第九章第五節(jié)一、一個方程所確定的隱函數(shù)及其導數(shù)二、方程組所確定的隱函數(shù)組及其導數(shù)隱函數(shù)的求導方法1)方程在什么條件下才能確定隱函數(shù).例如,

方程C<0時,能確定隱函數(shù)C>0時,不能確定隱函數(shù)2)方程能確定隱函數(shù)時,研究其連續(xù)性,可微性及求導方法問題.本節(jié)討論:精品課件第九章第五節(jié)一、一個方程所確定的隱函數(shù)及其導數(shù)二、方一、一個方程所確定的隱函數(shù)及其導數(shù)什么是隱函數(shù)？顯函數(shù):精品課件一、一個方程所確定的隱函數(shù)及其導數(shù)什么是隱函數(shù)？顯函數(shù):精品隱函數(shù):二元方程一元隱函數(shù)如有時可以將隱函數(shù)顯化：精品課件隱函數(shù):二元方程一元隱函數(shù)如有時可以將隱函數(shù)顯化：精品課件精品課件精品課件精品課件精品課件精品課件精品課件精品課件精品課件定理1.

設函數(shù)則方程單值連續(xù)函數(shù)y=f(x),并有連續(xù)(隱函數(shù)求導公式)定理證明從略，僅就求導公式推導如下：①具有連續(xù)的偏導數(shù);的某鄰域內(nèi)可唯一確定一個在點的某一鄰域內(nèi)滿足②③滿足條件導數(shù)精品課件定理1.設函數(shù)則方程單值連續(xù)函數(shù)y=f(x),并兩邊對x求導在的某鄰域內(nèi)則精品課件兩邊對x求導在的某鄰域內(nèi)則精品課件例1方法一（公式法）精品課件例1方法一（公式法）精品課件例1方法二（直接求導法）方程兩邊對x求導，把y視為函數(shù)。精品課件例1方法二（直接求導法）方程兩邊對x求導，把y視為函例1方法三（微分法）方程兩邊同時微分精品課件例1方法三（微分法）方程兩邊同時微分精品課件若F(x,y)的二階偏導數(shù)也都連續(xù),二階導數(shù):則還可求隱函數(shù)的精品課件若F(x,y)的二階偏導數(shù)也都連續(xù),二階導數(shù):則由一個三元方程確定的隱函數(shù)二元顯函數(shù)：精品課件由一個三元方程確定的隱函數(shù)二元顯函數(shù)：精品課件二元隱函數(shù)：三元方程二元隱函數(shù)：如可以顯化精品課件二元隱函數(shù)：三元方程二元隱函數(shù)：如可以顯化精品課件精品課件精品課件精品課件精品課件定理2.若函數(shù)的某鄰域內(nèi)具有連續(xù)偏導數(shù);則方程在點并有連續(xù)偏導數(shù)定一個單值連續(xù)函數(shù)z=f(x,y),定理證明從略,僅就求導公式推導如下:滿足①在點滿足:②③某一鄰域內(nèi)可唯一確精品課件定理2.若函數(shù)的某鄰域內(nèi)具有連續(xù)偏導數(shù);則方程在點并有兩邊對x求偏導同樣可得則精品課件兩邊對x求偏導同樣可得則精品課件例2方法一（公式法）精品課件例2方法一（公式法）精品課件例2方法二（求偏導）方程兩邊對

x

求偏導，把z視為函數(shù)，y視為常數(shù)。精品課件例2方法二（求偏導）方程兩邊對x求偏導，把z視為函數(shù)例2方法三（微分法）方程兩邊同時微分精品課件例2方法三（微分法）方程兩邊同時微分精品課件例2精品課件例2精品課件解令則精品課件解令則精品課件練習解：精品課件練習解：精品課件二、方程組所確定的隱函數(shù)組及其導數(shù)隱函數(shù)存在定理還可以推廣到方程組的情形.由F、G

