第九章第五節(jié)一、一個(gè)方程所確定的隱函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)二、方程組所確定的隱函數(shù)組及其導(dǎo)數(shù)隱函數(shù)的求導(dǎo)方法1)方程在什么條件下才能確定隱函數(shù).例如,

方程C<0時(shí),能確定隱函數(shù)C>0時(shí),不能確定隱函數(shù)2)方程能確定隱函數(shù)時(shí),研究其連續(xù)性,可微性及求導(dǎo)方法問題.本節(jié)討論:精品課件第九章第五節(jié)一、一個(gè)方程所確定的隱函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)二、方一、一個(gè)方程所確定的隱函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)什么是隱函數(shù)？顯函數(shù):精品課件一、一個(gè)方程所確定的隱函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)什么是隱函數(shù)？顯函數(shù):精品隱函數(shù):二元方程一元隱函數(shù)如有時(shí)可以將隱函數(shù)顯化：精品課件隱函數(shù):二元方程一元隱函數(shù)如有時(shí)可以將隱函數(shù)顯化：精品課件精品課件精品課件精品課件精品課件精品課件精品課件精品課件精品課件定理1.

設(shè)函數(shù)則方程單值連續(xù)函數(shù)y=f(x),并有連續(xù)(隱函數(shù)求導(dǎo)公式)定理證明從略，僅就求導(dǎo)公式推導(dǎo)如下：①具有連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù);的某鄰域內(nèi)可唯一確定一個(gè)在點(diǎn)的某一鄰域內(nèi)滿足②③滿足條件導(dǎo)數(shù)精品課件定理1.設(shè)函數(shù)則方程單值連續(xù)函數(shù)y=f(x),并兩邊對(duì)x求導(dǎo)在的某鄰域內(nèi)則精品課件兩邊對(duì)x求導(dǎo)在的某鄰域內(nèi)則精品課件例1方法一（公式法）精品課件例1方法一（公式法）精品課件例1方法二（直接求導(dǎo)法）方程兩邊對(duì)x求導(dǎo)，把y視為函數(shù)。精品課件例1方法二（直接求導(dǎo)法）方程兩邊對(duì)x求導(dǎo)，把y視為函例1方法三（微分法）方程兩邊同時(shí)微分精品課件例1方法三（微分法）方程兩邊同時(shí)微分精品課件若F(x,y)的二階偏導(dǎo)數(shù)也都連續(xù),二階導(dǎo)數(shù):則還可求隱函數(shù)的精品課件若F(x,y)的二階偏導(dǎo)數(shù)也都連續(xù),二階導(dǎo)數(shù):則由一個(gè)三元方程確定的隱函數(shù)二元顯函數(shù)：精品課件由一個(gè)三元方程確定的隱函數(shù)二元顯函數(shù)：精品課件二元隱函數(shù)：三元方程二元隱函數(shù)：如可以顯化精品課件二元隱函數(shù)：三元方程二元隱函數(shù)：如可以顯化精品課件精品課件精品課件精品課件精品課件定理2.若函數(shù)的某鄰域內(nèi)具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù);則方程在點(diǎn)并有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)定一個(gè)單值連續(xù)函數(shù)z=f(x,y),定理證明從略,僅就求導(dǎo)公式推導(dǎo)如下:滿足①在點(diǎn)滿足:②③某一鄰域內(nèi)可唯一確精品課件定理2.若函數(shù)的某鄰域內(nèi)具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù);則方程在點(diǎn)并有兩邊對(duì)x求偏導(dǎo)同樣可得則精品課件兩邊對(duì)x求偏導(dǎo)同樣可得則精品課件例2方法一（公式法）精品課件例2方法一（公式法）精品課件例2方法二（求偏導(dǎo)）方程兩邊對(duì)

x

求偏導(dǎo)，把z視為函數(shù)，y視為常數(shù)。精品課件例2方法二（求偏導(dǎo)）方程兩邊對(duì)x求偏導(dǎo)，把z視為函數(shù)例2方法三（微分法）方程兩邊同時(shí)微分精品課件例2方法三（微分法）方程兩邊同時(shí)微分精品課件例2精品課件例2精品課件解令則精品課件解令則精品課件練習(xí)解：精品課件練習(xí)解：精品課件二、方程組所確定的隱函數(shù)組及其導(dǎo)數(shù)隱函數(shù)存在定理還可以推廣到方程組的情形.由F、G

