10.3

成對(duì)數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)分析第十章課標(biāo)要求1.結(jié)合實(shí)例,了解樣本相關(guān)系數(shù)的統(tǒng)計(jì)含義,了解樣本相關(guān)系數(shù)與標(biāo)準(zhǔn)化數(shù)據(jù)向量夾角的關(guān)系.會(huì)通過(guò)相關(guān)系數(shù)比較多組成對(duì)數(shù)據(jù)的相關(guān)性.2.結(jié)合具體實(shí)例,了解一元線性回歸模型的含義,了解模型參數(shù)的統(tǒng)計(jì)意義,了解最小二乘法原理,掌握一元線性回歸模型參數(shù)的最小二乘估計(jì)方法,會(huì)使用相關(guān)的統(tǒng)計(jì)軟件.3.針對(duì)實(shí)際問(wèn)題,會(huì)用一元線性回歸模型進(jìn)行預(yù)測(cè).4.通過(guò)實(shí)例,理解2×2列聯(lián)表的統(tǒng)計(jì)意義,了解2×2列聯(lián)表獨(dú)立性檢驗(yàn)及其應(yīng)用.備考指導(dǎo)本節(jié)內(nèi)容在高考選擇題、填空題、解答題中均有體現(xiàn),難度中等.主要體現(xiàn)在一元線性回歸模型的應(yīng)用和獨(dú)立性檢驗(yàn)的應(yīng)用.近幾年高考中,尤其加強(qiáng)了這一部分內(nèi)容.復(fù)習(xí)本節(jié)知識(shí)要加強(qiáng)數(shù)學(xué)運(yùn)算、直觀想象、數(shù)學(xué)建模的培養(yǎng).鑒于新高考對(duì)于數(shù)學(xué)文化的加強(qiáng),因此要強(qiáng)調(diào)本節(jié)知識(shí)在實(shí)際情境中的理解和應(yīng)用.內(nèi)容索引010203第一環(huán)節(jié)必備知識(shí)落實(shí)第二環(huán)節(jié)關(guān)鍵能力形成第三環(huán)節(jié)學(xué)科素養(yǎng)提升第一環(huán)節(jié)必備知識(shí)落實(shí)【知識(shí)篩查】

