元二次方程【韋達定理、根與系數(shù)的關(guān)系練習答案】元二次方程【韋達定理、根與系數(shù)的關(guān)系練習答案】元二次方程【韋達定理、根與系數(shù)的關(guān)系練習答案】韋達定理與根與系數(shù)的關(guān)系練習題一、填空題1、關(guān)于x的方程2x23xm0，當時，方程有兩個正數(shù)根；當m時，方程有一個正根，一個負根；當m時，方程有一個根為0。2、已知一元二次方程2x23x10的兩根為x1、x2，則x1x2．3、若是x1，x2是方程x25x60的兩個根，那么x1x2．4、已知x1，x2是方程x26x30的兩實數(shù)根，則x2x1的值為______．x1x25、設x1、x2是方程2x24x30的兩個根，則(x11)(x21)．6、若方程2x24x30的兩根為、，則a22．2aββ7、已知x1、x2是關(guān)于x的方程(a1)x2xa210的兩個實數(shù)根，且x1＋x2＝1，則x1x2＝．38、已知關(guān)于x的一元二次方程mx24x60的兩根為x1和x2，且x1x22，則m，x1x2x1x2。9、若方程2x25xk0的兩根之比是2：3，則k．10、若是關(guān)于x的方程x26xk0的兩根差為2，那么k。11、已知方程2x2mx40兩根的絕對值相等，則m。12、已知方程x2mx20的兩根互為相反數(shù)，則m。13、已知關(guān)于x的一元二次方程(a21)x2(a1)x10兩根互為倒數(shù)，則a。14、已知關(guān)于x的一元二次方程x22(m1)xm20。若方程的兩根互為倒數(shù)，則m；若方程兩根之和與兩根積互為相反數(shù)，則m。15、一元二次方程px2qxr0(p0)的兩根為0和－，則。1p:q16、已知方程3x2x10，要使方程兩根的平方和為13，那么常數(shù)項應改為。917、已知方程x24x2m0的一個根比另一個根小4，則；；m。18、已知關(guān)于x的方程x23xk0的兩根立方和為0，則k19、已知關(guān)于x的方程x23mx2(m1)0的兩根為x1、x2，且113，則m。x1x2420、若方程x24xm0與x2x2m0有一個根相同，則m。21、一元二次方程2x23x10的兩根與x23x20的兩根之間的關(guān)系是。22、請寫出一個二次項系數(shù)為1，兩實根之和為3的一元二次方程：．23、已知一元二次方程的兩根之和為5，兩根之積為6，則這個方程為。24、若、為實數(shù)且|3|(2)20，則以、為根的一元二次方程為。(其中二次項系數(shù)為1)25、求作一個方程，使它的兩根分別是方程x23x20兩根的二倍，則所求的方程為。二、解答題1、已知m，n是一元二次方程x22x50的兩個實數(shù)根，求2m23n22m的值。2、設x1、x2是方程2x24x10的兩個根，求|x1x2|的值。3、已知x1、x2是方程x22xa0的兩個實數(shù)根，且x12x232．（1）求x1、x2及a的值；（）求322x1x2的值．2x13x14、已知1x2mxn0222225，2是一元二次方程的兩個實數(shù)根，且1x212)3，x12x22x、xx(xx求m和n的值。5、已知a21a，b21b，且ab，求(a1)(b1)的值。6、設：3a26a110，3b26b110且ab，求ab的值。7、已知：、是關(guān)于x的二次方程：(m2)x22(m4)xm40的兩個不等實根。(1)若m為正整數(shù)時，求此方程兩個實根的平方和的值；(2)若226時，求m的值。8、已知關(guān)于x的二次方程x2mx10的一個根是21，求另一個根及m的值．9、已知方程5x2mx100的一根是－5，求方程的另一根及m的值。10、已知23是x24xk0的一根，求另一根和k的值。11、(1)方程x23xm0的一個根是2，則另一個根是。(2)若關(guān)于y的方程20，那么m、nymyn的兩個根中只有一個根為0應滿足。12、若是x1是方程2x23mx10的一個根，則m，另一個根為。13、已知關(guān)于x的方程2x25xm的一個根是－2，求它的另一個根及m的值。