與結(jié)論之間存在必然的聯(lián)系.只要前提是真實的，推理的形式是正確的，那么結(jié)論也必定是正確的。因而演繹推理是數(shù)學中嚴格證明的工具。(3)演繹推理是一種收斂性的思維方法，它較少創(chuàng)造性，但卻具有條理清晰、令人信服的論證作用，有助于科學的理論化和系統(tǒng)化。4.演繹推理具有如下特點:(1)演繹的前提是一般性原理,演繹2.1.1合情推理2.1.1合情推理在日常生活中，人們常常進行這樣那樣的推理。例如：（1）氣象專家預測未來幾天天氣的狀態(tài)；（2）醫(yī)生診斷病人的病癥；（3）考古學家推斷出土文物的年代等等。在高中數(shù)學中，時時刻刻都在應用推理。例如：（1）必修1函數(shù)單調(diào)性的證明；（2）必修2立體幾何命題的證明;（3）必修4三角函數(shù)性質(zhì)的推導；（4）必修5數(shù)列通項公式的推導等等。引言：在日常生活中，人們常常進行這樣那樣的推理。例如：引言：歸納推理歌德巴赫猜想的提出過程：

3＋7＝10，3＋17＝20，13＋17＝30，

10＝3＋7，20＝3＋17，30＝13＋17．偶數(shù)＝奇質(zhì)數(shù)＋奇質(zhì)數(shù)6＝3+3，⑴任何一個不小于6的偶數(shù)都等于兩個奇質(zhì)數(shù)之和；⑵至今無人證明它是錯誤的。8＝3+5，10＝5+5，12＝5+7，14＝7+7，16＝5+11，…，1000＝29+971，…歸納推理歌德巴赫猜想的提出過程：銅能導電鋁能導電金能導電銀能導電一切金屬都能導電.三角形內(nèi)角和為凸四邊形內(nèi)角和為凸五邊形內(nèi)角和為

凸n邊形內(nèi)角和為第一個芒果是甜的第二個芒果是甜的第三個芒果是甜的這個果園的芒果都是甜的第一個數(shù)為2第二個數(shù)為4第三個數(shù)為6第四個數(shù)為8第n個數(shù)為2n.部分個別整體一般銅能導電一切金屬都能導電.三角形內(nèi)角和凸n邊形內(nèi)角和為第一個1.歸納推理的定義:

由某類事物的部分對象具有某些特征,推出該類事物的全部對象都具有這些特征的推理,或者由個別事實概括出一般結(jié)論的推理,稱為歸納推理(簡稱歸納)。

簡言之,歸納推理是由部分到整體、由個別到一般的推理。1.歸納推理的定義:由某類事物的部分對象具哥德巴赫猜想的過程：具體的材料觀察分析猜想出一般性的結(jié)論歸納推理的過程：哥德巴赫猜想的過程：具體的材料觀察分析猜想出一般性的結(jié)論歸納例1.觀察下圖,可以發(fā)現(xiàn)1+3+…+(2n－1)=n2．1=12得出一般性結(jié)論：1+3=4=22，1+3+5=9=32，1+3+5+7=16=42，1+3+5+7+9=25=52，……例1.觀察下圖,可以發(fā)現(xiàn)1+3+…+(2n－1)=n2．1=高中數(shù)學選修22：21《合情推理與演繹推理課件》動手，練一練動手，練一練

每一行首末兩端的數(shù)都等于上一行首末兩端的數(shù)都是1，其它各數(shù)等于上一行與之相鄰的兩數(shù)之和。每一行首末兩端的數(shù)都等于上一行首末兩端的數(shù)都是11.工匠魯班類比帶齒的草葉和蝗蟲的牙齒,發(fā)明了鋸；2.人們仿照魚類的外型和它們在水中沉浮原理,發(fā)明了潛水艇.3.利用平面向量的基本定理類比得到空間向量的基本定理.類比推理