1.變量的相關(guān)關(guān)系(1)相關(guān)關(guān)系:兩個(gè)變量有關(guān)系,但又沒(méi)有確切到可由其中的一個(gè)去精確地決定另一個(gè)的程度,這種關(guān)系稱為相關(guān)關(guān)系.(2)散點(diǎn)圖:把成對(duì)樣本數(shù)據(jù)用平面直角坐標(biāo)系中的點(diǎn)表示出來(lái),由這些點(diǎn)組成的統(tǒng)計(jì)圖叫做散點(diǎn)圖.(3)正相關(guān):如果從整體上看,當(dāng)一個(gè)變量的值增加時(shí),另一個(gè)變量的相應(yīng)值也呈現(xiàn)增加的趨勢(shì),我們就稱這兩個(gè)變量正相關(guān).從散點(diǎn)圖中看,滿足正相關(guān)的點(diǎn)落在一條從左下角到右上角的直線附近.(4)負(fù)相關(guān):如果從整體上看,當(dāng)一個(gè)變量的值增加時(shí),另一個(gè)變量的相應(yīng)值呈現(xiàn)減少的趨勢(shì),我們就稱這兩個(gè)變量負(fù)相關(guān).從散點(diǎn)圖中看,滿足負(fù)相關(guān)的點(diǎn)落在一條從左上角到右下角的直線附近.(5)線性相關(guān):一般地,如果兩個(gè)變量的取值呈現(xiàn)正相關(guān)或負(fù)相關(guān),而且散點(diǎn)落在一條直線附近,我們就稱這兩個(gè)變量線性相關(guān).2.樣本相關(guān)系數(shù)(1)樣本相關(guān)系數(shù)的公式(2)樣本相關(guān)系數(shù)r的取值范圍為[-1,1].問(wèn)題思考樣本相關(guān)系數(shù)r是如何反映成對(duì)樣本數(shù)據(jù)的線性相關(guān)程度的?(1)當(dāng)r>0時(shí),成對(duì)樣本數(shù)據(jù)正相關(guān);當(dāng)r<0時(shí),成對(duì)樣本數(shù)據(jù)負(fù)相關(guān).(2)當(dāng)|r|越接近1時(shí),成對(duì)樣本數(shù)據(jù)的線性相關(guān)程度越強(qiáng);當(dāng)|r|越接近0時(shí),成對(duì)樣本數(shù)據(jù)的線性相關(guān)程度越弱.3.一元線性回歸模型(1)假定隨機(jī)誤差e的均值為0,方差為定值σ2,Y與x之間的關(guān)系可以表示為我們稱此式為Y關(guān)于x的一元線性回歸模型.其中,Y稱為因變量或響應(yīng)變量,x稱為自變量或解釋變量;a稱為截距參數(shù),b稱為斜率參數(shù),e是Y與bx+a之間的隨機(jī)誤差.4.列聯(lián)表與獨(dú)立性檢驗(yàn)(1)分類變量:我們經(jīng)常會(huì)使用一種特殊的隨機(jī)變量,以區(qū)別不同的現(xiàn)象或性質(zhì),這類隨機(jī)變量稱為分類變量.(2)列聯(lián)表:按研究問(wèn)題的需要,將數(shù)據(jù)分類統(tǒng)計(jì)并做成表格加以保存,將下表這種形式的數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)表稱為2×2列聯(lián)表.(4)獨(dú)立性檢驗(yàn)利用χ2的取值推斷分類變量X和Y是否獨(dú)立的方法稱為χ2獨(dú)立性檢驗(yàn),簡(jiǎn)稱獨(dú)立性檢驗(yàn).(5)χ2獨(dú)立性檢驗(yàn)中幾個(gè)常用的小概率值和相應(yīng)的臨界值.(6)應(yīng)用獨(dú)立性檢驗(yàn)解決實(shí)際問(wèn)題大致應(yīng)包括以下幾個(gè)主要環(huán)節(jié):①提出零假設(shè)H0:X和Y相互獨(dú)立,并給出在問(wèn)題中的解釋.②根據(jù)抽樣數(shù)據(jù)整理出2×2列聯(lián)表,計(jì)算χ2的值,并與臨界值xα比較.③根據(jù)檢驗(yàn)規(guī)則得出推斷結(jié)論.④在X和Y不獨(dú)立的情況下,根據(jù)需要,通過(guò)比較相應(yīng)的頻率,分析X和Y間的影響規(guī)律.【知識(shí)鞏固】

1.下列說(shuō)法正確的畫“√”,錯(cuò)誤的畫“×”.(1)相關(guān)關(guān)系與函數(shù)關(guān)系都是一種確定性關(guān)系,也是一種因果關(guān)系.(

)(2)利用散點(diǎn)圖可以直觀判斷兩個(gè)變量的關(guān)系是否可以用線性關(guān)系表示.(

)(3)只有兩個(gè)變量有相關(guān)關(guān)系,所得到的回歸模型才有預(yù)測(cè)價(jià)值.(

)(4)X與Y關(guān)系越密切,由觀測(cè)數(shù)據(jù)計(jì)算得到的χ2的值越大.(

)(5)通過(guò)經(jīng)驗(yàn)回歸方程

可以估計(jì)和觀測(cè)變量的取值和變化趨勢(shì).(

)×√√√√2.對(duì)變量x,y有觀測(cè)數(shù)據(jù)(xi,yi)(i=1,2,…,10),得散點(diǎn)圖①;對(duì)變量u,v有觀測(cè)數(shù)據(jù)(ui,vi)(i=1,2,…,10),得散點(diǎn)圖②.由這兩個(gè)散點(diǎn)圖可以判斷(

