數(shù)學(xué)必修22.1.2空間中直線與直線之間的位置關(guān)系數(shù)學(xué)必修22.1.2空間中直線與直線之間的位置關(guān)系A(chǔ)BCD復(fù)習(xí)與準(zhǔn)備：平面內(nèi)兩條直線的位置關(guān)系相交直線平行直線相交直線（有一個公共點）平行直線（無公共點）兩路相交立交橋立交橋中,兩條路線AB,CDaboab既不平行，又不相交ABCD復(fù)習(xí)與準(zhǔn)備：平面內(nèi)兩條直線的位置關(guān)系相交直線平行直線ABCD六角螺母ABCD六角螺母

兩直線異面的判別二:兩條直線不同在任何一個平面內(nèi).1.異面直線的定義:不同在任何

一個平面內(nèi)的兩條直線叫做異面直線。兩直線異面的判別一:

兩條直線

既不相交、又不平行.1.異面直線的定義:不同在任何一個平面

相交直線：同一平面內(nèi)，有且只有一個公共點；共面直線

平行直線：同一平面內(nèi)，沒有公共點；異面直線：不同在任何一個平面內(nèi)，沒有公共點?？臻g中直線與直線之間的位置關(guān)系空間兩條直線的位置關(guān)系有且只有三種：相交直線：按平面基本性質(zhì)分同在一個平面內(nèi)相交直線平行直線不同在任何一個平面內(nèi):異面直線有一個公共點:按公共點個數(shù)分相交直線無公共點平行直線異面直線空間中直線與直線之間的位置關(guān)系按平面基本性質(zhì)分同在一個平面內(nèi)相交直線平行直線不同在任何a與b是相交直線a與b是平行直線a與b是異面直線abM答：不一定：它們可能異面，可能相交，也可能平行。

分別在兩個平面內(nèi)的兩條直線是否一定異面？abab合作探究一a與b是相交直線a與b是平行直線a與b是異面直線abM答：不2.異面直線的畫法說明:畫異面直線時,為了體現(xiàn)它們不共面的特點。常借助一個或兩個平面來襯托.如圖：aAbab(1)ba(3)(2)2.異面直線的畫法說明:畫異面直線時,為了體現(xiàn)如圖：a

下圖是一個正方體的展開圖，如果將它還原為正方體，那么AB，CD，EF，GH這四條線段所在的直線是異面直線的有

對。DBACEFHG3直線EF和直線HG直線AB和直線HG直線AB和直線CD探究下圖是一個正方體的展開圖，如果將它還原為正方體㈠：我們知道,在同一平面內(nèi),如果兩條直線都和第三條直線平行,那么這兩條直線互相平行.在空間這一規(guī)律是否還成立呢?公理４：平行于同一條直線的兩條直線互相平行．———平行線的傳遞性推廣：在空間平行于一條已知直線的所有直線都互相平行．3、平行公理的推導(dǎo)如圖，長方體ABCD-A'B'C'D'中，BB'//AA',DD'//AA',那么BB'與DD'平行嗎？

㈠：我們知道,在同一平面內(nèi),如果兩條直線都和第三條直線平行例1、已知空間四邊形ABCD中，E，F(xiàn)，G，H分別是AB，BC，CD，DA的中點，求證四邊形EFGH是一個平行四邊形。解題思想：把所要解的立體幾何問題轉(zhuǎn)化為平面幾何的問題——解立體幾何時最主要、最常用的一種方法。ABDEFGHC∵EH是△ABD的中位線

∴EH∥BD且EH=BD同理，F(xiàn)G∥BD且FG=BD∴EH∥FG且EH=FG∴EFGH是一個平行四邊形證明：連結(jié)BD例1、已知空間四邊形ABCD中，E，F(xiàn)，G，H分別是AB，

在例2中，如果再加上條件AC=BD，那么四邊形EFGH是什么圖形？四邊形EFGH是菱形。探究BCADEFHG在例2中，如果再加上條件AC=BD，那么四邊形E在正方體ABCD—A1B1C1D1中，直線AB與C1D1

