專題01平方根及立方根知識框架重難突破一.平方根1.平方根（1）平方根的定義：如果一個數(shù)的平方等于a，這個數(shù)就叫做a的平方根，也叫做a的二次方根．備注：一個正數(shù)有兩個平方根，這兩個平方根互為相反數(shù)，零的平方根是零，負(fù)數(shù)沒有平方根．（2）求一個數(shù)a的平方根的運(yùn)算，叫做開平方．一個正數(shù)a的正的平方根表示為“”，負(fù)的平方根表示為“-”．（3）平方根的性質(zhì)：正數(shù)a有兩個平方根，它們互為相反數(shù)；0的平方根是0；負(fù)數(shù)沒有平方根．2.算術(shù)平方根（1）算術(shù)平方根的概念：一般地，如果一個正數(shù)x的平方等于a，即x2=a，那么這個正數(shù)x叫做a的算術(shù)平方根．記為．（2）非負(fù)數(shù)a的算術(shù)平方根有雙重非負(fù)性：①被開方數(shù)a是非負(fù)數(shù)；②算術(shù)平方根本身是非負(fù)數(shù)．即≥0，≥0．

備注：（3）利用算術(shù)平方根的非負(fù)性求值的問題，主要是根據(jù)被開方數(shù)是非負(fù)數(shù)，開方的結(jié)果也是非負(fù)數(shù)列出不等式求解．非負(fù)數(shù)之和等于0時，各項(xiàng)都等于0，利用此性質(zhì)列方程解決求值問題．例1．（·安徽初一期中）下列說法正確的是()A．－5是25的平方根 B．25的平方根是5C．－5是（－5）2的算術(shù)平方根 D．±5是（－5）2的算術(shù)平方根練習(xí)1．（安徽四十二中中鐵國際城校區(qū)初一期中）計(jì)算的平方根為（）A． B． C．4 D．練習(xí)2．（·遼寧初二期中）9的平方根是()A． B． C． D．例2．（2017·阜陽市第九中學(xué)初一期中）的算術(shù)平方根是()A． B． C． D．練習(xí)1．（六安市裕安中學(xué)初一期中）的算術(shù)平方根是_____．練習(xí)2．（·北京初二期中）16的算術(shù)平方根是。例3．（·安徽初一期中）的平方根是_________；的算術(shù)平方根是_________.練習(xí)1．（·安徽初一月考）若2a-1和5-a是一個正數(shù)m的兩個平方根，則m=_______練習(xí)2．（鄭州市初二期中）已知2m+2的平方根是±4，3m+n+1的平方根是±5，求m+2n的值.二.立方根1．立方根的定義：如果一個數(shù)的立方等于a，那么這個數(shù)叫做a的立方根或三次方根．這就是說，如果，那么x叫做a的立方根．記作：．2．立方根的性質(zhì)：正數(shù)的立方根是正數(shù)，0的立方根是0，負(fù)數(shù)的立方根是負(fù)數(shù)．即任意數(shù)都有立方根．3．求一個數(shù)a的立方根的運(yùn)算叫開立方，其中a叫做被開方數(shù)．備注：①符號中的根指數(shù)“3”不能省略；②對于立方根，被開方數(shù)沒有限制，正數(shù)、零、負(fù)數(shù)都有唯一一個立方根．例1．（·安徽初一期中）64的立方根是（）A．4 B．±4 C．8 D．±8練習(xí)1．（·淮南初一期中）下列說法中，不正確的是（）A．8的立方根是2 B．﹣8的立方根是﹣2C．0的立方根是0 D．64的立方根是±4練習(xí)2．（·北京市昌平區(qū)陽坊中學(xué)初二期中）的立方根是__________．例2．（合肥市第四十五中學(xué)初一期中）已知a+3和2a﹣15是某正數(shù)的兩個平方根，b的立方根是﹣2，c算術(shù)平方根是其本身，求2a+b﹣3c的值．練習(xí)1．（·淮南初一期中）已知的立方根是3，的算術(shù)平方根是4，c是的整數(shù)部分．求a，b，c的值；（2）求的平方根．練習(xí)2．（鄭州市初二期中）已知2m+2的平方根是±4，3m+n+1的平方根是±5，求m+2n的值.例3．（安徽初一期中）求下列各式中x的值：（1）2x2＝4；（2）64x3+27＝0

專題01平方根及立方根知識框架重難突破一.平方根1.平方根（1）平方根的定義：如果一個數(shù)的平方等于a，這個數(shù)就叫做a的平方根，也叫做a的二次方根．備注：一個正數(shù)有兩個平方根，這兩個平方根互為相反數(shù)，零的平方根是零，負(fù)數(shù)沒有平方根．（2）求一個數(shù)a的平方根的運(yùn)算，叫做開平方．一個正數(shù)a的正的平方根表示為“”，負(fù)的平方根表示為“-”．（3）平方根的性質(zhì)：正數(shù)a有兩個平方根，它們互為相反數(shù)；0的平方根是0；負(fù)數(shù)沒有平方根．2.算術(shù)平方根（1）算術(shù)平方根的概念：一般地，如果一個正數(shù)x的平方等于a，即x2=a，那么這個正數(shù)x叫做a的算術(shù)平方根．記為．（2）非負(fù)數(shù)a的算術(shù)平方根有雙重非負(fù)性：①被開方數(shù)a是非負(fù)數(shù)；②算術(shù)平方根本身是非負(fù)數(shù)．即≥0，≥0．