的偏導數(shù)組成的行列式稱為F、G的雅可比行列式.以兩個方程確定兩個隱函數(shù)的情況為例,即雅可比精品課件二、方程組所確定的隱函數(shù)組及其導數(shù)隱函數(shù)存在定理還可以推廣到定理3.的某一鄰域內(nèi)具有連續(xù)偏設函數(shù)則方程組③的單值連續(xù)函數(shù)且有偏導數(shù)公式:①在點②的某一鄰域內(nèi)可唯一確定一組滿足條件滿足:導數(shù)；精品課件定理3.的某一鄰域內(nèi)具有連續(xù)偏設函數(shù)則方程組③的單值連續(xù)函數(shù)定理證明略.僅推導偏導數(shù)公式如下：(P85)精品課件定理證明略.僅推導偏導數(shù)公式如下：(P85)精品課件有隱函數(shù)組則兩邊對x求導得設方程組在點P

的某鄰域內(nèi)解的公式故得系數(shù)行列式精品課件有隱函數(shù)組則兩邊對x求導得設方程組在點P的某鄰域內(nèi)解的同樣可得精品課件同樣可得精品課件例3.

設解:方程組兩邊對x求導，并移項得求練習:

求答案:由題設故有精品課件例3.設解:方程組兩邊對x求導，并移項得求練習:求答例3.

設求解法2（微分法）方程組兩邊同時微分用Gramer法則精品課件例3.設求解法2（微分法）方程組兩邊同時微分用Gramer顯然，利用全微分法求偏導數(shù)更簡便精品課件顯然，利用全微分法求偏導數(shù)更簡便精品課件例4.設函數(shù)在點(u,v)的某一1)證明函數(shù)組(x,y)的某一鄰域內(nèi)2)求解:1)令對x,y的偏導數(shù).在與點(u,v)對應的點鄰域內(nèi)有連續(xù)的偏導數(shù),且唯一確定一組單值、連續(xù)且具有連續(xù)偏導數(shù)的反函數(shù)精品課件例4.設函數(shù)在點(u,v)的某一1)證明函數(shù)組(x,①式兩邊對x求導,得則有由定理3

可知結論1)成立.2)求反函數(shù)的偏導數(shù).①②精品課件①式兩邊對x求導,得則有由定理3可知結論1)成②從方程組②解得同理,①式兩邊對y求導,可得精品課件②從方程組②解得同理,①式兩邊對y求導,可得精品課件例4的應用:計算極坐標變換的反變換的導數(shù).同樣有所以由于精品課件例4的應用:計算極坐標變換的反變換的導數(shù).同樣有所以由內(nèi)容小結1.隱函數(shù)(組)存在定理2.隱函數(shù)(組)求導方法方法1.利用復合函數(shù)求導法則直接計算;方法2.利用微分形式不變性;方法3.代公式.思考與練習設求精品課件內(nèi)容小結1.隱函數(shù)(組)存在定理2.隱函數(shù)(組)提示:

精品課件提示:精品課件解法2.利用全微分形式不變性同時求出各偏導數(shù).第六節(jié)由dy,dz

的系數(shù)即可得作業(yè)

P892,8，9,10(1);(3)精品課件解法2.利用全微分形式不變性同時求出各偏導數(shù).第六節(jié)由備用題分別由下列兩式確定:又函數(shù)有連續(xù)的一階偏導數(shù),1.

設解:兩個隱函數(shù)方程兩邊對x

求導,得(考研)解得因此精品課件備用題分別由下列兩式確定:又函數(shù)有連續(xù)的一階偏導數(shù),1.2.設是由方程和所確定的函數(shù),求解法1