)①

②A.變量x與y線性相關(guān),u與v非線性相關(guān)B.變量x與y線性相關(guān),u與v不相關(guān)C.變量x與y線性相關(guān),u與v線性相關(guān)D.變量x與y不相關(guān),u與v不相關(guān)C由題中兩個(gè)散點(diǎn)圖可以判斷,變量x與y線性相關(guān),u與v線性相關(guān),故選C.A4.為了解某班學(xué)生喜歡打籃球是否與性別有關(guān),對(duì)本班50人進(jìn)行了問(wèn)卷調(diào)查,得到如下2×2列聯(lián)表:依據(jù)小概率值α=0.005的獨(dú)立性檢驗(yàn),推斷喜歡打籃球與性別

.(填“有關(guān)”或“無(wú)關(guān)”)

有關(guān)

零假設(shè)為H0:喜歡打籃球與性別無(wú)關(guān).根據(jù)列聯(lián)表的數(shù)據(jù),根據(jù)小概率值α=0.005的獨(dú)立性檢驗(yàn),推斷H0不成立,即推斷喜歡打籃球與性別有關(guān),此推斷犯錯(cuò)誤的概率不大于0.005.5.在一次考試中,5名學(xué)生的數(shù)學(xué)和物理成績(jī)?nèi)缦卤?已知數(shù)學(xué)成績(jī)x與物理成績(jī)y線性相關(guān),其經(jīng)驗(yàn)回歸方程為

,則估計(jì)數(shù)學(xué)成績(jī)?yōu)?0分的學(xué)生的物理成績(jī)?yōu)?/p>

分.(結(jié)果保留整數(shù))

73第二環(huán)節(jié)關(guān)鍵能力形成能力形成點(diǎn)1相關(guān)關(guān)系的判斷例1

(1)下列各散點(diǎn)圖中,兩個(gè)變量x,y具有相關(guān)關(guān)系的是(

)

A.①② B.①④ C.③④

D.②③C由散點(diǎn)圖知③中的點(diǎn)都分布在一條直線附近,④中的點(diǎn)都分布在一條曲線附近,故③④中的兩個(gè)變量x,y具有相關(guān)關(guān)系.①②中的點(diǎn)分布無(wú)規(guī)律,故①②中的兩個(gè)變量x,y不具有相關(guān)關(guān)系.(2)對(duì)兩個(gè)變量x,y進(jìn)行線性相關(guān)檢驗(yàn),得樣本相關(guān)系數(shù)r1=0.7859,對(duì)兩個(gè)變量u,v進(jìn)行線性相關(guān)檢驗(yàn),得樣本相關(guān)系數(shù)r2=-0.9568,則下列判斷正確的是(

)A.變量x與y正相關(guān),變量u與v負(fù)相關(guān),變量x與y的線性相關(guān)性較強(qiáng)B.變量x與y負(fù)相關(guān),變量u與v正相關(guān),變量x與y的線性相關(guān)性較強(qiáng)C.變量x與y正相關(guān),變量u與v負(fù)相關(guān),變量u與v的線性相關(guān)性較強(qiáng)D.變量x與y負(fù)相關(guān),變量u與v正相關(guān),變量u與v的線性相關(guān)性較強(qiáng)C由樣本相關(guān)系數(shù)r1=0.785

9>0,知x與y正相關(guān),由樣本相關(guān)系數(shù)r2=-0.956

8<0,知u與v負(fù)相關(guān).又|r1|<|r2|,故變量u與v的線性相關(guān)性較強(qiáng).解題心得1.根據(jù)樣本數(shù)據(jù)畫出散點(diǎn)圖,由散點(diǎn)圖可直觀地判斷兩個(gè)變量是否具有相關(guān)關(guān)系.2.根據(jù)樣本數(shù)據(jù)得到樣本相關(guān)系數(shù)r,由r的正負(fù)可判斷兩個(gè)變量是正相關(guān)還是負(fù)相關(guān);由|r|的大小可判斷兩個(gè)變量線性相關(guān)程度的強(qiáng)弱.對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練1(1)對(duì)四組數(shù)據(jù)進(jìn)行統(tǒng)計(jì),獲得的散點(diǎn)圖如圖所示,關(guān)于其樣本相關(guān)系數(shù)的比較,正確的是(