除了類比推理，在人類的發(fā)明創(chuàng)造中，還常常應用另一種推理---類比推理。比如：1.工匠魯班類比帶齒的草葉和蝗蟲的牙齒,發(fā)明了鋸；2.人們仿圓的概念和性質(zhì)球的概念和性質(zhì)與圓心距離相等的兩弦相等與圓心距離不相等的兩弦不相等,距圓心較近的弦較長以點(x0,y0)為圓心,r為半徑的圓的方程為(x-x0)2+(y-y0)2=r2圓心與弦(非直徑)中點的連線垂直于弦球心與不過球心的截面圓的圓心的連線垂直于截面圓與球心距離相等的兩截面圓面積相等與球心距離不相等的兩截面圓面積不相等,距球心較近的截面圓面積較大以點(x0,y0,z0)為球心,r為半徑的球的方程為(x-x0)2+(y-y0)2+(z-z0)2=r2利用圓的性質(zhì)類比得出球的性質(zhì)球的體積球的表面積圓的周長圓的面積圓的概念和性質(zhì)球的概念和性質(zhì)與圓心距離相等的兩弦相等與圓心距

由兩類對象具有某些類似特征和其中一類對象的某些已知特征，推出另一類對象也具有這些特征的推理稱為類比推理（簡稱類比）．2.類比推理的定義:

簡言之，類比推理是由特殊到特殊的推理．

數(shù)學家波利亞曾指出“類比是一個偉大的引路人,求解立體幾何往往有賴于平面幾何的類比問題.”由兩類對象具有某些類似特征和其中一類對象的例1：類比平面內(nèi)直角三角形的勾股定理，試給出空間中四面體性質(zhì)的猜想．ＡＢＣabcoABCs1s2s3c2=a2+b2直角三角形3個面兩兩垂直的四面體∠C＝90°3個邊的長度a，b，c

2條直角邊a，b和1條斜邊c∠AOB＝∠AOC＝∠BOC＝90°4個面的面積S1，S2，S3和S

3個“直角面”S1，S2，S3和1個“斜面”S例1：類比平面內(nèi)直角三角形的勾股定理，試給出空間中四面體性質(zhì)類比推理的一般步驟：⑴找出兩類對象之間可以確切表述的相似特征；⑵用一類對象的已知特征去推測另一類對象的特征，從而得出一個猜想；類比推理的一般步驟：⑴找出兩類對象之間可以確切表述的相似特類比推理類比推理以舊的知識為基礎(chǔ),推測新的結(jié)果，具有發(fā)現(xiàn)的功能由特殊到特殊的推理類比推理的結(jié)論不一定成立注意類比推理類比推理由特殊到特殊的推理類比推理的結(jié)論不一定成立注由上圖（左）有面積關(guān)系：

則由上圖（右），則類似的結(jié)論是：動手，練一練1.由上圖（左）有面積關(guān)系：則由上圖（右），則類似的結(jié)論是：2.在平面上,設(shè)ha,hb,hc是三角形ABC三條邊上的高.P為三角形內(nèi)任一點,P到相應三邊的距離分別為pa,pb,pc,我們可以得到結(jié)論:試通過類比,在空間中,設(shè)ha,hb,hc,hd,是三棱錐A-BCD四個面上的高.P為三棱錐內(nèi)任一點,P到相應四個面的距離分別為pa,pb,pc,pd,寫出在空間中的類似結(jié)論.2.在平面上,設(shè)ha,hb,hc是三角形ABC三條邊上的高.平面上空間中圖形結(jié)論證法ABCPpapbpcABCDP平面上空間中圖結(jié)論證AB證法高中數(shù)學選修22：21《合情推理與演繹推理課件》分析：面積法分析：面積法高中數(shù)學選修22：21《合情推理與演繹推理課件》

合情推理

歸納推理和類比推理都是根據(jù)已有的事實，經(jīng)過觀察、分析、比較、聯(lián)想，再進行歸納、類比，然后提出猜想的推理，我們把它們統(tǒng)稱為合情推理。