的偏導(dǎo)數(shù)組成的行列式稱為F、G的雅可比行列式.以兩個(gè)方程確定兩個(gè)隱函數(shù)的情況為例,即雅可比精品課件二、方程組所確定的隱函數(shù)組及其導(dǎo)數(shù)隱函數(shù)存在定理還可以推廣到定理3.的某一鄰域內(nèi)具有連續(xù)偏設(shè)函數(shù)則方程組③的單值連續(xù)函數(shù)且有偏導(dǎo)數(shù)公式:①在點(diǎn)②的某一鄰域內(nèi)可唯一確定一組滿足條件滿足:導(dǎo)數(shù)；精品課件定理3.的某一鄰域內(nèi)具有連續(xù)偏設(shè)函數(shù)則方程組③的單值連續(xù)函數(shù)定理證明略.僅推導(dǎo)偏導(dǎo)數(shù)公式如下：(P85)精品課件定理證明略.僅推導(dǎo)偏導(dǎo)數(shù)公式如下：(P85)精品課件有隱函數(shù)組則兩邊對(duì)x求導(dǎo)得設(shè)方程組在點(diǎn)P

的某鄰域內(nèi)解的公式故得系數(shù)行列式精品課件有隱函數(shù)組則兩邊對(duì)x求導(dǎo)得設(shè)方程組在點(diǎn)P的某鄰域內(nèi)解的同樣可得精品課件同樣可得精品課件例3.

設(shè)解:方程組兩邊對(duì)x求導(dǎo)，并移項(xiàng)得求練習(xí):

求答案:由題設(shè)故有精品課件例3.設(shè)解:方程組兩邊對(duì)x求導(dǎo)，并移項(xiàng)得求練習(xí):求答例3.

設(shè)求解法2（微分法）方程組兩邊同時(shí)微分用Gramer法則精品課件例3.設(shè)求解法2（微分法）方程組兩邊同時(shí)微分用Gramer顯然，利用全微分法求偏導(dǎo)數(shù)更簡(jiǎn)便精品課件顯然，利用全微分法求偏導(dǎo)數(shù)更簡(jiǎn)便精品課件例4.設(shè)函數(shù)在點(diǎn)(u,v)的某一1)證明函數(shù)組(x,y)的某一鄰域內(nèi)2)求解:1)令對(duì)x,y的偏導(dǎo)數(shù).在與點(diǎn)(u,v)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)鄰域內(nèi)有連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù),且唯一確定一組單值、連續(xù)且具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)的反函數(shù)精品課件例4.設(shè)函數(shù)在點(diǎn)(u,v)的某一1)證明函數(shù)組(x,①式兩邊對(duì)x求導(dǎo),得則有由定理3

可知結(jié)論1)成立.2)求反函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù).①②精品課件①式兩邊對(duì)x求導(dǎo),得則有由定理3可知結(jié)論1)成②從方程組②解得同理,①式兩邊對(duì)y求導(dǎo),可得精品課件②從方程組②解得同理,①式兩邊對(duì)y求導(dǎo),可得精品課件例4的應(yīng)用:計(jì)算極坐標(biāo)變換的反變換的導(dǎo)數(shù).同樣有所以由于精品課件例4的應(yīng)用:計(jì)算極坐標(biāo)變換的反變換的導(dǎo)數(shù).同樣有所以由內(nèi)容小結(jié)1.隱函數(shù)(組)存在定理2.隱函數(shù)(組)求導(dǎo)方法方法1.利用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則直接計(jì)算;方法2.利用微分形式不變性;方法3.代公式.思考與練習(xí)設(shè)求精品課件內(nèi)容小結(jié)1.隱函數(shù)(組)存在定理2.隱函數(shù)(組)提示:

精品課件提示:精品課件解法2.利用全微分形式不變性同時(shí)求出各偏導(dǎo)數(shù).第六節(jié)由dy,dz

的系數(shù)即可得作業(yè)

P892,8，9,10(1);(3)精品課件解法2.利用全微分形式不變性同時(shí)求出各偏導(dǎo)數(shù).第六節(jié)由備用題分別由下列兩式確定:又函數(shù)有連續(xù)的一階偏導(dǎo)數(shù),1.

設(shè)解:兩個(gè)隱函數(shù)方程兩邊對(duì)x

求導(dǎo),得(考研)解得因此精品課件備用題分別由下列兩式確定:又函數(shù)有連續(xù)的一階偏導(dǎo)數(shù),1.2.設(shè)是由方程和所確定的函數(shù),求解法1