備注：（3）利用算術(shù)平方根的非負(fù)性求值的問題，主要是根據(jù)被開方數(shù)是非負(fù)數(shù)，開方的結(jié)果也是非負(fù)數(shù)列出不等式求解．非負(fù)數(shù)之和等于0時，各項(xiàng)都等于0，利用此性質(zhì)列方程解決求值問題．例1．（·安徽初一期中）下列說法正確的是()A．－5是25的平方根 B．25的平方根是5C．－5是（－5）2的算術(shù)平方根 D．±5是（－5）2的算術(shù)平方根A試題分析：A、B、C、D都可以根據(jù)平方根和算術(shù)平方根的定義判斷即可．解：A、﹣5是25的平方根，故選項(xiàng)正確；B、25的平方根是±5，故選項(xiàng)錯誤；C、5是（﹣5）2的算術(shù)平方根，﹣5是（﹣5）2的平方根，故選項(xiàng)錯誤；D、5是（﹣5）2的算術(shù)平方根，﹣5是（﹣5）2的平方根，故選項(xiàng)錯誤．故選A．練習(xí)1．（安徽四十二中中鐵國際城校區(qū)初一期中）計(jì)算的平方根為（）A． B． C．4 D．B∵=4，又∵(±2)2=4，∴4的平方根是±2，即的平方根±2，故選B．練習(xí)2．（·遼寧初二期中）9的平方根是()A． B． C． D．C解：9的平方根是.故選：C.例2．（2017·阜陽市第九中學(xué)初一期中）的算術(shù)平方根是()A． B． C． D．C本題解析:∵，∴的算術(shù)平方根為，故選C.練習(xí)1．（六安市裕安中學(xué)初一期中）的算術(shù)平方根是_____．2∵，的算術(shù)平方根是2，∴的算術(shù)平方根是2.練習(xí)2．（·北京初二期中）16的算術(shù)平方根是。4∵∴16的平方根為4和-4∴16的算術(shù)平方根為4例3．（·安徽初一期中）的平方根是_________；的算術(shù)平方根是_________.±32解：，9的平方根是，的平方根是±3；，4的算術(shù)平方根是2，∴的算術(shù)平方根是2．∴應(yīng)填±3，2．練習(xí)1．（·安徽初一月考）若2a-1和5-a是一個正數(shù)m的兩個平方根，則m=_______81解：由于一個正數(shù)的兩個平方根互為相反數(shù)，由此可以得到2a-1和5-a是互為相反數(shù)，然后就可以求出a的值，接著根據(jù)平方根的定義出m．練習(xí)2．（鄭州市初二期中）已知2m+2的平方根是±4，3m+n+1的平方根是±5，求m+2n的值.13.解：∵2m+2的平方根是±4，3m+n+1的平方根是±5，∴2m+2=16，3m+n+1=25，聯(lián)立解得，m=7，n=3，∴m+2n=7+2×3=13．二.立方根1．立方根的定義：如果一個數(shù)的立方等于a，那么這個數(shù)叫做a的立方根或三次方根．這就是說，如果，那么x叫做a的立方根．記作：．2．立方根的性質(zhì)：正數(shù)的立方根是正數(shù)，0的立方根是0，負(fù)數(shù)的立方根是負(fù)數(shù)．即任意數(shù)都有立方根．3．求一個數(shù)a的立方根的運(yùn)算叫開立方，其中a叫做被開方數(shù)．備注：①符號中的根指數(shù)“3”不能省略；②對于立方根，被開方數(shù)沒有限制，正數(shù)、零、負(fù)數(shù)都有唯一一個立方根．例1．（·安徽初一期中）64的立方根是（）A．4 B．±4 C．8 D．±8A試題分析：∵43=64，∴64的立方根是4，故選A練習(xí)1．（·淮南初一期中）下列說法中，不正確的是（）A．8的立方根是2 B．﹣8的立方根是﹣2C．0的立方根是0 D．64的立方根是±4DA、8的立方根是2，正確；B、﹣8的立方根是﹣2，正確；C、0的立方根是0，正確；D、64的立方根是4，錯誤；故選：D．練習(xí)2．（·北京市昌平區(qū)陽坊中學(xué)初二期中）的立方根是__________．-2【詳解】∵（﹣2）3=﹣8，∴﹣8的立方根是﹣2，故﹣2．例2．（合肥市第四十五中學(xué)初一期中）已知a+3和2a﹣15是某正數(shù)的兩個平方根，b的立方根是﹣2，c算術(shù)平方根是其本身，求2a+b﹣3c的值．當(dāng)a＝4，b＝﹣8，c＝0，2a+b﹣3c＝0；當(dāng)a＝4，b＝﹣8，c＝1，2a+b﹣3c＝﹣3．∵某正數(shù)的兩個平方根分別是a+3和2a﹣15，b的立方根是﹣2．c算術(shù)平方根是其本身∴a+3+2a﹣15＝0，b＝﹣8，c＝0或1，解得a＝4．當(dāng)a＝4，b＝﹣8，c＝0，2a+b﹣3c＝8﹣8﹣0＝0；當(dāng)a＝4，b＝﹣8，c＝1，2a+b﹣3c＝8﹣8﹣3＝﹣3．練習(xí)1．（·淮南初一期中）已知的立方根是3，的算術(shù)平方根是4，c是的整數(shù)部分．（1）求a，b，c的值；（2）求的平方根．（1）a=5，b=2，c=3；（2）±4.(1)∵5a+2的立方根是3，3a+b-1的算術(shù)平方根是4，

∴5a+2=27，3a+b-1=16，