分別在各方程兩端對x

求導,得(考研)精品課件2.設是由方程和所確定的函數(shù),求解法1分別在各方解法2

微分法.對各方程兩邊分別求微分:化簡得消去可得精品課件解法2微分法.對各方程兩邊分別求微分:化簡得消去可得精二元線性代數(shù)方程組解的公式解:精品課件二元線性代數(shù)方程組解的公式解:精品課件雅可比(1804–1851)德國數(shù)學家.他在數(shù)學方面最主要的成就是和挪威數(shù)學家阿貝兒相互獨地奠定了橢圓函數(shù)論的基礎.他對行列式理論也作了奠基性的工作.在偏微分方程的研究中引進了“雅可比行列式”,并應用在微積分中.他的工作還包括代數(shù)學,變分法,復變函數(shù)和微分方程,在分析力學,動力學及數(shù)學物理方面也有貢獻.他在柯尼斯堡大學任教18年,形成了以他為首的學派.精品課件雅可比(1804–1851)德國數(shù)學家.他在數(shù)學方面最

作業(yè)

P892;8;9;精品課件作業(yè)精品課件

第九章第五節(jié)一、一個方程所確定的隱函數(shù)及其導數(shù)二、方程組所確定的隱函數(shù)組及其導數(shù)隱函數(shù)的求導方法1)方程在什么條件下才能確定隱函數(shù).例如,

方程C<0時,能確定隱函數(shù)C>0時,不能確定隱函數(shù)2)方程能確定隱函數(shù)時,研究其連續(xù)性,可微性及求導方法問題.本節(jié)討論:精品課件第九章第五節(jié)一、一個方程所確定的隱函數(shù)及其導數(shù)二、方一、一個方程所確定的隱函數(shù)及其導數(shù)什么是隱函數(shù)？顯函數(shù):精品課件一、一個方程所確定的隱函數(shù)及其導數(shù)什么是隱函數(shù)？顯函數(shù):精品隱函數(shù):二元方程一元隱函數(shù)如有時可以將隱函數(shù)顯化：精品課件隱函數(shù):二元方程一元隱函數(shù)如有時可以將隱函數(shù)顯化：精品課件精品課件精品課件精品課件精品課件精品課件精品課件精品課件精品課件定理1.

設函數(shù)則方程單值連續(xù)函數(shù)y=f(x),并有連續(xù)(隱函數(shù)求導公式)定理證明從略，僅就求導公式推導如下：①具有連續(xù)的偏導數(shù);的某鄰域內(nèi)可唯一確定一個在點的某一鄰域內(nèi)滿足②③滿足條件導數(shù)精品課件定理1.設函數(shù)則方程單值連續(xù)函數(shù)y=f(x),并兩邊對x求導在的某鄰域內(nèi)則精品課件兩邊對x求導在的某鄰域內(nèi)則精品課件例1方法一（公式法）精品課件例1方法一（公式法）精品課件例1方法二（直接求導法）方程兩邊對x求導，把y視為函數(shù)。精品課件例1方法二（直接求導法）方程兩邊對x求導，把y視為函例1方法三（微分法）方程兩邊同時微分精品課件例1方法三（微分法）方程兩邊同時微分精品課件若F(x,y)的二階偏導數(shù)也都連續(xù),二階導數(shù):則還可求隱函數(shù)的精品課件若F(x,y)的二階偏導數(shù)也都連續(xù),二階導數(shù):則由一個三元方程確定的隱函數(shù)二元顯函數(shù)：精品課件由一個三元方程確定的隱函數(shù)二元顯函數(shù)：精品課件二元隱函數(shù)：三元方程二元隱函數(shù)：如可以顯化精品課件二元隱函數(shù)：三元方程二元隱函數(shù)：如可以顯化精品課件精品課件精品課件精品課件精品課件定理2.若函數(shù)的某鄰域內(nèi)具有連續(xù)偏導數(shù);則方程在點并有連續(xù)偏導數(shù)定一個單值連續(xù)函數(shù)z=f(x,y),定理證明從略,僅就求導公式推導如下:滿足①在點滿足:②③某一鄰域內(nèi)可唯一確精品課件定理2.若函數(shù)的某鄰域內(nèi)具有連續(xù)偏導數(shù);則方程在點并有兩邊對x求偏導同樣可得則精品課件兩邊對x求偏導同樣可得則精品課件例2方法一（公式法）精品課件例2方法一（公式法）精品課件例2方法二（求偏導）方程兩邊對

