/10/101金融數(shù)學(xué)/10/102導(dǎo)論金融數(shù)學(xué)基礎(chǔ)第一章金融市場第二章二叉樹、資產(chǎn)組合復(fù)制和套利第三章股票與期權(quán)二叉樹模型第五章連續(xù)時間模型和Black-Scholes公式第六章Black-Scholes模型解析方法第七章對沖第八章互債券模型和利率期權(quán)第十章貨幣市場和外匯風(fēng)險第十一章國際政治風(fēng)險分析金融數(shù)學(xué)/10/103導(dǎo)論在人類發(fā)展史上，伴伴隨第一張借據(jù)出現(xiàn)，金融（finance）就產(chǎn)生了。時至今日，金融學(xué)已形成了宏觀金融學(xué)和微觀金融學(xué)兩個分支，其需要處理關(guān)鍵問題是：怎樣在不確定（uncertainty）環(huán)境下，經(jīng)過資本市場對資源進行跨期（intertemporally）最優(yōu)配置（allocation）。/10/104怎樣了解：在不確定（uncertainty）環(huán)境下，對資源進行跨期最優(yōu)配置？

荒島魯賓遜傳奇（RobinsonCrusoe）思緒：求一個終生跨期最優(yōu)消費／投資問題；工具：隨機最優(yōu)控制（Stochasticoptimalcontrol）導(dǎo)論/10/105被薩繆爾森譽為金融理論“教授中教授”、站在眾多“巨人肩上巨人”莫頓(RobertC．Merton)曾這么說過：

優(yōu)美科學(xué)不一定是實用，實用科學(xué)也未必給人以美感，而當(dāng)代金融理論卻兼?zhèn)淞藘?yōu)美和實用。

導(dǎo)論/10/106導(dǎo)論一、金融與金融數(shù)學(xué)二、金融數(shù)學(xué)發(fā)展歷程三、金融數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)框架/10/107一、金融與金融數(shù)學(xué)

金融是一個經(jīng)濟學(xué)概念和范圍。通常，“金”是指資金，“融”是指融通，“金融”則指資金融通，或者說資本借貸，即由資金融通工具、機構(gòu)、市場和制度組成有機系統(tǒng)，是經(jīng)濟系統(tǒng)主要組成部分。

金融關(guān)鍵：在不確定環(huán)境下，經(jīng)過資本市場，對資源進行跨期（最優(yōu)）配置。

/10/109宏觀金融分析從整體角度討論金融系統(tǒng)運行規(guī)律，重點討論貨幣供求均衡、金融經(jīng)濟關(guān)系、通貨膨脹與通貨緊縮、金融危機、金融體系與金融制度、貨幣政策與金融宏觀調(diào)控、國際金融體系等問題。宏觀金融學(xué)關(guān)鍵是貨幣經(jīng)濟學(xué)。一、金融與金融數(shù)學(xué)/10/1010金融決議分析主要研究金融主體投資決議行為及其規(guī)律，服務(wù)于決議“金融理論由一系列概念和定量模型組成?！苯鹑谥薪榉治鲋饕芯拷鹑谥薪闄C構(gòu)組織、管理和經(jīng)營。包含對金融機構(gòu)職能和作用及其存在形態(tài)演進趨勢分析；金融機構(gòu)組織形式、經(jīng)濟效率、混業(yè)與分業(yè)、金融機構(gòu)脆弱性、風(fēng)險轉(zhuǎn)移和控制等。與經(jīng)濟學(xué)發(fā)展歷程相反，金融學(xué)是先有宏觀部分再有微觀部分。一、金融與金融數(shù)學(xué)/10/1011完整當(dāng)代金融學(xué)體系將以微觀金融學(xué)和宏觀金融學(xué)為理論基礎(chǔ)，擴展到各種詳細(xì)應(yīng)用金融學(xué)學(xué)科，而數(shù)理化（同時輔助以實證計量）研究格調(diào)將貫通從理論到實踐整個過程。在當(dāng)代金融學(xué)發(fā)展歷程中，兩次華爾街革命產(chǎn)生了一門新興學(xué)科，即金融數(shù)學(xué)。伴隨金融市場發(fā)展，金融創(chuàng)新日益涌現(xiàn)，各種金融衍生產(chǎn)品層出不窮，這給金融數(shù)學(xué)發(fā)展提出了更高要求，同時也為金融數(shù)學(xué)這一門學(xué)科發(fā)展提供了遼闊空間。一、金融與金融數(shù)學(xué)/10/1012金融數(shù)學(xué)是金融學(xué)本身發(fā)展而衍生出來一個新分支，是數(shù)學(xué)與金融學(xué)相結(jié)合而產(chǎn)生一門新學(xué)科，是金融學(xué)由定性分析向定性分析與定量分析相結(jié)合，由規(guī)范研究向?qū)嵶C研究為主轉(zhuǎn)變，由理論闡述向理論研究與實用研究并重，金融含糊決議向準(zhǔn)確化決議發(fā)展結(jié)果。一、金融與金融數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)：研究現(xiàn)實世界空間形式和數(shù)量關(guān)系科學(xué)。金融學(xué)：研究運作“金錢”事務(wù)科學(xué)。金融數(shù)學(xué)：利用數(shù)學(xué)工具來定量研究金融問題一門學(xué)科。與其說是一門獨立學(xué)科，還不如說是作為一系列方法而存在。/10/1013金融數(shù)學(xué)是金融經(jīng)濟學(xué)數(shù)學(xué)化。金融經(jīng)濟學(xué)主要研究對象是在證券市場上投資和交易，金融數(shù)學(xué)則是經(jīng)過建立證券市場數(shù)學(xué)模型，研究證券市場運作規(guī)律。金融數(shù)學(xué)研究中心問題是風(fēng)險資產(chǎn)（包含衍生金融產(chǎn)品和金融工具）定價和最優(yōu)投資策略選擇，它主要理論有：資本資產(chǎn)定價模型，套利定價理論，期權(quán)定價理論及動態(tài)投資組合理論。

一、金融與金融數(shù)學(xué)/10/1014金融數(shù)學(xué)研究主要內(nèi)容：風(fēng)險管理效用優(yōu)化金融數(shù)學(xué)主要工具是隨機分析和數(shù)理統(tǒng)計（尤其是非線性時間序列分析）。一、金融與金融數(shù)學(xué)/10/1015一、金融與金融數(shù)學(xué)依據(jù)研究方法：/10/1016規(guī)范金融數(shù)學(xué)：強調(diào)利用高等數(shù)學(xué)、最優(yōu)化、概率論、微分方程等知識對金融原理進行推導(dǎo)。如：第一次華爾街革命（資產(chǎn)組合問題、資本資產(chǎn)定價模型）；第二次華爾街革命（期權(quán)定價公式）。實證金融數(shù)學(xué)：強調(diào)利用統(tǒng)計學(xué)、計量經(jīng)濟學(xué)、時間序列分析等知識對金融原理進行假設(shè)檢驗，并得出一些經(jīng)驗結(jié)論。如：資產(chǎn)定價模型檢驗、行為金融學(xué)檢驗。一、金融與金融數(shù)學(xué)/10/1017金融數(shù)學(xué)研究歷程大致可分為三個時期：第一個時期為發(fā)展早期：代表人物有阿羅（K.Arrow）、德布魯（G.Debreu）、林特納（J.Lintner）、馬柯維茨（H.M.Markowitz）、夏普（w.Sharp）和莫迪利亞尼（F.Modigliani）等。二、金融數(shù)學(xué)發(fā)展歷程/10/1018盡管早在19，法國人L·巴恰利爾(LouisBachelier)在一篇關(guān)于金融投機論文中，已經(jīng)開始利用隨機過程工具探索那時尚無實物金融衍生資產(chǎn)定價問題，但巴恰利爾僅是那個時代一顆孤星，因為在隨即半個世紀(jì)中，他論文只是在幾個數(shù)學(xué)家和物理學(xué)家手中流傳（奠定了當(dāng)代金融學(xué)發(fā)展基調(diào)）。馬科維茨(H．Markowitz)1952年發(fā)表那篇僅有14頁論文既是當(dāng)代資產(chǎn)組合理論發(fā)端，同時也標(biāo)志著當(dāng)代金融理論誕生。稍后，莫迪利亞尼和米勒(ModiglianiandMiller，1958)第一次應(yīng)用無套利原理證實了以他們名字命名M-M定理。直到今天，這可能依然是企業(yè)金融理論中最主要定理。同時，德布魯(Debreu，1959)和阿羅(Arrow，1964)將普通均衡模型推廣至不確定性經(jīng)濟中，為日后金融理論發(fā)展提供了靈活而統(tǒng)一分析框架。二、金融數(shù)學(xué)發(fā)展歷程/10/1019這些基礎(chǔ)性工作在以后內(nèi)得到了兩個主要發(fā)展：其一是，在馬科維茨組合理論基礎(chǔ)上，夏普(Sharpe，1964)、林特納(Lintner，1965)和莫辛(Mossin，1966)揭示，在市場出清狀態(tài)，全部投資者都將選擇無風(fēng)險資產(chǎn)與市場組合證券線性組合；另一主要發(fā)展是對阿羅-德布魯理論推廣。赫什雷弗(Hirshleifer，1965，1966)顯示了阿羅-德布魯理論在一些基本金融理論問題中應(yīng)用，并在普通均衡體系中證實了M-M定理，第一次將阿羅-德布魯框架與套利理論聯(lián)絡(luò)起來。二、金融數(shù)學(xué)發(fā)展歷程/10/1020第二個時期為1969-1979年：這一時期是金融數(shù)學(xué)發(fā)展黃金時代，主要代表人物有莫頓（R.Merton）、布萊克（F.Black）、斯科爾斯(M.Scholes）、考克斯（J.Cox）、羅斯（Ｓ.Ross）、魯賓斯坦（M.Rubinstein）、萊克(S.Lekoy）、盧卡斯（D.Lucas）、布雷登（D.Breeden）和哈里森（J.M.Harrison)等。二、金融數(shù)學(xué)發(fā)展歷程/10/1021

