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創(chuàng)新情境與數(shù)學(xué)能力素養(yǎng)一數(shù)學(xué)文化

弘揚(yáng)數(shù)學(xué)文化是近幾年高考的熱點(diǎn),通過這些試題的解答可以使我們深刻認(rèn)識到數(shù)學(xué)傳統(tǒng)文化的博大精深和源遠(yuǎn)流長,數(shù)學(xué)文化包括數(shù)學(xué)中的文化和文化中的數(shù)學(xué)兩個方面,主要有以下三種題型:一是以古代數(shù)學(xué)文化為背景與核心知識相結(jié)合的題目;二是直接考古代數(shù)學(xué)問題;三是利用古代數(shù)學(xué)成果解決核心知識中的數(shù)學(xué)問題.

A圖Y-1

C圖Y-2

圖Y-3

圖Y-4BC

圖Y-4素養(yǎng)二生活實(shí)際

在高考試題中,出現(xiàn)了不少聯(lián)系生活、生產(chǎn)實(shí)際的試題,這類試題選材靈活,立意新穎,要求考生對試題展示的實(shí)際背景進(jìn)行分析、判斷,并弄清楚數(shù)學(xué)情景,抽象出數(shù)學(xué)模型,然后利用數(shù)學(xué)知識解答.解答此類問題,實(shí)質(zhì)上是對復(fù)雜的實(shí)際問題的本質(zhì)因素加以抽象、概括,最后轉(zhuǎn)化為相關(guān)的數(shù)學(xué)模型,要重視以下兩點(diǎn):一是要熟悉典型的數(shù)學(xué)模型;二是要認(rèn)清實(shí)際問題的本質(zhì)特征.1.如圖Y-5所示的比薩斜塔是意大利的著名景點(diǎn),因斜而不倒的奇特景象而世界聞名.把地球看作一個球(球心記為O),地球上的一點(diǎn)A的緯度是指OA與地球赤道所在平面所成的角,OA的方向即A點(diǎn)處的豎直方向.已知斜塔處于北緯44°,經(jīng)過測量,比薩斜塔朝正南方向傾斜,且其中軸線與豎直方向的夾角為4°,則中軸線與赤道所在平面所成的角為(

)A.50° B.48° C.42° D.40°[解析]如圖所示,AP為比薩斜塔的中軸線,由題可知∠AOD=44°,∠BAP=4°,則∠PAC=40°,即中軸線與赤道所在平面所成的角為40°.故選D.D圖Y-5

B圖Y-6

圖Y-63.

[2021·北京卷]某一時段內(nèi),從天空降落到地面上的雨水,未經(jīng)蒸發(fā)、滲漏、流失而在水平面上積聚的深度,稱為這個時段的降雨量(單位:mm).24h降雨量的等級劃分如下:在綜合實(shí)踐活動中,某小組自制了一個底面直徑為200mm,高為300mm的圓錐形雨量器.若一次降雨過程中,該雨量器收集的24h的雨水高度是150mm(如圖Y-7所示),則這24h降雨量的等級是(

)A.小雨

B.中雨C.大雨

D.暴雨B等級24h降雨量(精確到0.1)…………小雨0.1~9.9中雨10.0~24.9大雨25.0~49.9暴雨50.0~99.9…………圖Y-7

等級24h降雨量(精確到0.1)…………小雨0.1~9.9中雨10.0~24.9大雨25.0~49.9暴雨50.0~99.9…………圖Y-74.描金又稱泥金畫漆,是一種傳統(tǒng)工藝美術(shù)技藝,起源于戰(zhàn)國時期,在漆器表面,用金色描繪花紋的裝飾方法,常以黑漆作底,也有少數(shù)以朱漆為底.描金工作分為兩道工序,第一道工序是上漆,第二道工序是描繪花紋.現(xiàn)甲、乙兩位工匠要完成A,B,C三件原料的描金工作,每件原料先由甲上漆,再由乙描繪花紋,每道工序所需的時間(單位:小時)如下:則完成這三件原料的描金工作最少需要

小時.

