精選優(yōu)質(zhì)文檔-----傾情為你奉上精選優(yōu)質(zhì)文檔-----傾情為你奉上專心---專注---專業(yè)專心---專注---專業(yè)精選優(yōu)質(zhì)文檔-----傾情為你奉上專心---專注---專業(yè)考研數(shù)學(xué)講座（1）考好數(shù)學(xué)的基點“木桶原理”已經(jīng)廣為人所知曉。但真要在做件事時找到自身的短處，下意識地有針對性地采取措施，以求得滿意的結(jié)果。實在是一件不容易的事。

非數(shù)學(xué)專業(yè)的本科學(xué)生與數(shù)學(xué)專業(yè)的學(xué)生的最基本差別，在于概念意識。數(shù)學(xué)科學(xué)從最嚴密的定義出發(fā)，在準確的概念與嚴密的邏輯基礎(chǔ)上層層疊疊，不斷在深度與廣度上發(fā)展。形成一棵參天大樹。

在《高等數(shù)學(xué)》中，出發(fā)點處就有函數(shù)，極限，連續(xù)，可導(dǎo)，可微等重要概念。

在《線性代數(shù)》的第一知識板塊中，最核心的概念是矩陣的秩。而第二知識板塊中，則是矩陣的特征值與特征向量。

在《概率統(tǒng)計》中，第一重要的概念是分布函數(shù)。不過，《概率》不是第一層次基礎(chǔ)課程。學(xué)習(xí)《概率》需要學(xué)生有較好的《高等數(shù)學(xué)》基礎(chǔ)。

非數(shù)學(xué)專業(yè)的本科學(xué)生大多沒有概念意識，記不住概念。更不會從概念出發(fā)分析解決問題?；A(chǔ)層次的概念不熟，下一層次就云里霧里了。這是感到數(shù)學(xué)難學(xué)的關(guān)鍵。

大學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)目的，通常只是為了滿足相關(guān)本科專業(yè)的需要。教師們在授課時往往不會太重視，而且也沒時間來進行概念訓(xùn)練?？佳袛?shù)學(xué)目的在于選拔，考題中基本概念與基本方法并重。這正好擊中考生的軟肋。在考研指導(dǎo)課上，往往會有學(xué)生莫名驚詫，“大一那會兒學(xué)的不一樣。”原因就在于學(xué)過的概念早忘完了。做考研數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)，首先要在基本概念與基本運算上下足功夫。按考試時間與分值來匹配，一個4分的選擇題平均只有5分鐘時間。而這些選擇題卻分別來自三門數(shù)學(xué)課程，每個題又至少有兩個概念。你可以由此體驗選拔考試要求你對概念的熟悉程度。

從牛頓在碩士生二年級的第一篇論文算起，微積分有近四百年歷史。文獻浩如煙海，知識千錘百煉。非數(shù)學(xué)專業(yè)的本科生們所接觸的，只是初等微積分的一少部分。方法十分經(jīng)典，概念非常重要。學(xué)生們要做的是接受，理解，記憶，學(xué)會簡單推理。當你面對一個題目時，你的自然反應(yīng)是，“這個題目涉及的概念是---”，而非“在哪兒做過這道題”，才能算是有點入門了。

你要考得滿意嗎？基點不在于你看了多少難題，關(guān)鍵在于你是否對基本概念與基本運算非常熟悉。陽春三月風(fēng)光好，抓好基礎(chǔ)正當時?？佳袛?shù)學(xué)講座（2）筆下生花花自紅在愛搞運動的那些年代里，數(shù)學(xué)工作者們經(jīng)常受到這樣的指責(zé)，“一支筆，一張紙，一杯茶，鬼畫桃符，脫離實際?！卑l(fā)難者不懂基礎(chǔ)研究的特點，不懂得考慮數(shù)學(xué)問題時“寫”與“思”同步的重要性。也許是計算機廣泛應(yīng)用的影響，今天的學(xué)生們學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)時，也不太懂得“寫”的重要性?？佳械膶W(xué)生們，往往拿著一本厚厚的考研數(shù)學(xué)指導(dǎo)資料，看題看解看答案或看題想解翻答案。動筆的時間很少。數(shù)學(xué)書不比小說?？磾?shù)學(xué)書和照鏡子差不多，鏡子一拿走，印象就模糊。

科學(xué)的思維是分層次的思維。求解一個數(shù)學(xué)問題時，你不能企圖一眼看清全路程。你只能踏踏實實地考慮如何邁出第一步。或“依據(jù)已知條件，我首先能得到什么？”（分析法）；或“要證明這個結(jié)論，就是要證明什么？”（綜合法）。在很多情形下，寫出第一步與不寫的感覺是完全不同的。下面是一個簡單的例。

“連續(xù)函數(shù)與不連續(xù)函數(shù)的和會怎樣？”

寫成“連續(xù)A+不連續(xù)B=？”后就可能想到，只有兩個答案，分別填出來再說。（窮盡法）。

如果，“連續(xù)A+不連續(xù)B=連續(xù)C”移項，則“連續(xù)C－連續(xù)A=不連續(xù)B”

這與定理矛盾。所以有結(jié)論：連續(xù)函數(shù)與不連續(xù)函數(shù)的和一定不連續(xù)。

有相當一些數(shù)學(xué)定義，比如“函數(shù)在一點可導(dǎo)”，其中包含有計算式。能否掌握并運用這些定義，關(guān)鍵就在于是否把定義算式寫得滾瓜爛熟。比如，

題面上有已知條件f′(1)＞0，概念深，寫得熟的人立刻就會先寫出

h趨于0時，lim(f(1+h)－f(1）)/h＞0。然后由此自然會聯(lián)想到，下一步該運用極限的性質(zhì)來推理。而寫不出的人就抓瞎了。又比如《線性代數(shù)》中特征值與特征向量有定義式Aα=λα，α≠0，要是移項寫成（A－λE）α=0，α≠0，

這就表示α是齊次線性方程組（A－λE）X=0的非零解，進而由理論得到算法。

數(shù)學(xué)思維的特點之一是“發(fā)散性”。一個數(shù)學(xué)表達式可能有幾個轉(zhuǎn)換方式，也許從其中一個方式會得到一個新的解釋，這個解釋將導(dǎo)引我們邁出下一步。

車到山前自有路，你得把車先推到山前啊。望山跑死馬。思考一步寫一步，觀測分析邁下步。路只能一步步走。陳景潤那篇名揚世界的“1+2”論文中有28個“引理”，那就是他艱難地走向輝煌的28步。

對于很多考生來說，不熟悉基本計算是他們思考問題的又一大障礙?！陡叩葦?shù)學(xué)》感覺不好的考生，第一原因多半是不會或不熟悉求導(dǎo)運算。求導(dǎo)運算差，討論函數(shù)的圖形特征，積分，解微分方程等，反應(yīng)必然都慢?！毒€性代數(shù)》中矩陣的乘法與矩陣乘積的多種分塊表達形式，那是學(xué)好線性代數(shù)的訣竅。好些看似很難的問題，選擇一個分塊變形就明白了?！陡怕式y(tǒng)計》中，要熟練地運用二重積分來計算二維連續(xù)型隨機變量的各類問題。對于考數(shù)學(xué)三的同學(xué)來說，二重積分又是《高等數(shù)學(xué)》部分年年必考的內(nèi)容。掌握了二重積分，就能在兩類大題上得分。

要考研嗎，要去聽指導(dǎo)課嗎，一定要自己先動筆，盡可能地把基本計算練一練。我一直向考生建議，臨近考試的一段時間里，不仿多自我模擬考試。在限定的考試時間內(nèi)作某年研考的全巻。中途不翻書，不查閱，憑已有能力做到底?？纯闯煽兌嗌?。不要以為你已經(jīng)看過這些試卷了。就算你知道題該怎么做，你一寫出來也可能會面目全非。多動筆啊，“寫”“思”同步步履輕，筆下生花花自紅?？佳袛?shù)學(xué)講座（3）極限概念要體驗極限概念是微積分的起點。說起極限概念的歷史，學(xué)數(shù)學(xué)的都多少頗為傷感。

很久很久以前，西出陽關(guān)無蹤影的老子就體驗到，“一尺之竿，日取其半，萬世不竭?！苯鼉汕昵埃媸细缸臃謩e用園的內(nèi)接正6n邊形周長替帶園周長以計算園周率；用分割曲邊梯形為n個窄曲邊梯形，進而把窄曲邊梯形看成矩形來計算其面積。他們都體驗到，“割而又割，即將n取得越來越大，就能得到越來越精確的園周率值或面積?！眹藰銓嵉捏w驗延續(xù)了一千多年，最終沒有思維升華得到極限概念。而牛頓就在這一點上率先突破。極限概念起自于對“過程”的觀察。極限概念顯示著過程中兩個變量發(fā)展趨勢的關(guān)聯(lián)。

自變量的變化趨勢分為兩類，一類是x→x。；一類是x→∞

“當自變量有一個特定的發(fā)展趨勢時，相應(yīng)的函數(shù)值是否無限接近于一個確定的數(shù)a？”如果是，則稱數(shù)a為函數(shù)的極限?！盁o限接近”還不是嚴密的數(shù)學(xué)語言。但這是理解極限定義的第一步，最直觀的一步。學(xué)習(xí)極限概念，首先要學(xué)會觀察，了解過程中的變量有無一定的發(fā)展趨勢。學(xué)習(xí)體驗相應(yīng)的發(fā)展趨勢。其次才是計算或討論極限值。自然數(shù)列有無限增大的變化趨勢。按照游戲規(guī)則，我們還是說自然數(shù)列沒有極限。自然數(shù)n趨于無窮時，數(shù)列1/n的極限是0；x趨于無窮時，函數(shù)1/x的極限是0；

回顧我們最熟悉的基本初等函數(shù)，最直觀的體驗判斷是，

x趨于正無窮時，正指數(shù)的冪函數(shù)都與自然數(shù)列一樣，無限增大，沒有極限。

x趨于正無窮時，底數(shù)大于1的指數(shù)函數(shù)都無限增大，沒有極限。

x→0+時，對數(shù)函數(shù)lnx趨于－∞；x趨于正無窮時，lnx無限增大，沒有極限。

x→∞時，正弦sinx與余弦cosx都周而復(fù)始，沒有極限。在物理學(xué)中，正弦y=sinx的圖形是典型的波動。

我國《高等數(shù)學(xué)》教科書上普遍都選用了“震蕩因子”sin（1/x）。當x趨于0時它沒有極限的原因是震蕩。具體想來，當x由0.01變?yōu)?.001時，只向中心點x=0靠近了一點點，而正弦sinu卻完成了140多個周期。函數(shù)的圖形在+1與－1之間上下波動140多次。在x=0的鄰近，函數(shù)各周期的圖形緊緊地“擠”在一起，就好象是“電子云”。