14、已知關(guān)于x的方程3x21tx的一個根是－2，求它的另一個根及t的值。15、在解方程x2pxq0時，小張看錯了p，解得方程的根為1與－3；小王看錯了q，解得方程的根為4與－2。這個方程的根應該是什么16、已知一元二次方程8y2(m1)ym50。m為何值時，方程的一個根為零m為何值時，方程的兩個根互為相反數(shù)證明：不存在實數(shù)m，使方程的兩個相互為倒數(shù)。17、方程x23xm0中的m是什么數(shù)值時，方程的兩個實數(shù)根滿足：一個根比另一個根大2；一個根是另一個根的3倍；兩根差的平方是17。18、已知一元二次方程8x2(2m1)xm70，依照以下條件，分別求出m的值：兩根互為倒數(shù)；兩根互為相反數(shù)；有一根為零；有一根為1；20、已知關(guān)于x的一元二次方程x2mx120的兩根之差為11，求m的值。21、已知關(guān)于x的二次方程x22(a2)xa250有實數(shù)根，且兩根之積等于兩根之和的2倍，求a的值。22、已知方程x2bxc0有兩個不相等的正實根，兩根之差等于3，兩根的平方和等于29，求b、c的值。23、已知關(guān)于x的方程2x2(m1)xm10的兩根滿足關(guān)系式x1x21，求m的值及兩個根。24、已知關(guān)于x的方程x2(k1)xk20的兩個實數(shù)根的平方和等于6，求k的值．25、、是關(guān)于x的一元二次方程(m1)x2x10的兩個實數(shù)根，且滿足(1)(1)m1，求實數(shù)m的值．26、、是關(guān)于x的方程4x24mxm24m0的兩個實根，并且滿足(1)(1)19，求m的值。10027、已知：、是關(guān)于x的方程x2(m2)x10的兩根，求(1m2)(1m2)的值。28、已知關(guān)于x的方程x22(m2)xm20，問：可否存在正實數(shù)m,使方程的兩個實數(shù)根的平方和等于56，若存在，求出m的值；若不存在，請說明原由.29、關(guān)于x的一元二次方程3x2(4m21)xm(m2)0的兩實根之和等于兩個實根的倒數(shù)和，求m的值。30、已知關(guān)于x的一元二次方程ax2bxc0(a0)的兩根之比為2:1，求證：2b29ac。31、已知方程x2mx40和x2(m2)x160有一個相同的根，求m的值及這個相同的根。32、已知關(guān)于x的一元二次方程ax2bxc0的兩根為、，且兩個關(guān)于x的方程x2(1)x20與x2(1)x20有唯一的公共根，求a、b、c的關(guān)系式。33、已知x1、x2是關(guān)于x的方程x2pxq0的兩根x11、x21是關(guān)于x的方程x2qxp0的兩根，求常數(shù)p、q的值。34、已知方程x2mx120的兩實根是x1和x2，方程x2mxn0的兩實根是x17和x27，求m和n的值。35、已知224s70，7t24t20，、t為實數(shù)，且st1.求以下各式的值：ss(1)st1；(2)3st2s3。tt36、已知x1、x2是關(guān)于x的方程x2m2xn0的兩個實數(shù)根；y1、y2是關(guān)于y的方程y25my70的兩個實數(shù)根，且x1y12,x2y22，求m、n的值。37、關(guān)于x的方程22(23)10的實根，mxmx有兩個乘積為1x22(am)x2am26m40有大于0且小于2的根，求a的整數(shù)值。38、已知關(guān)于x的方程mx2nx20兩根相等，方程x24mx3n0的一個根是另一個根的3倍。求證：方程x2(kn)x(km)0必然有實數(shù)根。39、已知關(guān)于x的一元二次方程x2(4m1)x2m10．求證：不論m為任何實數(shù)，方程總有兩個不相等的實數(shù)根；(2)若方程兩根為x1、x2，且滿足111，求m的值．x1x2240、關(guān)于x的方程x22mx1n20，其中m、n分別是一個等腰三角形的腰長和底邊長。4求證：這個方程有兩個不相等的實根；若方程兩實根之差的絕對值是8，等腰三角形的面積是12，求這個三角形的周長。