首先，CAPM理論得到一系列發(fā)展。在夏普-林特納-莫辛單期CAPM基礎(chǔ)上，布萊克(Black，1972)對借貸引入限制，推導(dǎo)了無風(fēng)險資產(chǎn)不存在情況下“CAPM”。薩繆爾森(1969)、魯賓斯坦(Rubinstein，1974，1976)、克勞斯和利曾伯格(KrausandLitzenberger，1978)以及布倫南(Brennan，1970)等將馬科維茨靜態(tài)分析擴充至離散時間多期分析，得到了跨期CAPM。莫頓(Merton，1969，1971，1973a)則提供了連續(xù)時間CAPM版本(稱為ICAPM)。羅斯(Ross，1976a)提出與CAPM競爭套利定價理論(APT)。值得強調(diào)是，莫頓這些文件不但是建立了連續(xù)時間內(nèi)最優(yōu)資產(chǎn)組合模型和資產(chǎn)定價公式，而且首次將伊藤積分引入經(jīng)濟分析。

二、金融數(shù)學(xué)發(fā)展歷程/10/1022二、金融數(shù)學(xué)發(fā)展歷程1970年代最具革命性意義事件無疑當(dāng)數(shù)布萊克和斯科爾斯(BlackandScholes，1973)推導(dǎo)出簡單期權(quán)定價公式，以及莫頓(Merton，1973b)對該定價公式發(fā)展和深化。在這個階段后期，哈里森和克雷普斯(HarrisonandKreps，1979)發(fā)展了證券定價鞅理論(theoryofmartingalepricing)，這個理論在當(dāng)前也依然是金融研究前沿課題。同一時期另一引人注目標(biāo)發(fā)展是非對稱信息分析方法開始使用。/10/1023金融數(shù)學(xué)發(fā)展第三個時期：

1980年至今是金融數(shù)學(xué)發(fā)展第三個時期，是結(jié)果頻出、不停成熟完善時期。該期間代表人物有達菲（D.Duffie）、卡瑞撤斯（I.Karatzas）、考克斯（J.Cox）、黃（C.F.Huang）等。二、金融數(shù)學(xué)發(fā)展歷程/10/1024

1980年代以后，資產(chǎn)定價理論和不完全信息金融市場分析繼續(xù)發(fā)展。在資產(chǎn)定價理論方面，各種概念被統(tǒng)一到阿羅-德布魯普通均衡框架下，顯得更為靈活和適用。鞅定價原理逐步在資產(chǎn)定價模型中占據(jù)了中心位置，達菲和黃(DuffleandHuang，1985)等在此基礎(chǔ)上大大地推廣了布萊克-斯科爾斯模型。在非對稱信息分析方面，非合作博弈論及新產(chǎn)業(yè)組織理論研究方法得到廣泛應(yīng)用。戴蒙德(Diamond，1984)在利蘭-派爾模型基礎(chǔ)上，深入揭示了金融中介因風(fēng)險分散產(chǎn)生規(guī)模經(jīng)濟利益，并提出了金融中介代理最終貸款者監(jiān)督借款企業(yè)效率優(yōu)勢。戴蒙德和迪布維克(DiamondandDybvig，1983)建立了提供流動性調(diào)整服務(wù)銀行模型；戴蒙德(1989)、霍姆斯特龍和梯羅爾(HolmstromandTirole，1993)又以道德危險(moralhazard)現(xiàn)象為基礎(chǔ)，解釋了直接金融和中介金融共存理由。至此，金融中介最基本經(jīng)濟功效得到了較為完整模型刻畫。二、金融數(shù)學(xué)發(fā)展歷程/10/1025三、金融數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)框架/10/1026第一部分是金融數(shù)學(xué)方法篇，闡述了金融數(shù)學(xué)基本數(shù)學(xué)方法和計量經(jīng)濟學(xué)在金融數(shù)學(xué)中應(yīng)用，重點講述了微積分、線性代數(shù)、概率論、計量經(jīng)濟學(xué)在金融數(shù)學(xué)中應(yīng)用。第二部分是金融數(shù)學(xué)方法關(guān)鍵篇，闡述了資本資產(chǎn)定價模型和期權(quán)定價模型。第三部分是金融數(shù)學(xué)應(yīng)用篇，闡述了金融數(shù)學(xué)在貨幣市場、外匯市場、證券市場應(yīng)用。三、金融數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)框架/10/1027補充：金融數(shù)學(xué)基礎(chǔ)第一節(jié)微積分在數(shù)理金融中應(yīng)用第二節(jié)線性代數(shù)在數(shù)理金融中應(yīng)用第三節(jié)隨機過程在數(shù)理金融中應(yīng)用/10/1028第三節(jié)隨機過程在數(shù)理金融中應(yīng)用一、隨機過程含義1.假如對改變過程全過程做一次觀察,得到一個位置與時間關(guān)系函數(shù)x1(t),若再次觀察，又得到函數(shù)x2(t),…,因而得到一族函數(shù).2.假如在時刻t觀察質(zhì)點位置x(t),則x(t)是一個隨機變量,這么對于每個時刻t便得到一個隨機變量X(t),于是就得到一族隨機變量{X(t),t≥0}（最初始時刻為t=0）,它描述了此隨機運動過程./10/1029二、隨機過程定義/10/1030/10/1031三、隨機過程分類第三節(jié)隨機過程在數(shù)理金融中應(yīng)用1．按狀態(tài)空間I和時間T是可列集還是連續(xù)集分類：(1).連續(xù)型隨機過程:T是連續(xù)集,且tT,X(t)是連續(xù)型隨機變量,則稱過程{X(t),tT}為連續(xù)型隨機過程.(2).離散型隨機過程:T是連續(xù)集，且tT,X(t)是離散型隨機變量，則稱過程{X(t),tT}為離散型隨機過程。/10/1032第三節(jié)隨機過程在數(shù)理金融中應(yīng)用(3).連續(xù)型隨機序列:T是可列集,且tT,X(t)是連續(xù)型隨機變量，則稱過程{X(t),tT}為連續(xù)型隨機序列.

(4).離散型隨機序列:T是可列集,且tT,X(t)為離散型隨機變量,則稱過程{X(t),tT}為離散型隨機序列。通常T取為T={0,1,2…}或T={0,±1，±2…},此時隨機序列常記成{Xn,n=0,1,…}或{Xn,n0}。/10/1033在時間和狀態(tài)上都連續(xù)連續(xù)型隨機過程/10/1034在時間上連續(xù)，狀態(tài)上離散離散型隨機過程/10/1035在時間上離散，狀態(tài)上連續(xù)連續(xù)型隨機序列/10/1036在時間上離散，狀態(tài)上離散離散參數(shù)鏈/10/10372．按分布特征分類：依照過程在不一樣時刻狀態(tài)統(tǒng)計依賴關(guān)系分類。⑴獨立增量過程⑵馬爾可夫過程⑶平穩(wěn)過程

等等第三節(jié)隨機過程在數(shù)理金融中應(yīng)用/10/1038四、隨機過程統(tǒng)計描述一）、有限維分布函數(shù)族對任一固定時刻，隨機過程是一隨機變量，這時可用研究隨機變量方法研究隨機過程統(tǒng)計特征，但隨機過程是一族隨機變量，所以，對隨機過程描述，需用有限維分布函數(shù)族。有限個隨機變量統(tǒng)計規(guī)律聯(lián)合分布函數(shù)隨機過程統(tǒng)計規(guī)律有限維分布函數(shù)族/10/1039/10/1040/10/1041設(shè){X(t),t∈T}是隨機過程，假如對任意t∈T，E[X(t)]存在，則稱函數(shù)為X(t)均值函數(shù)，反應(yīng)隨機過程在時刻t平均值。1、均值函數(shù)

二）、隨機過程數(shù)字特征/10/1042/10/10432．隨機過程其它數(shù)字特征①為{X(t),tT}均方值函數(shù).