)A.r2<r4<0<r3<r1 B.r4<r2<0<r1<r3C.r4<r2<0<r3<r1 D.r2<r4<0<r1<r3A由題圖易知r1>0,r2<0,r3>0,r4<0,|r1|>|r3|,|r2|>|r4|,故r2<r4<0<r3<r1.(2)某農(nóng)戶承包了一塊土地,已知土地的使用面積以及相應(yīng)的管理時(shí)間的關(guān)系如下表:土地使用面積x/公頃12345管理時(shí)間y/月911142620求樣本相關(guān)系數(shù)r的大小(精確到0.01),并判斷管理時(shí)間y與土地使用面積x的線性相關(guān)程度.能力形成點(diǎn)2經(jīng)驗(yàn)回歸方程的求法及回歸分析例2

下表提供了某廠節(jié)能降耗技術(shù)改造后生產(chǎn)甲產(chǎn)品過(guò)程中記錄的產(chǎn)量x(單位:噸)與相應(yīng)的生產(chǎn)能耗y(單位:噸標(biāo)準(zhǔn)煤)的幾組對(duì)照數(shù)據(jù):(1)請(qǐng)畫出上表數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖;(2)請(qǐng)根據(jù)上表提供的數(shù)據(jù),用最小二乘法求出y關(guān)于x的經(jīng)驗(yàn)回歸方程(3)已知該廠技術(shù)改造前生產(chǎn)100噸甲產(chǎn)品的生產(chǎn)能耗為90噸標(biāo)準(zhǔn)煤.試根據(jù)(2)求出的經(jīng)驗(yàn)回歸方程,預(yù)測(cè)技術(shù)改造后,生產(chǎn)100噸甲產(chǎn)品的生產(chǎn)能耗比技術(shù)改造前降低了多少噸標(biāo)準(zhǔn)煤.解

(1)由題設(shè)所給數(shù)據(jù),可得散點(diǎn)圖如圖所示.(3)由(2)及題意可知降低的生產(chǎn)能耗約為90-(0.7×100+0.35)=19.65(噸標(biāo)準(zhǔn)煤).解題心得求經(jīng)驗(yàn)回歸方程的三個(gè)步驟(1)利用散點(diǎn)圖或樣本相關(guān)系數(shù)r判斷兩個(gè)變量是否具有線性相關(guān)關(guān)系.(2)若存在線性相關(guān)關(guān)系,則求出回歸系數(shù).(3)寫出經(jīng)驗(yàn)回歸方程.對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練2一個(gè)車間為了規(guī)定工時(shí)定額,需要確定加工零件所花費(fèi)的時(shí)間,為此進(jìn)行了10次試驗(yàn).測(cè)得的數(shù)據(jù)如下:(1)y與x是否具有線性相關(guān)關(guān)系?(2)如果y與x具有線性相關(guān)關(guān)系,求經(jīng)驗(yàn)回歸方程;(3)根據(jù)求出的經(jīng)驗(yàn)回歸方程,預(yù)測(cè)加工200個(gè)零件所用的時(shí)間為多少?(結(jié)果保留整數(shù))解

(1)列出下表.能力形成點(diǎn)3獨(dú)立性檢驗(yàn)例3

某小區(qū)采取一系列措施,宣傳垃圾分類的知識(shí)與意義,并采購(gòu)分類垃圾箱.為了解垃圾分類的效果,該小區(qū)物業(yè)隨機(jī)抽取了200名居民進(jìn)行問(wèn)卷調(diào)查,每名居民對(duì)小區(qū)采取的措施給出“滿意”或“不滿意”的評(píng)價(jià).根據(jù)調(diào)查結(jié)果統(tǒng)計(jì)并作出年齡分布條形圖和持不滿意態(tài)度的居民的結(jié)構(gòu)比例圖,如圖所示.年齡分布條形圖

