益陽市屆高三4月調(diào)研考試文科數(shù)學(xué)第Ⅰ卷（共60分）一、選擇題：本大題共12個小題,每小題5分,共60分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知全集，集合，，則（）A.B.C.D.【答案】C【解析】由已知，得，，根據(jù)集合補集的定義可得，由集合交集的運算法則可得.故選C.2.設(shè)是虛數(shù)單位，表示復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù).若，則（）A.B.C.D.【答案】C【解析】由題意，根據(jù)復(fù)數(shù)的乘除運算法則，可得，由共軛復(fù)數(shù)的定義，得，所以.故選C.3.已知命題“，”，則命題為（）A.B.C.D.【答案】D【解析】由已知，命題為全稱命題，其否定需由特稱命題來完成，并將其結(jié)論否定，即.故正確答案為D.4.已知向量，，且，則（）A.B.C.D.【答案】B【解析】由已知，根據(jù)向量坐標(biāo)表示，及其加減運算公式、平行關(guān)系，得，又∥，所以，解之得.故選B.5.如圖所示的程序框圖，若輸出的，則輸入的值為（）A.B.C.D.或【答案】D【解析】由題意，根據(jù)程序框圖可得分段函數(shù)，當(dāng)時，由，解得；當(dāng)時，由，解得.故正確答案為D.點睛：此題主要考查程序框圖的識別執(zhí)行能力，以及分段函數(shù)中求函數(shù)值的計算能力等有關(guān)方面的知識與技能，屬于中低檔題型，也是最近幾年來的必考題型.一般程序框圖包括以下幾部分：實現(xiàn)不同算法功能的相對應(yīng)的程序框圖（起止框、輸入輸出框、賦值框、判斷框）；帶箭頭的流程線；程序框內(nèi)必要的說明文字.6.現(xiàn)有張牌面分別是，，，，，的撲克牌，從中取出張，記下牌面上的數(shù)字后放回，再取一張記下牌面上的數(shù)字，則兩次所記數(shù)字之和能整除的概率是（）A.B.C.D.【答案】D【解析】由題意，試驗的情況總數(shù)有，又，即兩次所記數(shù)字之和能整除的有：，，，兩次交換順序共8種，還有，即所求事件個數(shù)共有，所以所求概率為.故選D.7.已知一個幾何體的三視圖如圖，則該幾何體的體積為（）A.B.C.D.【答案】B【解析】由三視圖，可知該幾何體是由一邊長為的正方體和一正四棱錐組合在一起的簡單組合體，所該幾何體的體積為.故正確答案為B.8.侏羅紀(jì)蜘蛛網(wǎng)是一種非常有規(guī)則的蜘蛛網(wǎng)，如圖，它是由無數(shù)個正方形環(huán)繞而成，且每一個正方形的四個頂點都恰好在它的外圍一層正方形四條邊的三等分點上，設(shè)外圍第一個正方形的邊長是，有人說，如此下去，蜘蛛網(wǎng)的長度也是無限的增大，那么，試問，侏羅紀(jì)蜘蛛網(wǎng)的長度真的是無限長的嗎？設(shè)侏羅紀(jì)蜘蛛網(wǎng)的長度為，則（）A.無限大B.C.D.可以取【答案】B【解析】由題意，從外到內(nèi)正方形的邊長依次為，，，…，則數(shù)列是以首項為，公比為的等比數(shù)列，所以，當(dāng)時，則.故選B.9.將函數(shù)的圖象向右平移個單位后得到函數(shù)的圖象，若的圖象關(guān)于直線對稱，則（）A.B.C.D.【答案】A【解析】由題意知，，令，即函數(shù)的對稱軸為，又，當(dāng)時，有，解得.故選A.點睛：此題主要考查三角函數(shù)圖象的平移變換、對稱性等性質(zhì)有關(guān)方面的知識與技能，屬于中檔題型，也是常考題型.一般此類問題常涉及三角函數(shù)的知識點兩個或兩個以上，要求考生在熟練掌握三角函數(shù)圖象的基礎(chǔ)上，要對三角函數(shù)的性質(zhì)靈活運用，有時還需要用數(shù)形結(jié)合的思想來求解.10.在中，角，，所對的邊分別為，，，若，，且的面積為，則的周長為（）A.B.C.D.【答案】B【解析】由題意，根據(jù)三角形面積公式，得，即，解得，根據(jù)余弦定理得，即，，所以的周長為.故選B.11.