為{X(t),tT}方差函數(shù).

為{X(t),tT}協(xié)方差函數(shù).

為{X(t),tT}均值函數(shù).

②③④第三節(jié)隨機過程在數(shù)理金融中應(yīng)用⑤Rx(s,t)=E[X(s)X(t)]為{X(t),tT}自相關(guān)函數(shù)，簡稱相關(guān)函數(shù)/10/1044均值函數(shù)表示{X(t),t∈T}在各時刻波動中心；方差函數(shù)表示{X(t),t∈T}在各時刻關(guān)于均值函數(shù)平均偏離程度；

Rx(s,t)，Cx(s,t)表示{X(t),t∈T}在兩個不一樣時刻狀態(tài)統(tǒng)計依賴關(guān)系。

第三節(jié)隨機過程在數(shù)理金融中應(yīng)用釋義：/10/1045六、幾類隨機過程第三節(jié)隨機過程在數(shù)理金融中應(yīng)用（一）平穩(wěn)過程嚴(yán)平穩(wěn)隨機過程弱平穩(wěn)隨機過程/10/1046嚴(yán)平穩(wěn)隨機過程1．定義：設(shè){X(t),tT}是隨機過程,假如對于任意常數(shù)h和任意正整數(shù)n,及任意n維隨機向量(X(t1),X(t2),…,X(tn))和(X(t1+h),X(t2+h),…,X(tn+h))含有相同分布,則稱隨機過程{X(t),tT}含有平穩(wěn)性,并同時稱此過程為嚴(yán)平穩(wěn)過程。平穩(wěn)過程參數(shù)集T,普通為(-,+),0,+,

{0,1,2,…},{0,1,2,…},以下如無特殊說明，均認(rèn)為參數(shù)集T=(-,+).當(dāng)定義在離散參數(shù)集上時,也稱過程為嚴(yán)平穩(wěn)時間序列。第三節(jié)隨機過程在數(shù)理金融中應(yīng)用/10/10472．嚴(yán)平穩(wěn)過程數(shù)字特征定理假如{X(t),tT}是嚴(yán)平穩(wěn)過程，且對任意tT，

E[X2(t)]<+（二階矩過程）,則有

(1)E[X(t)]=常數(shù)，tT；

(2)E[X(s)X(t)]只依賴于t-s,而與s,tT詳細(xì)取值無關(guān)。第三節(jié)隨機過程在數(shù)理金融中應(yīng)用/10/1048證：(1)由Cauchy-Schwarze不等式

{E[X(t)]}2E[X2(t)]<+,

所以E[X(t)]存在。在嚴(yán)平穩(wěn)過程定義中，令h=-s,由定義X(s)與X(0)同分布，所以E[X(t)]=E[X(0)]為常數(shù)。普通記為X.第三節(jié)隨機過程在數(shù)理金融中應(yīng)用/10/1049(2)由Cauchy-Schwarze不等式

{E[X(s)X(t)]}2

E[X2(s)]E[X2(t)]<+,

所以E[X(s)X(t)]存在。在嚴(yán)平穩(wěn)過程定義中，令h=-s,由定義(X(s),X(t))與(X(0),X(t-s))同分布，即有E[X(s)X(t)]=E[X(0)X(t-s)],即Rx(t,t+)=E[X(0)X()]=Rx()

所以，Rx(s,t)只依賴于t-s,而與s,tT詳細(xì)取值無關(guān)。進而，Cx()=E{[X(t)-x][X(t+)-x]}=Rx()-x2只與相關(guān)；

x2=Cx(0)=Rx(0)-x2為常數(shù).第三節(jié)隨機過程在數(shù)理金融中應(yīng)用/10/1050(弱)平穩(wěn)過程1．定義

設(shè){X(t),tT}是二階矩過程(E[X2(t)]<+),假如

(1)E[X(t)]=x(常數(shù))，tT；

(2)對任意t,t+T,Rx()=E[X(t)X(t+)]只依賴于。

則稱{X(t),tT}為寬平穩(wěn)過程,簡稱為平穩(wěn)過程.第三節(jié)隨機過程在數(shù)理金融中應(yīng)用/10/1051

尤其地，當(dāng)T為離散參數(shù)集時，若隨機序列{Xn(t)}滿足E(Xn2)<+,以及

(1)E[Xn]=X(常數(shù))，nT；

(2)R

X(m)=E[XnXn+m]只與m相關(guān)。稱{Xn}為寬平穩(wěn)隨機序列或?qū)捚椒€(wěn)時間序列。第三節(jié)隨機過程在數(shù)理金融中應(yīng)用/10/10522．嚴(yán)平穩(wěn)和寬平穩(wěn)關(guān)系(1)．嚴(yán)平穩(wěn)過程不一定是寬平穩(wěn)過程,因為嚴(yán)平穩(wěn)過程不一定是二階矩過程,但當(dāng)嚴(yán)平穩(wěn)過程是二階矩過程時,則它一定是寬平穩(wěn)過程。(2)．寬平穩(wěn)過程不一定是嚴(yán)平穩(wěn)過程,但對于正態(tài)過程,二者是等價。第三節(jié)隨機過程在數(shù)理金融中應(yīng)用/10/1053（二）獨立增量過程1．定義

設(shè){X(t),t0}為一隨機過程,對于0s<t,稱隨機變量X(t)-X(s)為隨機過程在區(qū)間[s,t]上增量.

若對于任意正整數(shù)n及任意0t0<t1<t2<…<tn,n個增量

X(t1)-X(t0)，X(t2)-X(t1)，…，X(tn)-X(tn-1)相互獨立，稱{X(t),t0}為獨立增量過程。

第三節(jié)隨機過程在數(shù)理金融中應(yīng)用/10/1054第三節(jié)隨機過程在數(shù)理金融中應(yīng)用

若對于任意實數(shù)s,t和0s+h＜t+h,X(t+h)－X(s+h)與X(t)－X(s)含有相同分布,則稱增量含有平穩(wěn)性,并稱對應(yīng)獨立增量過程為齊次或時齊。

/10/10552．獨立增量過程性質(zhì)

(1)獨立增量過程{X(t),t

0}在X(0)=0條件下,{X(t)}有限維分布函數(shù)能夠由增量X(t)-X(s)，0s＜t分布確定.第三節(jié)隨機過程在數(shù)理金融中應(yīng)用/10/1056證：令Yk=

X(tk)-X(tk-1

),k=1,2,…,n.t0=0.

由條件，增量分布已知，且含有獨立增量，則Y1,Y2,…,Yn聯(lián)合分布即可確定，而X(t1)=Y1，

X(t2)

=Y1+Y2，

……

X(tn)

=Y1+Y2+……+

Yn，即X(tk)

是Y1，…Yn線性函數(shù)，Y1,Y2,…,Yn聯(lián)合分布確定了{X(t)}有限維分布函數(shù)。第三節(jié)隨機過程在數(shù)理金融中應(yīng)用/10/1057(2)獨立增量過程{X(t),t

0}在X(0)=0條件下,{X(t)}協(xié)

方差函數(shù)為

第三節(jié)隨機過程在數(shù)理金融中應(yīng)用/10/1058第三節(jié)隨機過程在數(shù)理金融中應(yīng)用證實:記Y(t)=X(t)-X(t),當(dāng)X(t)含有獨立增量時，Y(t)也含有獨立增量；且Y(0)=0,E[Y(t)]=0,DY(t)=E[Y2(t)].所以，當(dāng)0s＜t時，有

/10/1059于是可知對于任意s,t≧0,協(xié)方差函數(shù)可表示為：

同理，當(dāng)0t＜s時，有第三節(jié)隨機過程在數(shù)理金融中應(yīng)用/10/1060定義：設(shè){X(t),t∈T}是隨機過程，若對任意正整數(shù)n及t1,t2,…,tn∈T，(X(t1),X(t2),…,X(tn))是n維正態(tài)隨機變量，則稱{X(t),t∈T}是正態(tài)過程或高斯過程。特點：在通信中應(yīng)用廣泛；正態(tài)過程只要知道其均值函數(shù)和協(xié)方差函數(shù)，即可確定其有限維分布。正態(tài)過程/10/1061(正態(tài)過程一個特殊情況)1、物理背景

1827年英國植物學(xué)家羅伯特.布朗發(fā)覺現(xiàn)象：沉醉在液體或氣體中質(zhì)點不停地作不規(guī)則過去,只有在顯微鏡上才看得清質(zhì)點運動,稱為布朗運動。維納過程/10/1062/10/1063(3).質(zhì)點運動完全由不規(guī)則分子撞擊而引發(fā)，在不重迭區(qū)間上碰撞次數(shù)與大小是獨立,故在不重迭區(qū)間上質(zhì)點位移是獨立,可了解為有均勻獨立增量。這么造成了維納過程定義。注:維納是首先從數(shù)學(xué)上研究布朗運動人之一。/10/1064/10/1065/10/10662．維納過程性質(zhì)(1).