，AD1與BC1是什么位置關(guān)系？為什么？解：C1ABCDA1B1D11）∵AB∥A1B1，C1D1∥A1B1，

∴AB∥C1D1

2）∵AB∥C1D1，且AB=C1D1∴ABC1D1為平行四邊形故AD1∥BC1

練習(xí)在正方體ABCD—A1B1C1D1中，直線AB與C1D1㈡：在平面內(nèi),我們可以證明“如果一個角的兩邊與另一個角的兩邊分別平行，那么這兩個角相等或互補”．空間中這一結(jié)論是否仍然成立呢？定理（等角定理）：空間中，如果兩個角的兩邊分別對應(yīng)平行，那么這兩個角相等或互補．觀察:如圖所示,長方體ABCD-A1B1C1D1中,∠ADC與∠A1D1C1,∠ADC與∠A1B1C1兩邊分別對應(yīng)平行,這兩組角的大小關(guān)系如何?答:從圖中可看出,∠ADC=∠A1D1C1,∠ADC+∠A1B1C1=180OD1C1B1A1CABD㈡：在平面內(nèi),我們可以證明“如果一個角的兩邊與另一個角人教A版高中數(shù)學(xué)必修空間中直線與直線之間的位置關(guān)系課件3.異面直線所成的角在平面內(nèi),兩條直線相交成四個角,其中不大于90度的角稱為它們的夾角,用以刻畫兩直線的錯開程度,如圖.在空間,如圖所示,正方體ABCD－EFGH中,異面直線AB與HF的錯開程度可以怎樣來刻畫呢?ABGFHEDCO(2)問題提出(1)復(fù)習(xí)回顧3.異面直線所成的角在平面內(nèi),兩條直線相交成四如圖所示，a，b是兩條異面直線，在空間中任選一點O，過O點分別作a，b的平行線a′和b′，abPa′b′O

則這兩條線所成的銳角θ（或直角），θ稱為異面直線a，b所成的角。？Oa′(3)解決問題思想方法:平移轉(zhuǎn)化成相交直線所成的角,即化空間圖形問題為平面圖形問題思考:

這個角的大小與O點的位置有關(guān)嗎?即O點位置不同時,這一角的大小是否改變?如果兩條異面直線a,b所成的角為直角，我們就稱這兩條直線互相垂直,記為a⊥b異面直線所成的角的范圍(0,90]oo如圖所示，a，b是兩條異面直線，在空間中任選一點O，過O點分思考:

這個角的大小與O點的位置有關(guān)嗎?即O點位置不同時,這一角的大小是否改變?∵a′∥a,a″∥a∴a′∥a″(公理4),解答：如圖設(shè)a′與b′相交所成的角為∠1,a

″與b所成的角為∠2,同理b′∥b″,∴∠1=∠2(等角定理)b′a′O∠1aa″b∠2答:這個角的大小與O點的位置無關(guān).思考:這個角的大小與O點的位置有關(guān)嗎?即O點位置不同

在求作異面直線所成的角時,O點常選在其中的一條直線上

(如線段的端點,線段的中點等)

下圖長方體中平行相交異面②

BD和FH是

直線①

EC和BH是

直線③BH和DC是

直線BACDEFHG(2).與棱AB所在直線異面的棱共有

條?4分別是：CG、HD、GF、HE課后思考:這個長方體的棱中共有多少對異面直線?(1)說出以下各對線段的位置關(guān)系?例2下圖長方體中平行相交異面②BD和FH是ABGFHEDC例3如圖，正方體ABCD-EFGH中,O為側(cè)面ADHE的中心，求(1)BE與CG所成的角？(2)FO與BD所成的角？

（3）那些棱所在的直線與直線EA垂直？解:

(1)如圖:∵BF∥CG，∴∠EBF(或其補角)為異面直線BE與CG所成的角，

又

BEF中∠EBF=45，所以BE與CG所成的角是45ooO連接HA、AF，依題意知O為AH中點,∴∠HFO=30o(2)連接FH，所以FO與BD所成的夾角是30o∴四邊形BFHD為平行四邊形，∴HF∥BD∴∠HFO(或其補角)為異面直線FO與BD所成的角∵HDEA，EAFB∴HDFB∥=∥=∥=則AH=HF=FA∴△AFH為等邊△AB、BC、CD、DA、EF、FG、GH、HEABGFHEDC例3如圖，正方體ABCD-