當年我研究美國各大學(xué)的《高等數(shù)學(xué)》教材時，曾看到有的教材竟然把函數(shù)y=sin（1/x）的值整整印了一大頁，他們就是要讓學(xué)生更具體地體驗它的數(shù)值變化。

x趨于0時（1/x）*sin（1/x）不是無窮大，直觀地說就是函數(shù)值震蕩而沒有確定的發(fā)展趨勢。1/x為虎作倀，讓震蕩要多瘋狂有多瘋狂。更深入一步，你就得體驗，在同一個過程中，如果有多個變量趨于0，（或無限增大。）就可能有的函數(shù)趨于0時（或無限增大時）“跑得更快”。這就是高階，低階概念。

考研數(shù)學(xué)還要要求學(xué)生對極限有更深刻的體驗。多少代人的千錘百煉，給微積分鑄就了自己的倚天劍。這就是一套精密的極限語言，（即ε–δ語言）。沒有這套語言，我們沒有辦法給出極限定義，也無法嚴密證明任何一個極限問題。但是，這套語言是高等微積分的內(nèi)容，非數(shù)學(xué)專業(yè)的本科學(xué)生很難搞懂。數(shù)十年來，考研試卷上都沒有出現(xiàn)過要運用ε–δ語言的題目。研究生入學(xué)考題中，考試中心往往用更深刻的體驗來考查極限概念。這就是

“若x趨于∞時，相應(yīng)函數(shù)值f（x）有正的極限，則當∣x∣充分大時，(你不仿設(shè)定一點x。，當∣x∣＞x。時，)總有f（x）＞0”

*“若x趨于x。時，相應(yīng)函數(shù)值f（x）有正的極限，則在x。的一個適當小的去心鄰域內(nèi)，f（x）恒正”

這是已知函數(shù)的極限而回頭觀察。逆向思維總是更加困難。不過，這不正和“近朱者赤，近墨者黑”一個道理嗎。

除了上述苻號體驗外，能掌握下邊簡單的數(shù)值體驗則更好。

若x趨于無窮時，函數(shù)的極限為0，則x的絕對值充分大時，(你不仿設(shè)定一點x0，當∣x∣＞x0時，)函數(shù)的絕對值恒小于1

若x趨于無窮時，函數(shù)為無窮大，則x的絕對值充分大時，(你不仿設(shè)定一點x0，當∣x∣＞x0時，)函數(shù)的絕對值全大于1

*若x趨于0時，函數(shù)的極限為0，則在0點的某個適當小的去心鄰域內(nèi)，或x的絕對值充分小時，函數(shù)的絕對值全小于1

（你不仿設(shè)定有充分小的數(shù)δ＞0，當0＜∣x∣＜δ時，函數(shù)的絕對值全小于1）

沒有什么好解釋的了，你得反復(fù)領(lǐng)會極限概念中“無限接近”的意義。你可以試著理解那些客觀存在，可以自由設(shè)定的點x0，或充分小的數(shù)δ＞0，并利用它們?？佳袛?shù)學(xué)講座（4）“存在”與否全面看定義，是數(shù)學(xué)的基本游戲規(guī)則。所有的定義條件都是充分必要條件。

即便有了定義，為了方便起見，數(shù)學(xué)工作者們通常會不遺余力地去尋覓既與定義等價，又更好運用的描述方式。討論極限的存在性，就有如下三個常用的等價條件。

1．海涅定理

觀察x趨于x0的過程時，我們并不追溯x從哪里出發(fā)；也沒有考慮它究竟以怎樣的方式無限靠近x.0；我們總是向未來，看發(fā)展。因而最直觀的等價條件就是海涅定理：

定理（1）極限存在的充分必要條件是，無論x以何種方式趨于x0，相應(yīng)的函數(shù)值總有相同的極限A存在。

這個定理條件的“充分性”沒有實用價值。事實上我們不可能窮盡x逼近x0的所有方式。很多教科書都沒有點出這一定理，只是把它的“必要性”獨立成為極限的一條重要性質(zhì)。即唯一性定理：

“如果函數(shù)（在某一過程中）有極限存在，則極限唯一?！?/p>

唯一性定理的基本應(yīng)用之一，是證明某個極限不存在。

2．用左右極限來描述的等價條件

用ε–δ語言可以證得一個最好用也最常用的等價條件：

定理（2）極限存在的充分必要條件為左、右極限存在且相等。

這是在三類考研試題中出現(xiàn)概率都為1的考點?？佳袛?shù)學(xué)年年考連續(xù)定義，導(dǎo)數(shù)定義。本質(zhì)上就是考查極限存在性。這是因為

函數(shù)在一點連續(xù)，等價于函數(shù)在此點左連續(xù)，右連續(xù)。

函數(shù)在一點可導(dǎo)，等價于函數(shù)在此點的左、右導(dǎo)數(shù)存在且相等。

由于初等函數(shù)有較好的分析性質(zhì)。考題往往會落實到分段函數(shù)的定義分界點或特殊定義點上?？忌欢ㄒ獙Ψ侄魏瘮?shù)敏感，一定要學(xué)會在特殊點的兩側(cè)分別考察函數(shù)的左右極限。

（3）突出極限值的等價條件

考數(shù)學(xué)一，二的考生，還要知道另一個等價條件：

定理（3）函數(shù)f（x）在某一過程中有極限A存在的充分必要條件是，f（x）－A為無窮小。

從“距離”的角度來理解，在某一過程中函數(shù)f（x）與數(shù)A無限接近，自然等價于：函數(shù)值f（x）與數(shù)A的距離∣f（x）－A∣無限接近于0

如果記α=f（x）－A，在定理條件下得到一個很有用的描述形式轉(zhuǎn)換：

f（x）=A+α（無窮?。?/p>

考研題目經(jīng)常以下面三個特殊的“不存在”為素材。“存在”與否全面看。有利于我們理解前述等價條件。我用exp（）表示以e為底數(shù)的指數(shù)函數(shù)，（）內(nèi)填指數(shù)。

例1x趨于0時，函數(shù)exp（1/x）不存在極限。

分析在原點x=0的左側(cè)，x恒負，在原點右側(cè)，x恒正。所以

x從左側(cè)趨于0時，指數(shù)1/x始終是負數(shù)，故左極限f（0－0）=0，

x從右側(cè)趨于0時，函數(shù)趨向+∞，由定理（2），函數(shù)不存在極限。也不能說，x趨于0時，exp（1/x）是無窮大。

但是，在這種情形下，函數(shù)圖形在點x=0有豎直漸近線x=0

例2x趨于0時，“震蕩因子”sin（1/x）不存在極限。俗稱震蕩不存在。

分析用海涅定理證明其等價問題，“x趨于+∞時，sinx不存在極限?！?/p>

分別取x=nπ及x=2nπ兩個數(shù)列，n趨于+∞時，它們都趨于+∞，相應(yīng)的兩列正弦函數(shù)值卻分別有極限0與1，不滿足唯一性定理（定理（1））。故sinx不存在極限。（構(gòu)造法）

例3x趨于∞時，函數(shù)y=arctgx不存在極限。

分析把∞視為一個虛擬點，用定理（2）。由三角函數(shù)知識得，

x趨于+∞時，函數(shù)極限為π/2，x趨于－∞時，函數(shù)極限為－π/2，

故，函數(shù)y=arctgx不存在極限。

請注意，證明過程表明，函數(shù)y=arctgx的圖形有兩條水平漸近線。即

－∞方向有水平漸近線y=－π/2；+∞方向則有有y=π/2

例4當x→1時，函數(shù)f(x)=(exp(1/(x－1)))(x平方－1)∕(x－1)的極限

（A）等于2（B）等于0（C）為∞（D）不存在但不為∞

分析考查x→1時函數(shù)的極限，通常認為x不取1；而x≠1時，可以約去分母（x－1)，讓函數(shù)的表達式化為f(x)=(x+1)exp(1/(x－1))

左極限f（1－0）=0，x從右側(cè)趨于1時，函數(shù)趨向+∞，（選（D））

（畫外音：多爽啊。這不過是“典型不存在1”的平移。）

例5f（x）=（2+exp（1/x））∕（1+exp（4/x））+sinx∕∣x∣,求x趨于0時函數(shù)的極限。

分析絕對值函數(shù)y=|x|是典型的分段函數(shù)。x=0是其定義分界點。一看就知道必須分左右計算。如果很熟悉“典型不存在1”，這個5分題用6分鐘足夠了。實際上x→0-時，limf（x）=（2+0）/（1+0）－1=1

x→0+時，exp（1/x）→+∞，前項的分子分母同除以exp（4/x）再取極限

limf（x）=（0+0）/（0+1）+1=1

由定理（2）得x→0時，limf（x）=1

例6曲線y=exp(1/x平方)arctg（（x平方+x+1）∕(x－1)(x+2））的漸近線共有（A）1條．（B）2條。（C）3條。（D）4條。選（B）

分析先觀察x趨于∞時函數(shù)的狀態(tài)，考查曲線有無水平漸近線；再注意函數(shù)結(jié)構(gòu)中，各個因式的分母共有三個零點。即0，1和－2；對于每個零點x0，直線x=x0都可能是曲線的豎直漸近線，要逐個取極限來判斷。實際上有x→∞時，limy=π/4，曲線有水平漸近線y=π/4其中，x→∞時，limexp(1/x平方)=1；im（（x平方+x+1）∕(x－1)(x+2））=1（分子分母同除以“x平方”）

考查“嫌疑點”1和－2時，注意運用“典型不存在3”，

f（1－0）=－eπ/2；f（1+0）=eπ/2，x=1不是曲線的豎直漸近線。

類似可以算得x=－2不是曲線的豎直漸近線。

x→0時，前因式趨向+∞；后因式有極限arctg（－1/2），x=0是曲線的豎直漸近線。要想判斷準而快，熟記“三個不存在”?？戳松厦鎺桌?，你有體會嗎？

*還有兩個判斷極限存在性的定理（兩個充分條件）：

定理（4）夾逼定理——若在點x0鄰近（或|x|充分大時）恒有g(shù)(x)≤f(x)≤h(x)，且x→x0(或x→∞)時limg(x)=limh(x)=A則必有l(wèi)imf(x)=A

定理（5）單調(diào)有界的序列有極限。（或單增有上界有極限，或單減有下界有極限。）

加上講座（3）中的““近朱者赤，近墨者黑”定理”。共計六個，可以說是微分學(xué)第一組基本定理?？佳袛?shù)學(xué)講座（5）無窮小與無窮大微積分還有一個名稱，叫“無窮小分析”。