維納過程{W(t)，t≥0}為正態(tài)過程(每一個有限維分布均為正態(tài)分布)。

第三節(jié)隨機過程在數(shù)理金融中應(yīng)用/10/1067

它是獨立正態(tài)隨機變量之和，所以它是正態(tài)隨機變量，由正態(tài)分布性質(zhì)知(W(t1)，W(t2)，…，W(tn))服從n維正態(tài)分布，所以W(t)為正態(tài)過程。

第三節(jié)隨機過程在數(shù)理金融中應(yīng)用證實:對于任意正整數(shù)n和任意時刻t1,t2,…,tn(0≤t1<t2<…<tn)以及任意實數(shù)u1，u2，…，un，記

/10/1068

(2).維納過程均值函數(shù)、自協(xié)方差函數(shù)、自相關(guān)函數(shù)分別為

第三節(jié)隨機過程在數(shù)理金融中應(yīng)用/10/1069第一章金融市場第一節(jié)金融市場與數(shù)學(xué)

第二節(jié)遠(yuǎn)期

第三節(jié)股票及其衍生產(chǎn)品

第四節(jié)期貨合約定價

第五節(jié)債券市場

第六節(jié)利率期貨

第七節(jié)利率理論

第八節(jié)外匯/10/1070第一節(jié)金融市場與數(shù)學(xué)一、金融市場

金融市場是指資金供求雙方利用各種金融工具，經(jīng)過各種路徑實現(xiàn)貨幣借貸和資金融通交易活動總稱。二、金融市場特征/10/1071金融市場主要特征在于：商品單一性和價格相對一致性金融市場交易對象不是含有各種使用價值物質(zhì)商品，而是單一貨幣形態(tài)資金商品。資金商品無質(zhì)差異性，只有單一貨幣形態(tài)和單一“使用價值”──取得收益能力。資金商品“價格”為利率。因為信用期限與安全可靠程度不一樣，各種不一樣金融商品利率也不相同。它們形成一個相對穩(wěn)定結(jié)構(gòu)并隨資金供求關(guān)系改變而共同改變。第一節(jié)金融市場與數(shù)學(xué)/10/1072

投資收益和風(fēng)險遠(yuǎn)遠(yuǎn)超出普通商品市場在普通商品市場上，商品價格圍繞著商品價值上下浮動，即使市場供求情況對商品價格有主要影響，但商品成交價格與商品實際價值差異從長久來看是不大。金融商品價格則主要取決于資金商品供求情況，它可能遠(yuǎn)遠(yuǎn)超出平均利潤率，也可能跌到零以下（按實際利率計算）。這就使金融市場上交易活動變得錯綜復(fù)雜，價格波動猛烈。第一節(jié)金融市場與數(shù)學(xué)/10/1073有形市場與無形市場并存金融市場在發(fā)展最初階段，一般都有固定地點和工作設(shè)施，稱為有形市場，其典型形式就是證券交易所。隨著商品經(jīng)濟、科學(xué)技術(shù)和金融市場交易活動本身發(fā)展，金融市場很快突破了固定場所限制，一方面，高度組織化證券交易所等機構(gòu)不停擴展和完善，其次，經(jīng)過計算機、電傳、電話等設(shè)施進行資金借貸活動已跨越城市、地區(qū)和國界等地域上界限，把整個世界聯(lián)成一個龐大市場。第一節(jié)金融市場與數(shù)學(xué)/10/1074第一節(jié)金融市場與數(shù)學(xué)三、金融市場參加者/10/1075第一節(jié)金融市場與數(shù)學(xué)四、金融市場結(jié)構(gòu)/10/1076第一節(jié)金融市場與數(shù)學(xué)

按是否與實際信用活動相關(guān)，金融工具可分為原生金融工具和衍生金融工具/10/1077原生金融工具：

是在實際信用活動中出具能證實債權(quán)債務(wù)關(guān)系或全部權(quán)關(guān)系正當(dāng)憑證。種類：

主要有商業(yè)票據(jù)、債券等債權(quán)債務(wù)憑證，以及股票、基金等全部權(quán)憑證。原生金融工具是金融市場上最廣泛使用工具，也是衍生金融工具賴以生存基礎(chǔ)。第一節(jié)金融市場與數(shù)學(xué)/10/1078商業(yè)票據(jù)：是指由金融企業(yè)或一些信用較高企業(yè)開出無擔(dān)保短期票據(jù)。分為本票和匯票兩種股票：是一個由股份有限企業(yè)簽發(fā)用以證實股東所持股份憑證。分為普通股和優(yōu)先股。債券：是一個有價證券，是社會各類經(jīng)濟主體為籌措資金而向債券投資者出具，而且承諾按一定利率定時支付利息和到期償還本金債券債務(wù)憑證。按發(fā)行人分為國家債券與企業(yè)債券。第一節(jié)金融市場與數(shù)學(xué)/10/1079衍生金融工具：是在原生金融工具基礎(chǔ)上派生出來各種金融合約及其組合形式總稱。種類：包含遠(yuǎn)期、期權(quán)、期貨、交換特點：杠桿性、高風(fēng)險性、虛擬性。第一節(jié)金融市場與數(shù)學(xué)/10/1080第一節(jié)金融市場與數(shù)學(xué)五、金融市場作用/10/1081第一節(jié)金融市場與數(shù)學(xué)六、復(fù)制與無套利

金融數(shù)學(xué)主要目標(biāo)就是研究依據(jù)標(biāo)資產(chǎn)價格計算衍生產(chǎn)品價格過程。/10/1082第一節(jié)金融市場與數(shù)學(xué)無套利：若在一個市場中，人們能夠身無分文入市，經(jīng)過資產(chǎn)買賣（允許賣空和借貸）使得能夠最終不欠債，且有正概率機會取得盈利，則稱該市場存在套利機會。假如市場不存在套利機會，則稱市場無套利。復(fù)制：是指將一個金融工具以組合頭寸來加以表示。/10/1083第二節(jié)遠(yuǎn)期定義：甲乙雙方（當(dāng)前）時刻t簽署一份合約：在未來給定時刻T以（當(dāng)前）設(shè)定價格成交一個物品（稱為標(biāo)資產(chǎn)（underlyingasset），或標(biāo)物品（underlyingcommodity）），這么一份合約稱為[t，T]上一個遠(yuǎn)期（合約）（forward(contract)）。所設(shè)定成交價格稱為交割價格（deliverprice），也稱遠(yuǎn)期價格（forwardprice），時刻T稱為到期時刻（maturity）。在到期時刻T將成為標(biāo)資產(chǎn)買方稱為多頭（longposition），而將成為標(biāo)資產(chǎn)賣方稱為空頭（shortposition）。/10/1084對于一個[t，T]上遠(yuǎn)期合約，其（交割）價格在時刻t經(jīng)雙方同意確定后，在時間區(qū)間[t，T]上保持不變，記為q(t，T)（僅依賴于t和T）。假定P(s)是所考慮標(biāo)資產(chǎn)在時刻s∈[t，T]（即期）價格（(spot)price），則多頭方損益空頭方損益第二節(jié)遠(yuǎn)期/10/1085在簽約時刻t，遠(yuǎn)期本身（期望）價值為0，即第二節(jié)遠(yuǎn)期/10/1086遠(yuǎn)期合約在時刻s∈[t，T]價值：第二節(jié)遠(yuǎn)期/10/1087若無風(fēng)險利率不是常數(shù)，則由此，到期時刻T多頭方損益同時這是遠(yuǎn)期價格確定原則。第二節(jié)遠(yuǎn)期/10/1088第二節(jié)遠(yuǎn)期無收益證券在無套利假設(shè)下，若無風(fēng)險利率為一常數(shù)r>0標(biāo)資產(chǎn)不支付收益證券。假如上式不成立，則會出現(xiàn)什么情況？/10/1089第二節(jié)遠(yuǎn)期標(biāo)資產(chǎn)為不支付收益證券[t,T]上遠(yuǎn)期在任何時刻s∈[t，T]價值/10/1090第二節(jié)遠(yuǎn)期組合復(fù)制：假定初始時刻t∈[0,T]有兩個證券組合