求異面直線所成的角的步驟是:一作(找)：作（或找）平行線二證：證明所作的角為所求的異面直線所成的角。三求：在一恰當(dāng)?shù)娜切沃星蟪鼋乔螽惷嬷本€所成的角的步驟是:例4：長方體ABCD-A1B1C1D1，AB=AA1=2cm，AD=1cm，求異面直線A1C1與BD1所成角的余弦值.

取BB1的中點M，連O1M，則O1MD1B，如圖，連B1D1與A1C1

交于O1，

于是A1O1M就是異面直線A1C1與BD1所成的角（或其補角）O1MDB1A1D1C1ACB解：例4：長方體ABCD-A1B1C1D1，AB=AA1=2cm例4：長方體ABCD-A1B1C1D1，AB=AA1=2cm，AD=1cm，求異面直線A1C1與BD1所成角的余弦值.于是A1O1M就是異面直線A1C1與BD1所成的角（或其補角），取BB1的中點M，連O1M，則O1MD1B，如圖，連B1D1與A1C1交于O1，解：O1MDB1A1D1C1ACB由余弦定理得A1C1與BD1所成角的余弦值為方法歸納：平移法連A1M，在A1O1M中即根據(jù)定義，以“運動”的觀點，用“平移轉(zhuǎn)化”的方法，使之成為相交直線所成的角.例4：長方體ABCD-A1B1C1D1，AB=AA1=2cm解法二：方法歸納：補形法把空間圖形補成熟悉的或完整的幾何體，如正方體、長方體等，其目的在于易于發(fā)現(xiàn)兩條異面直線的關(guān)系.在A1C1E中，由余弦定理得A1C1與BD1所成角的余弦值為

如圖，補一個與原長方體全等的并與原長方體有公共面連結(jié)A1E，C1E，則A1C1E為A1C1與BD1所成的角(或補角)，F(xiàn)1EFE1BDB1A1D1C1ACBC1的長方體B1F，解法二：方法歸納：補形法把空間圖形補成熟悉的或完整的幾何體，

如圖,已知長方體ABCD-EFGH中,AB=,AD=,AE=2(1)求BC和EG所成的角是多少度?(2)求AE和BG所成的角是多少度?解答：(1)∵GF∥BC∴∠EGF（或其補角）為所求.Rt△EFG中，求得∠EGF=45o(2)∵BF∥AE∴∠FBG（或其補角）為所求,Rt△BFG中，求得∠FBG=60o5.課堂練習(xí)ABGFHEDC2如圖,已知長方體ABCD-EFGH不同在任何一個平面內(nèi)的兩條直線叫做異面直線。異面直線的定義:相交直線

平行直線異面直線空間兩直線的位置關(guān)系6.課堂小結(jié)公理４：在空間平行于同一條直線的兩條直線互相平行．異面直線的求法:一作(找)二證三求空間中，如果兩個角的兩邊分別對應(yīng)平行，那么這兩個角相等或互補．等角定理：異面直線的畫法用平面來襯托異面直線所成的角平移，轉(zhuǎn)化為相交直線所成的角不同在任何一個平面內(nèi)的兩條直線叫做異面直線。異面直線的定例5、在正四面體ABCD（四個面是全等的等邊三角形的幾何體）中，已知E是棱BC的中點，求異面直線AE與BD所成角的余弦值。ABCDEF例5、在正四面體ABCD（四個面是全等的等邊三角形的幾何體）1、正方體ABCD-A1B1C1D1中,AC、BD交于O,則OB1與A1C1所成的角的度數(shù)為A1B1C1D1ABCDO練習(xí)900A1B1C1D1ABCDO練習(xí)900ABDCA1B1D1C12、在正方體AC1中，求異面直線A1B和B1C所成的角A1B和B1C所成的角為60°和A1B成角為60°的面對角線共有