1.概念

在某一過程中，函數(shù)f（x）的極限為0，就稱f（x）（這一過程中）為無窮小。

為了回避ε–δ語言，一般都粗糙地說，無窮小的倒數(shù)為無窮大。

無窮小是個變量，不是0；y=0視為“常函數(shù)”，在任何一個過程中都是無窮小。不過這沒啥意義。

依據(jù)極限定義，無窮大不存在極限。但是在變化過程中變量有絕對值無限增大的趨勢。為了記述這個特點，歷史上約定，“非法地”使用等號來表示無窮大。（潛臺詞：并不表示極限存在。）比如

x從右側(cè)趨于0時，limlnx=－∞；x從左側(cè)趨于π/2時，limtgx=+∞

無窮大與無界變量是兩個概念。無窮大的觀察背景是過程，無界變量的判斷前提是區(qū)間。無窮小和無窮大量的名稱中隱含著它們（在特定過程中）的發(fā)展趨勢。在適當選定的區(qū)間內(nèi)，無窮大量的絕對值沒有上界。

y=tgx（在x→π/2左側(cè)時）是無窮大。在（0，π/2）內(nèi)y=tgx是無界變量

x趨于0時，函數(shù)y=（1/x）sin（1/x）不是無窮大，但它在區(qū)間（0，1）內(nèi)無界。

不仿用高級語言來作個對比。任意給定一個正數(shù)E，不管它有多大，當過程發(fā)展到一定階段以后，無窮大量的絕對值能全都大于E；而無界變量只能保證在相應(yīng)的區(qū)間內(nèi)至少能找到一點，此點處的函數(shù)絕對值大于E。

2.運算與比較

有限個無窮小量的線性組合是無窮小；“∞－∞”則結(jié)果不確定。

乘積的極限有三類可以確定：

有界變量?無窮小=無窮小無窮小?無窮小=（高階）無窮小無窮大?無窮大=（高階）無窮大

其它情形都沒有必然的結(jié)果，通通稱為“未定式”。

例10作數(shù)列x=1，0，2，0，3，0，---，0，n，0，---

y=0，1，0，2，0，3，0，---，0，n，0，---

兩個數(shù)列顯然都無界，但乘積xy是零數(shù)列。這表示可能會有無界?無界=有界

兩個無窮小的商求極限，既是典型的未定式計算，又有深刻的理論意義。即“無窮小的比較”。如果極限為1，分子分母為等價無窮??；極限為0，分子是較分母高階的無窮?。粯O限為其它實數(shù)，分子分母為同階無窮小。

無窮大有類似的比較。

無窮?。o窮大）的比較是每年必考的點。

x趨于0時，α=xsin（1/x）和β=x都是無窮小，且顯然有∣α∣≤∣β∣；但它們的商是震蕩因子sin（1/x），沒有極限。兩個無窮小不能比較。這既說明了存在性的重要，又顯示了震蕩因子sin（1/x）的用途。能夠翻閱《分析中的反例》的同學(xué)可以在其目錄頁中看到，很多反例都用到了震蕩因子。

回到基本初等函數(shù)，我們看到

x趨于+∞時，y=x的μ次方，指數(shù)μ＞0的冪函數(shù)都是無窮大。且習(xí)慣地稱為μ階無窮大。

（潛臺詞：這多象汽車的1檔，2檔，---，啊。）

x趨于+∞時，底數(shù)大于1的指數(shù)函數(shù)都是無窮大；底數(shù)小于1的都是無窮小。

x趨于+∞或x趨于0+時，對數(shù)函數(shù)是無窮大。

x趨于∞時，sinx及cosx都沒有極限。正弦，余弦，反三角函數(shù)（在任何區(qū)間上）都是有界變量。

請體驗一個很重要也很有趣的事實。

（1）x→+∞時，lim（x的n次方）∕exp（x）=0，這表明：

“x趨于+∞時，指數(shù)函數(shù)exp（x）是比任意高次方的冪函數(shù)都還要高階的無窮大?！被蛘哒f，“x趨于+∞時，函數(shù)exp（－x）是任意高階的無窮小?！?/p>

（2）x→+∞時，limlnx∕（x的δ次方）=0；δ是任意取定的一個很小的正數(shù)。這表明：“x趨于+∞時，對數(shù)函數(shù)lnx是比x的δ次方都還要低階的無窮大?！?/p>

在數(shù)學(xué)專業(yè)方向，通常稱冪函數(shù)（x的n次方）為“緩增函數(shù)”；稱exp（－x）為“速降函數(shù)”。只需簡單地連續(xù)使用洛必達法則就能求出上述兩個極限。它讓我們更深刻地理解了基本初等函數(shù)。如果只知道極限值而不去體驗，那收獲真是很小很小。

例11函數(shù)f(x)=xsinx（A）當x→∞時為無窮大。（B）在（－∞，+∞）內(nèi)有界。

（C）在（－∞，+∞）內(nèi)無界。（D）在時有有限極限。

分析這和y=（1/x）sin（1/x）在x趨于0時的狀態(tài)一樣。（選（C））

例12設(shè)有數(shù)列Xn，具體取值為若n為奇數(shù)，Xn=（n平方+√n）∕n；若n為偶數(shù)，Xn=1∕n

則當n→∞時，Xn是（A）無窮大量（B）無窮小量（C）有界變量（D）無界變量

分析一個子列（奇下標）為無窮大，一個子列是無窮小。用唯一性定理。選（D））

請與“典型不存在1”對比。本質(zhì)相同。

例13已知數(shù)列Xn和Yn滿足n→∞時，limXnYn=0，則

（A）若數(shù)列Xn發(fā)散，數(shù)列Yn必定也發(fā)散。（B）若數(shù)列Xn無界，數(shù)列Yn必定也無界。

（C）若數(shù)列Xn有界，數(shù)列Yn必定也有界。（D）若變量1∕Xn為無窮小量，則變量Yn必定也是無窮小量。

分析盡管兩個變量的積為無窮小，我們卻無法得到其中任何一個變量的信息。例10給了我們一個很好的反例。對本題的（A）（B）（C）來說，只要Yn是適當高階的無窮小，就可以保證limXnYn=0

無窮小的倒數(shù)為無窮大。故（D）中條件表明Xn為無窮大。要保證limXnYn=0，Yn必須為無窮小量。應(yīng)選答案（D）?？佳袛?shù)學(xué)講座（6）微觀分析始連續(xù)微分學(xué)研究函數(shù)。函數(shù)是描述過程的最簡單的數(shù)學(xué)模型。由六類基本初等函數(shù)通過有限次四則運算或有限次復(fù)合所生成的，且由一個數(shù)學(xué)式子所表示的函數(shù)，統(tǒng)稱為初等函數(shù)。

大學(xué)數(shù)學(xué)還讓學(xué)生學(xué)習(xí)兩類“分段函數(shù)”?；蚴窃诓煌亩x區(qū)間內(nèi)，分別由不同的初等函數(shù)來表示的函數(shù)；或者是有孤立的特別定義點的函數(shù)。

微分學(xué)研究函數(shù)的特點，是先做微觀分析。即討論函數(shù)的連續(xù)性，可導(dǎo)性，可微性。再通過函數(shù)的導(dǎo)數(shù)來宏觀地研究函數(shù)的圖形特征。即單調(diào)性，有界性，奇偶性，周期性等。

1．函數(shù)的連續(xù)性

定義—設(shè)函數(shù)f(x)在點x0的鄰近有定義。當x趨于x0時，如果函數(shù)有極限.且極限值等于函數(shù)值f(x0)，就稱函數(shù)f在點x0連續(xù)。否則，稱函數(shù)f在點x0間斷。x0是它的間斷點。

“函數(shù)f在點x0的鄰近有定義”意味著，如果函數(shù)在點x0沒有定義，那x0只是函數(shù)的一個孤立的無定義點。也就是函數(shù)的一個天然的間斷點。函數(shù)y=1/x在原點就是這樣的。

“有極限”意味著存在。在分段函數(shù)情形，要立即轉(zhuǎn)換成“左右極限存在且相等?！?/p>

函數(shù)在一點連續(xù)的定義等式，“左極限=右極限=中心點函數(shù)值”，最多可以得出兩個方程。如果在這里出題：“用連續(xù)定義求參數(shù)值?！眲t函數(shù)可以含一個或兩個參數(shù)。

如果函數(shù)在區(qū)間上每一點連續(xù)，就稱函數(shù)在此區(qū)間上連續(xù)。

最值定理——在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)一定有最大，最小值。

“有”，意味著至少有兩點，相應(yīng)的函數(shù)值分別為函數(shù)值域中的最大，最小數(shù)。

介值定理——如果數(shù)c能被夾在連續(xù)函數(shù)的兩個值之間，則c一定屬于此函數(shù)的值域。請體會我的描述方式，這比教科書上寫的更簡明。

介值定理的一個特殊推論是，連續(xù)函數(shù)取正取負必取零。從理論上講，求方程F(x)=0的根，可以轉(zhuǎn)化為討論函數(shù)F的零點。

例16試證明，如果函數(shù)f在閉區(qū)間上連續(xù)，則它的值域也是一個閉區(qū)間。

分析函數(shù)f在閉區(qū)間上連續(xù)，f必有最大值M=f（x1），最小值m=f（x2），閉區(qū)間[m，M]內(nèi)的任一數(shù)c，自然就夾在f的兩個最值之間，因而屬于f的值域。即f的值域就是這個閉區(qū)間。

例17試證明連續(xù)函數(shù)在相鄰的兩個零點間不變號。（潛臺詞：沒有零點的連續(xù)函數(shù)定號。）

分析如果此連續(xù)函數(shù)在相鄰的兩個零點間變號。則它取正取負必取零。與已知矛盾。

（潛臺詞：函數(shù)究竟恒正還是恒負，選個特殊點算算。）

例18函數(shù)f在閉區(qū)間[a，b]上連續(xù)，其值域恰好也是[a，b]，試證方程f(x)=x在區(qū)間[a，b]上有解。

分析作F=f(x)－x，它顯然在已知閉區(qū)間上連續(xù)。且有F(a)≥0而F(b)≤0

如果有一等號成立，則結(jié)論得證。否則，用介值定理。

（潛臺詞：要尋找反號的兩個函數(shù)值，當然該先把已知點拿去試試。）

2．間斷點分類

連續(xù)的對立面是間斷。人們把函數(shù)的間斷點分為兩類。

若函數(shù)在某點間斷，但函數(shù)在這點的左右極限都存在。就稱此點為第一類間斷點。

若函數(shù)在某點間斷，且至少有一個單側(cè)極限不存在，就稱此點為第二類間斷點。

第一類間斷又分為兩種。左右極限不相等，跳躍間斷；左右極限相等，可去間斷。若考題要求你去掉某個可去間斷點時，你就規(guī)定極限值等于此點的函數(shù)值，讓其連續(xù)。

對于第二類間斷，我們只學(xué)了兩個特例。即

x=0是震蕩因子y=sin（1/x)的震蕩間斷點。（畫外音：請聯(lián)想“典型不存在（2）”）

x=0是函數(shù)y=exp(1/x)的無窮間斷點。（畫外音：請聯(lián)想“典型不存在（1）”）

只要函數(shù)在x0的一個單側(cè)為無窮大，x0就是函數(shù)的無窮間斷點。x=x0是圖形的豎直漸近線。

考題中經(jīng)常把問題平移到別的點去討論。

例19確定y=exp(1/x)arctg（（x+1）/（x－1））的間斷點，并說明其類型。

分析函數(shù)的解析表達式中，分母有零點0，1（潛臺詞：兩個嫌疑犯啊。）

在點0，前因子的右極限為正無窮，后因子連續(xù)非零，故0點是無窮間斷點.