通俗地說，合情推理是指“合乎情理”的推理。

合情推理的應用

數(shù)學研究中，得到一個新結(jié)論之前，合情推理常常能幫助我們猜測和發(fā)現(xiàn)結(jié)論。

證明一個數(shù)學結(jié)論之前，合情推理常常能為我們提供證明的思路和方向。合情推理歸納推理和類比推理都是根據(jù)已有的

小結(jié)?歸納推理和類比推理的過程從具體問題出發(fā)觀察、分析、比較、聯(lián)想歸納、類比提出猜想通俗地說，合情推理是指“合乎情理”的推理.合情推理歸納推理類比推理小結(jié)?歸納推理和類比推理的過程從具體問題出發(fā)觀察、分謝謝指導，再見！謝謝指導，再見！高中數(shù)學選修22：21《合情推理與演繹推理課件》3:(2001年上海)已知兩個圓①x2+y2=1:與②x2+(y-3)2=1,則由①式減去②式可得上述兩圓的對稱軸方程.將上述命題在曲線仍然為圓的情況下加以推廣,即要求得到一個更一般的命題,而已知命題應成為所推廣命題的一個特例,推廣的命題為---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------.(x-a)2+(y-b)2=r2與②(x-c)2+(y-d)2=r2（a≠c或設(shè)圓的方程為①b≠d),則由①式減去②式可得上述兩圓的對稱軸方程.3:(2001年上海)已知兩個圓①x2+y2=1:與②x2+高中數(shù)學選修22：21《合情推理與演繹推理課件》例7.例7.（2004廣東，15）由圖(1)有面積關(guān)系:則由圖(2)有體積關(guān)系:圖(1)圖(2)（2004廣東，15）圖(1)圖(2)高中數(shù)學選修22：21《合情推理與演繹推理課件》高中數(shù)學選修22：21《合情推理與演繹推理課件》2.1.2演繹推理2.1.2演繹推理

完成下列推理，1.所有的金屬都能導電,2.一切奇數(shù)都不能被2整除,所以銅能夠?qū)щ?因為銅是金屬,所以2007不能被2整除.因為2007是奇數(shù),一般性的原理特殊情況結(jié)論一般性的原理特殊情況結(jié)論它們有什么特點？案例分析：完成下列推理，1.所有的金屬都能導電,2.一切奇數(shù)

從一般性的原理出發(fā)，推出某個特殊情況下的結(jié)論，這種推理稱為演繹推理．1.所有的金屬都能導電,2.一切奇數(shù)都不能被2整除,所以銅能夠?qū)щ?因為銅是金屬,所以2007不能被2整除.因為2007是奇數(shù),大前提小前提結(jié)論一般性的原理特殊情況結(jié)論一般性的原理特殊情況結(jié)論案例分析2：從一般性的原理出發(fā)，推出某個特殊情況下的結(jié)論，這種推

從一般性的原理出發(fā)，推出某個特殊情況下的結(jié)論，這種推理稱為演繹推理．１．簡言之，演繹推理是由一般到特殊的推理；２．演繹推理的一般模式“三段論”

⑴大前提---已知的一般原理⑵小前提---所研究的特殊情況⑶結(jié)論---根據(jù)一般原理，對特殊情況做出的判斷演繹推理的定義從一般性的原理出發(fā)，推出某個特殊情況下的結(jié)論，這種推理稱例8.用三段論的形式寫出下列演繹推理（1)矩形的對角線相等，正方形是矩形，所以，正方形的對角線相等。矩形的對角線相等（大前提）正方形是矩形（小前題）正方形的對角線相等（結(jié)論）（2)y＝sinx是三角函數(shù)，三角函數(shù)是周期函數(shù)，y＝sinx（x為R）是周期函數(shù)。三角函數(shù)是周期函數(shù)（大前提）y＝sinx是三角函數(shù)（小前題）y＝sinx是周期函數(shù)（結(jié)論）例8.用三段論的形式寫出下列演繹推理矩形的對角線相等3.三段論的基本格式M—P（M是P）S—M（S是M）所以S—P（S是P）（大前提）（小前提）（結(jié)論）M……PS……MS……P三角函數(shù)是周期函數(shù)y＝sinx是三角函數(shù)y＝sinx是周期函數(shù)3.三段論的基本格式M—P（M是P）S—M（S是M）所以4.用集合的觀點來理解:若集合M的所有元素都具有性質(zhì)P,