設(shè)雙曲線的左焦點，直線與雙曲線在第二象限交于點，若（為坐標(biāo)原點），則雙曲線的漸近線方程為（）A.B.C.D.【答案】C【解析】由題意知，雙曲線右焦點，又，所以，則為直角三角形，即，則，，由雙曲線定義得，即，則，所以雙曲線的漸近線方程為.故選C.點睛：此題主要考查雙曲線的定義及方程、漸近線方程、焦點，以及直線與雙曲線位置關(guān)系、勾股定理的應(yīng)用等有關(guān)方面的知識與技能，屬于中高檔題型，也是?？伎键c.解決此類問題過程中，常采用數(shù)形結(jié)合法來求解，數(shù)形結(jié)合法是數(shù)學(xué)解題中常用的思想方法之一，通過“以形助數(shù)，以數(shù)解形”，根據(jù)數(shù)列與形之間的對應(yīng)關(guān)系，相互轉(zhuǎn)化來解決問題.12.已知函數(shù)其中為自然對數(shù)的底數(shù).若函數(shù)有三個不同的零點，則實數(shù)的取值范圍是（）A.B.C.D.【答案】B【解析】（有待研究）第Ⅱ卷（共90分）二、填空題（每題5分，滿分20分，將答案填在答題紙上）13.已知函數(shù)的圖象關(guān)于點對稱，則__________．【答案】1【解析】由已知，得，，整理得，所以當(dāng)時，等式成立，即.14.已知，滿足約束條件則的最小值為__________．【答案】2【解析】由題意，根據(jù)約束條件作出可行域圖，如圖所示，將目標(biāo)函數(shù)轉(zhuǎn)化為，作出其平行直線，并將其在可行域內(nèi)平行上下移動，當(dāng)移到頂點時，在軸上的截距最小，即.15.已知斜率為，且在軸上的截距為正的直線與圓交于，兩點，為坐標(biāo)原點，若的面積為，則__________．【答案】或【解析】由題意，可知真線的方程為，圓的圓心為，半徑為，由點到直線的距離公式，知圓心到真線的距離為，則，所以，又，解得或.16.分別在曲線與直線上各取一點與，則的最小值為__________．【答案】【解析】由，得，令，即，，則曲線上與直線平行的切線的切點坐標(biāo)為，由點到直線的距離公式得，即.點睛：此題主要考查求曲線上動點到直線距離最值的計算，以及導(dǎo)數(shù)幾何意義在解決幾何問題中的應(yīng)用等有關(guān)方面的知識與運算能力，屬于中檔題型，也是?？伎键c.在此類問題中，常將距離的最值轉(zhuǎn)化為切線問題，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義，求出切點，再將問題轉(zhuǎn)化為點到直線的距離問題，從而問題得解.三、解答題（本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.）17.已知等差數(shù)列的公差為，且方程的兩個根分別為，.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）若，求數(shù)列的前項和.【答案】(1);(2).【解析】試題分析：（1）由題意，根據(jù)根與系數(shù)關(guān)系可求出數(shù)列的首項與公差，再根據(jù)等差數(shù)列的通項公式，從而問題可得解決；（2）由（1）可得數(shù)列的通項，觀察其特點，可采用分組求和法進(jìn)行計算，即將數(shù)列分為等比數(shù)列與等差數(shù)列兩種特殊數(shù)列，再根據(jù)各自前項和公式進(jìn)行運算，從而問題可得解.試題解析：（1）由題知，解得故數(shù)列的通項公式為.（2）由（1）知，，則.18.在三棱錐中，底面，，，是的中點，是線段上的一點，且，連接，，.（1）求證：平面；（2）求點到平面的距離.【答案】(1)見解析;(2).【解析】試題分析：（1）由題意，根據(jù)勾股定理可計算出，又，易知為的中點，由三角形中位線性質(zhì)可知，與平行，再根據(jù)線面平行的判定定理，從而問題可得解；（2）由題意，可采用等體積法進(jìn)行求解運算.即由，又其底面與均為直角三角形，從而問題可得解.試題解析：（1）因為，所以.又，，所以在中，由勾股定理，得.