分別在各方程兩端對(duì)x

求導(dǎo),得(考研)精品課件2.設(shè)是由方程和所確定的函數(shù),求解法1分別在各方解法2

微分法.對(duì)各方程兩邊分別求微分:化簡(jiǎn)得消去可得精品課件解法2微分法.對(duì)各方程兩邊分別求微分:化簡(jiǎn)得消去可得精二元線性代數(shù)方程組解的公式解:精品課件二元線性代數(shù)方程組解的公式解:精品課件雅可比(1804–1851)德國數(shù)學(xué)家.他在數(shù)學(xué)方面最主要的成就是和挪威數(shù)學(xué)家阿貝兒相互獨(dú)地奠定了橢圓函數(shù)論的基礎(chǔ).他對(duì)行列式理論也作了奠基性的工作.在偏微分方程的研究中引進(jìn)了“雅可比行列式”,并應(yīng)用在微積分中.他的工作還包括代數(shù)學(xué),變分法,復(fù)變函數(shù)和微分方程,在分析力學(xué),動(dòng)力學(xué)及數(shù)學(xué)物理方面也有貢獻(xiàn).他在柯尼斯堡大學(xué)任教18年,形成了以他為首的學(xué)派.精品課件雅可比(1804–1851)德國數(shù)學(xué)家.他在數(shù)學(xué)方面最

作業(yè)

P892;8;9;精品課件作業(yè)精品課件

第九章第五節(jié)一、一個(gè)方程所確定的隱函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)二、方程組所確定的隱函數(shù)組及其導(dǎo)數(shù)隱函數(shù)的求導(dǎo)方法1)方程在什么條件下才能確定隱函數(shù).例如,

方程C<0時(shí),能確定隱函數(shù)C>0時(shí),不能確定隱函數(shù)2)方程能確定隱函數(shù)時(shí),研究其連續(xù)性,可微性及求導(dǎo)方法問題.本節(jié)討論:精品課件第九章第五節(jié)一、一個(gè)方程所確定的隱函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)二、方一、一個(gè)方程所確定的隱函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)什么是隱函數(shù)？顯函數(shù):精品課件一、一個(gè)方程所確定的隱函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)什么是隱函數(shù)？顯函數(shù):精品隱函數(shù):二元方程一元隱函數(shù)如有時(shí)可以將隱函數(shù)顯化：精品課件隱函數(shù):二元方程一元隱函數(shù)如有時(shí)可以將隱函數(shù)顯化：精品課件精品課件精品課件精品課件精品課件精品課件精品課件精品課件精品課件定理1.

設(shè)函數(shù)則方程單值連續(xù)函數(shù)y=f(x),并有連續(xù)(隱函數(shù)求導(dǎo)公式)定理證明從略，僅就求導(dǎo)公式推導(dǎo)如下：①具有連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù);的某鄰域內(nèi)可唯一確定一個(gè)在點(diǎn)的某一鄰域內(nèi)滿足②③滿足條件導(dǎo)數(shù)精品課件定理1.設(shè)函數(shù)則方程單值連續(xù)函數(shù)y=f(x),并兩邊對(duì)x求導(dǎo)在的某鄰域內(nèi)則精品課件兩邊對(duì)x求導(dǎo)在的某鄰域內(nèi)則精品課件例1方法一（公式法）精品課件例1方法一（公式法）精品課件例1方法二（直接求導(dǎo)法）方程兩邊對(duì)x求導(dǎo)，把y視為函數(shù)。精品課件例1方法二（直接求導(dǎo)法）方程兩邊對(duì)x求導(dǎo)，把y視為函例1方法三（微分法）方程兩邊同時(shí)微分精品課件例1方法三（微分法）方程兩邊同時(shí)微分精品課件若F(x,y)的二階偏導(dǎo)數(shù)也都連續(xù),二階導(dǎo)數(shù):則還可求隱函數(shù)的精品課件若F(x,y)的二階偏導(dǎo)數(shù)也都連續(xù),二階導(dǎo)數(shù):則由一個(gè)三元方程確定的隱函數(shù)二元顯函數(shù)：精品課件由一個(gè)三元方程確定的隱函數(shù)二元顯函數(shù)：精品課件二元隱函數(shù)：三元方程二元隱函數(shù)：如可以顯化精品課件二元隱函數(shù)：三元方程二元隱函數(shù)：如可以顯化精品課件精品課件精品課件精品課件精品課件定理2.若函數(shù)的某鄰域內(nèi)具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù);則方程在點(diǎn)并有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)定一個(gè)單值連續(xù)函數(shù)z=f(x,y),定理證明從略,僅就求導(dǎo)公式推導(dǎo)如下:滿足①在點(diǎn)滿足:②③某一鄰域內(nèi)可唯一確精品課件定理2.若函數(shù)的某鄰域內(nèi)具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù);則方程在點(diǎn)并有兩邊對(duì)x求偏導(dǎo)同樣可得則精品課件兩邊對(duì)x求偏導(dǎo)同樣可得則精品課件例2方法一（公式法）精品課件例2方法一（公式法）精品課件例2方法二（求偏導(dǎo)）方程兩邊對(duì)