條。8ABDCA1B1D1C12、在正方體AC1中，求異面直線A13、已知正方體的棱長為a,M為AB的中點,N為BB1的中點，求A1M與C1N所成角的余弦值.解：A1D1C1B1ABCDMNEG如圖，取AB的中點E,連BE,有BE∥A1M

取CC1的中點G，連BG.有BG∥

C1N

則∠EBG即為所求角.BG=BE=a,，EG=a由余弦定理，cos∠EBG=2/5F取EB1的中點F，連NF,有BE∥NF則∠FNC為所求角.想一想：還有其他定角的方法嗎？在△EBG中3、已知正方體的棱長為a,M為AB的中點,N為BB1定角一般方法有：（1）平移法（常用方法）小結(jié)：1、求異面直線所成的角是把空間角轉(zhuǎn)化為平面角，體現(xiàn)了化歸的數(shù)學(xué)思想.2、用余弦定理求異面直線所成角時，要注意角的范圍：（1）當(dāng)cosθ＞0時，所成角為θ（2）當(dāng)cosθ＜0時，所成角為π－θ（3）當(dāng)cosθ=0時，所成角為3、當(dāng)異面直線垂直時，還可應(yīng)用線面垂直的有關(guān)知識解決.90o（2）補形法化歸的一般步驟是：定角求角定角一般方法有：（1）平移法（常用方法）小結(jié)：1、求異面直數(shù)學(xué)必修22.1.2空間中直線與直線之間的位置關(guān)系數(shù)學(xué)必修22.1.2空間中直線與直線之間的位置關(guān)系A(chǔ)BCD復(fù)習(xí)與準(zhǔn)備：平面內(nèi)兩條直線的位置關(guān)系相交直線平行直線相交直線（有一個公共點）平行直線（無公共點）兩路相交立交橋立交橋中,兩條路線AB,CDaboab既不平行，又不相交ABCD復(fù)習(xí)與準(zhǔn)備：平面內(nèi)兩條直線的位置關(guān)系相交直線平行直線ABCD六角螺母ABCD六角螺母

兩直線異面的判別二:兩條直線不同在任何一個平面內(nèi).1.異面直線的定義:不同在任何

一個平面內(nèi)的兩條直線叫做異面直線。兩直線異面的判別一:

兩條直線

既不相交、又不平行.1.異面直線的定義:不同在任何一個平面

相交直線：同一平面內(nèi)，有且只有一個公共點；共面直線

平行直線：同一平面內(nèi)，沒有公共點；異面直線：不同在任何一個平面內(nèi)，沒有公共點?？臻g中直線與直線之間的位置關(guān)系空間兩條直線的位置關(guān)系有且只有三種：相交直線：按平面基本性質(zhì)分同在一個平面內(nèi)相交直線平行直線不同在任何一個平面內(nèi):異面直線有一個公共點:按公共點個數(shù)分相交直線無公共點平行直線異面直線空間中直線與直線之間的位置關(guān)系按平面基本性質(zhì)分同在一個平面內(nèi)相交直線平行直線不同在任何a與b是相交直線a與b是平行直線a與b是異面直線abM答：不一定：它們可能異面，可能相交，也可能平行。

分別在兩個平面內(nèi)的兩條直線是否一定異面？abab合作探究一a與b是相交直線a與b是平行直線a與b是異面直線abM答：不2.異面直線的畫法說明:畫異面直線時,為了體現(xiàn)它們不共面的特點。常借助一個或兩個平面來襯托.如圖：aAbab(1)ba(3)(2)2.異面直線的畫法說明:畫異面直線時,為了體現(xiàn)如圖：a

下圖是一個正方體的展開圖，如果將它還原為正方體，那么AB，CD，EF，GH這四條線段所在的直線是異面直線的有

對。DBACEFHG3直線EF和直線HG直線AB和直線HG直線AB和直線CD探究下圖是一個正方體的展開圖，如果將它還原為正方體㈠：我們知道,在同一平面內(nèi),如果兩條直線都和第三條直線平行,那么這兩條直線互相平行.在空間這一規(guī)律是否還成立呢?公理４：平行于同一條直線的兩條直線互相平行．———平行線的傳遞性推廣：在空間平行于一條已知直線的所有直線都互相平行．3、平行公理的推導(dǎo)如圖，長方體ABCD-A'B'C'D'中，BB'//AA',DD'//AA',那么BB'與DD'平行嗎？