46

原料時間

工序原料A原料B原料C上漆91610描繪花紋15814[解析]甲應(yīng)盡快讓乙開始描繪,故甲應(yīng)先對原料A上漆,需要9小時,然后乙用15小時對原料A描繪花紋,其中在這15小時描繪花紋的過程中,甲用10小時對原料C上漆,用5小時對原料B上漆,然后甲再對B進(jìn)行11小時的上漆,此時乙對原料C描繪花紋11小時,還剩3小時完成原料C的描繪,完成后再對原料B描繪花紋8小時.所以完成這三件原料的描金工作最少需要9+15+11+3+8=46(小時).

原料時間

工序原料A原料B原料C上漆91610描繪花紋15814素養(yǎng)三邏輯推理

邏輯推理在高考中占有非常重要的地位,既包括從特殊到一般的歸納推理,又包括從特殊到特殊的類比推理,也包括從一般到特殊的演繹推理,還包括發(fā)現(xiàn)問題、解決問題的過程和方法.解答時可以從題目的已知條件出發(fā),也可以從題目的結(jié)論入手,但都需注意以下三點(diǎn):一是推理的形式和規(guī)則;二是探索和表述論證過程;三是有邏輯地進(jìn)行表達(dá).1.

(多選題)同余關(guān)系是數(shù)論中的重要概念,在我國南北朝時期的著作《孫子算經(jīng)》中就對同余除法有了較深的研究.設(shè)a,b,m為正整數(shù),若a和b被m除得的余數(shù)相同,則稱a和b對模m同余,記為a≡b(modm),則下列選項(xiàng)中正確的是(

)A.若|a-b|=km,k∈N*,則a≡b(modm)B.218≡563(mod3)C.若a≡(m+1)(modm),b≡(m+2)(modm),則ab≡(m+3)(modm)D.若a≡b(modm),則an≡bn(modm),n∈N*AD

2.地鐵某換乘站設(shè)有編號為A,B,C,D,E的五個安全出口.若同時開放其中的兩個安全出口,疏散1000名乘客所需的時間如下:則疏散乘客最快的一個安全出口的編號是(

)A.A B.B C.D D.E[解析]同時開放A,B兩個安全出口,疏散1000名乘客所需的時間為120s,同時開放B,C兩個安全出口,疏散1000名乘客所需的時間為220s,所以A疏散乘客比C快;同理可得D疏散乘客比B快,E疏散乘客比C快,D疏散乘客比A快,B疏散乘客比E快,所以疏散乘客最快的一個安全出口的編號是D.故選C.C安全出口編號A,BB,CC,DD,EA,E疏散乘客時間(s)1202201601402003.陜西關(guān)中一帶流行一種紙牌叫“花花牌”,俗稱“花花”,牌面紙質(zhì)和撲克牌差不多.牌面中間畫上人物或花草圖案,兩頭則有一些黑紅兩色的橢圓點(diǎn),像盲文,這些點(diǎn)的多少代表了牌面的大小.由于“花花牌”不含數(shù)字,不識字的人也可以玩,故很受百姓歡迎.相傳“花花牌”與唐代流行的“骨牌”玩法頗為相似,圖Y-8給出了四張“骨牌”,請按此規(guī)律(自左向右)推測下一張“骨牌”應(yīng)該是(

)B圖Y-8圖Y-9[解析]由圖可知,第一張“骨牌”有1個白點(diǎn),第二張“骨牌”有2個白點(diǎn),第三張“骨牌”的白點(diǎn)個數(shù)為1+2=3,第四張“骨牌”的白點(diǎn)個數(shù)為2+3=5,據(jù)此可推測第五張“骨牌”的白點(diǎn)個數(shù)為3+5=8.由圖可知,從第三張開始,每張“骨牌”上的點(diǎn)數(shù)為前兩張“骨牌”的點(diǎn)數(shù)之和,所以第五張“骨牌”的所有點(diǎn)數(shù)為5+7=12.故選B.圖Y-84.