在點1，前因子連續(xù)非零，后因子的左極限是－π/2，右極限為π/2，第一類間斷。

三個特殊的“不存在”記得越熟，計算左右極限就越快。要有一個基本材料庫，典型的知識首先在基本材料范圍內(nèi)滾瓜爛熟，你就會走得踏實走得遠。

例20設(shè)函數(shù)f(x)=x∕(a+exp(bx))在(－∞,+∞)內(nèi)連續(xù)，且x→－∞時，極限limf(x)=0；則常數(shù)a，b滿足

（A）a<0，b<0（B）a>0，b>0（C）a≤0，b>0（D）a≥0，b<0

分析初等函數(shù)的表達式中若有分母，則分母的零點是其天然沒有定義的點，也就是函數(shù)的一個天然間斷點。

已知函數(shù)連續(xù)，則其分母不能為0，而指數(shù)函數(shù)exp(bx)的值域為(0,+∞)，故a≥0

又，x→－∞時，極限limf(x)=0表明，f(x)分母是較分子x高階的無窮大，即要指數(shù)函數(shù)exp(bx)為無窮大，只有b<0，應(yīng)選（D）。

（畫外音：一個4分題，多少概念與基礎(chǔ)知識綜合！典型的考研題！漂亮的考研題?。?/p>

*例21已知函數(shù)f(x)在區(qū)間[a，b]上處處有定義，且單調(diào)。若f(x)有間斷點，則只能是第一類間斷點。

分析（構(gòu)造法）不仿設(shè)f(x)在區(qū)間[a，b]上單增，但是有間斷點x0；我們得證明f在點x0的左右極限都存在。

已設(shè)f在區(qū)間單增，余下的問題是尋找其上界或下界。事實上有

x→x0－時，f單增，顯然f(b)是它的一個上界。故左極限存在。

x→x0+時，自變量從右向左變化，相應(yīng)的f值單減。顯然f(a)是其一個下界。右極限也存在。

構(gòu)造法是微積分自己的方法。它的要點是，實實在在地梳理函數(shù)的構(gòu)造及其變化，由此推理獲得所要結(jié)果?？佳袛?shù)學(xué)講座（7）導(dǎo)數(shù)定義是重點選定一個中心點x0，從坐標的角度講，可以看成是把原點平移；從物理角度說，是給定一個初始點；從觀察角度議，是選好一個邊際點。微量分析考慮的問題是：在x0點鄰近，如果自變量x有一個增量Δx，則

函數(shù)相應(yīng)該有增量Δy=f（x0+Δx）－f（x0），我們?nèi)绾伪硎?，研究及估計這個Δy呢？

最自然的第一考慮是“變化率”。中國人把除法稱為“歸一法”。無論Δx的絕對值是多少，Δy／Δx總表示，“當自變量變化一個單位時，函數(shù)值平均變化多少?！?/p>

定義令Δx趨于零，如果增量商Δy／Δx的極限存在，就稱函數(shù)在點x0可導(dǎo)。稱極限值為函數(shù)在點x0的導(dǎo)數(shù)。記為Δx→0，lim（Δy／Δx）=f′(x0)

或Δx→0，lim(（f（x0+Δx）－f（x0））／(x－x0）)=f′(x0)

或x→x0，lim(（f（x）－f（x0））／(x－x0）)=f′(x0)

理解1你首先要熟悉“增量”這個詞。它代表著一個新的思維方式。增量Δy研究好了，在x0鄰近，f（x）=f（x0）+Δy，函數(shù)就有了一個新的表述方式。

回頭用“增量”語言說連續(xù)，則“函數(shù)在點x0連續(xù)”等價于“Δx趨于0時，相應(yīng)的函數(shù)增量Δy一定趨于0”

理解2要是以產(chǎn)量為自變量x，生產(chǎn)成本為函數(shù)y，則Δy／Δx表示，在已經(jīng)生產(chǎn)x0件產(chǎn)品的狀態(tài)下，再生產(chǎn)一件產(chǎn)品的平均成本。導(dǎo)數(shù)則是點x0處的“邊際成本”。（畫外音：“生產(chǎn)”過程中諸元素的磨合，自然會導(dǎo)致成本變化。）

如果用百分比來描述增量，則（Δy/y）／（Δx/x）表示，在x0狀態(tài)下，自變量變化一個百分點，函數(shù)值平均變化多少個百分點。如果Δx趨于零時極限存在，稱其（絕對值）為y對x的彈性。

理解3如果函數(shù)f在區(qū)間的每一點處可導(dǎo)，就稱f在此區(qū)間上可導(dǎo)。這時，區(qū)間上的點與導(dǎo)數(shù)值的對應(yīng)關(guān)系構(gòu)成一個新的函數(shù)。稱為f的導(dǎo)函數(shù)。簡稱導(dǎo)數(shù)。函數(shù)概念由此得到深化。

用定義算得各個基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，稱為“求導(dǎo)公式”。添上“和，差，積，商求導(dǎo)法則”與“復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則”，我們就可以計算初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。

例24設(shè)函數(shù)f(x)=（n→∞）lim(（1+x）∕（1+x的2n次方）),討論函數(shù)f(x)的間斷點，其結(jié)論為

（A）不存在間斷點（B）存在間斷點x=1（C）存在間斷點x=0（D）存在間斷點x=－1

分析這是用極限定義的函數(shù)，必須先求出f(x)的解析表達式，再討論其連續(xù)性。

任意給定一點x，(視為不變。)此時，把分母中的“x的2n次方”項看成是“（x平方）的n次方”，這是自變量為n的指數(shù)函數(shù)。令n→∞求極限計算相應(yīng)的函數(shù)值。

鑒于指數(shù)函數(shù)分為兩大類，要討論把x給定在不同區(qū)間所可能的影響。（潛臺詞：函數(shù)概念深化，就在這變與不變。哲學(xué)?。。┧愕?/p>

－1＜x＜1時，f(x)=1+x；f(1)=1；f(－1)=0

而x＜－1或x＞1時，恒有f(x)=0，觀察得x→1時，limf(x)=2；應(yīng)選（B）。

理解4運用定理（2），“極限存在的充分必要條件為左、右極限存在且相等?！眲t

“函數(shù)在點x0可導(dǎo)”等價于“左，右導(dǎo)數(shù)存在且相等”。

討論分段函數(shù)在定義分界點x0處的可導(dǎo)性，先看準，寫下中心點函數(shù)值f（x0），然后分別在x0兩側(cè)算左導(dǎo)數(shù)，右導(dǎo)數(shù)。

例25（1）h趨于0+時，lim(f(h)－f(0）)/h存在不等價于函數(shù)在0點可導(dǎo)，因為它只是右導(dǎo)數(shù)。

（2）h趨于0時，lim(f(2h)－f（h））/h存在不等價于函數(shù)在0點可導(dǎo)，因為分子中的函數(shù)増量不是相對于中心點函數(shù)值的増量。

請對比:如果f（x）函數(shù)在0點可導(dǎo)，則h→0時，

lim(f(2h)－f（h））/h=lim(f(2h)－f(0）+f(0）－f（h））/h

=2lim(f(2h)－f(0）)/2h－lim(f（h）－f(0))/h

=2f′(0)－f′(0)=f′(0)

（畫外音：我把上述恒等變形技術(shù)稱為“添零項獲得增量”?？荚囍行恼J為你一定會這個小技術(shù)。

（2）中的不等價，要點在于，即便（2）中的極限存在，f（x）在0點也可能不可導(dǎo)。你可以作上述恒等變形，但是，你無法排除“不存在－不存在=存在”）

例26若函數(shù)f（x）滿足條件f（1+x）=af（x），且f′(0)=b，數(shù)a≠0，b≠0則

（A）f（x）在x=1不可導(dǎo)。（B）f′(1)=a（C）f′(1)=b（D）f′(1)=ab

分析將f′(0)=b還原為定義lim(f(0+h)－f（0））/h=b,

要算f′(1)，考查lim(f(1+h)－f（1））/h；如何向f′(0)的定義式轉(zhuǎn)化？！只能在已知恒等式上下功夫。

顯然f(1+h)=af（h）；而f（1）=f（1+0）=af（0）

lim(f(1+h)－f（1））/h=lima(f(h)－f（0））/h=ab應(yīng)選（D）。

*理解5兩個無窮小的商求極限，就可以看成是兩個無窮小的比較。于是，

連續(xù)函數(shù)f（x）在點x0可導(dǎo)的充分必要條件是，x→x0時，函數(shù)增量Δy是與Δx同階，或較Δx高階的無窮小。

考研的小題目中，經(jīng)常在原點討論可導(dǎo)性，且往往設(shè)函數(shù)在原點的值為零。我稱這為“雙特殊情形”。這時，要討論的增量商簡化為f（x）/x，聯(lián)想一下高低階無窮小知識，可以說，“雙特殊情形”下函數(shù)在原點可導(dǎo)，等價于x趨于0時，函數(shù)是與自變量x同階或比x高階的無窮小。如果函數(shù)結(jié)構(gòu)簡單，你一眼就能得出結(jié)論。

例27設(shè)函數(shù)f（x）在點x=0的某鄰域內(nèi)有定義，且恒滿足∣f(x)∣≤x平方，則點x=0必是f(x)的

（A）間斷點。（B）連續(xù)而不可導(dǎo)點。（C）可導(dǎo)點，且f′(0)=0（D）可導(dǎo)點，且f′(0)≠0

分析本題中實際上有夾逼關(guān)系0≤∣f(x)∣≤x平方，在x=0的某鄰域內(nèi)成立。這就表明f（0）=0，且∣f(x)/x∣≤∣x∣，由夾逼定理得，f′(0)=0，應(yīng)選（C）。

例28設(shè)有分段函數(shù)f(x)：x＞0時，f(x)=(1－cosx)∕√x；x≤0時，f(x)=x平方g(x)其中，g(x)為有界函數(shù)。則f(x)在點x=0

（A）不存在極限。（B）存在極限，但不連續(xù)。（C）連續(xù)但不可導(dǎo)。（D）可導(dǎo)。

分析由定義得中心點函數(shù)值f（0）=0；本題在“雙特殊情形”下討論。

x＞0時，顯然f(x)是比x高階的無窮小。右導(dǎo)數(shù)為0（潛臺詞：1－cosx是平方級無窮小。）

x≤0時，f(x)/x=xg(x)，用夾逼法可判定左導(dǎo)數(shù)為0；應(yīng)選（D）。

*理解6運用定理（3），若f（x）函數(shù)在點x0可導(dǎo)，即有已知極限Δx→0，lim（Δy／Δx）=f′(x0)