因為，所以是的斜邊上的中線.所以是的中點.又因為是的中點，所以直線是的中位線，所以.又因為平面，平面，所以平面.（2）由（1）得，.又因為，.所以.又因為，所以.易知，且，所以.設(shè)點到平面的距離為，則由，得，即，解得.即點到平面的距離為.19.某校高一年級共有名學(xué)生，其中男生名，女生名，該校組織了一次口語模擬考試（滿分為分）.為研究這次口語考試成績?yōu)楦叻质欠衽c性別有關(guān)，現(xiàn)按性別采用分層抽樣抽取名學(xué)生的成績，按從低到高分成，，，，，，七組，并繪制成如圖所示的頻率分布直方圖.已知的頻率等于的頻率，的頻率與的頻率之比為，成績高于分的為“高分”.（1）估計該校高一年級學(xué)生在口語考試中，成績?yōu)椤案叻帧钡娜藬?shù)；（2）請你根據(jù)已知條件將下列列聯(lián)表補充完整，并判斷是否有的把握認(rèn)為“該校高一年級學(xué)生在本次口語考試中成績及格（分以上（含分）為及格）與性別有關(guān)”？口語成績及格口語成績不及格合計男生女生合計附臨界值表：0.1000.0500.0250.0100.0012.7063.8415.0246.63510.828.【答案】(1)見解析;(2)見解析.【解析】試題分析：（1）根據(jù)題意，可設(shè)的頻率為，由頻率性質(zhì)，即各組頻率之和為1，建立關(guān)于的方程，求出未知數(shù)的值，從而算出的頻率，由此問題可得解；（2）由（1），根據(jù)已知條件，結(jié)合男女生的人數(shù)比，即可完成列聯(lián)表，再根據(jù)所提供的觀測值的計算公式，算出觀測值，再比對臨界值表，從而可問題可得解.試題解析：（1）設(shè)的頻率為，則的頻率為，的頻率為.則，解得.故的頻率為，的頻率為.故估計該校高一年級學(xué)生在口語考試中，成績?yōu)椤案叻帧钡念l率為.故估計該校高一年級學(xué)生在口語考試中，成績?yōu)椤案叻帧钡娜藬?shù)為.（2）根據(jù)已知條件得列聯(lián)表如下：口語成績及格口語成績不及格合計男生40女生60合計7030因為，所以有的把握認(rèn)為“該校高一年級學(xué)生在本次口語考試中成績及格與性別有關(guān)”.20.已知拋物線的方程為，過點（為常數(shù)）作拋物線的兩條切線，切點分別為，.（1）過焦點且在軸上截距為的直線與拋物線交于，兩點，，兩點在軸上的射影分別為，，且，求拋物線的方程；（2）設(shè)直線，的斜率分別為，.求證：為定值.【答案】(1);(2)見解析.【解析】試題分析：（1）由拋物線方程可知其焦點坐標(biāo)，則可得直線的方程，聯(lián)立直線與拋物線方程，消去，根據(jù)根與系數(shù)關(guān)系可得點的橫坐標(biāo)關(guān)系式，再由，從而問題可得解；（2）由題意，根據(jù)導(dǎo)數(shù)幾何意義，通過兩切點計算兩條切線方程，從而得到兩切線斜率與拋物線參數(shù)的關(guān)系式，從而可證明，兩斜率的乘值為定值.試題解析：（1）因為拋物線的焦點坐標(biāo)是，所以過焦點且在軸上截距為的直線方程是，即.聯(lián)立消去并整理，得，設(shè)點，，則，.則，解得.所以拋物線的方程為.（2）設(shè)點，.依題意，由，得，則.所以切線的方程是，即.又點在直線上，于是有，即.同理，有，因此，，是方程的兩根，則，.所以，故為定值得證.21.已知函數(shù)（，為自然對數(shù)的底數(shù)）.（1）討論函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）當(dāng)時，恒成立，求實數(shù)的最小值.【答案】(1)單調(diào)遞增區(qū)間是，單調(diào)遞減區(qū)間是.(2)-e.【解析】試題分析：（1）由題意，利用導(dǎo)數(shù)法進(jìn)行討論，由可求出函數(shù)的增區(qū)間，可求出函數(shù)的減區(qū)間，同時對參數(shù)進(jìn)行分段討論，從而問題即可得解；（2）由題意，可構(gòu)造函數(shù)，由此可將問題轉(zhuǎn)化為計算，再根據(jù)導(dǎo)數(shù)進(jìn)行運算求解，從而問題可得解.