組合1:一份多頭遠(yuǎn)期合約（在時刻t價值f(t;t,T）=0),外加數(shù)額為q(t,T)e-r(T-t）現(xiàn)金。組合2：價值為P(t)一股標(biāo)資產(chǎn)。/10/1091第二節(jié)遠(yuǎn)期例1：假定某股票當(dāng)前股價為50元，且未來6個月內(nèi)不支付紅利，若無風(fēng)險利率為5%,簽定一個6個月期以此種股票為標(biāo)資產(chǎn)遠(yuǎn)期合約，遠(yuǎn)期價格應(yīng)為多少？例2：一個還有9個月將到期遠(yuǎn)期合約，標(biāo)資產(chǎn)是一年期貼現(xiàn)債券，遠(yuǎn)期合約交割價格為1000元，若9個月期無風(fēng)險年利率為6%，債券現(xiàn)價為960元，求遠(yuǎn)期合約多頭價值？/10/1092第二節(jié)遠(yuǎn)期1解：2解：/10/1093第二節(jié)遠(yuǎn)期已知現(xiàn)金收益證券若遠(yuǎn)期標(biāo)資產(chǎn)在使用期內(nèi)現(xiàn)金收益總額現(xiàn)值為I(t)，則在無套利假設(shè)下：不然，會出現(xiàn)什么情況？/10/1094第二節(jié)遠(yuǎn)期例：一個現(xiàn)價為100元股票10個月期遠(yuǎn)期合約，若在3個月、6個月、9個月后都會有每股1.5元利潤，若無風(fēng)險年利率為8%，求遠(yuǎn)期價格？/10/1095第二節(jié)遠(yuǎn)期解：/10/1096第二節(jié)遠(yuǎn)期兩個組合

組合1:一份多頭遠(yuǎn)期合約（在時刻t價值f(t;t,T）=0),外加數(shù)額為q(t,T)e-r(T-t）現(xiàn)金。組合2：價值為P(t)一股標(biāo)資產(chǎn)和以無風(fēng)險利率r借得數(shù)額為I(t)現(xiàn)金?；?10/1097第二節(jié)遠(yuǎn)期例：一個三年期國債，當(dāng)前價格為90元。若還有1年到期這種債券遠(yuǎn)期合約遠(yuǎn)期價格為91元，在6個月和12個月后，預(yù)計將收到6元利息，而第二次付息日恰好在遠(yuǎn)期交割日之前，假定6個月和12個月無風(fēng)險利率分別為9%和10%，則求遠(yuǎn)期合約在時刻s價值。/10/1098第二節(jié)遠(yuǎn)期解：/10/1099第二節(jié)遠(yuǎn)期已知紅利率證券兩個組合

組合1:一份多頭遠(yuǎn)期合約（在時刻t價值f(t;t,T）=0),外加數(shù)額為q(t,T)e-r(T-t）現(xiàn)金。組合2：持有e-ρ(T-t)股（價值為e-ρ(T-t)

P(t)

）標(biāo)證券?；颍俣t利收益率按年利率ρ（連續(xù)復(fù)利）支付）/10/10100第二節(jié)遠(yuǎn)期此時，標(biāo)資產(chǎn)為已知紅利率證券遠(yuǎn)期價格空頭價值為多少？/10/10101第二節(jié)遠(yuǎn)期例：一個還有6個月到期遠(yuǎn)期，標(biāo)資產(chǎn)連續(xù)紅利收益率為4%，若無風(fēng)險年利率為10%，遠(yuǎn)期價格為54元，當(dāng)前該標(biāo)資產(chǎn)價格為50元，求時刻s該遠(yuǎn)期多頭價值和遠(yuǎn)期價格？/10/10102第二節(jié)遠(yuǎn)期解：/10/10103第三節(jié)股票及其衍生產(chǎn)品一、股票股份有限企業(yè)在籌集資金時向出資人發(fā)行股份憑證。股票代表著其持有者（即股東）對股份企業(yè)全部權(quán)。這種全部權(quán)是一個綜合權(quán)利，如參加股東大會、投票表決、參加企業(yè)重大決議、收取股息或分享紅利等。同一類別每一份股票所代表企業(yè)全部權(quán)是相等。每個股東所擁有企業(yè)全部權(quán)分額大小，取決于其持有股票數(shù)量占企業(yè)總股本比重。股票普通能夠經(jīng)過轉(zhuǎn)讓收回其投資，但不能要求企業(yè)返還其出資。股東與企業(yè)之間關(guān)系不是債權(quán)債務(wù)關(guān)系。股東是企業(yè)全部者，以其出資分額為限對企業(yè)負(fù)有限責(zé)任，負(fù)擔(dān)風(fēng)險，分享收益。/10/10104股票衍生產(chǎn)品：是一個特定合約，其在未來某一天價值完全由股票未來價值決定。賣方（writer）：制訂并出售合約個人或企業(yè)。買方（holder）：購置合約個人或企業(yè)。標(biāo)資產(chǎn)：合約所基于股票。第三節(jié)股票及其衍生產(chǎn)品/10/10105二、股票遠(yuǎn)期合約ForwardContracts遠(yuǎn)期合約是指交易雙方約定在未來某個特定時間以約定價格買賣約定數(shù)量資產(chǎn)。第三節(jié)股票及其衍生產(chǎn)品/10/10106第三節(jié)股票及其衍生產(chǎn)品/10/10107合約條款：在確定日期（到期日），合約買方必須支付要求數(shù)量現(xiàn)金（即執(zhí)行價格）給合約賣方。合約賣方必須在到期日轉(zhuǎn)讓對應(yīng)股票給買方。第三節(jié)股票及其衍生產(chǎn)品/10/10108第三節(jié)股票及其衍生產(chǎn)品到期時利潤或損失：到期日買方利潤或損失：

——到期時價格；

——執(zhí)行價格/10/10109遠(yuǎn)期合約到期之前利潤或損失價格公式？第三節(jié)股票及其衍生產(chǎn)品/10/10110復(fù)制投資：資產(chǎn)組合：一個遠(yuǎn)期合約：價值；現(xiàn)金：資產(chǎn)組合凈現(xiàn)值：

到期日資產(chǎn)組合復(fù)制了一股股票：合約價值＋現(xiàn)金量＝一股股票第三節(jié)股票及其衍生產(chǎn)品/10/10111第一套利機會：賣空股票合約價值＋現(xiàn)金量<一股股票第二套利機會：賣空資產(chǎn)組合合約價值＋現(xiàn)金量>一股股票第三節(jié)股票及其衍生產(chǎn)品/10/10112無套利定價公式第三節(jié)股票及其衍生產(chǎn)品/10/10113例2-1：若有一個股票合約，從現(xiàn)在起40天后到期，假如執(zhí)行價格是65美元，今天股票價格為64.75美元，今天合約價格是多少（r=0.055）？第三節(jié)股票及其衍生產(chǎn)品/10/10114二、期權(quán)期權(quán)是指在未來一定時期能夠買賣權(quán)力，是買方向賣方支付一定數(shù)量金額（指權(quán)利金）后擁有在未來一段時間內(nèi)（指美式期權(quán)）或未來某一特定日期（指歐式期權(quán)）以事先要求好價格（指履約價格）向賣方購置（指看漲期權(quán)）或出售（指看跌期權(quán)）一定數(shù)量特定標(biāo)物權(quán)力，但不負(fù)有必須買進或賣出義務(wù)。期權(quán)交易實際上就是這種權(quán)利交易。買方有執(zhí)行權(quán)利也有不執(zhí)行權(quán)利，完全能夠靈活選擇。第三節(jié)股票及其衍生產(chǎn)品/10/10115第三節(jié)股票及其衍生產(chǎn)品期權(quán)類型:

按期權(quán)權(quán)利來劃分，主要含有以下三種：看漲期權(quán)和看跌期權(quán)以及雙向期權(quán)。/10/10116（1）看漲期權(quán)。所謂看漲期權(quán)，是指期權(quán)買方享受在要求使用期限內(nèi)按某一詳細(xì)敲定價格買進某一特定數(shù)量相關(guān)期貨合約權(quán)利，但不一樣時負(fù)有必須買進義務(wù)。第三節(jié)股票及其衍生產(chǎn)品/10/10117（2）看跌期權(quán)。所謂看跌期權(quán)，是指期權(quán)買方享受在要求使用期限內(nèi)按某一詳細(xì)敲定價格賣出某一特定數(shù)量相關(guān)期貨合約權(quán)利，但不一樣時負(fù)有必須賣出義務(wù)。第三節(jié)股票及其衍生產(chǎn)品/10/10118（3）雙向期權(quán)。所謂雙向期權(quán)，是指期權(quán)買方既享受在要求使用期限內(nèi)按某一詳細(xì)敲定價格買進某一特定數(shù)量相關(guān)期貨合約權(quán)利，又享受在約定使用期限內(nèi)按同一敲定價格賣出某一特定數(shù)量相關(guān)期貨合約權(quán)利。第三節(jié)股票及其衍生產(chǎn)品/10/10119期權(quán)履約期權(quán)履約有以下三種情況1、買賣雙方都能夠經(jīng)過對沖方式實施履約。2、買方也能夠?qū)⑵跈?quán)轉(zhuǎn)換為期貨合約方式履約（在期權(quán)合約要求敲定價格水平取得一個對應(yīng)期貨部位）。3、任何期權(quán)到期不用，自動失效。假如期權(quán)是虛值，期權(quán)買方就不會行使期權(quán)，直到到期任期權(quán)失效。這么，期權(quán)買方最多損失所交權(quán)利金。第三節(jié)股票及其衍生產(chǎn)品/10/10120第三節(jié)股票及其衍生產(chǎn)品看漲期權(quán)/10/10121看漲期權(quán)一些條款：期權(quán)購置者向出售者支付費用，即期權(quán)費；在到期日，合約買方以執(zhí)行價向合約賣方支付；假如合約賣方收到買方以交易價支付，在到期日他必須交付一股股票給買方。第三節(jié)股票及其衍生產(chǎn)品/10/10122到期時利潤或損失：在期權(quán)合約中，要么交易不發(fā)生；要么合約賣方向買方支付股票價格與執(zhí)行價之間價差。第三節(jié)股票及其衍生產(chǎn)品/10/10123例：歐式看漲期權(quán)假設(shè)持有通用電氣(GE)看漲期權(quán)，將在從今天算起20天后到期。執(zhí)行價是88美元，今天市場價是84美元，因為支付費用超出了現(xiàn)在股票價格，你可能會認(rèn)為看漲期權(quán)一文不值。但從現(xiàn)在起20天后，市場價格變得更高是完全有可能。假設(shè)到期日價格是95.5美元，那么執(zhí)行期權(quán)將盈利：若期權(quán)費是4美元，則凈利潤是3.50美元。投資回報率？。假如通用電氣（GE）股票在20天中僅僅上升到87.5美元，則看漲期權(quán)將毫無價值，同時投資損失？。第三節(jié)股票及其衍生產(chǎn)品/10/10124例：美式看漲期權(quán)假設(shè)持有IBM股票美式看漲期權(quán)，該期權(quán)從現(xiàn)在算起將在15天后到期。假設(shè)執(zhí)行價是105美元，如果IBM今天市價是107美元，持有者可能會一直等到期權(quán)到期，希望從現(xiàn)在起15天之內(nèi)價格會位于107美元之上。其次，若下星期IBM股票上漲到每股112美元。對于持有美式看漲期權(quán)而言，可以立即執(zhí)行期權(quán)。如果不計算期權(quán)成本每股將獲得7美元利潤。若每一看漲期權(quán)支付4.50美元，則每一看漲期權(quán)凈利潤將是2.50美元，利潤率是?。第三節(jié)股票及其衍生產(chǎn)品/10/10125第三節(jié)股票及其衍生產(chǎn)品看跌期權(quán)/10/10126看跌期權(quán)一些條款：期權(quán)購置者向出售者支付費用，期權(quán)費；到期日，合約買方可能給合約賣方一股股票，或者等量一股股票市場價格。假如合約賣方從買方收到股票或其價格，在到期日他必須按行權(quán)價支付給買方。第三節(jié)股票及其衍生產(chǎn)品/10/10127到期時利潤或損失：看跌期權(quán)只會發(fā)生下面兩種情形中一個，要么沒有交易發(fā)生，要么合約賣方向買方支付執(zhí)行價和股價差額，合約被清算。第三節(jié)股票及其衍生產(chǎn)品/10/10128例：保護性看跌期權(quán)默克企業(yè)每股股價為50美元，某人認(rèn)為在未來數(shù)月股價將波動很大，希望盡快出售該股票。于是開始一個投資計劃，購置大約3個月到期看跌期權(quán)，執(zhí)行價格設(shè)在45美元，每一看跌期權(quán)要支付2.80美元期權(quán)費。經(jīng)過看跌期權(quán)出售股票能夠使得每股最少取得45美元。只要他持有這些股票看跌期權(quán)，就有出售這些股票最低價格確保。假如股票價格一直高于45美元最低點，看跌期權(quán)變得毫無價值。而為每個看跌期權(quán)支付2.80美元費用能夠認(rèn)為是“保險”費用。第三節(jié)股票及其衍生產(chǎn)品/10/10129第一，期權(quán)時間價值。即使在到期日以前任何時間，歐式期權(quán)都有價值，因為它提供了未來執(zhí)行權(quán)利可能性。比如，以GM企業(yè)股票為標(biāo)物一個期權(quán)，其執(zhí)行價格為40美元，到期日為三個月。假設(shè)GM公股票現(xiàn)在價格為37美元。顯然，在接下來三個月中，該股票價格有可能上漲而超出40美元，從而有執(zhí)行該期權(quán)而取得利潤可能。哪些原因影響期權(quán)價格？/10/10130第二，執(zhí)行價格一個看漲期權(quán)，其執(zhí)行價格越小，股票價格超出可能性就越大，這種看漲期權(quán)也就越有價值。對于看跌期權(quán)，結(jié)果恰好相反。第三，標(biāo)股票價格方差在投資過程中，投資者偏好以方差較大股票為標(biāo)物期權(quán)。方差越大，股票價格超出執(zhí)行價格概率越大，這種期權(quán)對投資者也就越有價值。/10/10131因為只有當(dāng)股票價格大于執(zhí)行價格時，我們才能從期權(quán)合約中取得收益。股票價格分布方差越大，股票價格超出執(zhí)行價格概率也就越大，我們?nèi)〉檬找娓怕室簿驮酱蟆Ｋ?，我們偏好以方差較大股票為標(biāo)物期權(quán)。期權(quán)價值與標(biāo)資產(chǎn)價值之間重大差異：假如持有標(biāo)資產(chǎn)，我們?nèi)〉檬找婵赡苄杂蓸?biāo)資產(chǎn)價格整個概率分布決定。作為風(fēng)險厭惡者，我們不喜歡高風(fēng)險。假如我們持有期權(quán)，我們?nèi)〉檬找婵赡苄杂蓸?biāo)資產(chǎn)價格尾部概率分布決定。期權(quán)這種性質(zhì)使得大方差更含有吸引力。/10/10132第四，無風(fēng)險利率在全部原因里，這個原因是最不直觀。普通說來，無風(fēng)險利率越大，執(zhí)行價格現(xiàn)值也就越小，這么期權(quán)也就越有價值。而且，當(dāng)市場處于均衡狀態(tài)時，無風(fēng)險利率越大，股票回報率也應(yīng)該越高。從而，在到期日，股票價格也應(yīng)該越高，這時，期權(quán)價格也應(yīng)該越高。第五，標(biāo)資產(chǎn)價格/10/10133在確定歐式看漲期權(quán)價格時，有五種原因是主要：標(biāo)資產(chǎn)價格，期權(quán)執(zhí)行價格，標(biāo)資產(chǎn)價格方差，到期日（實際應(yīng)該是剩下到期時間），以及無風(fēng)險利率。把歐式看漲期權(quán)價格寫成以下函數(shù)形式：/10/10134補充：權(quán)證

1.權(quán)證定義和分類權(quán)證（warrants）是指標(biāo)證券發(fā)行人或其以外第三人發(fā)行，約定持有人在規(guī)定時間內(nèi)或特定到期日，有權(quán)按約定價格向發(fā)行人購買或出售標(biāo)證券，或以現(xiàn)金結(jié)算方式收取結(jié)算差價有價證券。權(quán)證本質(zhì)上是一份有關(guān)普通股期權(quán)。/10/101352.權(quán)證分類（1）按買賣方向可分為認(rèn)購權(quán)證和認(rèn)沽權(quán)證。（2）按權(quán)利行使期限可分為美式行權(quán)、歐式行權(quán)和百慕大混合式行權(quán)

（3）按發(fā)行人不一樣可分為股本權(quán)證和備兌權(quán)證（4）按行權(quán)價格是否高于標(biāo)證券價格，可分為價內(nèi)權(quán)證，價平權(quán)證和價外權(quán)證。（5）按結(jié)算方式不一樣可分為證券給付結(jié)算方式和現(xiàn)金結(jié)算方式/10/101363.權(quán)證交易無需開設(shè)新賬戶：已經(jīng)有股票賬戶投資者不用開設(shè)新賬戶。在購置權(quán)證之前，投資者需簽署《權(quán)證業(yè)務(wù)風(fēng)險揭示書》。交易采取T＋0：與股票漲跌幅采取10%百分比限制不一樣，權(quán)證漲跌幅是以漲跌幅價格而不是百分比來限制。

權(quán)證漲幅價格＝權(quán)證前一日收盤價格＋(標(biāo)證券當(dāng)日漲幅價格-標(biāo)證券前一日收盤價)×125%×行權(quán)百分比；

權(quán)證跌幅價格＝權(quán)證前一日收盤價格-(標(biāo)證券前一日收盤價-標(biāo)證券當(dāng)日跌幅價格)×125%×行權(quán)百分比/10/101374.投資權(quán)證風(fēng)險（1）權(quán)證到期價值為零時效性風(fēng)險。（2）權(quán)證交易價格大幅波動風(fēng)險。（3）權(quán)證價格誤判風(fēng)險。（4）權(quán)證持有些人到期無法行權(quán)履約風(fēng)險。（5）價格被操縱風(fēng)險。/10/10138表-五項原因?qū)?quán)證價值作用方向