于是Δy／Δx=f′(x0)+α(x)（無窮?。?；即Δy=f′(x0)Δx+α(x)Δx

由此即可證明，函數(shù)在點x0可導(dǎo)，則一定在x0連續(xù)。

“如果分母是無窮小，商的極限存在，則分子也必定是無窮小?！?/p>

經(jīng)濟類的考生可以這樣來體驗“可導(dǎo)一定連續(xù)”?？紨?shù)學(xué)一，二的同學(xué)則應(yīng)將此結(jié)論作為一個練習(xí)題。

把導(dǎo)數(shù)定義中的極限算式記得用得滾瓜爛熟，你就既不會感到它抽象，也不會感到有多難?？佳械念}目設(shè)計都很有水平，如果側(cè)重考概念，題目中的函數(shù)結(jié)構(gòu)通常都比較簡單。不要怕定義。就當是游戲吧。要玩好游戲，你總得先把游戲規(guī)則熟記于心。

考研數(shù)學(xué)講座（8）求導(dǎo)熟練過大關(guān)函數(shù)在一點x0可導(dǎo)，其導(dǎo)數(shù)值也就是函數(shù)圖形在點（x0，f（x0））處的切線斜率。從這個意義出發(fā)，我們有時把函數(shù)可導(dǎo)說成是“函數(shù)光滑”。

1典型的不可導(dǎo)

可導(dǎo)一定連續(xù)。函數(shù)的間斷點自然是不可導(dǎo)點。這是平凡的。我們感興趣的是函數(shù)連續(xù)而不可導(dǎo)的點。

最簡單也最實用的反例是絕對值函數(shù)y=∣x∣。這是一個分段函數(shù)。還原成分段形式后，在點x=0兩側(cè)分別用定義計算，易算得右導(dǎo)數(shù)為1，左導(dǎo)數(shù)是－1

進一步的反例是y=∣sinx∣在點x=0和y=∣lnx∣在點x=1連續(xù)而不可導(dǎo)。

從圖形變化上去看一個連續(xù)函數(shù)取絕對值，那是件非常有趣的事情。

連續(xù)函數(shù)在相鄰的兩個零點之間不變號。如果恒正，每一個正數(shù)的絕對值就是自已。在這兩個零點間的函數(shù)圖形不變。如果恒負，每一個負數(shù)的絕對值都是它的相反數(shù)。這兩個零點間的函數(shù)圖形由x軸下面對稱地反射到了x軸上方。

y=sinx在原點的左側(cè)鄰近為負，右側(cè)鄰近為正。它的圖形在原點右側(cè)段不變，將左側(cè)段對稱地反射到上半平面，就是y=∣sinx∣的圖形。反射使得圖形在原點處形成一個尖角，不光滑了。

這是否是一個普遍規(guī)律？不是！比如y=x立方與y=|x立方|在x=0點都可導(dǎo)。

函數(shù)y=x立方的圖形叫“立方拋物線”。在點x=0，函數(shù)導(dǎo)數(shù)為0，圖形有水平的切線橫穿而過。（潛臺詞：真有特色啊，突破了我們原有的切線印念。）要是取絕對值，圖形的原點左側(cè)段對稱地反射到上半平面，但水平的切線保持不變。新函數(shù)仍然光滑。這里的關(guān)鍵在于，函數(shù)值為0，導(dǎo)數(shù)值也為0，x=0是立方函數(shù)的重零點。

綜合上述,在f(x)恒為正或恒為負的區(qū)間上，曲線y=|f(x)|和曲線y=f(x)的光滑性是一致的。只有在f(x)的零點處，才可能出現(xiàn)曲線y=f(x)光滑而曲線y=|f(x)|不光滑的狀況。

數(shù)學(xué)三的考巻上有過這樣的4分選擇題。

例31f(x)在點x=a可導(dǎo)，則|f(x)|在x=a不可導(dǎo)若函數(shù)的充分必要條件是

（A）f(a)=0且f′(a)=0（B）f(a)=0且f′(a)≠0

（C）f(a)>0且f′(a)>0（D）f(a)>0且f′(a)＜0

分析如果沒有思路，首先聯(lián)想y=x與y=|x|即可排除（A）；俗語說，連續(xù)函數(shù)“一點大于0，則一段大于0”；相應(yīng)絕對值就是自己。（C）（D）顯然都錯；只有選（B）。

（畫外音：如果用代數(shù)語言，f(x)可導(dǎo)，f(a)=0，而f′(a)≠0，則點a是f(x)的單零點。這道題該算擦邊題。）

2．討論深化

我在講座（2）中舉例，“連續(xù)A+不連續(xù)B=？”

如果，“連續(xù)A+不連續(xù)B=連續(xù)C”則“連續(xù)C－連續(xù)A=不連續(xù)B”

這與定理矛盾。所以有結(jié)論：連續(xù)函數(shù)與不連續(xù)函數(shù)的和一定不連續(xù)。

推理的關(guān)鍵在于，逆運算減法可行。

自然類似有：可導(dǎo)A+（連續(xù)）不可導(dǎo)B=不可導(dǎo)C。比如y=x+∣sinx∣在點x=0不可導(dǎo)。

例32函數(shù)f（x）=∣sinx∣+∣cosx∣的不可導(dǎo)點是（？）

分析函數(shù)為“和”結(jié)構(gòu)。無論是∣sinx∣的不可導(dǎo)點或∣cosx∣的不可導(dǎo)點，都是f的不可導(dǎo)點。即

x=kπ與x=kπ+π/2，k=0，±1，±2，…

更深化的問題是：可導(dǎo)A×(連續(xù))不可導(dǎo)B，是可導(dǎo)還是不可導(dǎo)？比如y=x∣x∣在點0可導(dǎo)嗎？

與“和”的情形相比，積的逆運算不一定可行。當且僅當A≠0時，才有C/A=B所以

結(jié)論1，若f（x）在點x0可導(dǎo)，且f（x0）≠0，g（x）在點x0連續(xù)不可導(dǎo)，則積函數(shù)y=f（x）g（x）在點x0一定不可導(dǎo)。

結(jié)論2（*例33）已知函數(shù)f(x)在點x=a可導(dǎo)，函數(shù)g(x)在點x=a連續(xù)而不可導(dǎo)，試證明

積函數(shù)F（x）=f（x）g（x）在點x=a可導(dǎo)的充分必要條件是f(a)=0.

證明先證充分性，設(shè)f(a)=0則F(a)=0

令h→0,F′(a)=lim(F(a+h)－F（a））/h=limf(a+h)g（a+h）/h

=(lim(f(a+h)－f（a）)/h)limg（a+h）

=f′(a)g（a）

再用反證法證必要性。設(shè)函數(shù)F(x)在點x=a可導(dǎo)而f(a)≠0.，則由連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)可知函數(shù)f（x）在點x=a的某鄰域內(nèi)恒不為零。逆運算除法可行。由結(jié)論1知矛盾。

例34設(shè)函數(shù)f（x）可導(dǎo)，F(xiàn)（x）=f（x）（1+∣sinx∣），則f（0）=0是F(x)在x=0處可導(dǎo)的

（A）充分必要條件。（B）充分而非必要條件。

（C）必要而非充分條件。（D）既非充分又非必要條件。（選（A））

分析1+∣sinx∣是可導(dǎo)函數(shù)+連續(xù)不可導(dǎo)函數(shù)類型，在0點仍然連續(xù)但不可導(dǎo)。由上例結(jié)論知應(yīng)選（A）

例35函數(shù)y=（x平方－x－2）∣x立方－x∣的不可導(dǎo)點的個數(shù)是

（A）3（B）2（C）1（D）0

分析函數(shù)y具“積”結(jié)構(gòu)。y=f（x）g（x），可導(dǎo)函數(shù)f（x）=x平方－x－2只有兩個零點x=–1，x=2，而連續(xù)函數(shù)g（x）=∣x立方－x∣有不可導(dǎo)點x=0，x=1，x=–1；（即x3－x的三個零點。）其中有兩個不是f（x）的零點。積函數(shù)在這兩點不可導(dǎo)。（選（B））。

實際上，x=–1是積函數(shù)的而重零點。

3．函數(shù)求導(dǎo)（以下所涉及的函數(shù)都是可導(dǎo)函數(shù)）

函數(shù)求導(dǎo)越熟練，高等數(shù)學(xué)的感覺越好。只要回憶一下，小時候，九九表你背了用了多少年？！初中時，有理數(shù)運算算了多少年？！中學(xué)里，代數(shù)式運算你又算了多少年？！而學(xué)習(xí)微積分，你花了多少時間作求導(dǎo)計算？！自己就明白問題之所在了。

求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，第一設(shè)問是，我對什么類型的函數(shù)求導(dǎo)？

對初等函數(shù)求導(dǎo)，要點是學(xué)會熟練地對初等函數(shù)作結(jié)構(gòu)分析。應(yīng)該設(shè)問（步步設(shè)問）：

“是對復(fù)合結(jié)構(gòu)求導(dǎo)還是對四則運算結(jié)構(gòu)求導(dǎo)？”

對含有多個變量（有參變量）的表達式求導(dǎo)，要始終提醒自己：“是對表達式中的哪一個變元求導(dǎo)？”

對分段函數(shù)求導(dǎo)，各段分別求導(dǎo)；定義分界點用定義求導(dǎo)

對冪指型函數(shù)求導(dǎo)，視y=f（x）為恒等式，先取對數(shù)再求導(dǎo)，最后解出y′

還有隱函數(shù)的求導(dǎo)法則；參數(shù)式所表述的函數(shù)求導(dǎo)；求乘積函數(shù)高階導(dǎo)數(shù)的Leibnitz（萊布尼茲）公式。沒辦法。這是首先必須要苦力干活的。沒有捷徑可循。

