習(xí)題課一、曲線積分的計算法二、曲面積分的計算法機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束線面積分的計算

第十章一、曲線積分的計算法1.基本方法曲線積分第一類(對弧長)第二類(對坐標(biāo))(1)統(tǒng)一積分變量轉(zhuǎn)化定積分用參數(shù)方程用直角坐標(biāo)方程用極坐標(biāo)方程(2)確定積分上下限第一類:下小上大第二類:下始上終機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束

計算其中L為圓周提示:

利用極坐標(biāo),原式=說明:若用參數(shù)方程計算,則機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束P1371(4),P199,2(1)P199,2(4),計算其中L為擺線上對應(yīng)t從0到2的一段弧.提示:機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束P1843(6).計算其中由平面y=z

截球面提示:

因在上有故原式=從z軸正向看沿逆時針方向.機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束(1)利用對稱性及重心公式簡化計算;(2)利用積分與路徑無關(guān)的等價條件;(3)利用格林公式(注意加輔助線的技巧);(4)利用斯托克斯公式;(5)利用兩類曲線積分的聯(lián)系公式.2.基本技巧機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束例2.

計算其中L

是沿逆時針方向以原點(diǎn)為中心,解法1令則這說明積分與路徑無關(guān),故a

為半徑的上半圓周.機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束例1.計算其中為曲線解:

利用輪換對稱性,有利用重心公式知(的重心在原點(diǎn))機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束(也可再次用輪換對稱性)解法2

它與L所圍區(qū)域為D,(利用格林公式)思考:(2)若L同例2,如何計算下述積分:(1)若L改為順時針方向,如何計算下述積分:則添加輔助線段機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束計算其中L為上半圓周提示:沿逆時針方向.習(xí)題冊:P56(5)機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束二、曲面積分的計算法1.基本方法曲面積分第一類(對面積)第二類(對坐標(biāo))轉(zhuǎn)化二重積分(1)統(tǒng)一積分變量—代入曲面方程(2)積分元素投影第一類:始終非負(fù)第二類:有向投影(3)確定二重積分域—把曲面積分域投影到相關(guān)坐標(biāo)面機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束2.基本技巧(1)利用對稱性及重心公式簡化計算(2)利用高斯公式注意公式使用條件添加輔助面的技巧(輔助面一般取平行坐標(biāo)面的平面)(3)兩類曲面積分的轉(zhuǎn)化機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束P199題3(4)

其中為半球面的上側(cè).且取下側(cè),提示:以半球底面原式=記半球域為,高斯公式有計算為輔助面,利用機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束例4.計算曲面積分其中,解:思考:

本題改為橢球面時,應(yīng)如何計算?提示:在橢球面內(nèi)作輔助小球面內(nèi)側(cè),然后用高斯公式.機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束例5.設(shè)是曲面解:

取足夠小的正數(shù),

作曲面取下側(cè)

使其包在內(nèi),為xoy

平面上夾于之間的部分,且取下側(cè),取上側(cè),計算則機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束第二項添加輔助面,再用高斯公式計算,得機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束例6.計算曲面積分中是球面解:利用對稱性用重心公式機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束例7.設(shè)L是平面與柱面的交線從z

軸正向看去,L為逆時針方向,計算解:

記為平面上

L

所圍部分的上側(cè),D為在xoy

面上的投影.由斯托克斯公式公式目錄上頁下頁返回結(jié)束D

的形心機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束(1)在任一固定時刻,此衛(wèi)星能監(jiān)視的地球表面積是備用題

地球的一個偵察衛(wèi)星攜帶的廣角高分辨率攝象機(jī)能監(jiān)視其”視線”所及地球表面的每一處的景象并攝像,若地球半徑為R,衛(wèi)星距地球表面高度為H=0.25R,衛(wèi)星繞地球一周的時間為T,試求(2)在解:

如圖建立坐標(biāo)系.的時間內(nèi),衛(wèi)星監(jiān)視的地球表面積是多少?多少?機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束(1)利用球坐標(biāo),任一固定時刻監(jiān)視的地球表面積為(2)在時間內(nèi)監(jiān)視的地球表面積為其中S0為盲區(qū)面積機(jī)動目錄上