試題解析：（1）由題知，函數(shù)的定義域是.，當(dāng)時，對任意恒成立，所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是，無單調(diào)遞減區(qū)間；當(dāng)時，令，得；令，得；所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是，單調(diào)遞減區(qū)間是.（2）當(dāng)時，恒成立，即為恒成立，即為恒成立.設(shè)，則.顯然在區(qū)間上單調(diào)遞增，且，所以當(dāng)時，；當(dāng)時，；所以函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增.所以，解得.即實數(shù)的最小值是.點睛：此題主要考查函數(shù)的單調(diào)性、最值，不等式恒成立問題，以及導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)單調(diào)性、最值中的應(yīng)用等有關(guān)方面的知識與技能，屬于中高檔題型，也是必考題型.利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)單調(diào)區(qū)間的一般步驟為：1.確定函數(shù)的定義域；2.求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)；3.在函數(shù)的定義域內(nèi)解不等式和；4.寫出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.請考生在22、23兩題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題記分.22.選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程在平面直角坐標(biāo)系中，直線的參數(shù)方程是（為參數(shù)）.以原點為極點，軸的正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，圓以極坐標(biāo)系中的點為圓心，為半徑.（1）求圓的極坐標(biāo)方程；（2）判斷直線與圓之間的位置關(guān)系.【答案】(1);(2)見解析.【解析】試題分析：（1）由題意，選將圓的極坐標(biāo)轉(zhuǎn)化為直角坐標(biāo)，可得圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，再由極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化公式，將圓的標(biāo)準(zhǔn)方程轉(zhuǎn)化為極坐標(biāo)方程，從面問題可得解；（2）由可將直線的參數(shù)方程轉(zhuǎn)化為一般方程，通計算圓心到直線的距離，將距離與半徑進(jìn)行比較，從而可得直線與圓的位置關(guān)系.試題解析：（1）點化為直角坐標(biāo)是，故以點為圓心，為半徑的圓的直角坐標(biāo)方程是，將，代入上式，可得圓的極坐標(biāo)方程是.（2）由得，得，故直線的直角坐標(biāo)方程為.因為圓心到直線的距離，所以直線與圓相交.點睛：此題主要考查直線的參數(shù)方程與直角坐標(biāo)方程的互化，圓的極坐標(biāo)方程與直角坐標(biāo)方程的互化有關(guān)方面的知識與技能，屬于中檔題型，也是必考點.參數(shù)方程與直角坐標(biāo)方程的互化，只消參即可，而及極坐標(biāo)方程與直角坐標(biāo)方程的互化，需要轉(zhuǎn)化換公式來進(jìn)行換算，從而問題可得解.23.選修4-5：不等式選講已知函數(shù).（1）當(dāng)時，解不等式；（2）若關(guān)于的不等式在上恒成立，求實數(shù)的取值范圍.【答案】(1);(2).【解析】試題分