持不滿意態(tài)度的居民的結(jié)構(gòu)比例圖

在這200份問(wèn)卷中,持滿意態(tài)度的頻率是0.65.(1)完成下面的2×2列聯(lián)表,并依據(jù)小概率值α=0.05的獨(dú)立性檢驗(yàn),分析“51歲及以上”和“50歲及以下”的居民對(duì)該小區(qū)采取的措施的評(píng)價(jià)是否有差異;(2)按“51歲及以上”和“50歲及以下”的年齡段采取分層隨機(jī)抽樣的方法,從中隨機(jī)抽取5人,再?gòu)倪@5人中隨機(jī)抽取2人進(jìn)行電話回訪,求電話回訪的兩名居民恰好一名年齡在51歲及以上,另一名年齡在50歲及以下的概率.附表及參考公式:解

(1)根據(jù)題目所給數(shù)據(jù),計(jì)算得到2×2列聯(lián)表為

零假設(shè)為H0:“51歲及以上”和“50歲及以下”的居民對(duì)該小區(qū)采取措施的評(píng)價(jià)沒(méi)有差異.根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù),計(jì)算得到根據(jù)小概率值α=0.05的獨(dú)立性檢驗(yàn),推斷H0不成立,即認(rèn)為“51歲及以上”和“50歲及以下”的居民對(duì)該小區(qū)采取措施的評(píng)價(jià)有差異,此推斷犯錯(cuò)誤的概率不大于0.05.(2)依題意,隨機(jī)抽取的5人中有2人年齡在51歲及以上,有3人年齡在50歲及以下.故電話回訪的兩名居民恰好一名年齡在51歲及以上,另一名年齡在50歲及以下的概率為解題心得利用χ2進(jìn)行獨(dú)立性檢驗(yàn)的步驟(1)列出2×2列聯(lián)表.(2)提出零假設(shè),并根據(jù)2×2列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)計(jì)算出χ2的值.(3)比較χ2的值與臨界值的大小,并作出判斷.對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練3(2021全國(guó)Ⅱ,理17)甲、乙兩臺(tái)機(jī)床生產(chǎn)同種產(chǎn)品,產(chǎn)品按質(zhì)量分為一級(jí)品和二級(jí)品,為了比較兩臺(tái)機(jī)床產(chǎn)品的質(zhì)量,分別用兩臺(tái)機(jī)床各生產(chǎn)了200件產(chǎn)品,產(chǎn)品的質(zhì)量情況統(tǒng)計(jì)如下表:機(jī)床產(chǎn)品質(zhì)量合計(jì)一級(jí)品二級(jí)品甲機(jī)床15050200乙機(jī)床12080200合計(jì)270130400(1)甲機(jī)床、乙機(jī)床生產(chǎn)的產(chǎn)品中一級(jí)品的頻率分別是多少?(2)依據(jù)小概率值α=0.01的獨(dú)立性檢驗(yàn),能否認(rèn)為甲機(jī)床的產(chǎn)品質(zhì)量與乙機(jī)床的產(chǎn)品質(zhì)量有差異?第三環(huán)節(jié)學(xué)科素養(yǎng)提升一元線性回歸模型的擬合問(wèn)題典例

某地區(qū)2003年至2019年環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額y(單位:億元)的折線圖如圖所示.為了預(yù)測(cè)該地區(qū)2022年的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額,建立了y與時(shí)間變量t的兩個(gè)一元線性回歸模型.根據(jù)2003年至2019年的數(shù)據(jù)(時(shí)間變量t的值依次為1,2,…,17)建立模型①:=-30.4+13.5t;根據(jù)2013年至2019年的數(shù)據(jù)(時(shí)間變量t的值依次為1,2,…,7)建立模型②:=99+17.5t.(1)分別利用這兩個(gè)模型,求該地區(qū)2022年的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額的預(yù)測(cè)值;(2)你認(rèn)為用哪個(gè)模型得到的預(yù)測(cè)值更可靠?并說(shuō)明理由.解:(1)利用模型①,可得該地區(qū)2022年的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額的預(yù)測(cè)值為

=-30.4+13.5×20=239.6(億元).利用模型②,可得該地區(qū)2022年的環(huán)