41、已知關(guān)于y的方程y22ay2a40。證明：不論a取何值，這個方程總有兩個不相等的實數(shù)根；a為何值時，方程的兩根之差的平方等于1642、已知方程2x25mx3n0的兩根之比為2:3，方程x22nx8m0的兩根相等(mn0)。求證：對任意實數(shù)k，方程mx2(nk1)xk10恒有實數(shù)根。43、若是關(guān)于x的實系數(shù)一元二次方程x22(m3)xm230有兩個實數(shù)根、，那么(1)2(1)2的最小值是多少44、已知方程x2axb0的兩根為x1、x2，且4x1x20，又知根的鑒識式25，求a、b的值。45、求一個一元二次方程，使它的兩個根是26和26。46、已知方程x25x70，不解方程，求作一個一元二次方程，使它的兩個根分別是已知方程的兩個根的負倒數(shù)。47、已知方程2x23x30的兩個根分別為a、b，利用根與系數(shù)的關(guān)系，求一個一元二次方程，使它的兩個根分別是：(1)a1、b1(2)2b、2aab48、已知兩數(shù)之和為－7，兩數(shù)之積為12，求這兩個數(shù)。49、已知兩數(shù)的和等于6，這兩數(shù)的積是4，求這兩數(shù)。50、一個直角三角形的兩條直角邊長的和為6cm，面積為7cm2，求這個直角三角形斜邊的長。251、已知關(guān)于x的方程x2(2a1)x4(a1)0的兩個根是斜邊長為5的直角三角形的兩條直角邊的長，求這個直角三角形的面積。52、試確定使x2(ab)xa0的根同時為整數(shù)的整數(shù)a的值。53、已知一元二次方程(2k3)x24kx2k50，且4k1是腰長為7的等腰三角形的底邊長，求：當k取何整數(shù)時，方程有兩個整數(shù)根。54、已知關(guān)于x的一元二次方程x22xp20有兩個實根x1和x2(x1x2)，在數(shù)軸上，表示x2的點在表示x1的點的右邊，且相距p1，求p的值。答案一、填空題9;1、0m;82、323、64、105、526、107、-18、-2;-89、310、811、012、013、2(2舍去)14、-1(1舍去);13(13舍去)15、116、-217、-4;0;018、319、1320、3或021、互為倒數(shù)22、x23x0,(答案不唯一)23、x25x60,(答案不唯一)24、x23x2025、x26x80,(答案不唯一)二、解答題1、m22m5、n22n5原式＝22322m6m62537mnn2、|x1x2|(x1x2)24x1x22x1x22x1123、（1）x1x2a解之x212x12x232a1（2）x122x11；∴原式＝x1x2112(x1x2)22x1x22m2n31214、x1x2m、x1x2n，2[(x1x2)22x1x22(m2n)5解之m2或m10(舍去)(x1x2)2n2n1n355、(a1)(b1)ab(ab)116、ab24237、0——→m4，且m2（1）時，x26x30，2230；m3時，2，226；m1x2x1022m4（2）22()226，即2(m4)6，m2m2化簡得m2m60，解得m13，m228、x2212，m9、x22，m23510、x2231，k11、（1）32；（2）n0且m0；12、11213、x212，m214、x21，t1162q1(3)3所以原方程為2230，解得，15、xxx1x23p4(2)2116、（1）方程的一個根為0，即c0，此時m5；（2）方程的兩根互為相反數(shù)，即b0，此時m1；（3）方程的兩根互為倒數(shù)，即ac，此時m13，原方程為8y214y80，（600）17、x1x23（1）m5；（）m27；（）m2x1x2m4216318、（1）方程的兩根互為倒數(shù)，即ac，此時m15，4(m7)217601；2（2）方程的兩根互為相反數(shù)，即b0，此時m2（3）方程的一個根為0，即c0，此時m7；（4）方程的一個根為1，此時82m1m70；解得m0；19、x1x2mx11220、x1x212，解之x21x1x211m139，由題意可得x1x22(