考研數(shù)學(xué)講座（9）“基本推理”先記熟在考研試題中，條件“f（x）連續(xù)，x趨于0時，lim(f（x）/x)=1”出現(xiàn)的頻率相當高。我們能由這個已知條件得到哪些信息呢？無論是《高數(shù)》，《線代》或《概率》部分，都還可以找到類似問題。預(yù)先把其間的邏輯推理或計算程序練熟，在頭腦里形成一個個小集成塊。既是深化基本概念的手段，也是應(yīng)對考試的方法。1條件“f（x）連續(xù)，x趨于0時，lim(f（x）/x)=1”推理信息（1），自變量x，當然是x趨于0時的無窮小。分母是無窮小，商的極限為1（存在），則分子也必定是無窮小。即x趨于0時，limf（x）=0（潛臺詞：由極限存在的充分必要條件（3），f（x）/x=1+α（無窮?。?，即，f（x）=x（1+α））信息（2），已知f連續(xù)，故f（0）=limf（x）=0信息（3），（潛臺詞：這是“雙特殊情形”啊?。┮阎獦O限表明函數(shù)f（x）與自變量是等價無窮小。f（x）在原點可導(dǎo)，且導(dǎo)數(shù)值f′(0)=1信息（4），(“符號體念，近朱者赤。”)商的極限為正數(shù)1，在0點的一個適當小的去心鄰域內(nèi)，商的符號恒正。分子與分母同號。即f（x）與x同號，左負右正。最后一條沒有進一步的結(jié)論，但這是體驗極限符號的思維素養(yǎng)。對比：如果把條件中的分母換成“x2”，則后兩條信息就不同了。信息（3）*，函數(shù)是比自變量高價的無窮小。f（x）在原點可導(dǎo)，且導(dǎo)數(shù)值為0信息（4）*，商的極限為正數(shù)1，在點0的一個適當小的去心鄰域內(nèi)，商的符號恒正。分子與分母同號。x的平方恒正，f（x）恒正。f（0）是函數(shù)的極小值。再對比：若考題把條件中的分子換成f（x）－x，怎么辦？那你把分子整體看成一個函數(shù)，寫成F（x）=f（x）－x，先對F寫出結(jié)論，再寫還原討論f（x）。比如信息（3）得，F(xiàn)（x）在原點可導(dǎo)，故f（x）=F（x）+x也在原點可導(dǎo)?！?。有了高速路，找到匝道就上去了。例36已知x→1時，lim(x2+bx+c)∕(x－1)=3，求常數(shù)b，c的值。分析平移到點x=1用基本推理。記f（x）=x2+bx+c，f連續(xù)，由已知極限得x→1時，limf（x）=0=f（1），實際計算f（1）得方程1+b+c=0再由已知極限與極限定義得f′(1)=3，實際求導(dǎo)即2+b=3；聯(lián)解之，b=1c=－22．程序化的經(jīng)典題目在考研試卷上有一個出現(xiàn)概率很高的大分值題，其基本模式為：“求（分段）函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)，并討論導(dǎo)函數(shù)的連續(xù)性。”這個題目涵蓋了連續(xù)與可導(dǎo)概念及求極限與求導(dǎo)計算?？疾閮?nèi)容相當全面。求解過程可以程序化。即用公式及法則求分段函數(shù)各段的導(dǎo)數(shù)；用定義算得分界點或特殊定義點的導(dǎo)數(shù)。寫出導(dǎo)函數(shù)的分段式。再討論連續(xù)性。例37設(shè)a為實常數(shù)，定義函數(shù)f(x)如下x＞0時f(x)=xasin(1/x2),x≤0時，f(x)=0回答下列問題，并簡單說明理由。（1）在什么情況下，f(x)不是連續(xù)函數(shù)。（2）在什么情況下，f(x)連續(xù)但在點x=0不可微？（3）在什么情況下，f(x)有連續(xù)的導(dǎo)函數(shù)f′(x)？*（4）在什么情況下，f(x)可微但f′(x)在原點鄰近無界？*（5）在什么情況下，f(x)可微，f′(x)在原點鄰近有界，但f′(x)不連續(xù)？分析x≤0時，f(x)恒為零，故f(x)在0點左連續(xù)，且左導(dǎo)數(shù)為0；討論的關(guān)鍵在于：sin（1/x2），cos（1/x2）都是震蕩因子。當x→0+時，必須再乘以一個無窮小因子才有極限零存在。（潛臺詞：有界變量·無窮小量=無窮小量）解（1）a≤0時，f(x)不是連續(xù)函數(shù)，它在點x=0處有第二類間斷（振蕩間斷）。（2）0<a≤1時，f(x)連續(xù)但在x=0處不可導(dǎo)。實際上x→0+時，lim(f（x）/x)=limx（a－1）sin（1/x2）不存在，這又表明，僅當a>1時，f(x)在0點的右導(dǎo)數(shù)為0，從而f′(0)=0；反之則右導(dǎo)數(shù)不存在。于是，a>1時，f(x)是可導(dǎo)函數(shù)。且f′(x)有分段表達式：x≤0時，f′(x)=0；x＞0時，f′(x)=ax（a－1）sin（1/x2）－2x（a－3）cos（1/x2）（3）僅當a>3時，f′(x)的兩項在0點的右極限都存在，且都為0；f′(x)連續(xù)。（潛臺詞：存在+不存在=不存在；1＜a≤3時，f′(x)不連續(xù)。有振蕩間斷點0。）*（4）觀察f′(x)的結(jié)構(gòu)，當1＜a≤3時，它之所以會在原點鄰近無界，顯然是因為其后項存在有負冪因子。即1＜a＜3時，f′(x)在原點鄰近無界。（5）最后，自然有a=3時，f′(x)在原點鄰近有界，但f′(x)不連續(xù)。分析法，綜合法，反證法。這都是歐氏幾何的方法。公元前400年就有了。老老實實地寫，實實在在地看，實實在在地說，水到渠成有結(jié)論。這是微積分自家的方法——“構(gòu)造法”。再看一例來體念“實實在在”的“構(gòu)造法”。例38已知函數(shù)f（x）在x≥a時連續(xù)，且當x→+∞時f（x）有極限A，試證明此函數(shù)有界。分析（1）用綜合法走一步：本題即證，∣f（x）∣≤C（2）想用分析法走一步，有困難。我們只學(xué)過，閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)一定有界。（3）（試探）隨便選一個充分大的數(shù)b，函數(shù)在a與b組成的閉區(qū)間上有界。那無窮的尾巴上怎么估計函數(shù)的絕對值呢？（4）需要從數(shù)值上體念已知極限：x→+∞時函數(shù)有極限A，即x→+∞時函數(shù)的絕對值無限靠近數(shù)A的絕對值。這就是說，我們可以取到充分大的數(shù)b，使x＞b時，恒有∣f（x）∣≤∣A∣+1（5）a與b組成的閉區(qū)間上函數(shù)有最大，最小值。取其絕對值。三個正數(shù)相比較，最大的那個數(shù)就是我們需要的C。我們“構(gòu)造”出了函數(shù)的一個上界?？佳袛?shù)學(xué)指導(dǎo)（10）微分是個新起點微分學(xué)研究函數(shù)的方法，是用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)回頭去研究函數(shù)。這和物理學(xué)用速度及加速度去研究物體運動是一個道理。微分則是運用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的起點。線性關(guān)系是最簡單的函數(shù)關(guān)系。我們在生活中遇到的正比例問題舉不勝舉。而討論非線性問題，總是件很困難的事。到朋友家要上樓，如果他們家的樓梯是非線性的，多半你會摔個跟頭?！澳芊癜逊蔷€性問題線性化？”這是人們在經(jīng)驗基礎(chǔ)上的自然思考。實際上，非線性問題就是非線性問題，所謂“線性化”，只是用一個“合適的”線性模型去近似非線性模型。即非線性模型=線性模型+尾項（非線性模型－線性模型），關(guān)鍵在于表示尾項，研究尾項！找到尾項可以被控制的逼近模型。把這個思想落實到函數(shù)上，就是，在中心點x0鄰近，能否有Δy=AΔx+尾項，尾項=Δy－AΔx能否是比Δx高階的無窮??？如果能，就稱函數(shù)在點x0可微分。簡稱可微。記dy=AΔx，稱為函數(shù)的微分，又稱為函數(shù)的線性主部。將可微定義等式兩端同除以Δx，令Δx趨于零取極限即知，若函數(shù)在點x0可微，則常數(shù)A就是函數(shù)在點x0的導(dǎo)數(shù)f′(x0)；從而Δy=f′(x0)Δx+ο(Δx)；其中，ο(Δx)表示“比Δx高階的無窮小?！被颚=dy+ο(Δx)；dy=f′(x0)Δx=f′(x0)dx要是需要，我們可以丟去尾項，微局部地得到函數(shù)值的（線性的）近似計算式。由于丟去的尾項是比Δx高階的無窮小，如果∣Δx∣適當小,那么，絕對誤差也能相應(yīng)地適當小。不丟尾項，我們得到函數(shù)的一個新的（微局部地）有特定含義的表達式：f（x）=f（x0）+Δy=f（x0）+f′(x0)Δx+ο(Δx)歷史上，這個表達式稱為，“帶皮阿諾余項的一階泰勒公式”。近一步可以證明，可微與可導(dǎo)等價。例41設(shè)函數(shù)f（u）可導(dǎo)，y=f（x2）當自變量x在點x=－1取得增量Δx=－0.1時，相應(yīng)的函數(shù)增量Δy的線性主部為0.1，則f′(1)=_______分析Δy的線性主部即是微分dy，而y′(x)=f′(u)2x,y′(1)=－2f′(1)故dy=y′(x)dx具體為0.1=y′(1)(－0.1)，解得f′(1)=1/2函數(shù)f（x）在一個區(qū)間上可導(dǎo)時，我們記微分dy=f′(x)dx。但是不能忘了微分的微局部意義。函數(shù)可微，且f′(x0)≠0時，還可以把可微定義等式變形為Δy/f′(x0)Δx=1+ο(Δx)∕f′(x0)Δx令Δx→0取極限，即知Δy和dy是等價無窮小。為了考試，要盡可能記住一些常用的等價無窮小，例如在x→0過程中sinx～x；ln（1+x）～x；ex－1～x；√（1+x）－1～x∕2它們都是在原點計算Δy和dy而獲得的。最好再記住1－cosx～x2∕2兩條經(jīng)驗：（1）常用等價無窮小的拓展——例如，若在x→0過程中，α（x）是無窮小，則sinα（x）～α（x）；ln（1+α（x））～α（x）；eα（x）－1～α（x）√（1+α（x））－1～α（x）∕2；1－cosα（x）～α（x）2∕2（2）等價無窮小的差為高階無窮小。例42設(shè)當x→0時，（1－cosx）ln（1+x2）是比xsinxn高階的無窮??；而xsinxn是比exp（x2）－1高階的無窮小，則正整數(shù)n=？分析x→0時，（1－cosx）ln（1+x2）為4次方級的無窮??