5.權(quán)證定價/10/10139第四節(jié)期貨合約FuturesContracts定價

期貨合約指由期貨交易所統(tǒng)一制訂、要求在未來某一特定時間和地點交割一定數(shù)量和質(zhì)量實物商品或金融商品標(biāo)準(zhǔn)化合約。/10/10140期貨合約與遠(yuǎn)期合約比較標(biāo)準(zhǔn)化程度不一樣

交易場所不一樣

違約風(fēng)險不一樣

價格確定方式不一樣

履約方式不一樣

結(jié)算方式不一樣

/10/10141期貨交易特征

期貨合約買賣在交易所進行；期貨合約買者或賣者可在交割日之前采取對沖交易以結(jié)束其期貨頭寸（即平倉），而無須進行最終實物交割。

期貨合約合約規(guī)模、交割日期、交割地點等都是標(biāo)準(zhǔn)化，即在合約上有明確要求，無須雙方再約定。

期貨交易是天天進行結(jié)算，而不是到期一次性進行。

/10/10142股票期貨：若購置者同意在未來第T天買入一股股票。同時購置者和出售者希望確定價格為X美元，當(dāng)購置者買入股票時他應(yīng)該以這個價格支付給出售者相關(guān)費用。X定為多少？第四節(jié)期貨合約定價/10/10143第四節(jié)期貨合約定價是否存在：/10/10144第四節(jié)期貨合約定價是否存在極端情況：存在，當(dāng)股價下降到此時，誰受損？

/10/10145持有你借來并賣空股票股票持有者！第四節(jié)期貨合約定價/10/10146股票期貨價格第四節(jié)期貨合約定價/10/10147商品期貨及其定價商品期貨指標(biāo)資產(chǎn)是實物資產(chǎn)期貨。主要包含：金屬期貨、農(nóng)產(chǎn)品期貨、能源產(chǎn)品期貨、不動產(chǎn)期貨。/10/10148商品期貨及其定價商品期貨定價不遵照股票期貨規(guī)則，主要原因：1.商品無法賣空。2.與股票不一樣是，新增加當(dāng)期商品（比如農(nóng)作物）不停進入市場，增加了供給。比如書上表1-13.商品有儲存成本，使得越晚交割期貨合約價格上漲，而不是下降。/10/10149

商品期貨定價公式：

其中，

s（t）：t期標(biāo)資產(chǎn)市場價格

；

T：期貨最終交割日。

t：現(xiàn)在時間

u

：持有成本（成本率）

r：無風(fēng)險利率

/10/10150一、債券債券基本形式是一項負(fù)債，它反應(yīng)了借貸人，亦即債券出售者，在某一指定時間償還借款以及約定利息承諾。第五節(jié)債券市場/10/10151債券有兩種主要形式：貼現(xiàn)債券和附息債券貼現(xiàn)債券（或零息債券），在到期日僅僅支付買方債券票面價值。附息債券，在到期日支付面值，同時在債券整個生命周期還定時支付固定票面利率。第五節(jié)債券市場/10/10152二、收益率第五節(jié)債券市場票面利率：以債券面值百分比形式按年計算定時支付。當(dāng)前收益率：以當(dāng)前市場價格百分比形式計算每年支付。到期收益率：假如購置并持有至到期，債券支付收益百分比率。/10/10153到期收益率第五節(jié)債券市場（2-4）（2-5）/10/10154即期利率（spotrate）指從當(dāng)前時點開始至未來某一時點止利率，有時也稱零息債券收益率（Zero-couponyield）。遠(yuǎn)期利率（forwardrate）指從未來某時點開始至未來另一時點止利率。即期1年利率012遠(yuǎn)期1年利率三、即期利率和遠(yuǎn)期利率第五節(jié)債券市場/10/10155遠(yuǎn)期利率推導(dǎo)條件T*年即期連續(xù)利率為r*T年即期連續(xù)利率為r，T<T*求從第T年開始T*-T年遠(yuǎn)期利率fr0TT*fr*第五節(jié)債券市場/10/10156資產(chǎn)組合直接以r*年利率投資T*年以r年利率投資T年，然后以f遠(yuǎn)期利率投資T*-T年。二者收益率應(yīng)該是一致。（假設(shè)都是無風(fēng)險利率）第五節(jié)債券市場/10/10157普通地，r1是T1年利率，r2是較長久限T2年利率，則T1和T2之間遠(yuǎn)期利率為：第五節(jié)債券市場/10/10158例：一年期利率為8%，二年期利率為8.5%，計算f(1,2)第五節(jié)債券市場/10/10159四、收益率曲線

這表明，假如，那么，所以遠(yuǎn)期利率高于即期利率。這種情況下，讓趨近于，由此趨近于，從時間開始非常短時間遠(yuǎn)期利率是：第五節(jié)債券市場/10/10160第五節(jié)債券市場瞬時遠(yuǎn)期利率(2-8)/10/10161一、遠(yuǎn)期利率協(xié)議（ForwardRateAgreements）指是協(xié)議雙方約定在未來某個確定時間按照確定數(shù)額、利率和期限進行借貸合約。遠(yuǎn)期利率協(xié)議普通不進行實際借貸，而是以約定利率與市場利率差額現(xiàn)金結(jié)算。圖示012簽署協(xié)議借貸還本付息012簽署協(xié)議現(xiàn)金結(jié)算第六節(jié)利率期貨/10/10162二、短期國債例：91天期限短期國債報價8，即每360天所得利息為面值8%。1000.0891/360=2.022.即為91天利息。美國短期國債現(xiàn)金價格與報價關(guān)系式：P=(100-Y)360/nP為報價，Y為現(xiàn)金價格，n為短期債券。第五節(jié)利率期貨/10/10163第五節(jié)利率期貨三、長久國債針對面值100國債以美元和美元1/32為單位報價。比如報價96-08，即為96.25美元/100美元面值。例：95-05即10000面值債券價格為報價稱為純凈價；現(xiàn)金價格成為帶息價格?，F(xiàn)金價格=報價+從上一付息日以來累計利息。/10/10164第五節(jié)利率期貨例：假設(shè)現(xiàn)在3月5日，息票率11%，到期日年7月10日，報價95-16，每六個月支付一次利息（最終一次付息在到期日）面值100元。解：前一次付息日1月10日，下一次7月10日，則1月10日-3月5日之間54天。1月10日-7月10日共181天。累計利息（54/181）5.5=1.64該債券現(xiàn)金價格為/10/10165二、中長久國債期貨中期國債期貨：離到期日還有6.5-國債均能夠作為交割品。5年期國債期貨最新發(fā)行4種5年期國債均可作為交割品。長久國債期貨：離到期日還有以上不可贖回國債或者離贖回日還有以上國債均可作為交割品。標(biāo)準(zhǔn)品為期，息票率8%國債。其它國債均需計算轉(zhuǎn)換因子，確定交割實際價格。第六節(jié)利率期貨/10/10166中長久國債期貨價格凈價（CleanPrice）與全價（DirtyPrice）報價均為凈價，即不包含應(yīng)計利息價格。交割時價格為全價，即凈價加上應(yīng)計利息。全價＝報價＋從上一付息日到現(xiàn)在應(yīng)計債券利息第六節(jié)利率期貨/10/10167三、轉(zhuǎn)換因子(ConversionFactors)期限在以上國債基本上都能夠用于長久國債期貨交割。不一樣期限與息票率長久國債價值用轉(zhuǎn)換因子進行換算。四、交割價格交割價格＝期貨報價×轉(zhuǎn)換因子＋債券應(yīng)計利息第六節(jié)利率期貨/10/10168五、最正確交割債券(Cheapest-to-DeliverBond)交割收益最高債券為最正確交割債券。交割成本＝債券市價＋應(yīng)計利息交割收入＝期貨報價×轉(zhuǎn)換因子＋應(yīng)計利息交割收益＝期貨報價×轉(zhuǎn)換因子－債券市價第六節(jié)利率期貨/10/10169第六節(jié)利率期貨六、利率期貨價格決定——債券全部利息支付現(xiàn)值——債券現(xiàn)在價格——期貨合約到期時間——現(xiàn)在時間