a2)21、0——→ax1x2a25即a254(a2)，解得a1或a3（舍）4x1x22x1x20b722、不相等的兩正根，則b0，由題意解得c10c023、(x1x2)2(x1x2)24x1x2(m1)24m1122即m210m11(m11)(m1)0當m11時，x25x60，解得x或23;當m時，x2x0，解得x0或1124、x12x22(x1x2)22x1x2(k1)22(k2)6，化簡得k290，所以k3或k3（舍）25、∵(1)(1)1m1，∴111m，解得m1或m2（舍）m1m26、∵(1)(1)1()m24mm9，∴解得m3或m3（舍）41005527、x2mx12x，則有2m12、2m12原式＝2241422(x1x2)22x1x2[2(m2)]22m256，化簡得2，或（舍）28、x1x2m8m200m2m1029、x1x211x1x2即(x1x2)(11)0x1x2x1x2x1x2當x1x20時，4m210，解得m1或m1（舍）;22當x1x20時，110，x1x2m(m2)1，解得m3或m1（舍）;x1x23綜上所述，m1或m32x1x2b3x222a（）b9230、不如設x12x2，則有，1得，9accac即2bx1x22（2）2a2x231、方法一：①-②得：(2m2)x200，即mxx10代入①中得：x2x60，解得x13、x22當x3時，13，方程①的解為、4方程②的解為16m;、，吻合題意；33333當x2時，m4，方程①的解為2、2;方程②的解為2、8，吻合題意；綜上所述，當m13時相同根為3；當m4時相同根為2；3方法二：①-②得：(2m2)x200，即x10③1m代入①中得：10210m40，化簡為3m2m520，解得m13或m4(1m)21m3當m13時由③，相同根為3；當m4時相同根為2；332、①-②得：()x(22)0，由題意得，所以x③2代入①中化簡得：2()20，即2bcb0，∴2b2acabaaa33、p1，q334、m7，n5435、7t24t20，兩邊同除2得2470124x70的兩根。tt2t，所以s、是同一方程2x12、s17tstt2（1）st1s12；tt（2）3st2s33s32s3(2)2(7)1ttt236、因為x1y12、x2y22，兩式相加得：(x1x2)(y1y2)4即(m2)(5)4，整理得m25m40，解得m4或m1（舍）m137、∵方程①有兩個乘積為1的實根，∴x1x21，解得m1或m1（舍）m2當m1時，方程②化為x22(a1)x2a10即(x1)[x(2a1)]0解得x1(2a1)，x21（不吻合題意，舍去）所以0(2a1)2，解得2a1；又∵a是整數(shù)，∴a13238、方程①有兩根相等，∴n28m0、且m0x1x2b4x2222ab16m16方程②中不如設x13x2，則有，（1），即m2nc得ac3n3x1x22（2）a3x2綜上，m2、n4；此時原方程化為x2(k4)xk20(k4)24(k2)(k2)2200，所以該方程必然有實數(shù)根。39、（1）(4m1)24(2m1)16m250，所以該方程總有兩個不相等的實數(shù)根；（2）11x1x2(4m1)1，解得m1x1x2x1x22m12240、（1）(2m)241n2(2mn)(2mn)0，所以該方程總有兩個不相等的實數(shù)根；4（2）|x1x2|(x1x2)24x1x242n28m1n2Snm212，22解得n6，m5，所以三角形周長C2mn1641、（1）(2a)24(2a4)4(a1)2120，所以該方程總有兩個不相等的實數(shù)根；（2）(x1x2)2(x1x2)24x1x2(2a)24(2a4)16，解得a0，或a2x1x2b5（）x2222a312得b25m25，即m242、方程①不如設x1x2，則有c，n3x1x222（2）ac6n6ax23方程②中有兩根相等，∴4248m0，即n28mn綜上，m2、n4；此時原方程化為2x2(3k)xk10(3k)242(k1)(k1)20，所以該方程必然有實數(shù)根。43、2(m3)4(m3)24(m23)24m240，即m1m23，原式＝()222(