S是M的一個子集,那么S中所有元素也都具有性質(zhì)P.MSp演繹推理矩形的對角線相等（大前提）正方形是矩形（小前題）正方形的對角線相等（結(jié)論）4.用集合的觀點來理解:若集合M的所有元素都具有性質(zhì)P,∵二次函數(shù)的圖象是一條拋物線,例9:完成下面的推理過程

“函數(shù)y=x2+x+1的圖象是

.”函數(shù)y=x2+x+1是二次函數(shù),∴函數(shù)y=x2+x+1的圖象是一條拋物線.大前提小前提結(jié)論解：一條拋物線試將其恢復成完整的三段論．∵二次函數(shù)的圖象是一條拋物線,例9:完成下面的推理過程函數(shù)y

演繹推理（練習）練習1：把下列推理恢復成完全的三段論:演繹推理（練習）練習1：把下列推理恢復成完全的三段論:高中數(shù)學選修22：21《合情推理與演繹推理課件》例10推理形式正確，但推理結(jié)論錯誤，因為大前提錯誤。因為指數(shù)函數(shù)是增函數(shù)（大前提）而是指數(shù)函數(shù)（小前提）所以是增函數(shù)（結(jié)論）（1)上面的推理形式正確嗎？（2)推理的結(jié)論正確嗎？為什么？例10推理形式正確，但推理結(jié)論錯誤，因為大前提錯誤。因為指數(shù)練習2分析下列推理模式是否正確，結(jié)論正確嗎？為什么？(1)自然數(shù)是整數(shù)，3是自然數(shù)，3是整數(shù).大前提錯誤推理形式錯誤(2)整數(shù)是自然數(shù)，-3是整數(shù)，-3是自然數(shù).(4)自然數(shù)是整數(shù)，－3是整數(shù)，－3是自然數(shù).(3)自然數(shù)是整數(shù)，-3是自然數(shù)，-3是整數(shù).小前提錯誤練習2分析下列推理模式是否正確，結(jié)論正確嗎？為什么？(1)錯誤的前提和推理形式可能導致錯誤的結(jié)論；大前提錯誤推理形式錯誤(2)整數(shù)是自然數(shù)，-3是整數(shù)，-3是自然數(shù).(4)自然數(shù)是整數(shù)，－3是整數(shù)，－3是自然數(shù).(3)自然數(shù)是整數(shù)，-3是自然數(shù)，-3是整數(shù).

小前提錯誤演繹推理錯誤的主要原因：①大前提錯誤；②小前提錯誤；③推理形式錯誤錯誤的前提和推理形式可能導致錯誤的結(jié)論；大前提錯誤推理形式錯錯誤的前提和推理形式可能導致錯誤的結(jié)論；演繹推理錯誤的主要原因：①大前提錯誤；②小前提錯誤；③推理形式錯誤正確的前提和推理形式一定能得到正確的結(jié)論！☆但是所以，我們主要運用演繹推理來證明數(shù)學命題(小前提不成立或不符合大前提的條件)(大前提不成立)因而，演繹推理可以作為數(shù)學中嚴格證明的工具錯誤的前提和推理形式可能導致錯誤的結(jié)論；演繹推理錯誤的主要原例11、