/10/10170例：假定對某一長久國債期貨一直最正確價格債券息票率12%，轉(zhuǎn)換因子1.6，270天后交割，每六個月付息一次，上一次券息支付為60天之前，下次為122天之后，再一次為305天以后，年利率10%，假設(shè)債券報價115，求期貨報價。60天122天148天現(xiàn)在付息期貨到期付息付息35天上一次付息至今60/（60+122）6=1.978債券現(xiàn)金價格115+1.978=116.978在122天后，收到6元利息，貼現(xiàn)值為所以，期貨現(xiàn)金價格債券交割時，會產(chǎn)生148天應(yīng)計利息6148/（148+35）=4.852期貨報價為/10/10171第八節(jié)外匯一、外匯交易即期外匯交易遠(yuǎn)期外匯交易外匯套利交易外匯期貨交易外匯期權(quán)交易外匯交易方式外匯掉期交易傳統(tǒng)交易方式外匯市場交易衍生交易方式衍生市場交易外匯交換交易/10/10172（1）外匯期權(quán)交易可用來防止外匯風(fēng)險假設(shè)有一家香港進口商，進口了價值100萬美元貨物，3個月后付款，為了預(yù)防因美元對港元匯率上升而蒙受損失，他能夠買入價值100萬港元對美元美元看漲期權(quán)，協(xié)議匯率（strikingprice）為$1=HK$7.7586，則該進口商能夠1美元兌7.7586港元固定價格在未來3個月任一天內(nèi)購入美元以支付進口貨款。設(shè)購置當(dāng)日即期匯率為$1=HK$7.7570（執(zhí)行價格；exerciseprice），期權(quán)費率（premium）為1.85%，則其保值所費單位成本為1美元遠(yuǎn)期溢價0.0016港元加上期權(quán)費0.0185港元，共為0.0201，總成本為100×0.0201＝2.01萬港元。第八節(jié)外匯/10/10173（2）外匯期權(quán)也能夠用于外匯投機某投機者購入價值100萬港元對美元美元看漲期權(quán)，協(xié)議匯率為7.7586HK$/$，期權(quán)費率為1美元0.0185港元，那么只要在期權(quán)使用期內(nèi)美元匯率升至7.7771HK$/$（7.7586＋0.0185）以上，就有利可圖。設(shè)美元匯率升至7.7781HK$/$，則該期權(quán)買方行使期權(quán)按7.7586HK$/$協(xié)議匯率購入100萬美元后，再按7.7781HK$/$即期市場匯率出售，可獲外匯增值1.95萬（0.0195×100）港元，扣除1.85萬港元期權(quán)費后，可獲凈利0.1萬港元。一樣道理，若投機者預(yù)期某外匯匯率有下降趨勢，能夠購置看跌期權(quán)，此時只要在期權(quán)使用期內(nèi)該外匯匯率下跌幅度超出了投機者購置期權(quán)成本，也可贏利。第八節(jié)外匯/10/10174第八節(jié)外匯二、貨幣期貨價格計算考慮美元和歐元貨幣期貨：在時間T，A將交付1歐元給B，B反過來會在那時支付A一定數(shù)量美元。求期貨公平價格，即在時間T，A每歐元向B要價多少？/10/10175第三章資產(chǎn)組合復(fù)制和套利第一節(jié)衍生產(chǎn)品定價三種方法第二節(jié)博弈論方法第三節(jié)資產(chǎn)組合復(fù)制第四節(jié)概率方法第五節(jié)風(fēng)險第六節(jié)多期二叉樹和套利/10/10176第一節(jié)衍生產(chǎn)品定價三種方法某股票現(xiàn)價為100美元，在一年后股價能夠是90美元或120美元，概率并未給定，即期利率是5%。一年之后到期執(zhí)行價為105美元股票期權(quán)公平價格是多少？/10/10177三種方法博弈論方法資產(chǎn)組合復(fù)制方法概率方法或期望價值方法第一節(jié)衍生產(chǎn)品定價三種方法/10/10178兩個假定：第一，到期日價格只能是兩種特定價格中一個；第二，第一個假設(shè)對三種方法都適用。第一節(jié)衍生產(chǎn)品定價三種方法/10/10179博弈論研究是理性人之間怎樣進行策略選擇。第二節(jié)博弈論方法/10/10180第二節(jié)博弈論方法若期權(quán)價格為，股票價格為，結(jié)構(gòu)以下資產(chǎn)組合：買入股期權(quán)和股股票，若或表示賣空。則時資產(chǎn)組合價值這里、是未知。當(dāng)時：/10/10181第二節(jié)博弈論方法一、約減隨機項讓不取決于股價漲跌

該項策略表明應(yīng)該賣出兩股期權(quán)同時買入一股股票。

/10/10182二、期權(quán)定價第二節(jié)博弈論方法解得：/10/10183三、套利若做市商愿意以7.25美元價格購置期權(quán)，此時期權(quán)價格被高估了，于是出現(xiàn)套利空間。策略1：買入1股股票，賣出2股期權(quán)。成本：第二節(jié)博弈論方法/10/101841年末沖銷該頭寸：投資組合：股票——期權(quán)凈值為90美元；償還債務(wù)本利：于是無風(fēng)險利潤：。第二節(jié)博弈論方法/10/10185若做市商以7.00美元價格提供期權(quán)，現(xiàn)在期權(quán)價格被低估了。

怎樣操作？第二節(jié)博弈論方法/10/10186策略2：逆向操作：買入2股期權(quán)，而賣出1股股票。（無風(fēng)險利潤：$0.30）

第二節(jié)博弈論方法/10/10187結(jié)論：期權(quán)價格一旦偏離理論價格一定幅度，投資者或者套利者能夠利用這個機會經(jīng)過大量買賣期權(quán)和股票賺取無風(fēng)險利潤。能夠認(rèn)為：市場反應(yīng)快，以至任何可利用套利機會已經(jīng)被利用，整個市場已不存在套利機會。第二節(jié)博弈論方法/10/10188四、普通公式第二節(jié)博弈論方法/10/10189

結(jié)構(gòu)資產(chǎn)組合：買入1股衍生產(chǎn)品和賣空股票。資產(chǎn)組合初始價值為：

選擇，使得資產(chǎn)組合價值與股票最終價值無關(guān)第二節(jié)博弈論方法/10/10190第二節(jié)博弈論方法Δ量，期權(quán)價值改變與股票價格改變之比/10/10191第二節(jié)博弈論方法資產(chǎn)組合初始價值：資產(chǎn)組合最終價值：

若無風(fēng)險利率為r，時間長度為則/10/10192于是得到衍生產(chǎn)品定價公式：

(3-1)不然，市場將會出現(xiàn)無風(fēng)險套利機會。怎樣證實？第二節(jié)博弈論方法/10/10193第三節(jié)資產(chǎn)組合復(fù)制一、背景/10/10194第三節(jié)資產(chǎn)組合復(fù)制二、資產(chǎn)組合匹配

包含a單位股票和b單位現(xiàn)金，無風(fēng)險資產(chǎn)利率為r，則在t=0時：/10/10195（3-2）第三節(jié)資產(chǎn)組合復(fù)制

于是資產(chǎn)組合價值和衍生證券價值一致，該資產(chǎn)組合復(fù)制了衍生證券V。/10/10196第三節(jié)資產(chǎn)組合復(fù)制（3-3）依據(jù)（3-2）解得：/10/10197第三節(jié)資產(chǎn)組合復(fù)制將U和D分開得/10/10198（3-4）第三節(jié)資產(chǎn)組合復(fù)制其中/10/10199三、期望價值定價方法無套利定價概率（風(fēng)險中性概率）第三節(jié)資產(chǎn)組合復(fù)制（3-5）（3-6）/10/10200第三節(jié)資產(chǎn)組合復(fù)制怎樣了解式（3-5）可表示概率？/10/10201第三節(jié)資產(chǎn)組合復(fù)制定義:命題:風(fēng)險中性概率測度必是線性定價測度定理:市場無套利當(dāng)且僅當(dāng)存在風(fēng)險中性概率測度/10/10202四、怎樣記憶用來定價概率

第三節(jié)資產(chǎn)組合復(fù)制/10/10203（3-7）第三節(jié)資產(chǎn)組合復(fù)制/10/10204

例股票現(xiàn)在價格為50美元。一年后，它價格可能是55美元或40美元。一年期利率為4％?，F(xiàn)計算兩種看漲期權(quán)價格，一個執(zhí)行價為48美元，另一個執(zhí)行價為53美元。同時，為一執(zhí)行價為45美元看跌期權(quán)定價。第三節(jié)資產(chǎn)組合復(fù)制/10/10205第四節(jié)概率方法若已知股價為100美元，未來上漲時價格為l20美元，下跌時價格為90美元。假設(shè)觀察一年市場行為，股票上漲概率合理選擇(見圖3-5)，是使股票期望回報大致在15％左右，該回報比將100美元投資于安全銀行賬戶要高得多。(

)。/10/10206第四節(jié)概率方法/10/10207第四節(jié)概率方法引入一個假想投資者(HypothesisInvestor)，從此以后稱為H．I．，其有以下特征：（1）H．I．為風(fēng)險中性投資者，這與保守投資者有很大差異。一位風(fēng)險中性投資者是風(fēng)險無差異，即對于他來說，確定得到1美元投資并不比期望值為1不確定性投資更有吸引力。大多數(shù)人并非風(fēng)險中性。（2）對于H．I．而言，同等回報股票和無風(fēng)險投資之間是沒有差異。/10/10208第四節(jié)概率方法

結(jié)構(gòu)一個包含1股股票資產(chǎn)組合，則美元，且一年以后以無風(fēng)險利率投資100美元，則一年后得105（r=0.05）風(fēng)險中性投資者，將這些投資同等對待，即：/10/10209

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