；xsinxn是n+1次方級；exp（x2）－1是2次方級，由已知，2＜n+1＜4，只有n=2我們還可以學(xué)會主動選定中心點，計算Δy和dy來獲得等價無窮小。例43設(shè)在區(qū)間[1/2，1）上，f（x）=1/πx+1/sinπx－1/π（1－x），試補充定義函數(shù)值f（1），使函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)。分析（1）點1是右端點，按照連續(xù)的定義，應(yīng)該補充定義f（1）為函數(shù)在點1的左極限。（2）觀察函數(shù)結(jié)構(gòu)，第一項是連續(xù)函數(shù)求極限。第二，三項形成“無窮－無窮”未定式。（3）“計算無窮－無窮，能通分時先通分”。通分后化為0/0型未定式。求商的極限是否順利，關(guān)健在于分母。要盡可能先簡化分母。（4）公分母為π(1－x）sinπx,可以考慮在點1計算sinπx的等價無窮小因為sinπ=0,故Δy=sinπx；而dy=πconπΔx=－π（x－1）作等價無窮小因式替換，分母變成二次函數(shù)，再用洛必達法則求極限，一定順利。學(xué)習(xí)本是為了用，該出手時就出手。你不妨直接用洛必達法則求通分后的0/0型未定式極限。作個對比。例44設(shè)函數(shù)f(x)在x=0的某鄰域內(nèi)有連續(xù)的一階導(dǎo)數(shù)，且f(0)≠0，f′(0)≠0，若af（h）+bf（2h）－f（0）在h→0時是較h高階的無窮小，試確定數(shù)a和b的值。分析由高階無窮小的定義得h→0時lim(af（h）+bf（2h）－f（0）)/h=0記F(h)=af（h）+bf（2h）－f（0），F(xiàn)連續(xù)。于是（用“基本推理”）由極限式與連續(xù)性推出F(0)=limF(h)=（a+b+1）f（0）=0，只有a+b+1=0同時（F(h)－F(0))/h=F(h)/h，再由極限式得F′(0)=0實際上，F(xiàn)′(h)=af′(h)+2bf′(2h)，F(xiàn)′(0)=（a+2b）f′(0)=0這就有第二個方程a+2b=0；聯(lián)解之，a=－2，b=1*分析二換一個思考方法，可微分定義式給了函數(shù)一個新的（微局部意義的）表達式。試用一下。設(shè)想h充分靠近0，則f（x）=f（0）+f′(0)x+ο(x)（中心點是原點，Δx=x－0=x）故f（h）=f（0）+f′(0)h+ο(h)f（2h）=f（0）+f′(0)2h+ο(h)從而af(h）+bf(2h)－f(0)=（a+b－1）f（0）+（a+2b）f′(0)h+o(h)要它在h→0時是比h高階的無窮小，常數(shù)項和h項系數(shù)必需為0，獲得兩個方程?？佳袛?shù)學(xué)講座（11）洛爾定理做游戲洛爾定理既為中值定理做準備，又在函數(shù)零點討論方面具有獨立意義。洛爾定理的證明中，邏輯推理既有典型性，又簡明易懂。因而洛爾定理成為考研數(shù)學(xué)的一個特色考點。我國的大學(xué)數(shù)學(xué)教材，通常把“費爾瑪引理”的證明夾在洛爾定理的證明中，使得證明顯得冗長。我先把它分離出來。（畫外音：這可是個難得的好習(xí)題。）1費爾瑪引理——若可導(dǎo)函數(shù)在區(qū)間內(nèi)一點取得最值，則函數(shù)在此點的導(dǎo)數(shù)為0分析我們復(fù)習(xí)一下“構(gòu)造法”。已知或討論函數(shù)在某一點的導(dǎo)數(shù)，不仿先寫出導(dǎo)數(shù)定義算式，觀察分析增量商。這是基本思路?！袄侠蠈崒崱钡貙懀涸O(shè)函數(shù)在區(qū)間內(nèi)一點x0取得最大值。寫出增量商(f（x）－f（x0）)/（x－x0）“實實在在”地想：它有什么特點呢？f（x0）最大，分子函數(shù)增量恒負，分母自變量增量左負右正。這樣一來，增量商在x0左側(cè)恒正，（負負得正）。其左極限即左導(dǎo)數(shù)非負。（潛臺詞：極限可能為0）增量商在x0右側(cè)恒負。故右極限即右導(dǎo)數(shù)非正。函數(shù)可導(dǎo)，左，右極限存在且相等，導(dǎo)數(shù)只能為0（畫外音：導(dǎo)數(shù)為0，不是直接算出來，而是由邏輯推理判斷得到的。你能否由此體會到一點數(shù)學(xué)美呢。）2洛爾定理——若函數(shù)f（x）在閉區(qū)間[a，b]連續(xù)，在（a，b）內(nèi)可導(dǎo)，且端值相等。則必在（a，b）內(nèi)一點ξ處導(dǎo)數(shù)為0分析函數(shù)在閉區(qū)間[a，b]連續(xù)→函數(shù)必有最大最小值端值相等→只要函數(shù)不是常數(shù)，端值最多只能占最值之一。至少有一最值在區(qū)間內(nèi)。函數(shù)在（a，b）內(nèi)可導(dǎo)→內(nèi)部的最值點處導(dǎo)數(shù)為0請看看，分離證明，前段運用導(dǎo)數(shù)定義，符號推理非常典型。后段邏輯有夾逼味道，敘述十分簡明。運用洛爾定理，關(guān)鍵在于要對各種說法的“端值相等”有敏感性。例47設(shè)函數(shù)f（x）二階可導(dǎo)，且函數(shù)有3個零點。試證明二階導(dǎo)數(shù)f"（x）至少有一個零點。分析“函數(shù)有兩個零點”，意味著兩個函數(shù)值相等！它倆組成一個區(qū)間，就滿足“端值相等”條件?？梢詰?yīng)用洛爾定理得到函數(shù)的一階導(dǎo)數(shù)的零點。設(shè)函數(shù)的3個零點由小到大依次為x1，x2，x3，順次取區(qū)間[x1，x2]，[x2，x3]，分別在每個區(qū)間上對函數(shù)用洛爾定理，得到其一階導(dǎo)數(shù)的兩個零點，ξ1，ξ2，且ξ1＜ξ2，ξ1，ξ2客觀存在。它們組成區(qū)間[ξ1，ξ2]，且f′(x)在此區(qū)間上端值相等。又已知二階導(dǎo)數(shù)f"（x）存在，即f′(x)可導(dǎo)。對函數(shù)f′(x)用洛爾定理就得本題結(jié)論。本例同時展示了“逐階運用洛爾定理”的思路。不要怕“點ξ”，不要去想它有多抽象。客觀存在，為我所用。只是要留心它的范圍。(畫外音：怕啥子嘛，你不是學(xué)了哲學(xué)，學(xué)了辯證法嗎。)3“壘寶塔”游戲如果函數(shù)n階可導(dǎo)，且函數(shù)有n+1個互不相同的零點。由此可以得到什么信息？我們可以象上例那樣，先把這n+1個零點由小到大排序編號，x1，x2，x3，……，xn，xn+1再順次組成n個區(qū)間，[x1，x2]，[x2，x3]，……，[xn，xn+1]分別在每個區(qū)間上對函數(shù)用洛爾定理，得到其一階導(dǎo)數(shù)的n個零點，且有大小排序ξ11＜ξ12＜……＜ξ1n同理，順次取區(qū)間[ξ11，ξ12]，[ξ12，ξ13]，……，[ξ1（n－1），ξ1n]共計n－1個區(qū)間，分別對一階導(dǎo)函數(shù)f′(x)用洛爾定理，得到二階導(dǎo)數(shù)的n－1個零點，由小到大依次記為ξ21，ξ22，……，ξ2（n－1）…………再一次次逐階運用洛爾定理，最后可以得到結(jié)論：函數(shù)的n階導(dǎo)數(shù)有1個零點。這是微分學(xué)的一個經(jīng)典題目，結(jié)論好似一個倒置的“楊輝三角形”。就當是做游戲吧。一個“壘寶塔”游戲。4研考典型大題考研數(shù)學(xué)有時在這個考點上出大題，基本模式為“已知……，證明區(qū)間內(nèi)至少有一點ξ，使得一個含有導(dǎo)數(shù)的等式成立?！崩?8設(shè)f（x）在[0，1]上連續(xù)，在（0，1）內(nèi)可導(dǎo)，且f（1）=0，試證（0，1）內(nèi)至少有一點ξ，使得f（ξ）+ξf′(ξ)=0分析（綜合法）ξ只是一個特殊點。ξ就是方程f（x）+xf′(x)=0的根。方程的根轉(zhuǎn)化為函數(shù)g（x）=f（x）+xf′(x)的零點討論。（潛臺詞：我們有“介值定理”，“洛爾定理”兩件兵器哦。）由于關(guān)系式中有含導(dǎo)數(shù)的項，可以猜想，ξ應(yīng)當是我們對某個函數(shù)運用洛爾定理后，得到的導(dǎo)函數(shù)的零點。即g（x）是某個函數(shù)F（x）的導(dǎo)函數(shù)？！再仔細觀察g（x）的結(jié)構(gòu)，它多象是一個乘積函數(shù)求導(dǎo)公式啊。（畫外音：求導(dǎo)不熟練，肯定反應(yīng)慢。）實際上它的確是積函數(shù)F（x）=xf（x）的導(dǎo)函數(shù)，且恰好端值相等。證明時只需從“作輔助函數(shù)F（x）=xf（x），……”說起。啊，典型的歐氏方法，困難的逆向思維?？佳袛?shù)學(xué)講座（12）中值公式不為算數(shù)學(xué)公式基本上可以分為兩類，一類用于計算。一類用于描述。中值定理的公式（有限增量公式）就是描述型的數(shù)學(xué)公式。非數(shù)學(xué)專業(yè)的本科學(xué)生感到數(shù)學(xué)難學(xué)，一個基本原因在于觀念。以為數(shù)學(xué)公式都是計算公式，遇上了描述型的公式，他們毫無思想準備。描述型的數(shù)學(xué)公式意義深遠。從根本上說，數(shù)學(xué)科學(xué)企圖描述世界的任何過程。描述型的數(shù)學(xué)公式并不難學(xué)。什么條件下可以用什么樣的公式描述，你記住公式，完整地寫出來不就行了。微局部地研究函數(shù)，焦點在于討論增量。我說微分是個新起點，指的就是，若函數(shù)f（x）在點x0可微，則函數(shù)實際上就有了一個（微局部的）新的表達式：f（x）=f(x0)+f′(x0)(x－x0)+ο(Δx)（尾項，比Δx高階的無窮?。v史上，這個表達式稱為，“帶皮阿諾余項的一階泰勒公式”。之所以是“微局部”的描述公式，是因為只有在x0的充分小的鄰域內(nèi)，“高階無窮小”的描述才有實際意義。不要認為這有多抽象。這是線性化思維的一個自然結(jié)果，一個客觀事實。知道其存在，能對幾個簡單的基本初等函數(shù)按過程寫出來，就算掌握了。比如，在原點鄰近，可以有，sinx=x+ο(x)，（請對比sinx～x）。由此近一步有x－sinx=x－（x+ο（x））=ο（x）（潛臺詞：表達式嘛，那就可以代進去。）這就是描述型的思路。它告訴我們，x趨于0時，x－sinx是比x高階的無窮小。在求極限時，我們只可以對（分子或分母）的“無窮小因式”作等價無窮小替換。