在銳角三角形ABC中,AD⊥BC,BE⊥AC,D,E是垂足.求證AB的中點M到D,E的距離相等.大前提小前提結(jié)論證明:(1)∵有一個內(nèi)角是直角的三角形是直角三角形,在△ABC中,AD⊥BC,即∠ADB=90o∴△ABD是直角三角形.同理△ABE是直角三角形(2)∵直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半,M是Rt△ABD斜邊AB的中點,DM是斜邊上的中線.同理EM=AB.∴DM=EM.∴DM=AB.大前提小前提結(jié)論ADECMB例11、在銳角三角形ABC中,AD⊥BC,BE⊥AC,D例12在銳角三角形ABC中,AD⊥BC,BE⊥AC,D,E是垂足.求證AB的中點M到D,E的距離相等.小前提結(jié)論證明:(1)∵在△ABC中,AD⊥BC,即∠ADB=90o∴△ABD是直角三角形.同理△ABE是直角三角形(2)∵,M是Rt△ABD斜邊AB的中點,DM是斜邊上的中線.同理EM=AB.∴DM=EM.∴DM=AB.小前提結(jié)論ADECMB作為一般性原理的大前提被人們熟知，是顯然的，所以書寫時可以省略不寫。例12在銳角三角形ABC中,AD⊥BC,BE⊥AC,D,例13證明函數(shù)

f(x)=－x2＋2x在(-∞,1)是增函數(shù).∴函數(shù)f(x)=－x2＋2x在(-∞,1)是增函數(shù).證明：滿足對于任意x1,x2∈D,若x1<x2，有

f(x1)<f(x2)成立的函數(shù)f(x)是區(qū)間D上的增函數(shù).大前提小前提結(jié)論例13證明函數(shù)f(x)=－x2＋2x在(-∞,1)是例14證明函數(shù)

f(x)=－x2＋2x在(-∞,1)是增函數(shù).∴函數(shù)f(x)=－x2＋2x在(-∞,1)是增函數(shù).證明：小前提結(jié)論例14證明函數(shù)f(x)=－x2＋2x在(-∞,1)是例求證：一個三角形中，最大的角不小于60°。證明：設(shè)△ABC中，∠A≤∠B≤∠C，則∠A+∠B+∠C≤3∠C

即3∠C≥180°

所以∠C≥60°省略了大前提不等式的性質(zhì)

省略了大前提三角形內(nèi)角和是180°思考：證明過程中哪步到哪步是三段論？

在應用三段論進行證明時，因為作為一般性道理的大前提被人們熟知，是顯然的，所以書寫時可以省略不寫。例求證：一個三角形中，最大的角不小于60°。證明：設(shè)△A正確的前提和推理形式一定能得到正確的結(jié)論！回顧小結(jié)：

演繹推理的定義;１4合情推理與演繹推理的區(qū)別與聯(lián)系.演繹推理的一般模式——三段論.2

演繹推理錯誤的主要原因是：

①大前提錯誤；②小前提錯誤；③推理形式錯誤演繹推理是證明數(shù)學結(jié)論、建立數(shù)學體系的重要思維過程．數(shù)學結(jié)論、證明思路等的發(fā)現(xiàn)，主要靠合情推理．3數(shù)學證明主要運用演繹推理正確的前提和推理形式一定能得到正確的結(jié)論！回顧小結(jié)：演繹推合情推理與演繹推理的區(qū)別區(qū)別推理形式推理結(jié)論聯(lián)系合情推理歸納推理類比推理由部分到整體,個別到一般的推理由特殊到特殊的推理結(jié)論不一定正確，有待進一步證明演繹推理由一般到特殊的推理在前提和推理形式都正確時,得到的結(jié)論一定正確

合情推理的結(jié)論需要演繹推理的驗證，而演繹推理的方向和思路一般是通過合情推理獲得的合情推理與演繹推理的區(qū)別區(qū)別推理推理結(jié)論聯(lián)系合情推理歸納推理從一般性的命題推演出特殊性命題的推理方法，稱為演繹推理．注：１．演繹