㈠：我們知道,在同一平面內(nèi),如果兩條直線都和第三條直線平行例1、已知空間四邊形ABCD中，E，F(xiàn)，G，H分別是AB，BC，CD，DA的中點，求證四邊形EFGH是一個平行四邊形。解題思想：把所要解的立體幾何問題轉(zhuǎn)化為平面幾何的問題——解立體幾何時最主要、最常用的一種方法。ABDEFGHC∵EH是△ABD的中位線

∴EH∥BD且EH=BD同理，F(xiàn)G∥BD且FG=BD∴EH∥FG且EH=FG∴EFGH是一個平行四邊形證明：連結(jié)BD例1、已知空間四邊形ABCD中，E，F(xiàn)，G，H分別是AB，

在例2中，如果再加上條件AC=BD，那么四邊形EFGH是什么圖形？四邊形EFGH是菱形。探究BCADEFHG在例2中，如果再加上條件AC=BD，那么四邊形E在正方體ABCD—A1B1C1D1中，直線AB與C1D1

，AD1與BC1是什么位置關(guān)系？為什么？解：C1ABCDA1B1D11）∵AB∥A1B1，C1D1∥A1B1，

∴AB∥C1D1

2）∵AB∥C1D1，且AB=C1D1∴ABC1D1為平行四邊形故AD1∥BC1

練習(xí)在正方體ABCD—A1B1C1D1中，直線AB與C1D1㈡：在平面內(nèi),我們可以證明“如果一個角的兩邊與另一個角的兩邊分別平行，那么這兩個角相等或互補”．空間中這一結(jié)論是否仍然成立呢？定理（等角定理）：空間中，如果兩個角的兩邊分別對應(yīng)平行，那么這兩個角相等或互補．觀察:如圖所示,長方體ABCD-A1B1C1D1中,∠ADC與∠A1D1C1,∠ADC與∠A1B1C1兩邊分別對應(yīng)平行,這兩組角的大小關(guān)系如何?答:從圖中可看出,∠ADC=∠A1D1C1,∠ADC+∠A1B1C1=180OD1C1B1A1CABD㈡：在平面內(nèi),我們可以證明“如果一個角的兩邊與另一個角人教A版高中數(shù)學(xué)必修空間中直線與直線之間的位置關(guān)系課件3.異面直線所成的角在平面內(nèi),兩條直線相交成四個角,其中不大于90度的角稱為它們的夾角,用以刻畫兩直線的錯開程度,如圖.在空間,如圖所示,正方體ABCD－EFGH中,異面直線AB與HF的錯開程度可以怎樣來刻畫呢?ABGFHEDCO(2)問題提出(1)復(fù)習(xí)回顧3.異面直線所成的角在平面內(nèi),兩條直線相交成四如圖所示，a，b是兩條異面直線，在空間中任選一點O，過O點分別作a，b的平行線a′和b′，abPa′b′O

則這兩條線所成的銳角θ（或直角），θ稱為異面直線a，b所成的角。？Oa′(3)解決問題思想方法:平移轉(zhuǎn)化成相交直線所成的角,即化空間圖形問題為平面圖形問題思考:

這個角的大小與O點的位置有關(guān)嗎?即O點位置不同時,這一角的大小是否改變?如果兩條異面直線a,b所成的角為直角，我們就稱這兩條直線互相垂直,記為a⊥b異面直線所成的角的范圍(0,90]oo如圖所示，a，b是兩條異面直線，在空間中任選一點O，過O點分思考:

這個角的大小與O點的位置有關(guān)嗎?即O點位置不同時,這一角的大小是否改變?∵a′∥a,a″∥a∴a′∥a″(公理4),解答：如圖設(shè)a′與b′相交所成的角為∠1,a