x

求偏導(dǎo)，把z視為函數(shù)，y視為常數(shù)。精品課件例2方法二（求偏導(dǎo)）方程兩邊對(duì)x求偏導(dǎo)，把z視為函數(shù)例2方法三（微分法）方程兩邊同時(shí)微分精品課件例2方法三（微分法）方程兩邊同時(shí)微分精品課件例2精品課件例2精品課件解令則精品課件解令則精品課件練習(xí)解：精品課件練習(xí)解：精品課件二、方程組所確定的隱函數(shù)組及其導(dǎo)數(shù)隱函數(shù)存在定理還可以推廣到方程組的情形.由F、G

的偏導(dǎo)數(shù)組成的行列式稱為F、G的雅可比行列式.以兩個(gè)方程確定兩個(gè)隱函數(shù)的情況為例,即雅可比精品課件二、方程組所確定的隱函數(shù)組及其導(dǎo)數(shù)隱函數(shù)存在定理還可以推廣到定理3.的某一鄰域內(nèi)具有連續(xù)偏設(shè)函數(shù)則方程組③的單值連續(xù)函數(shù)且有偏導(dǎo)數(shù)公式:①在點(diǎn)②的某一鄰域內(nèi)可唯一確定一組滿足條件滿足:導(dǎo)數(shù)；精品課件定理3.的某一鄰域內(nèi)具有連續(xù)偏設(shè)函數(shù)則方程組③的單值連續(xù)函數(shù)定理證明略.僅推導(dǎo)偏導(dǎo)數(shù)公式如下：(P85)精品課件定理證明略.僅推導(dǎo)偏導(dǎo)數(shù)公式如下：(P85)精品課件有隱函數(shù)組則兩邊對(duì)x求導(dǎo)得設(shè)方程組在點(diǎn)P

的某鄰域內(nèi)解的公式故得系數(shù)行列式精品課件有隱函數(shù)組則兩邊對(duì)x求導(dǎo)得設(shè)方程組在點(diǎn)P的某鄰域內(nèi)解的同樣可得精品課件同樣可得精品課件例3.

設(shè)解:方程組兩邊對(duì)x求導(dǎo)，并移項(xiàng)得求練習(xí):

求答案:由題設(shè)故有精品課件例3.設(shè)解:方程組兩邊對(duì)x求導(dǎo)，并移項(xiàng)得求練習(xí):求答例3.

設(shè)求解法2（微分法）方程組兩邊同時(shí)微分用Gramer法則精品課件例3.設(shè)求解法2（微分法）方程組兩邊同時(shí)微分用Gramer顯然，利用全微分法求偏導(dǎo)數(shù)更簡(jiǎn)便精品課件顯然，利用全微分法求偏導(dǎo)數(shù)更簡(jiǎn)便精品課件例4.設(shè)函數(shù)在點(diǎn)(u,v)的某一1)證明函數(shù)組(x,y)的某一鄰域內(nèi)2)求解:1)令對(duì)x,y的偏導(dǎo)數(shù).在與點(diǎn)(u,v)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)鄰域內(nèi)有連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù),且唯一確定一組單值、連續(xù)且具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)的反函數(shù)精品課件例4.設(shè)函數(shù)在點(diǎn)(u,v)的某一1)證明函數(shù)組(x,①式兩邊對(duì)x求導(dǎo),得則有由定理3

可知結(jié)論1)成立.2)求反函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù).①②精品課件①式兩邊對(duì)x求導(dǎo),得則有由定理3可知結(jié)論1)成②從方程組②解得同理,①式兩邊對(duì)y求導(dǎo),可得精品課件②從方程組②解得同理,①式兩邊對(duì)y求導(dǎo),可得精品課件例4的應(yīng)用:計(jì)算極坐標(biāo)變換的反變換的導(dǎo)數(shù).同樣有所以由于精品課件例4的應(yīng)用:計(jì)算極坐標(biāo)變換的反變換的導(dǎo)數(shù).同樣有所以由內(nèi)容小結(jié)1.隱函數(shù)(組)存在定理2.隱函數(shù)(組)求導(dǎo)方法方法1.利用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則直接計(jì)算;方法2.利用微分形式不變性;方法3.代公式.思考與練習(xí)設(shè)求精品課件內(nèi)容小結(jié)1.隱函數(shù)(組)存在定理2.隱函數(shù)(組)提示:

精品課件提示:精品課件解法2.利用全微分形式不變性同時(shí)求出各偏導(dǎo)數(shù).第六節(jié)由dy,dz

的系數(shù)即可得作業(yè)

P892,8，9,10(1);(3)精品課件解法2.利