但是，只要對運算有利，我們就可以把函數(shù)的（帶高階無窮小尾項）表達式代到任何一個位置去。在運用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)來研究函數(shù)的過程中，這個思路沿著兩個方向延拓。（1）對尾項的描述能否更具體？（2）能否提高描述的精度？即能否把函數(shù)寫成f（x）=以x0為中心的n次多項式+尾項（比Δx的n次方高階的無窮?。陡叩葦?shù)學(xué)》在方向（1）上，講了“拉格郎日公式”；在方向（2）上則講帶有“拉格郎日型尾項的泰勒公式”。（后者只征對考數(shù)學(xué)一，二的考生）。拉格郎日公式若函數(shù)在閉區(qū)間[a，b]上連續(xù)，在（a，b）內(nèi)可導(dǎo)，則（a，b）內(nèi)至少有一點ξ，使得f(b)－f(a)=f′(ξ)（b－a）教科書上是增量商的形式，我更喜歡用乘積形式。定理說的是區(qū)間，應(yīng)用時不能太死板。在滿足條件的區(qū)間內(nèi)取任意兩點，實際上也組成一個（子）區(qū)間。比如，在區(qū)間內(nèi)任意選定一點x0，對于區(qū)間內(nèi)任意一點x，（潛臺詞：任給一點，相對不變。）也可以有f（x）－f（x0）=f′(ξ)（x－x0），ξ在x與x0之間，即f（x）=f（x0）+f′(ξ)（x－x0），ξ在x與x0之間，（畫外音：一個x相應(yīng)有一個ξ，理論上構(gòu)成一個函數(shù)關(guān)系。）這樣一來，中值定理也給了函數(shù)一個新的表達式。帶ξ的項是尾項。（拉格朗日尾項）。思考題目時，只要看到有導(dǎo)數(shù)條件及函數(shù)增量式，你就可以考慮先用拉格朗日公式轉(zhuǎn)換描述方式，邁出第一步。再考慮如何利用導(dǎo)數(shù)條件及ξ所屬范圍處理尾項。例51已知f（x）在[0，1]可導(dǎo)，且導(dǎo)函數(shù)單增，試將f′(0)，f′(1),f(1)－f（0）三個數(shù)按大小排序。分析導(dǎo)函數(shù)單增，都是導(dǎo)函數(shù)值才能比較大小。f（1）－f（0）是增量式，先用拉格朗日公式得，f（1）－f（0）=f′(ξ)，0＜ξ＜1，寫出這一步來就啥都明白了。不要怕ξ，它是區(qū)間內(nèi)客觀存在的一點。它的范圍有時（如上例）也能導(dǎo)出信息。例52已知f（x）在某區(qū)間可導(dǎo)且導(dǎo)函數(shù)有界，試證明f（x）恒滿足∣Δy∣≤C∣Δx∣分析不知道已知區(qū)間是開區(qū)間還是閉區(qū)間，反正已知有∣f′(x)∣≤M（正常數(shù)）在區(qū)間內(nèi)任取兩點,視為常數(shù),運用拉格朗日公式f（x1）－f（x2）=f′(ξ)(x1－x2)，x1＜ξ＜x2等式兩端取絕對值，導(dǎo)函數(shù)有界的條件管住了ξ，取C=M，本題結(jié)論成立多寫才能熟悉。最好的基本練習(xí)是，把上例中的函數(shù)具體取為正弦，余弦，指數(shù)函數(shù)，反正切等，自己設(shè)定區(qū)間，求出M值，重復(fù)寫出證明過程。例53已知當x趨于+∞時，limf′(x)=e，求lim（f（x+1）－f（x））分析對任意給定的x,所求極限的變量式，恰是函數(shù)f（t）在點x與x+1的增量式。先用拉格郎日公式改變其描述方式。（畫外音：分層次思維，走一步，寫一步，再觀察。）f（x+1）－f（x）=f′(ξ)，x＜ξ＜x+1，實際上ξ=ξ（x）顯然，當x趨于+∞時，必有ξ趨于+∞；故，原極限=limf′(ξ)=e最后的答案來自唯一性定理。（潛臺詞：無論ξ（x）以怎樣的方式趨向無窮，唯一性定理都管住了它。）例54試證明x＞0時，ln（1+x）＜x分析ln（1+x）=ln（1+x）－ln1=x/ξ＜x，1＜ξ＜x+1實際計算步驟為，取函數(shù)y（t）=ln（t），則y′(t)=1/t進而y′(ξ)=1/ξ,得到結(jié)論只用了ξ＞1,“添零項獲得增量”。創(chuàng)造條件運用拉格郎日公式。考研中心認為，你一定會這個小技術(shù)?？佳袛?shù)學(xué)講座（13）圖形特征看單調(diào)用導(dǎo)數(shù)討論函數(shù),中值定理是座座橋梁。拉格郎日公式有兩個推論。使它更好地發(fā)揮橋梁作用。1．拉格郎日公式的兩個推論推論（1）可導(dǎo)函數(shù)恒為常數(shù)的充分必要條件是其導(dǎo)函數(shù)恒為零。推論（2）設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間（a，b）內(nèi)可導(dǎo)，且導(dǎo)函數(shù)f′(x)＞0，則f(x)在此區(qū)間上單增。推論(1)是一個很好的“相對比較”練習(xí)題。即任選一點x0，視為不變。再任給一點x，(潛臺詞:創(chuàng)造增量形式。)比較兩個函數(shù)值的差。我們就可以應(yīng)用拉格郎日公式，并聯(lián)系已知條件得到結(jié)論。由推論（1）得到“證明兩個可導(dǎo)函數(shù)恒等”的程序：“在某區(qū)間上證明可導(dǎo)函數(shù)f(x)≡g(x)”—→作F（x）=f(x)－g(x)，F(xiàn)（x）可導(dǎo)—→驗證fˊ(x)－gˊ(x)≡0，證得f(x)－g(x)=常數(shù)—→選一個特殊點，計算驗證這個常數(shù)就是0你可以試著證明：arcsinx+arccosx=π/2為什么推論(2)中，“導(dǎo)函數(shù)f′(x)＞0”不是可導(dǎo)函數(shù)單增的充分必要條件呢？這是因為單增的函數(shù)也可能在若干個孤立點上導(dǎo)數(shù)為0。比如，立方函數(shù)單增，而它的導(dǎo)數(shù)在原點為0。（潛臺詞：要注意函數(shù)單增的定義啊，自變量變大，相應(yīng)的函數(shù)值一定也變大。）例57設(shè)函數(shù)f(x)在實軸上單增，可導(dǎo)，則（A）在實軸上恒有fˊ(x)＞0（B）對任意x，fˊ(－x)≤0（C）函數(shù)f(－x)在實軸上單增。（D）函數(shù)－f(－x)在實軸上單增。分析由已知信息只能推得fˊ(x)≥0，（A）錯。fˊ(－x)是個復(fù)合函數(shù)。其結(jié)構(gòu)是y=fˊ(u)，u=－x，故fˊ(－x)≥0；（B）錯。f(－x)的導(dǎo)數(shù)為－fˊ(－x)，由此知（C）錯。應(yīng)選（D）。2.“逐階說單調(diào)”單調(diào)性是函數(shù)最重要的圖形特征。如果一個連續(xù)函數(shù)分段單調(diào)，那么，單調(diào)性改變的分界點，就是函數(shù)的極值點。這就自然而然地產(chǎn)生了極值點的“第一判別法”。一個很好玩的游戲是“逐階說單調(diào)”。例58設(shè)函數(shù)f在點x0鄰近三階連續(xù)可導(dǎo)，且在點x0，其一，二階導(dǎo)數(shù)都為0，而三階導(dǎo)數(shù)不為0，你能由此得到什么樣的信息？分析（1）不仿設(shè)f"′（x0）＞0，三階導(dǎo)數(shù)連續(xù)，在點x0鄰近三階導(dǎo)數(shù)全大于零。（潛臺詞：體驗極限，近朱者赤。連續(xù)函數(shù)一點大于0則一段大于0）（2）三階導(dǎo)數(shù)大于零，則二階導(dǎo)數(shù)單增。又因為f"（x0）=0，故當x由左側(cè)趨近點x0時，f"（x）由負單增到0，從x0點再向右，f"（x）單增為正。x0兩側(cè)二階導(dǎo)數(shù)反號，圖形上點（x0，f(x0)）是拐點。（3）在x0點左側(cè)，一階導(dǎo)數(shù)單減，且由正單減到0；在x0點右側(cè)，一階導(dǎo)數(shù)單增，且由0單增為正。f′(x0)=0是一階導(dǎo)數(shù)的極小值。一個孤立的零點。（4）函數(shù)f在點x0鄰近單增。（畫外音：其導(dǎo)數(shù)有一個孤立的零點。）逐階說單調(diào)，這是基本功?？梢运闶且粋€基本推理集成塊。它同時展示了討論連續(xù)函數(shù)符號的基本方法。如果設(shè)f在點x0鄰近四階連續(xù)可導(dǎo)，且在點x0，其一，二，三階導(dǎo)數(shù)都為0，而四階導(dǎo)數(shù)不為0，則練習(xí)逐階說單調(diào)后，你會發(fā)現(xiàn)，x0一定是極值點。例59已知正函數(shù)f與g都在[a，b]上可導(dǎo)，且f′(x)g(x)－f(x)g′(x)＜0，則對區(qū)間內(nèi)任意一點x，有（A）f(x)g(b)＞f(b)g(x)（B）f(x)g(a)＞f(a)g(x)（C）f(x)g(x)＞f(b)g(b)（D）f(x)g(x)＞f(a)g(a)分析已知關(guān)系式的左端象是“商函數(shù)”求導(dǎo)公式的分子。分母可配g(x)的平方，表明f(x)/g(x)單減。也可以配f(x)的平方，表明g(x)/f(x)單增。（A）即是f(x)/g(x)＞f(b)/g(b)，只要商函數(shù)f(x)/g(x)單減，它就顯然是對的。應(yīng)該選（A）。例60設(shè)函數(shù)f在閉區(qū)間[a，b]上連續(xù)，在（a，b）內(nèi)可導(dǎo)，且端值都為零，但在（a，b）內(nèi)至少一點c處為正。試證明（a，b）內(nèi)至少有一點ξ，使得f"（ξ）＜0分析沒有相關(guān)的高階導(dǎo)數(shù)信息。試用反證法。設(shè)（a，b）內(nèi)恒有f"（x）≥0，則一階導(dǎo)數(shù)“不減”。（潛臺詞：不知道f"（x）是否只在某些孤立點上為0，就不能說f′(x)單增。）對函數(shù)f用洛爾定理得知（a，b）內(nèi)至少有一點η，使得f′(η)=0f′(x)“不減”，在（a，η）內(nèi)必有f′(x)≤0，f“不增”，而起點處f(a)=0，只有f(x)≤0；f′(x)“不減”，在（η，b）內(nèi)必有f′(x)≥0，f也“不減”，但已知f(b)=0，函數(shù)還是只能非正。這和已知f(c)＞0矛盾。本題結(jié)論成立。（畫外音：構(gòu)造法的敘訴方式。類似于做了一次“逐階說單調(diào)”游戲。）方法二也可以先順次在區(qū)間（a，c）及（c，b）上分別用拉格郎日公式，得到兩個客觀存在的點。已知f(c)是正數(shù)，老老實實地寫出兩個式子，應(yīng)該能確定這兩點處一階導(dǎo)數(shù)值各自的符號。試試在這兩點組成的區(qū)間上再對一階導(dǎo)函