″與b所成的角為∠2,同理b′∥b″,∴∠1=∠2(等角定理)b′a′O∠1aa″b∠2答:這個角的大小與O點的位置無關(guān).思考:這個角的大小與O點的位置有關(guān)嗎?即O點位置不同

在求作異面直線所成的角時,O點常選在其中的一條直線上

(如線段的端點,線段的中點等)

下圖長方體中平行相交異面②

BD和FH是

直線①

EC和BH是

直線③BH和DC是

直線BACDEFHG(2).與棱AB所在直線異面的棱共有

條?4分別是：CG、HD、GF、HE課后思考:這個長方體的棱中共有多少對異面直線?(1)說出以下各對線段的位置關(guān)系?例2下圖長方體中平行相交異面②BD和FH是ABGFHEDC例3如圖，正方體ABCD-EFGH中,O為側(cè)面ADHE的中心，求(1)BE與CG所成的角？(2)FO與BD所成的角？

（3）那些棱所在的直線與直線EA垂直？解:

(1)如圖:∵BF∥CG，∴∠EBF(或其補角)為異面直線BE與CG所成的角，

又

BEF中∠EBF=45，所以BE與CG所成的角是45ooO連接HA、AF，依題意知O為AH中點,∴∠HFO=30o(2)連接FH，所以FO與BD所成的夾角是30o∴四邊形BFHD為平行四邊形，∴HF∥BD∴∠HFO(或其補角)為異面直線FO與BD所成的角∵HDEA，EAFB∴HDFB∥=∥=∥=則AH=HF=FA∴△AFH為等邊△AB、BC、CD、DA、EF、FG、GH、HEABGFHEDC例3如圖，正方體ABCD-

求異面直線所成的角的步驟是:一作(找)：作（或找）平行線二證：證明所作的角為所求的異面直線所成的角。三求：在一恰當(dāng)?shù)娜切沃星蟪鼋乔螽惷嬷本€所成的角的步驟是:例4：長方體ABCD-A1B1C1D1，AB=AA1=2cm，AD=1cm，求異面直線A1C1與BD1所成角的余弦值.

取BB1的中點M，連O1M，則O1MD1B，如圖，連B1D1與A1C1

交于O1，

于是A1O1M就是異面直線A1C1與BD1所成的角（或其補角）O1MDB1A1D1C1ACB解：例4：長方體ABCD-A1B1C1D1，AB=AA1=2cm例4：長方體ABCD-A1B1C1D1，AB=AA1=2cm，AD=1cm，求異面直線A1C1與BD1所成角的余弦值.于是A1O1M就是異面直線A1C1與BD1所成的角（或其補角），取BB1的中點M，連O1M，則O1MD1B，如圖，連B1D1與A1C1交于O1，解：O1MDB1A1D1C1ACB由余弦定理得A1C1與BD1所成角的余弦值為方法歸納：平移法連A1M，在A1O1M中即根據(jù)定義，以“運動”的觀點，用“平移轉(zhuǎn)化”的方法，使之成為相交直線所成的角.例4：長方體ABCD-A1B1C1D1，AB=AA1=2cm解法二：方法歸納：補形法把空間圖形補成熟悉的或完整的幾何體，如正方體、長方體等，其目的在于易于發(fā)現(xiàn)兩條異面直線的關(guān)系.在A1C1E中，由余弦定理得A1C1與BD1所成角的余弦值為

如圖，補一個與原長方體全等的并與原長方體有公共面連結(jié)A1E，C1E，則A1C1E為A1C1與BD1所成的角(或補角)，F(xiàn)1EFE1BDB1A1D1C1ACBC1的長方體B1F，解法二：方法歸納：補形法把空間圖形補成熟悉的或完整的幾何體，

如圖,已知長方體ABCD-EFGH中,AB=,AD=,AE=2(1)求BC和EG所成的角是多少度?(2)求AE和BG所成的角是多少度?解答：(1)∵GF∥BC∴∠EGF（或其補角）為所求.Rt△EFG中，求得∠EGF=45o(2)∵BF∥AE∴∠FBG（或其補角）為所求,Rt△BF