x

求偏導，把z視為函數(shù)，y視為常數(shù)。精品課件例2方法二（求偏導）方程兩邊對x求偏導，把z視為函數(shù)例2方法三（微分法）方程兩邊同時微分精品課件例2方法三（微分法）方程兩邊同時微分精品課件例2精品課件例2精品課件解令則精品課件解令則精品課件練習解：精品課件練習解：精品課件二、方程組所確定的隱函數(shù)組及其導數(shù)隱函數(shù)存在定理還可以推廣到方程組的情形.由F、G

的偏導數(shù)組成的行列式稱為F、G的雅可比行列式.以兩個方程確定兩個隱函數(shù)的情況為例,即雅可比精品課件二、方程組所確定的隱函數(shù)組及其導數(shù)隱函數(shù)存在定理還可以推廣到定理3.的某一鄰域內(nèi)具有連續(xù)偏設函數(shù)則方程組③的單值連續(xù)函數(shù)且有偏導數(shù)公式:①在點②的某一鄰域內(nèi)可唯一確定一組滿足條件滿足:導數(shù)；精品課件定理3.的某一鄰域內(nèi)具有連續(xù)偏設函數(shù)則方程組③的單值連續(xù)函數(shù)定理證明略.僅推導偏導數(shù)公式如下：(P85)精品課件定理證明略.僅推導偏導數(shù)公式如下：(P85)精品課件有隱函數(shù)組則兩邊對x求導得設方程組在點P

的某鄰域內(nèi)解的公式故得系數(shù)行列式精品課件有隱函數(shù)組則兩邊對x求導得設方程組在點P的某鄰域內(nèi)解的同樣可得精品課件同樣可得精品課件例3.

設解:方程組兩邊對x求導，并移項得求練習:

求答案:由題設故有精品課件例3.設解:方程組兩邊對x求導，并移項得求練習:求答例3.

設求解法2（微分法）方程組兩邊同時微分用Gramer法則精品課件例3.設求解法2（微分法）方程組兩邊同時微分用Gramer顯然，利用全微分法求偏導數(shù)更簡便精品課件顯然，利用全微分法求偏導數(shù)更簡便精品課件例4.設函數(shù)在點(u,v)的某一1)證明函數(shù)組(x,y)的某一鄰域內(nèi)2)求解:1)令對x,y的偏導數(shù).在與點(u,v)對應的點鄰域內(nèi)有連續(xù)的偏導數(shù),且唯一確定一組單值、連續(xù)且具有連續(xù)偏導數(shù)的反函數(shù)精品課件例4.設函數(shù)在點(u,v)的某一1)證明函數(shù)組(x,①式兩邊對x求導,得則有由定理3

可知結論1)成立.2)求反函數(shù)的偏導數(shù).①②精品課件①式兩邊對x求導,得則有由定理3可知結論1)成②從方程組②解得同理,①式兩邊對y求導,可得精品課件②從方程組②解得同理,①式兩邊對y求導,可得精品課件例4的應用:計算極坐標變換的反變換的導數(shù).同樣有所以由于精品課件例4的應用:計算極坐標變換的反變換的導數(shù).同樣有所以由內(nèi)容小結1.隱函數(shù)(組)存在定理2.隱函數(shù)(組)求導方法方法1.利用復合函數(shù)求導法則直接計算;方法2.利用微分形式不變性;方法3.代公式.思考與練習設求精品課件內(nèi)容小結1.隱函數(shù)(組)存在定理2.隱函數(shù)(組)提示:

精品課件提示:精品課件解法2.利用全微分形式不變性同時求出各偏導數(shù).第六節(jié)由dy,dz

的系數(shù)即可得作業(yè)

P892,8，9,10(1);(3)精品課件解法2.利