[2020·全國Ⅱ卷]如圖Y-10,將鋼琴上的12個鍵依次記為a1,a2,…,a12,設(shè)1≤i<j<k≤12.若k-j=3且j-i=4,則稱ai,aj,ak為原位大三和弦;若k-j=4且j-i=3,則稱ai,aj,ak為原位小三和弦.用這12個鍵可以構(gòu)成的原位大三和弦與原位小三和弦的個數(shù)之和為(

)A.5 B.8 C.10 D.15C圖Y-10[解析]根據(jù)題意,用這12個鍵可以構(gòu)成5個原位大三和弦,如下:用這12個鍵可以構(gòu)成5個原位小三和弦,如下:故用這12個鍵可以構(gòu)成的原位大三和弦與原位小三和弦的個數(shù)之和為10,故選C.ijk158269371048115912ijk1482593610471158125.

[2021·新高考全國Ⅱ卷]北斗三號全球衛(wèi)星導(dǎo)航系統(tǒng)是我國航天事業(yè)的重要成果.在衛(wèi)星導(dǎo)航系統(tǒng)中,地球靜止同步衛(wèi)星的軌道位于地球赤道所在平面,軌道高度為36000km(軌道高度是指衛(wèi)星到地球表面的距離).將地球看作是一個球心為O,半徑r為6400km的球,其上點(diǎn)A的緯度是指OA與赤道平面所成角的度數(shù).地球表面上能直接觀測到一顆地球靜止同步軌道衛(wèi)星點(diǎn)的緯度最大值為α,記衛(wèi)星信號覆蓋地球表面的表面積為S=2πr2(1-cosα)(單位:km2),則S占地球表面積的百分比約為(

)A.26% B.34% C.42% D.50%C

素養(yǎng)四數(shù)學(xué)建模

數(shù)學(xué)建模是對實(shí)際問題進(jìn)行數(shù)學(xué)抽象,用數(shù)學(xué)語言表達(dá)問題、用數(shù)學(xué)知識與方法構(gòu)建模型解決問題的過程,是數(shù)學(xué)應(yīng)用的重要形式,主要模型有函數(shù)模型、數(shù)列模型、三角模型、立體幾何模型、概率模型等等.解答的關(guān)鍵:一是閱讀理解題意;二是抽象概括;三是符號表示;四是運(yùn)算求解.1.為了更好地解決就業(yè)問題,國家在2020年提出了“地?cái)偨?jīng)濟(jì)”,為響應(yīng)國家號召,有不少地區(qū)出臺了相關(guān)政策去鼓勵“地?cái)偨?jīng)濟(jì)”.某攤主2020年4月初向銀行借了免息貸款8000元用于進(jìn)貨,因質(zhì)優(yōu)價廉,供不應(yīng)求,據(jù)測算:每月獲得的利潤是該月初投入資金的20%,每月月底扣除生活費(fèi)800元,余款作為資金全部用于下月再進(jìn)貨,如此繼續(xù),預(yù)計(jì)到2021年3月底該攤主的年所得收入為(取1.211=7.5,1.212=8.9)(

)A.24000元 B.26000元

C.30000元 D.32000元D

2.酒駕是嚴(yán)重危害交通安全的違法行為.根據(jù)規(guī)定:駕駛員的100mL血液中酒精含量為0~20mg的不構(gòu)成飲酒駕車行為(不違法),達(dá)到20~80mg的即為酒后駕車,80mg及以上的為醉酒駕車.某駕駛員喝了一定量的酒后,其血液中的酒精含量為1.6mg/mL,若在停止喝酒后,他血液中酒精含量每小時減少